Моделювання симетричного напружено-деформованого стану складеного тіла з двох пластин, з’єднаних під прямим кутом за допомогою матриць типу Гріна

Левчук С. А.

IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ В МЕТАЛУРГІЇ ТА МАШИНОБУДУВАННІ

УДК 539.371

Канд. фіз.-мат. наук С. А. Левчук Національний університет, м. Запоріжжя

МОДЕЛЮВАННЯ СИМЕТРИЧНОГО НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ СКЛАДЕНОГО ТІЛА З ДВОХ ПЛАСТИН, З’ЄДНАНИХ ПІД ПРЯМИМ КУТОМ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТРИЦЬ ТИПУ ГРІНА

Задача про статичне деформування складеного тіларозв ’язується з використанням спеціально побудованих матриць типу Гріна. На прикладі складеного тіла з двох пластин при спеціальних крайових умовах продемонстровано ефективність методу розрахунку.

Ключові слова: статичне деформування, матриці типу Гріна, складене тіло з двох пластин, спеціальні крайові умови.

Нехай мова йде про побудову матриці типу Гріна задачі, яка описує пружну рівновагу пари пластин, з’єднаних під прямим кутом з умовами симетрії на паралельних ребру з’єднання краях (див. рис. 1). Відзначимо, що з фізичної точки зору досліджуване тіло може бути моделлю бічних стінок закритого паралелепіпеда. Це забезпечується наявністю умов симетрії на обох краях складеного тіла, що паралельні ребру з’єднання пластин. Попередня розробка цієї задачі була здійснена у роботах [4-6].

Для визначення пружної рівноваги кожної з пари пластин може бути також використана наступна система диференціальних рівнянь у переміщеннях [1]:

Xv + д ди V

IV дxv _ дxv

"•V + М-У д ~ди V

IV дxv

дУу

дУх

дУу

дУх

= у„

ДДWv = 2 V.

(1)

Тут Пх = Пх(хх, уД Ух = Уу(ху, уу), Wv = ^у(ху, уу) -проекції вектора зміщень Ту=Ту(ху,уу) на

Рис. 1. Складене тіло з двох пластин, при умовах симетрії на краях (під дією довільного навантаження)

відповідні осі декартової системи координат, а

ХV = Ху(ху, уу), = ^у(ху,у) , 2У = 2у(ху, уу) —

праві частини, що враховують інтенсивність зовнішнього поверхневого навантаження та фізичні характеристики пластини, , м^ — коефіцієнти Ламе,

* д2 д2

Д = —24---------2 — диференціальний оператор Лапласа.

дxv ду„

Тут і нижче V = 1,2 і позначає номер пластини.

Умови симетрії на краях пластин можуть мати вигляд:

V

дК,

и

дWV

дх..

= 0;

дх

д^,

= 0;

дх,

= 0.

(2)

Для умов з’єднання пластин мають місце вирази:

Wl| = и 2 ; = —W 2 ;

1іх1 =аА ^іх2 =а2’ 11х1 =аА z\x2=а2

дW1

у1 = у2 •

11х1 =Іх2 = а2 ’ дхі

дW2

дх2

?1х|х1 =а1 + 02х|х2 =а2 = 0; Т2х1х2=«2 -=«1 = 0 •

^1ху1х1=а1 52ху1х2=а2 0 ; М2хЦ =«2 М1х1х1=а1 0 ,(3)

де 2аз - довжина першої і другої пластини у напрямку осі (ОУ). Тоді на краях пластин, що паралельні осі

(ОХ) будуть виконуватися умови шарнірного спирання.

Компоненти правих частин диференціальних рівнянь також подаються у вигляді тригонометричних рядів:

ХV (х,, Уv) = Е Xvk (х,)

cos

Кпу, •

2а3

к=1,3 ^а3

” КПу V .

Yv (xv, Уv ) = Е Yvk (х, )

81П-

к=1,3 2а3

kпyv 2а3

2,(х,, Уv)= Е Zvk (х,)со8

(6)

k=1,3 2а3

де Xvk (xv), Yvk (xv), 2vk (xv) — коефіцієнти ряду Фур’є:

1 а3

Xvk (xv) =----- ІXv(xv, п)со8 (г^сіц ;

а3

де Qlx , Q2 х та Т1х, Т,х — поперечні та розтягувальні

сили відповідно; , і £ 2 ху — зсувні зусилля; М1х,

М 2 х — згинальні моменти.

