CC BY
33
УДК 519.218 ББК 22.183.49:61
А. Н. Розенбаум
МОДИФИКАЦИЯ МИНИМАКСНОГО АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ЧЕЛОВЕКОМАШИННОЙ СИСТЕМЫ
A. N. Rozenbaum
UPDATING OF MINIMAX ALGORITHM OF ESTIMATION OF HUMAN-MACHINE SYSTEM STATE
Рассматриваются задачи оценки и прогноза состояния человекомашинных систем на основе минимаксного подхода. Искомые решения указанных задач предлагается отыскивать на основе формирования соответствующих алгебраических уравнений, получаемых при преобразовании в тождество заданных ограничений и с учетом свойств системы функции, по которым осуществляется аппроксимация реального процесса эволюции параметров состояния как человеческой, так и машинной составляющей человекомашинной системы. Показано, что решения можно получать более простым способом - не применяя аппарат линейного программирования. Приводятся примеры.
Ключевые слова: человекомашинные системы, состояние, прогноз, оценка, минимакс, измерения.
The problems of estimation and prediction of the human-machine system state using the minimax-ing approach are considered. It is offered to search the desired solutions of the given problems by mak-ing-up certain algebraic equations obtained in transformation of the set limits, and taking into account the characteristics of the function system according to which the approximation of the real process of evolution of the parameters of the state of both human and machine component of the human-machine system is realized. It is shown that the solutions can be found using the easier way - not applying the linear programming. The examples are given.
Key words: human-machine system, state, predicting, estimation, minimax, measurements.
Введение
Обеспечение надежности и безопасности функционирования человекомашинных систем (ЧМС) неразрывно связано с решением задач определения различных показателей как надежности, так и безопасности. Одним из таких показателей является показатель остаточного эксплуатационного ресурса Тэ, который характеризует временной интервал безопасной и надежной эксплуатации ЧМС, начиная с момента последней проверки (контроля состояния ЧМС) до момента времени наступления первого отказа рассматриваемой системы. Информационной базой для нахождения Тэ служат данные параметров состояния ЧМС и некоторые допущения модели эволюции этого состояния под воздействием разного рода неблагоприятных факторов. Рассматриваемая информация составила основу для вычисления Тэ путем решения задачи линейного программирования [1], что является не совсем удачным для практики.
Определение или оценка состояния человекомашинной системы часто бывает связано с интервальным подходом, когда находятся лишь пределы возможных вариаций оцениваемого
параметра состояния y-, i = 0, n , на настоящий или будущий момент времени t на заданном интервале эксплуатации t е T. При этом в условиях неопределенности и ограниченности исходных данных, включая результаты контроля (измерений) рассматриваемого параметра , i = 1, n
или всего набора y = {yi }П=0, образующего, собственно говоря, и пространство состояния данной сложной системы. При этом оказывается рациональным рассматривать yi, i = 0,n , как некоторый неопределенный процесс, вариации которого связаны с физическими явлениями типа износа, старения, имеющими явную тенденцию к ухудшению, т. е. приближенно к границам заданной области работоспособности D всей рассматриваемой сложной системы. Иначе говоря, условие работоспособности здесь можно представить как
В = {у (х): А < у (х )< В, "х е Т}, где А, В - заданные векторы-пределы допустимых изменений у (х) = {у7 (х)}”_о "XеТ .
(1)
Описание В как параллелепипеда соответствует в одномерном случае тем реальным условиям, которые заданы в проекте конструкторской документации на рассматриваемые ЧМС,
деление времени пересечения любого у7 (х), 7 _ 0,п, хе Т с Рх(В) означает конечный момент времени исправной эксплуатации рассматриваемой ЧМС, т. е. определяет ее остаточный эксплуатационный ресурс Тэ с Т , определяющий возможность функционирования данной системы без каких-либо принудительных вмешательств (лечение или ремонт) в дальнейшем, т. е. на Т\Тэ. При этом возникает задача прогноза состояния, т. е. оценки эволюции состояния у(х) на Т\Тэ. Информационной основой для принятия решения здесь могут служить гарантированные по достоверности результаты оценки у(х), Т\Тэ данных контроля у _ {у7 }п_о, осуществляемых дискретно на Тр с Тэ, Тр _ |^х0, хр ^ и в присутствии неопределенных ошибок е (х ) _ {е7 (х)}._ .
