CC BY
34
У статтi розглядаються питання мате-матичного моделювання напружено-де-формованого стану шаруватих орто-тропних пластин, що лежать на пружнш основi. Поведтка кожного шару описуеть-ся рiвняннями узагальненог теори пластин, для моделювання пружног основи викори-стовуеться двохпараметрична модель Пастернака. Можливостi запропонованог моделi шюструються на прикладах розра-хунку вдуку пластин на статичне наван-таження. Результаты розрахунку за запро-понованою моделлю ствставляються з видомими розв'язками
Ключовi слова: шарувата пластина, ортотротя, пружна основа, напружено-
деформований стан, статика
□-□
В статье рассматриваются вопросы математического моделирования напряженно-деформированного состояния слоистых ортотропных пластин, лежащих на упругом основании. Поведение каждого слоя описывается уравнениями обобщенной теории пластин, для моделирования упругого основания используется двухпараметри-ческая модель Пастернака. Возможности предложенной модели иллюстрируются на примерах расчета отклика пластин на статическое нагружение. Результаты расчета по предложенной модели сопоставляются с известными решениями
Ключевые слова: слоистая пластина, ортотропия, упругое основание, напряженно-деформированное состояние, статика -□ □-
УДК 539.3:534.1
pOI: 10.15587/1729-4061.2014.27632|
МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ШАРУВАТИХ ОРТОТРОПНИХ ПЛАСТИН НА ПРУЖН1Й ОСНОВ1
С. В. У г р i мов
Кандидат техшчних наук, старший науковий ствроб^ник 1нститут проблем машинобудування iM. А. М. Пщгорного НАН УкраТни вул. Дм. Пожарського 2/10, м. Хармв, УкраТна, 61046 E-mail: [email protected] Ю. М. Тормосов Доктор техшчних наук, професор, завщувач кафедри*
E-mail: [email protected] В. А. Куцен ко Кандидат техшчних наук, доцент, доцент* E-mail: [email protected] I. В. Лебединець Кандидат техшчних наук, доцент, доцент* E-mail: [email protected] *Кафедра мехашки та графки Хармвський держаний ушверситет харчування та торгiвлi вул. Клочмвська, 333, м. Хармв, УкраТна, 61051
1. Вступ
Аналiз напружено-деформованого стану (НДС) ба-гатошарових конструкцш, що лежать на пружнш основу е важливим завданням мехашки, яке мае велике практичне значення для цившьного й промислового будiвництва, машинобудування та аерокосмiчноi про-мисловость При розрахунку споруд, тдлог промисло-вих будiвель, покритв автомобiльних дорiг та аеро-дромiв, фундаментiв та основ тд баки та у рядi шших задач потрiбен аналiз взаемодii пружноi багатошаровоi конструкцii й основи [1-3].
Якшть теоретично' оцiнки НДС багатошарових конструкцiй, що лежать на пружнш основ^ визна-чаеться ефективнiстю моделювання багатошарово' конструкцii i и взаемоди з пружною основою. Таким чином, виникае проблема обгрунтованого вибору моделей середовищ i 'х вщповщноси реальним вла-стивостям системи «плита - пружна основа» [1-3].
KpiM того, при розробщ нових моделей та методiв розрахунку конструкцiй необхвдно пам'ятати, що вони повиннi не тшьки з достатньою точнiстю описувати НДС конструкцп, але й мати високу ушверсальшсть та алгоритмiчнiсть.
2. Аналiз лiтературних даних
При дослщженш багатошарових конструкцiй, що лежать на пружнш основ^ величезне значення мае правильний вибiр математично' моделi багатошаро-во' конструкцп. Необхiдно враховувати, що в таких конструкщях можуть виникати значш поперечнi де-формацii, як класичними двовимiрними теорiями багатошарових пластин описуються недостатньо точно. До тепершнього часу розроблено досить багато рiзних методiв розрахунку шаруватих конструкцш [4, 5]. Бшьшшть iз них орiентуеться на певний вид
©
конструкцш (тоню або товст конструкцii, симетрич-ний або несиметричний пакет шарiв, наявнiсть тiльки жорстких шарiв в пакеп i т. д.). Отже, шнуе потреба в розробцi ушверсальних уточнених методiв розрахун-ку багатошарових конструкцiй, якi можна застосувати до широкого класу задач.
