CC BY
11
УДК 044.421: 624.073.8
АЛГОРИТМ ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ КРУГЛО1 ГНУЧКО1 ПЛАСТИНИ ПРИ ОДНОБ1ЧН1Й ТА ДВОБ1ЧН1Й В'ЯЗ1 М1Ж НЕЮ ТА ПРУЖНОЮ ОСНОВОЮ
Аналiз проблеми та цiль дослiдження. Поведшка тонких гнучких пластин, розташованих на пружнш основ^ описуеться нелiнiйними piBHHHHHM^ тому аналiтичних розв'язань таких задач поки-що не iснуе. Точнi або наближеш аналiтичнi розв'язання iснують тшьки для деяких видiв жорстких пластин, розташованих на пружних основах [1 - 3 та ш.]. Поведiнка жорстких пластин описуеться лiнiйними рiвняннями, в яких не враховуються поздовжш сили та вважаеться, що прогини не перевищують 0,2 товщини пластини, тому результати розрахунюв, отриманi за цими розв'язаннями, крiм того, що не дозволяють визначити поздовжнi сили, ще й не завжди з достатньою точнiстю дозволяють визначити величини згинаючих моментiв i прогинiв. ^iM того, вони не дозволяють розраховувати пластини при однобiчнiй в'язi мiж пластиною та основою.
Для розв'язання задач, коли враховуеться нелiнiйнiсть в рiвняннях, що описують поведiнку пластин, та попередня невизначешсть зони порушення контакту пластини з основою, що являеться додатковою нелшшшстю, з успiхом може використовуватись метод скшченних елементiв (МСЕ).
Ця робота е доповненням до робот [4; 5], в яких наведено тшьки стислий опис скшченних елеменлв, що використовувались, а також розглянуто декшька випадкiв деформування гнучких круглих пластин, розташованих на пружнш основ^ при двобiчнiй та однобiчнiй в'язах мiж пластинами та основою.
В данiй роботi наведено алгоритм визначення напружено-деформованого стану гнучко! пластини на пружнш основ^ який враховуе можливють втрати контакту мiж пластиною та пружно! основою. Для шюстрування ефективностi роботи програми, яка складена за цим алгоритмом, наведено декшька прикладiв, а також за результатами розрахунюв зроблено вiдповiднi висновки.
Постановка та алгоритм розв'язання задачг Розглядаеться осесиметрична деформацiя гнучко! кругло! пластини, яка розташована на пружнiй основа Задача розв'язуеться методом скiнченних елеменпв в перемiщеннях. Поведiнка пластини описуеться теорiею гнучких пластин [7].
Вважаеться, що матерiал елемента мае iзотропнi властивостi, тому вирази для визначення погонних нормальних зусиль (Nr, Ng) та згинаючих моментiв (Mr, Mg), вiдповiдно в радiальному та круговому напрямках, мають вигляд
О. В. Запорожець, к. т. н.
деп, Е - вщповщно коефщент Пуассона та модуль пружносп матерiалу елемента; h - товщина, а D - цилiндрична жорсткiсть елемента
п _ ЕИ
12(1 — у2)
Деформацп та перемiщення зв'язаш мiж собою такими виразами
е _ йи + 1(^ V е _ и _ й2^ _ 1 ^
г йт 2 ^ йт) ' 9 т ' г йт2 9 т йт
В локальнiй системi координат радiальне (и) та поперечне (м>) перемiщення будь-яко! точки серединно! поверхш елемента описуються виразами
и _ (1 — Ь) иг + Ьи}, w _ N1 (Ь) wl + Ыг (Ь) Д + (Ь) + Ы} (Ь) Д}.
Перемiщення уше! системи визначаються скiнченним числом вузлових параметрiв {¿}. В кожному з двох вузлiв скiнченного елемента (1, у) задаються його радiальне (и, и) та поперечне
^Wj) лiнiйнi перемiщення, а також кут повороту (в, в).
Задача визначення напружено-деформованого стану гнучко! пластини без основи е нелшшною (див. вираз (1)), тому для 11 розв'язання використовуеться метод Ньютона. Алгоритм використання метода Ньютона для скшченно-елементно! моделi наведено в роботi [6].