Для ошибок {е7 }П_о обычно бывают известными аргюй только пределы их возможных изменений (инструментальные ошибки и ошибки оператора), т. е.
Результаты измерений (2), (3) не ограничивают информационную базу для решения задачи оценки эволюции у (х), хе Т\Тр. Для дополнения данной базы целесообразно принять некоторые физически обоснованные априорные допущения относительно значимой, с точки зрения поставленной задачи, эволюции поведения у(х) на Т, т. е. рациональной модели этой эволюции. Здесь основным может быть, как и насколько быстро (из расчета на «наихудший» случай) у(х), либо одна из компонент данного набора, достигает и переходит Рх(В). При этом в качестве модели оказывается наиболее рациональным считать, что
где у0 - заданная в тех условиях величина (номинальное значение у(х) при х = х0); У7, а7,7 _ 0, п -найденные по данным измерений неопределенные параметры скорости и ускорения приближения у7 (х), 7 _ 0, п к Р(В).
С учетом сформированной исходной информационной базы (зависимости (1)-(4)) из расчета на «наихудший» случай (принцип минимакса) здесь можно построить алгоритм, позволяющий получать гарантированные по достоверности относительно имеющейся информацион-
г т п г ^ п
ной базы оценки движения у(х) к Р(В), т. е. {У7 }7_0, {а7 }7_0. Поиск искомых оценок в данном
случае несложно выполнить с использованием методов линейного программирования [1, 2]. Однако линейное программирование, наряду со многими преимуществами, обладает и немалыми недостатками. В частности, флуктуации в исходных данных, при ограниченности и неопределенности которых результат решения задач линейного программирования может быть далеким от реальности [2]. При дефиците исходных данных, особенно при небольшом числе измерений (до 10), целесообразно решать рассматриваемую задачу и в представленной постановке
т. е. А7, В7 - границы заданного допуска на каждую компоненту
е(7)<|е|,"7є Тр сТ ,
(2)
(3)
составляют в случае дискретного контроля последовательность
ряемых компонентов могут входить любые или все из {27 (х)}п_0 .
(4)
как задачу решения алгебраических уравнений, определяющих вершины некоторой области М. Поиск таких вершин, собственно, и составляет классическую задачу линейного программирования. При этом для описанной M к ограничениям, следующим из зависимостей (1)-(4), следует добавить ограничение, исключающее возможность экстремальных проявлений полинома (4) на Т. Указанные ограничения несложно составить с учетом того, что интервал эксплуатации рассматриваемой сложной системы составляет Т _ [х0, Xk ]. Соответственно, набор ограничений
для M с Rn+l можно описать как
+ V ( х, ) + ах ,/2 < ^ ( х, ) + (
(tj)-ci £ Уоі + Vi (tj) + ait7j /2 £ zi (tj) + ci, j = 0p,1 = 0n , (5)
(6)
\Vi + a¡t0 < 0, lV + aitk >0.
Преобразование неравенств (5) и (6) в односторонние тождества дает возможность получить координаты искомых вершин M на каждой из i = 0, n плоскости (Vi, ai). При этом,
рассматривая зависимость (4) как разложение по системе В-функций [3], можно обнаружить, что матрица, получающаяся после преобразований в тождества неравенств (5) и (6), является знакочередующейся, а обратная ей - знакорегулярной [3]. Фактически минимаксная задача оценки состояния системы, т. е. поиска некоторых, в определенном смысле экстремальных вершин M, сводится теперь к решению алгебраических уравнений, сформированных со знакочере-дованием в правой части, т. е. чередованием знака при ограничении на ошибку контроля.