Одним iз найбiльш простих способiв побудови уточнених моделей е застосування розвинень в сте-пеневi ряди за поперечною координатою [4-6]. На практищ частiше за все застосовуються теорii першого порядку, яю виходять з того, що деформацii лiнiйно залежать вiд поперечноi координати [7, 8]. При цьому поперечними деформащями, як правило, нехтують або вважають, що вони не змшюються по товщинi. Однак, вщомо, що розподiл зсувних поперечних напружень по товщиш навiть для вщносно тонких пластин мае суттево нелшшний характер [9, 10]. При дослщженш шаруватих пластин на пружнiй основi необхiдно бiльш точно враховувати поперечш деформацii у кожному шарi. Для цього найбшьш прийнятнi дискретно-струк-турш моделi багатошарових конструкцiй, якi дозво-ляють бiльш точно описати поведшку кожного шару конструкцii. Детальний аналiз двовимiрних методiв даеться в роботах [4, 5].
При розрахунку НДС конструкцш, що лежать на пружнш основу як правило, головна увага прид^яеть-ся поведшщ самоi конструкцп, а не детальному аналь зу поведшки пружноi основи [1-3, 11, 12]. При цьому сама основа описуеться спрощено, а основне значення представляе и реакщя на перемiщення конструкцii. Тому задача зводиться до знаходження математичного виразу, який буде з достатньою точшстю визначати реакщюЯ основи в зош контакту [1-3]. Зазвичай, з метою спрощення задачi, пружну основу моделюють шаром лiнiйних пружин, що деформуються незалежно одна вiд одно! Ця модель носить назву моделi Вшкле-ра i мае вигляд Я = к^ (w - локальний прогин, к1 -коефвдент жорсткостi основи). Бiльш реалiстичну модель деформування основи дае модель Пастернака, яка враховуе не пльки величину прогину, але й роботу основи на зсув. У цьому випадку реакщя основи залежить вщ двох параметрiв i може бути записана у виглядi Я = к^ - k2V2w ( к2 - коефщент жорсткостi основи на зсув). 1снують й iншi моделi пружних основ [3].
Дана стаття продовжуе дослвдження, розпочат в роботах [10, 13]. Вона при-свячена побудовi ефективного аналгги-ко-чисельного методу розв'язання зада-чi аналiзу НДС багатошарових пластин на пружнш основь Поведшка багатоша-ровоi конструкцii описуеться рiвнян-нями узагальненоi теорii пластин [10]. Пружна основа моделюеться рiвнянням Пастернака [2, 3].
3. Мета та задачi дослщження
Метою роботи е удосконалення методiв розрахунку шаруватих ортотроп-них пластин на пружнш основi за рахунок застосування високоефективних рiвнянь
узагальненоi теорii пластин для аналiзу поведiнки конструкцii.
Для досягнення даноi мети необхiдно розв'язати наступнi задача
- на основi рiвнянь узагальненоi теорii пластин та двохпараметричноi моделi основи Пастернака провести розробку уточненоi математичноi моделi та методу розрахунку шаруватоi конструкцii, що лежить на пружнш основг,
- для ощнки працездатностi та ефективност за-пропонованого методу провести порiвняння отрима-них результатiв з кнуючими розв'язками;
- дослiдити вплив характеристик основи на напру-жено-деформований стан шаруватоi пластини.
4. Моделювання багатошарово! конструкцп на пружнiй основi
4. 1. Математична постановка задачi
Шарувата конструкцiя лежить на пружнiй основi (рис. 1) i складаеться з Iшарiв постiйноi товщини ( Ь! -товщина ¿-го шару). Шари виготовленi iз ортотропних матерiалiв, 6! - кут армування у ¿-му шарi. Припу-скаеться, що армування кожного шару е паралельним координатним осям Ох1,Ох2. Контакт мiж шарами, мiж пластиною та основою виключае '¿хне розшарову-вання i взаемне проковзування. До зовшшньо' поверх-нi першого шару прикладено зовшшне навантаження
q3 = q3(Xl,X2), q1=0,q12=0, (1)
а до зовшшньо' поверхнi 1-го шару - навантаження q3 = q3(Xl,X2), ^ = 0,q2 = 0, (2)
що е реакцiею пружно' основи. Тут qa - проекцiя вектора навантажень на координатну вкь.