Вважаеться, що пластина знаходиться на пружнш малозв'язнiй основi, поведiнка яко! задовшьно описуеться в рамках моделi Винклера [2]. 1нтенсившсть зовнiшнiх сил р, яю дiють на скiнчений елемент в околi розглядувано! точки, складаеться з iнтенсивностi заданого навантаження q та реактивного тиску основи р*
*
р _ q—р ,
при цьому: р* _ к*w*,
де к* - коефщент постiлi основи; w* - перемiщення поверхнi основи, яке дорiвнюе перемiщенню серединно! поверхнi елемента w в точцi, що розглядаеться, у випадку якщо контакт мiж скiнченним елементом i основою не порушено. В той же час, при однобiчнiй в'язi пiд частиною пластини може бути випадок, коли w^w , тобто вiдбуваеться порушення контакту.
Рис. 1. Алгоритм розв 'язання задачг
Тут розглядасться випадок однобiчноl в'язi мiж пластиною та пружною основою, тому в розв'язаннi задачi використовуеться ще й метод послщовних наближень [8]. Алгоритм, за яким була розроблена програма, та проводились розрахунки, наведено на рисунку 1.
На еташ введення вхщних даних визначаються розмiри пластини, кшьюсть елементiв i !х характеристики, а також характеристики пружно! основи та навантажень, що дiють на пластину. Далi для пластини, яка розташована на пружнiй основi, визначаються загальш матрицi жорсткостi та вектор навантажень при двобiчнiй в'язi. За допомогою метода Ньютона визначаеться вектор перемщень пластини на пружнiй основi з двобiчною в'яззю. Це розв'язання приймаеться в якостi першого наближення. По^м перевiряеться умова переходу до наступного наближення. В якосп тако! умови виступае присутшсть вiд'емних поперечних перемщень. В наступних наближеннях у вузлах, де спостер^аеться розтяг основи, основа повинна виключатися з роботи, при цьому вщбуваеться перетворення вхiдних даних для нового наближення. Пюля обчислення перемiщень для нових вхiдних даних, визначаються положення та розмiри мюць, де вiдбулося порушення контакту мiж пластиною та основою. Процес
повторюсться доти, доки у двох послщовних наближеннях розмiри та положення зон порушення контакту мiж основою та пластиною не будуть рiвними мiж собою. Пiсля остаточного визначення вектора перемщень визначаються зусилля та напруження у пластинi, а також вщбувасться виведення отриманих результатiв. За представленим алгоритмом була розроблена програма, на основi котро! було виконано багато розрахунюв. Деякi з них наведено дал1
Приклади розрахункiв. Виконано розрахунки гнучко! пластини постшно! товщини к=4 мм с ^=1 м, у=0,3 и Е=200 ГПа. Пластина вшьно лежить на однорiднiй основi з постшним коефiцieнтом постiлi к =50 МН/м3. По зовнiшньому контуру пластина навантажена постiйним рiвномiрно розподiленим навантаженням iнтенсивностi q*=1 кН/м (схему навантаження наведено на рис.2). Розглянуто випадок як однобiчноl, так i двобiчноl в'язi мiж основою та пластиною. Результати обчислень наведеш на рисунку 3 - 5 i в таблицях 1 - 3. Довжина кшьцевих скiнченних елементiв дорiвнювала радiусу центрального круглого елементу. Розрахунок виконано при 150 та 300 скшченних елементах, результати обчислень практично ствпали.
Рис. 2. Схема навантаження пластини
а) однобiчна в'язь н, мм
-4
0,25 0,5 0,75
б) двобiчна в'язь
н, мм -0,1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
г, м
0,25 0,5 0,75
г, м
Рис. 3. Перемщення пластини
При однобiчнiй в'язi найбiльшi за абсолютним значениям перемщення виникають усередиш пластини, а при двобiчнiй в'язi - на контура
0
3
2
1
0
1
0
0
а) однобiчна в'язь
б) двобiчна в'язь
М,
Н м/м
-20
-15 -10 -5
0
г —
I
ММ,
Н м /м
-зо -20 -10 0 10
1 г -
0 0,25 0,5 0,75
г, м
0 0,25 0,5 0,75
г, м
Рис. 4. Згинаюч! моменти в пластин!
Незалежно вщ виду в'язi найбiльшi за модулем згинаючi моменти виникають ближче до контуру пластини.