Їх вирази через похідні вектора зміщень мають вигляд [1]:

Е к (

Т=

\>у -■»

1 -а

дUv дУv

■ + а

дх ду

Qvх = “■

V V "•"■V

12(і-а 2 ) дху“”У

'ДWv

£ = Evкv (ди V +дК , Л

[ ду V дх, у

^ху 2(1 + а,

Е к

М = _ Evкv

1У± л,-у-

3 (о2

12(і -а2)

д 2WV д^

—2“+ а“

дх V их,

ду

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(4)

V У

Тут Ev — модуль Юнга, к, — товщина пластини, аv — коефіцієнт Пуассона.

Розв’язок даної задачі будемо шукати у вигляді тригонометричних рядів типу:

Uv (х“, Уv ) = Е иvk (х, )со8

k=1,3

КПу V ;

2а3 ’

К (х,, Уv ) = Е Уvk (х, )‘

k=1,3

КПу V ;

2а3

1 а3

^ (xv ) = — І Yv (xv, п)іп ОсСц ;

а3

1 а3

2 vk (xv ) = — І Zv (xv, п)со8 ОсСц. (7)

а3 _•

а3

Внаслідок підставлення (5), (6) у (1), одержимо систему звичайних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами для кожної з пари пластин:

с

сх4

22

-2

Ы

V 2а3 /

с 2WЛ

vk

(

V 2а3 У

Wvk = Zvk •

С 2К

vk

Сх..

V 2а3 У

и . . ^ ^ ЛЛ .

Uvk + «V-;:-------------------;— = ^

2а3 сXv

Сх,

. 2а3 . 3

V, ^ Си^

(1 + «V )Уvk _ «V"--------------;-= ^

2а3 Сх

Vk , (8)

де « =

", + Мл; IV

Введемо позначення І = Ы /(2а3). Підставивши (5) в умови симетрії (2), а також в умови з’єднання пластин (3), перетворимо їх до вигляду:

умови симетрії:

и„

= 0;

СУ,

vk

Сх., \х =0 0;

К (х,, у, )= Е W vk (х, )со8 kПУv , (5)

k=1,3

2а3

dWvk\ , СЧи 0;

“Сх^Іх-=> - =0 - °-

(9)

х, =0

хл=а

х^ =а

2_ 2

.

ІББМ1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2010

117

умови з ’єднання елементів:

W1

1с

х1 = а1 и2Их2 =а2 ; U1k

х1 = а1 ^2^ х2 =а2 ■

У,

1k

х1 = а1 У2k х2 =а2

. dW1

1k

Схі

dWr

2k

х1 =а1 Сх 'х2 =а2 '

12

С3Wlk _ І2 dWlk

Сх1

Схі

■=п. +

Си2k «2 _ 1 ,т,

----— .-і2--------іу2

Сх2 2«2

2k

=а2

= 0;

Wvk (х. )= ^ (4)

sк(lС^ - х, ))- і( - х, )ск(і(4 - х, )) 2І3

+Е ї (М >х);

г=1

С4-

(х, )=(4) «,І ( - х, (2)+«V )кі (4 - х,)) )4 -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 хV

-1 ї*(4)^(—)(4 - х, )к(і(4 - х, )) + 0 2(1 + «V )

+ Е гМ^);

г'=5

.кі.

12

С3W2k - і2

Сх23 Сх2

^іу^ Сх1 2«1

х1=а1

= 0;

СУ

1k

Сх-і

- іи,

1k

х1 =а1

СУ2

2k

Сх2

- іи.

2k

%2 = а2

= 0;

С W1k «1 -1,2

Сх>

2«1

і 2W1

1k

х1=а1

С W2k «2 -1 ;2

Сх2

2«2

і 2W-

2k

х2=а2 0.

(10)

Враховуючи, що фундаментальна система розв’язків одержаних диференціальних рівнянь (8) відома і має вигляд [2]:

Wvk(xv) = ек(іху); wVr2^(xv) = зк(їху);

W(кxv) = хуек(іху); wj;'^4^(ху) = х^к(іху);

Ц* (ху) = °к(іху); и(1\ху) = зк(х);

и(к'(ху) = хуєк(іху); и^4\ху) = х^кіїху);

V*(ху) = -*к(іху); V*)(ху) = -ск(іху);

^(ху) = - 2 + Чу ек(1ху)-х^кіїху);

) = - 2 + Чу sк{lxv)-хуек(іху).