працюе
4. 2. Математична модель шарувато! конструкцп
Поведiнка шарувато' пластини описуеться рiвняннями узагальнено' теорii багатошарових пластин [10, 13], що дозволяе вибирати необхщну точ-шсть опису НДС залежно вiд композицп пакета шарiв. У загальному випадку перемщення точки ¿-го шару описуються наступними кшематичними залежностями:
) пружин
Рис. 1. Шарувата пластина на пружнш основi Пастернака
И 4 ка
<(х1- Х2' Х)^ = иа +ЕЁЬНк + Ё(Х3 ^мУЧк- (3) j=1 к=1 к=1
де Ьк = (Ц)к, Si = 81_1 <х3 <8, 1 = Ц; < (а = 1ГЗ) -
j=l
перемiщення точки 1 -го шару у напрямку о« Оха; иа, и^ - коефщенти розвинень перемь щень у степеневi ряди, що е функщями aргументiв х1, х2^; 4 - максимальнi степенi поперечно! ко-ординати для площинних (а = 1-2) i поперечних ( а = 3 ) перемщень точок 1-го шару, як вибираються в залежностi вiд необхвдно! точностi.
З метою спрощення та тдвищення алгоритмiч-ностi задачi ми будемо враховувати однакову юльюсть члешв степеневого ряду у всiх шарах, тобто К| = К, -К2 = К2, КЗ = К3 (1 = 1-1), де К1-К2,К3 - параметри, якi задаються в залежносп вiд необхiдноi точностi розв'я-зання задачi. В цьому випадку гшотези узагальнено! теорп (3) можуть бути спрощеш i записанi в бшьш компактному виглядi
U0(xi' Х2' Х3't) = Ua+E
E h-Uak + (x3-8М)Ч,
j=1
. (4)
При цьому параметри К1 i К2, яю описують юль-кiсть утримуваних члешв степеневого ряду для площинних перемщень, будемо вибирати однаковими та рiвними параметру К . Надалi узагальнена теорiя буде позначатися за юльюстю утримуваних члешв у степеневих рядах (4) для площинних i поперечних перемщень - теорiя {К,К3}.
Прийнят кiнематичнi залежност (4) при К = 1, К3 = 0 е еквiвалентними гшотезам теорii Е. I. Григолюка i П. П. Чулкова [7], при К = 3, К3 = 2 -гшотезам уточнено! теорп високого порядку [14].
Деформацп в кожному шарi пластини припуска-ються малими i описуються лiнiйними ствввдношен-нями
1 = i Ea|J = 2 \Ua,
+ ива), a = 1, 3, в = 1, 3 , i = 1, I.
(5)
Застосування гшотез (4) приводить до неперерв-ного по товщиш пакета поля перемщень i забезпечуе безперервшсть деформацiй е11, е22 та кускову непе-рервнiсть поперечних деформацш по товщинi пакету. Тому в рамках запропоновано! теорп кнуе принципова можливiсть виконати умови контакту мiж шарами iз заданою точшстю [10, 13].
Зв'язок мiж компонентами тензорiв деформацiй i напружень для розглянутого випадку мае вигляд [15]
/ i \
22 \£33/
Í 1 v21 V31 4
E1 E2 E3
V12 1 V32
E1 E2 E3
V1; V2; 1
1 E1 E2 4 J
Р11
р22
Рзз
де Е^,, - модулi Юнга та коефвденти Пуассона для 1-го шару^12^13^23 - модулi зсуву для 1-го шару, р^ -тензор напружень.
У силу симетрп модулi Юнга i коефiцiенти Пуассона пов'язанi стввщношеннями:
Е1 ^21 = Е2^12, Е2^32 = Е3^23, Е3^13 = Е1 ^31.
Зусилля та моменти в 1-му шарi визначаються за формулою
8,
N0^ = №£ = |(х3-81-1 /Ч^, а, Р = 1ТЗ, 1 = 1:1. (7)
81-1
4. 3. Математична модель основи
Для описання пружно! основи використовуеться модель Пастернака [2, 3]
q3 = кХ^^^^Нk2V2u3(Xl-X2-8I-t) , qj = q2 = 0 .(8)
Тут к1 - коефщент жорсткостi на стискання, к2 - коефвдент жорсткостi на зсув основи, V2 - оператор Лапласа.
При к2=0 модель Пастернака ствпадае з моделлю Вiнклера [3, 13].