{ . 1 m
t1} , позволяют сократить размерность
решаемой задачи и организовать здесь направленный выбор таким образом, что для нахождения искомых векторов следует в качестве начальных условий искать вершины M, образованные при пересечении прямой, указывающей нижний предел отсутствия экстремальных проявлений t е T принятой модели (4), т. е. выражение (6), и прямой, полученной в результате первого измерения y(t). При этом процедура поиска может быть организована и в направлении от последнего измерения y (t), но тогда в качестве дополнительного ограничения могут служить преобразованные в тождествах неравенства (6). Организация двух встречных вычислительных процессов позволяет здесь существенно сократить временные затраты на поиск решения рассматриваемой задачи. В принципе для уменьшения области возможных значений искомых величин можно осуществлять предварительную проверку на удовлетворение требований (5) и (6) текущих измерений и результатов их обработки.
При этом оказывается целесообразным начинать проверку на удовлетворение условий отсутствия экстремальных ситуаций на интервале T с построения соответствующих тождеств, организованных совместно по результатам начальных и конечных наблюдений за процессом эволюции состояния как технической, так и человеческой составляющих ЧМС. Фактически чередование знака в правой части неравенств, образованных по результатам наблюдений за эволюцией состояния ЧМС, позволяет при решении последующих задач исключить колинеарные и, стало быть, бесполезные для поиска вершин M в области искомых решений.
Для нахождения ограничений на {qk }m=0 в общем случае требуется рассмотреть все вершины многогранника М, т. е. решить C”+'+1)систем уравнений по (m + 1) линейно независимых
уравнений (C ”++1 - число сочетаний из 2(p + 1) по (m + 1)). Уравнения, определяющие координаты вершин области М, находятся путем преобразования неравенств (4) в тождества с последующей группировкой в C2mp+1 - (p + 1) систем. Для выполнения условия линейной независимости указанные системы не должны содержать коллинеарных уравнений.
Аппроксимация непрерывных на интервале [t0, tp+1] функций x(t) с помощью декартовой системы функций (В-системы) ориентирует областьMв пространстве коэффициентов Rm+l так, что для определения максимальных и минимальных значений q е M , k = 0, m , достаточно рассмотреть только две вершины многогранника M. Координаты указанных вершин составляют векторы Q1 и Q 2 размерности m + 1 такие, что
Q1 = < sup q0, inf q1, sup q2,...f,
Jq0eM q€M q2eM J
Q2 = < inf q0, sup q2, inf qu...>.
Jqo^M q2EM q^M J
Справедливость данного утверждения вытекает из свойств В-систем функций [3].
Для нахождения Q1 и Q2 из Cm+ - (p + 1) системы можно выделить две группы по (p+1)p/2 систем из (m + 1) уравнений, у которых чередуется знак при C в правой части. Решением указанных уравнений являются (p + 1)p/2 векторов QJ и (p + 1)p/2 векторов Q2 размера (m + 1):
Qi = < maxq0, min q1,...
[q0eM qi€M
Q2 = < min q0, max q1,...
UoeMi ql(^Mi
где Mi - область (многогранник), координаты двух вершин которого составляют векторы QJ и Q 2 .
Путем сравнения всех QJ между собой по одному из элементов выбирается Q1. Аналогично из Q 2 отыскивается Q 2. При этом
q* = inf qk = max min q'k ,
qk^M i=1,2,...,( p+1) p/2qieMi
q** = sup qk = min max q'k .
qt€M i=1,2,...,(p+1) p/2qk€Mi
Экспериментальное исследование
Техническое состояние скреплений стальных конструкций, функционирующих в условиях значительных динамических нагрузок (например, рельсов и т. п.) можно оценить по величине натяжения скрепляющих болтов. Ослабление такого натяжения связано с явлением разрегулирования, т. е. износа соприкасающихся элементов скрепления и раскручивания гаек из-за вибрации. Поддержание сборной металлической конструкции в работоспособном состоянии путем подтягивания болтов обходится, например, для рельсовых путей в 10-18 % от общих эксплуатационных материальных и трудовых затрат. Контроль натяжения можно осуществлять с помощью измерительной аппаратуры при погрешности ±5 %.