Ш Чу1

Доцільно розв’язувати вказані вище системи звичайних диференціальних рівнянь методом варіації довільних сталих, при цьому, одержимо вирази:

уук (ху )= ]Хук (5Ь(^; {-ху)к

0 2(1 + Чу )

- Х}ук (і)Чуі({ - ху )к{ - х( ))+ (2 + Чу )к(1Й - ху )) ^+

0 ук 2і(і+ Чу )

+ 2ї(М-4)(ху). (11)

Потім, використовуючи додаткові умови (9), (10), належить визначити невідомі сталі у {к . Підставивши

знайдені у^к у (11), а потім отримані вирази у (5), одержимо остаточний розв’язок задачі (1)-(3) у вигляді:

аз а1

%(ху,Уу) = І |^у(ху,Уу,^П) ф1кП) ^ с!ц +

-аз 0 аз а2

+ І І@у(ху,Уу,^п)ф2{Лп , (12)

-аз 0

те 1

(ху, Уу, ^, п)= Е—^к (уу)лук (ху , Фк (п);

к=1а3

те 1

к=1а3

де

^cos(kл /(2а3 )у.) 0 0 1

»k (у у) = і 0 s1п(kп /(2а3 )у,) 0 І, (14)

[ 0 0 cos(kл /(2а3 )у,)_^

Ф у (4, п) — вектор правих частин рівнянь (1) (біль детально про матриці Гріна див. [7]).

Нижче, як приклад застосування описаного методу, наведено результати розрахунку основних характеристик статичного деформування розглянутого вище

+

х =а

22

+

прямокутного з’єднання двох пластин (рис. 2-6). При обчисленнях було прийнято: а1 / к1 = 25; а2 / к2 = 12,5;

аз/к1 = 3; Е/= 2-107 ; ст = 0,25; к = 1;

Чх1 = Чх2 = Чі1 = Ч2 2 = °.

W1-107/ к1

W2 •107/ к2

Рис. 2. Нормальні прогини

и1 -108/ к1

и2•108 / к2

У1 • 108 / к1

У2 •Ю8/ к2

Рис. 4. Зміщення вздовж осі

Т1х -10-4/(2Ек1)

Т2х -10-4/(2Ек2 )

Рис. 5. Розтягувальні сили

Qlx • 10-4/(2Ек1)

Q2х -10-4/(2Ек2)

У роботі [8] був описаний метод розрахунку напру-жено-деформованого стану пологих оболонок з отворами за допомогою побудованих матриць Гріна. Слід зазначити, що використані тут і у [8] алгоритми розрахунку дозволяють також враховувати сумісне деформування досліджуваних конструкцій у простих випадках навантаження. Наприклад, якщо на пластину з отворами діє тільки зовнішнє поверхневе нормальне навантаження (див. [8]), то для передачі дії на стінки складеної конструкції (див. рис. 1) доцільно прирівняти складову інтенсивності навантаження вздовж відповідної осі (осі (ОУ)) до інтенсивності діючого навантаження, що і було зроблено у даній роботі. Особливості розподілу напружень і деформацій по бічних стінках враховуються при цьому за допомогою представлень

(5), (6).

Перелік посилань

1. Биргер М. А. Прочность, устойчивость, колебания : в 3 т. / М. А. Биргер, Я. Г. Пановко — М. : Машиностроение, 1968. — Т. 1. — 832 с.

2. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.-Л. : Физ-матгиз, 1962. — 708 с.

3. Гавеля С. П. Метод построения матриц типа Грина для составных оболочек / С. П. Гавеля // Докл. АН УССР. — Сер. А. — 1981. — № 9. — С. 12—17.

4. Гавеля С. П. Матрица типа Грина задачи об упругом деформировании составной конструкций из двух пластин / С. П. Гавеля, С. А. Левчук, Н. В. Чирка — Запорожье, 1992. — 15 с. — Деп. в УкрИНТЭИ 17.12.92, № 2002. — Ук92.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Левчук С. А. Расчет напряженно-деформированного состояния элементов сложных технических конструкций / С. А. Левчук — Запорожье, 1997.— 24 с.— Деп. в УкрИНТЭИ 17.06.97. — № 447. — Ук97.