4. 4. Визначальш рiвняння i метод ¡х розв'язання
Рiвняння i граничнi умови, що описують деформу-вання шаруватих пластин на пружнш основi- отриманi за допомогою варiацiйного принципу, аналогiчно тому, як це було зроблено для iзотропних багатошарових пластин [10, 13]. Рiвняння руху в зусиллях i моментах мають наступний вигляд:
¿Еа + q1a-q|I = 0,
Nik1+Nak22 - k a NT1+hka e j - hka qa=0,
(9)
лр T1 = N10 + N10 T1 = N10 + N10 T1 = N10 + N10
Ц 1,11JT1,12]^i 2 22,2 121' ^3 143,1 232
Таким чином, НДС пластини описуеться (2K + K3)I + 3 диференщальними рiвняннями (9). Рiвняння згину шарувато1 пластини (9) можуть бути записан в пpрpмiщpннях
Ли = Q,
(10)
2G
1 Р12,
2G
2G
1 Р23,
(6)
де U - вектор, компонентами якого е шукан функ-ц11 UT = (ua), a = 1, 3, 1 = 1,I, ka = 1,Ka ; Л - матри-ця жорсткосп, елементи яко1 через ix громiздкiсть в роботi не наводяться; Q - вектор, компоненти якого залежать ввд зовнiшньоi сили, що дiе на перший шар пластини QT = (qü, q2, q3, 0,^,0). Зауважимо, що ко-ефвденти впливу пружноi основи увiйдуть до матриц жорсткостi пластини.
Вид граничних умов на контурi опирання для пря-мокутноi шарнiрно опpртоi пластини наведено нижче: i
при x1 = 0, x1 = A - E N10 = 0, u2 = 0, u3 = 0, 1-1 1=1
N1Í1 + hk1 E N1+10 = 0, U2k 0, u3k3 = 0,
12
13
23
при x2 = 0, x2 = B - u = 0, £ N202 = 0, u3 = 0,
i=1
u;ki = 0, N2k2 + hk2 Xn2210 = 0, j i
uL = 0, k a= i:Ka, i = 1,1.
(11)
Розв'язок задачi (9), (11) здiйснюeться аналопчно методу, викладеному в po6oTi [10, 13]. Перемщення i зовнiшнe навантаження розвиваються в подвiйнi ряди по системi ортогональних функцiй, що задовольняють умовам на контурi опирання. В результат задача зво-диться до розв'язку системи лшшних алгебраТчних рiвнянь.
5. Чисельнi дослщження та обговорення результаив
Для оцiнки працездатностi та ефективноси за-пропонованого методу було розглянуто ряд задач про деформування шаршрно опертих пластин, що лежать на пружнш основi Вiнклера та Пастернака, тд дieю навантаження виду
1 .К x1 . п x2 1 1А
q3 = qc ■ sm_Am~B , q1 = q2=0,
n x,
(12)
де q0 - iнтенсивнiсть зовнiшнього навантаження.
Результати розрахунку за запропонованою теорieю порiвнювалися з вiдомими в лiтературi даними, якi отриманi за шшими теорiями. Результати наводяться у «безрозм1рному» видi [11]:
_i 100h3
-
h3,
к1 =—7 k1, 1 A4 1
к = blk
K2 = A2 k2 ,
^a4
4A B
■ u3(^,^,x3),
. h2 i A B P11 = TTT ■ P11(—
^a2
'2 2
B
-i h i A B i h i „ P22 = !"■ P22 (T)",T)~,X3 ) , P13 = !"■ P13(0, vx3) , q0A 2 2 q0A 2
(13)
де Ь = 51 - загальна товщина пакету.
Розглянуто згин одношаровоТ ортотропноТ пря-мокутноТ пластини (В=2А) з механiчними характеристиками: Е| = 20,83 Па, Е2 = 10,94 Па, Е3 = 10 Па, GJ2 = 6,10 Па, С13 = 3,71 Па, G123 = 6,19 Па, у12 = < = 0,44, у32 = 0,23 [12].
В табл. 1 наведет результати розрахунку прогину пластини посередит зовтштх поверхонь пластини, отриманi на основi запропнованоТ теорп iз рiзною кiлькiстю утримуваних членiв у рядах (4). При цьому розглянуто прогин для трьох пластин рiзно'i товщини, яю лежать на пружнiй осшж Вiнклера ( к1 = 10, к2 = 0 ), на основi Пастернака к1 = 10,к2 = 10 , а також при вщ-сутностi основи ( к1 = 0,к2 = 0 ).