В табл. 1 приведены результаты измерений натяжения d(t). При вводе в эксплуатацию (t0) стальной конструкции натяжение скрепляющих болтов составляло 150,5 мм. В качестве модели d(t) была принята квадратичная полиномиальная модель (d(t) = d0 + d1t + d2t2, где d0, d1, d2 -случайные коэффициенты) с учетом ограничений, исключающих появление экстремальных точек d(t) на интервале эксплуатации (t1 - t3): -2 t1 d2 < d1 < -2 t3 d2 при d2 < 0 и d1 > 0.
Таблица 1
Результаты измерений d(t)
Время измерения t ■ 103, ч to ¿і ¿2 ¿3
0,01 0,1 1,0 1,5
Значение d(t), мм 150,5 150,0 143,0 135,0
В табл. 2 приведены результаты расчета координат вершин многогранника М (области определения неизвестных параметров и а?2).
Таблица 2
Результаты расчета координат многогранника М
Описание области многогранника Номер неравенства
158,025 + 0,1^1 + 0,01 d2 < 157,5 1
142,975 + 0,1^1 + 0,01 d2 > 142,5 2
158,025 + d\ + < 150,15 3
142,975 + d\ + > 135,85 4
158,025 + 1,5^ + 2,25 d2 < 141,75 5
142,975 + 1,5^ + 2,25 d2 > 128,25 6
dl + 3,0 d2 < 0 7
dl + 0,2 d2 > 0 8
В табл. 3 приведены результаты расчета примера.
Представленный рисунок иллюстрирует графическое решение примера.
Таблица 3
Результаты расчета примера
1 2 3 4 5 6 7 8
1 х
2 х
3 dl = 6,59166 d2 = -13,4166 dl = 6,03611 d2 = -12,8611 х
4 dl = 6,51944 d2 = -12,6944 dl = 5,96388 d2 = -12,1388 х
5 1 1 II 1 , 13 , О о о о ^ = 5,813 d2 = -10,642 dl = - 0,175 d2 = -6,6499 5 5 79 1 1 II "<3 ^3 х
6 dl = 6,3261 d2 = -10,761 dl = 5,79048 d2 = -10,4048 dl = - 0,8411 d2 = -5,9839 dl = 1,1083 d2 = -7,2833 х
7 dl = 1,1083 d2 = -7,2833 dl = 1,1083 d2 = -7,2833 х
8 dl = 1,1083 d2 = -7,2833 dl = 1,1083 d2 = -7,2833 х
Графическое решение примера
Заключение
Предлагаемый подход относится к классу минимаксных, и его применение наиболее оправдано для прогнозирования технического состояния и планирования моментов контроля сложных систем, в том числе и ЧМС, выход параметров которых за допустимые пределы связан с большими материальными потерями или может привести к возникновению аварийных ситуаций. Следует отметить, что ЧМС здесь рассматриваются как состоящие из двух равноправных частей: технической и человеческой (человека-оператора), в каждой из которых можно найти определенные параметры, пригодные для выполнения прогноза. При этом для человека-оператора такие параметры могут быть найдены среди характеризующих функционирование его кардиосистемы путем анализа, например, кардиограмм. Для технической составляющей ЧМС искомые параметры можно найти либо в паспортных данных на соответствующую технику, либо исходя из опыта и условий ее эксплуатации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Розенбаум А. Н., Никитин А. И. Определение остаточного эксплуатационного ресурса судовых человекомашинных систем // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. -2009. - № 2. - С. 39-44.
2. Ренин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - М.: Сов. радио, 1977. - 432 с.
3. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - М.: Наука, 1973. - 552 с.
Статья поступила в редакцию 28.06.2012
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Розенбаум Анатолий Наумович - Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук, Владивосток; д-р техн. наук, профессор; зав. лабораторией прогнозирования состояния и надежности технических систем; [email protected].
Rozenbaum Anatoliy Naumovich - Institute of Automation and Control Processes of the FarEast Department of the Russian Academy of Sciences, Vladivostok; Doctor of Technical Sciences; Professor; Head оf the Laboratory of Prediction of State and Reliability of Technical Systems; [email protected].