6. Левчук С. А. Дослідження статичного деформування складеної конструкції з двох пластин / С. А. Левчук // Вісник Запорізького державного університету : сер. Фізико-математичні науки. — Запоріжжя, 1998. — № 2. — С. 79—81.

7. Левчук С. А. Матриці Гріна рівнянь та систем еліптичного типу для дослідження статичного деформування складених тіл : дис. ... кандидата фіз.-мат. наук : 01.02.04/ Левчук Сергій Анатолійович. — Запоріжжя : ЗДУ, 2002. — 150 с.

8. Левчук С. А. Розрахунок напружено-деформованого стану пологих оболонок з отворами за допомогою матриць Гріна / С. А. Левчук // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. — 2009. — № 2. — С. 102— 106.

Одержано 28.01.2010

Рис. 6. Поперечні сили

І88М 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2010

119

S. A. Levchuk

MODELING OF SYMMETRICAL STRAINLY-DEFORM STATE OF TWO PLATE BODY COMPOUND JOINTED AT THE RIGHT ANGLE WITH GREEN’S TYPE MATRIX

Задача о статическом деформировании составного тела решается с использованием специально построенных матриц типа Грина. На примере составного тела из двух пластин при специальных краевых условиях продемонстрирована эффективность метода расчета.

Ключевые слова: статическое деформирование, матрицы типа Грина, составное тело из двух пластин, специальные краевые условия.

The problem of compound body static deformation is solved with use of spesially constructed Green’s type matrix. The calculation method effictiveness had been shown for the compound body with two plates with special border conditions.

Key words: static deformation, Green’s type matrix, two plate body compound, special border conditions.

УДК 519.63:533.9.07

Е. В. Цегельник, канд. физ.-мат. наук Е. К. Островский, В. О. Гарин Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков

ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЙ ЗАТВОР АТМОСФЕРНОГО ВОЗДУХА В ИСТОЧНИКАХ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ -ПЛАЗМОТРОНАХ

Проведено математическое моделирование процесса молекулярной диффузии атмосферного воздуха во встречном потоке защитного инертного газа на участке газодинамического затвора в канале слива плазмы из плазмотрона. Показано, что при массовом расходе инертного газа аргон, вплоть до 10кг/с, течение в канале остается ламинарным. Установлено, что основным источником поступления отравляющего катод атмосферного воздуха в плазмотрон является его диффузия во встречном потоке инертного газа в сливном канале плазмы на участке газодинамического затвора атмосферного воздуха. Наиболее интенсивно молекулярная диффузия воздуха происходит в пограничном слое у стенок сливного канала плазмы, который на своем начальном участке выполняет функции газодинамического затвора.

Ключевые слова: низкотемпературная плазма, катод, термоэлектронная эмиссия, дуговой разряд, газовый поток, ламинарное течение, плазмотрон.

Введение

В промышленности высокоразвитых стран отмечается тенденция к расширению применения плазмотронов как источников низкотемпературной плазмы. Разработаны технологии получения чистых металлов и сплавов при прямом восстановлении их из руд и рудных концентратов, при подогреве в ходе внепечной обработки и разливе металлов [1, 2].

Особенностью плазмотронов, работающих в металлургии в условиях интенсивного испарения металлов с поверхности расплавов, является необходимость использования малых рабочих напряжений, исключающих появление неуправляемых пробоев. Такой режим

работы возможно реализовать только в низковольтном сильноточном дуговом разряде [3].

Большая мощность в таком разряде достигается за счет больших токов электронной эмиссии с развитой поверхности в полом катоде. Такие токи возможно реализовать переходом от электрической дуги с пятном на катоде к диффузному равномерно распределенному разряду по всей поверхности катода. Это возможно реализовать выбором как Фомы катода (полый катод), так и переходу к новому классу «горячих» высокотемпературных электродов - термоэмиссионным катодам с малой работой выхода электрона Ф = 2,0...2,4 эВ в диапазоне температур 1200 .1600 К [4].

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Левчук С. А.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Левчук С. А.