Аналогiчнi данi для напружень наведено у табл. 2, 3.
З табл. 1-3 видно, що при зб^ьшент юлькосп утримуваних члешв у степеневих рядах (4) результати, отримат за запропонованою теорieю, збтються. Краще збiгаються результати для б^ьш тонких пластин, особливо для Тх перемiщень. Тут результати за теорiями{3, 2} {5, 4} i {7, 6} практично ствпадають.
Гiрше збiгаються результати для перемщень та напружень у товстих пластинах, у яких необхвдно брати до уваги поперечш деформацп, що потребуе врахування бiльшоï кшькосп членiв у рядах (4). У цьому випадку помггним стае обтиснення пластини.
Таблиця 1
Прогин пластини
A ь" Те-ор1я Прогин, ^(^23/2,0) / u3(A/2,B2,S1)
без дружно! основи основа Вшклера основа Пастернака
4 {1, 0} 0.44523/0.44523 0.42626/0.42626 0.27935/0.27935
{3, 2} 0.51283/0.49459 0.48957/0.47046 0.31910/0.29370
{5, 4} 0.51316/0.49490 0.48986/0.47075 0.31922/0.29382
{7, 6} 0.51316/0.49490 0.48986/0.47075 0.31922/0.29382
10 {1, 0} 0.33521/0.33521 0.32434/0.32434 0.23165/0.23165
{3, 2} 0.39664/0.39617 0.38154/0.38106 0.25973/0.25910
{5, 4} 0.39665/0.39618 0.38155/0.38106 0.25974/0.25911
{7, 6} 0.39665/0.39618 0.38155/0.38106 0.25974/0.25911
20 {1, 0} 0.31941/0.31941 0.30952/0.30952 0.22399/0.22399
{3, 2} 0.38141/0.38138 0.36740/0.36737 0.25283/0.25280
{5, 4} 0.38141/0.38138 0.36740/0.36737 0.25283/0.25279
{7, 6} 0.38141/0.38138 0.36740/0.36737 0.25283/0.25279
Таблиця 2
Напруження p11 у пластин
A ь" Те-ор1я Напруження ^(^23/2,0) / p^A^B/2,^)
без пружно'1 основи основа Вшклера основа Пастернака
4 {1, 0} -0.45740/0.45740 -0.43791/0.43791 -0.28699/0.28699
{3, 2} -0.48995/0.47811 -0.46746/0.45506 -0.30267/0.28619
{5, 4} -0.47962/0.46906 -0.45754/0.44648 -0.29582/0.28111
{7, 6} -0.47946/0.46896 -0.45739/0.44639 -0.29569/0.28108
10 {1, 0} -0.46529/0.46529 -0.45020/0.45020 -0.32154/0.32154
{3, 2} -0.46051/0.45971 -0.44299/0.44217 -0.30165/0.30058
{5, 4} -0.45884/0.45809 -0.44139/0.44060 -0.30054/0.29953
{7, 6} -0.45884/0.45809 -0.44138/0.44060 -0.30054/0.29952
20 {1, 0} -0.46649/0.46649 -0.45205/0.45205 -0.32713/0.32713
{3, 2} -0.45680/0.45665 -0.44003/0.43987 -0.30285/0.30264
{5, 4} -0.45639/0.45623 -0.43963/0.43947 -0.30257/0.30237
{7, 6} -0.45639/0.45623 -0.43963/0.43947 -0.30257/0.30237
Аналiзуючи данi у табл. 1-3 можна стверджува-ти, що врахування пружноТ основи суттево зменшуе перемiщення та напруження у пластиш. При цьому результати для пластини на пружнш основi за моделлю Пастернака ктотно меншi за аналопчш данi, отриманi за моделлю Вшклера, що говорить про необхiднiсть при розглядi впливу основи враховувати ïï роботу на зсув.
Дослiджено залежшсть центрального прогину прямокутноТ пластини вщ коефiцiента ïï товщини A/h. На рис. 2 наведено результати розрахунку за запропонованим методом при K1=7, K3=6 для прогину u (A/2,B/2,0) (суцiльна лiнiя), якi порiвнюються з даними, наведеними у робой [11], де для описанн ня поведшки пластини використовуеться уточнена двовимiрна теорiя (пунктирна лiнiя). Видно, що результати достатньо добре узгоджуються мiж собою. А наявнi вщмшносп, особливо для товстих пластин, пояснюються бiльш високою точнiстю описання НДС
у запропонованш теорп. Отриманi результати свщчать про те, що врахування зсуву у пружнш основi iстотним чином впливае на величину прогину.
Таблиця 3
Напруження p22 у пластин
A h Те-ор1я Напруження p22(A/2,B/2,0) / ^(A^B^SJ
без пружно! основи основа Вшклера основа Пастернака
4 {1, 0} -0.76882/0.76882 -0.73605/0.73605 -0.48238/0.48238
{3, 2} -0.77102/0.70111 -0.73804/0.66484 -0.49639/0.39909
{5, 4} -0.74397/0.67752 -0.71208/0.64249 -0.47848/0.38598
{7, 6} -0.74356/0.67727 -0.71168/0.64227 -0.47816/0.38590
10 {1, 0} -1.86937/1.86937 -1.80874/1.80874 -1.29183/1.29183
{3, 2} -1.61822/1.59466 -1.55746/1.53299 -1.06716/1.03545
{5, 4} -1.60750/1.58420 -1.54713/1.52294 -1.06004/1.02869
{7, 6} -1.60748/1.58418 -1.54711/1.52293 -1.06003/1.02868
20 {1, 0} -3.72268/3.72268 -3.60746/3.60746 -2.61058/2.61058
{3, 2} -3.15027/3.13883 -3.03496/3.02310 -2.09203/2.07673
{5, 4} -3.14493/3.13352 -3.02981/3.01798 -2.08848/2.07322
{7, 6} -3.14493/3.13352 -3.02981/3.01798 -2.08848/2.07322
Рис. 2. Залежнють прогину пластини вщ коефiцieнту товщини A/h: 1 — пластина без урахування основи;
2 — пластина на основi Вшклера; 3 — пластина на основi Пастернака
Проведено дослщження НДС чотирьохшарово-го композиту [12]. з кутами армування (0/90/90/0) та мехашчними властивостями волокон E1=E3=17,2369.104 МПа, E2=E3=0,6895.104 МПа, МПа, v12=v13=v23=0,25, G12=G13 =0,3447.104 МПа, G23 = 0,1379.104 МПа пiд впливом навантаження (12). Пружна основа мае характеристики k1=0,3 МПа/м, k2=0,3 МН/м.
На рис. 3, а, б представлен результати розрахунюв напружень на основi теорш {1, 0} i {7, 6} для тонко' пластини (A/h=100) на пружнiй основi Пастернака та без урахування впливу основи. На рис. 3, а наведено ха-рактерну змшу напружень p11 по товщиш пластини, а на рис. 3, б - напружень p13. Сущльна лiнiя вiдповiдае даним, отриманим за теорiею {7, 6}, а пунктирна - за теорiею {1, 0}. Видно, що врахування пружноТ основи штотно знижуе рiвень напружень у шарах пластини.
Деяка вщмшшсть результатiв, отриманих за те-орiями {1, 0} i {7, 6}, для напружень p13 обумовлена тим,
що навиь для тонких пластин розпод^ зсувних попе-речних напружень по товщиш мае суттево нелшшний характер, який погано апроксимуеться теорiею {1, 0}. Вiдзначимо, що для розглянутоТ пластини характер розпод^у напружень р11 по товщинi мае кусково лшшний характер, але при збшьшенш товщини пластини або при наявност локалiзованих навантажень, вш також стае суттево нелiнiйним.
-0.4 -0.2 п 0.2 0.4
0.4
0.60.8Г'
а
Рис. 3. Змiна напружень по товщиш шаруватоТ пластини: а — напруження р11; б — напруження р13: 1 — без пружноТ основи, 2 — пружна основа Пастернака
Таким чином, встановлено, що навггь для тонких пластин при необхщност визначення поперечних зсувних напружень необхщно застосовувати теорп висо-кого порядку ({3, 2}, {5, 4}, {7, 6}).
6. Висновки
У робоп сформульовано i розв'язано статичну задачу про визначення НДС шаруватих пластин на пружнш основ! На основi рiвнянь узагальненоТ теорп пластин та двохпараметричноТ моделi пружноТ основи проведено розробку уточненоТ математичноТ моделi шаруватоТ конструкцш, що лежить на пружнiй основь Достовiрнiсть запропонованого методу доведено порiвнянням отриманих результатiв з кнуючими розв'язками.
Встановлено, що наявнiсть пружноТ основи ктотно змiнюе характер НДС, суттево зменшуючи перемщен-ня та напруження у пластиш. При цьому результати
для пластини на пружнш основi за моделлю Пастернака значно меншi за аналопчш данi- отриманi за моделлю Вшклера, що говорить про необхщшсть при розглядi впливу основи враховувати И роботу на зсув.
Показано, що запропонована теорiя може бути ви-користана для визначення усiх компоненпв перемь
щень та напружень, як для тонких, так i для товстих пластин, яю лежать на пружнш основь
Показано, що при необхщносп дослiдження по-перечних зсувних напружень даже для тонких пластин необхвдно застосовувати теорп високого порядку. Метод може бути устшно узагальнений на випадок нестащонарного навантаження.
Лiтература
1. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании [Текст] / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. - 490 с.
2. Пастернак, П. Л. Основы метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели [Текст] / П. Л. Пастернак. - М.: Госстройиздат, 1954. - 56 с.
3. Kerr, A. D. Elastic and viscoelastic foundation models [Text] / A. D. Kerr // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1964. - Vol. 31, № 3. - P. 491-498. doi: 10.1115/1.3629667
4. Григолюк, Э. И. Статика упругих слоистых оболочек [Текст] / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. - М.: НИИ Механики МГУ, 1999. - 215 с.
5. Chen, W. A selective review on recent development of displacement-based laminated plate theories [Text] / W. Chen, Z. Wu // Recent patents on mechanical engineering. - 2008. - Vol. 1, Issue 1. - P. 29-44. doi:10.2174/2212797610801010029
6. Matsunaga, H. Assessment of a global higher-order deformation theory for laminated composite and sandwich plates [Text] / H. Matsunaga // Journal of composite materials. - 2002. - Vol. 56, Issue 3. - P. 279-291. doi: 10.1016/S0263-8223(02)00013-2
7. Григолюк, Э. И. Теория вязкоупругих многослойных оболочек с жестким заполнителем при конечных прогибах [Текст] / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков // Журн. прикл. механики и технической физики. - 1964. - № 5. - С. 109-117.
8. Reddy, J. N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis [Text] / J. N. Reddy. - New York: CRC Press, 2004. - 832 p.
9. Pagano, N. J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates [Text] / N. J. Pagano // Journal of composite materials. - 1970. - Vol. 4. - P. 20-34. doi: 10.1177/002199837000400102
10. Ugrimov, S. V. Generalized theory of multilayer plates [Text] / S. V. Ugrimov // International Journal of Solids and Structures. -2002. - Vol. 39, Issue 4. - P. 819-839. doi: 10.1016/S0020-7683(01)00253-0.
11. Zenkour, A. M. Bending of orthotropic plates resting on Pasternak's foundations using mixed shear deformation theory [Text] / A. M. Zenkour // Acta Mechanica Sinica. - 2011. - Vol. 27, Issue 6. - P. 956-962. doi: 10.1007/s10409-011-0515-z
12. Akavci, S. S. The first order shear deformation theory for symmetrically laminated composite plates on elastic foundation [Text] / S. S. Akavci, H. R. Yerli, A. Dogan // The Arabian Journal for Science and Engineering. - 2007. -Vol. 32, Issue 2B. - P. 341-348.
13. Шупиков, А. Н. Нестационарные колебания многослойных пластин и оболочек и их оптимизация [Текст] / А. Н. Шупиков, Я. П. Бузько, Н. В. Сметанкина, С. В. Угримов. - Харьков: ИД «ИНЖЭК», 2004. - 252 с.
14. Shupikov, A. N. High-order theory of multilayer plates. The impact problem [Text] / A. N. Shupikov, S. V. Ugrimov, A. V. Kolodiazhny, V. G. Yareschenko // Int. J. Solids and Structures. - 1998.- Vol. 35, Issue 25.- P. 3391-3403. doi:10.1016/s0020-7683(98)00020-1
15. Рассказов, А. О. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек [Текст] / А. О. Рассказов, И. И. Соколовская, Н. А. Шульга. - К.: Вища школа, 1986. - 191 с.