а) однобiчнa в'язь
N кН/м -10
-5
0 5 10
-о-^г
у
Л
(КУОСК*
б) двобiчна в'язь
N0, кН/м -0,4
-0,2
0
0,2
N
г
0 0,25 0,5 0,75
г, 1м
0 0,25 0,5 0,75
г, 1м
Рис. 5. Нормальш зусилля в пластин7
Таблиця 1
Перем1щення, згинаюч1 моменти та нормальм зусилля у центр1 та на контур! пластини
Вид в'язi В центрi пластини На контурi
V, мм Мг=Мв, Н■ м/м Ыг=Ыв , кН/м V, мм Мг , Нм/м Мв , Нм/м N , кН/м
Однобiчна -4,193 -12,34 4,279 0,6584 0 -11,44 -10,43
Двобiчна 0 0,0088 0,0288 0,4197 0 -4,482 -0,515
Таблиця 2
Найбыьшг додатш перемщення (м>, мм), найбгльшг за модулем нормальш зусилля та згинаюч1 моменти (Ы, кН/м 7 М, Н-м/м) - в чисельнику, а також в1дпов1дш гм
координати перер1зу (г, м)
Вид в'язi N N Мг Мв
Однобiчна 0,6584 1,0 4,279 0,0 -10,43 1,0 -20,62 0,94 -17,68 0,94
Двобiчна 0,4197 1,0 0,0289 0,0 -0,515 1,0 -32,84 0,92 -13,19 0,933
Характеристики зон eid 'емних перемщень поверхт пластини
Таблиця 3
Вид в'язi № зони Координати початку та кшця зони (г), м Довжина зони, м Максимальне за модулем значення вщ'емного перемщення
початку кшця w, мм г, м
Однобiчна 1 0,0 0,935 0,935 -4,197 0,0
Двобiчна 1 0,0 0,2267 0,2267 -1,64-10-4 0,12
2 0,545 0,8467 0,3 -0,0333 0,77
Висновки. У розглянутому випадку вид реально! в'язi мiж пластиною та основою необхщно враховувати, тому що вщ нього, як це видно з наведених розрахункових даних, суттево залежать величини ушх складових напружено-деформованого стану пластини, а також характер взаемодп пластини з основою. У випадку двобiчно! в'язi з'являються двi зони, в котрих основа працюе на розтягнення. У випадку однобiчнiй в'язi зона порушення контакту тiльки одна, при цьому бшьша частина пластини не контактуе з основою.
Наведений приклад розрахунку наочно шюструе ефективнють розробленого алгоритму визначення напружено-деформованого стану гнучких круглих пластин, розташованих на малозв'язнш пружнiй основi, як при однобiчнiй, так i при двобiчнiй в'язi мiж пластиною та основою.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА:
1. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин. - К. : Будiвельник, 1970. - 436 с.
2. Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А., Соломин В. И. Расчет конструкций на упругом основании. - М. : Стройиздат, 1984. - 679 с.
3. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - M. : Физматгиз, 1966.- 636c.
4. Запорожец Е. В. Расчет методом конечных элементов симметричного изгиба круглых гибких пластин на упругом основании и без основания // Theoretical Foundations of Civil Engineering (Polish-Ukrainian seminar. Dnepropietrovsk-Warsaw). - 2003. - № 11. -С.107-112.
5. Запорожец Е. В. Деформирование круглой гибкой пластины при односторонней и двусторонней связи между ней и упругим основанием // Теоретичш основи бущвництва. -Дншропетровськ: ПДАБтаА. - 2004. - № 12. - С. 665 - 670.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М. : Мир, 1975. - 544 с.
7. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. - М. : Госстройиздат, 1956. - 419 с.
8. Контактные взаимодействия элементов оболочечных конструкций / Моссаковский В. И., Гудрамович В. С., Макеев Е. М. Отв. ред. Рвачев В. Л.; АН УССР. Институт технической механики. - Киев : Наук. думка, 1988. - 288 с.
УДК 044.421: 624.073.8
Алгоритм визначення напружено-деформованого стану круглоТ гнучкоТ пластини при однобiчнiй та двобiчнiй в'язi мiж нею та пружною основою / О.В. Запорожець // Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури.- Днiпропетровськ: ПДАБА, 2009.- № .6-7 С. 83-88 . рис.5. - табл. 3. - Бiблiогр.:(8 назв.).
Наведено алгоритм визначення напружено-деформованого стану кругло! гнучко! платини, яка розташована на пружнш основа Мiж пластиною та основою може бути як двобiчна, так i однобiчна в'язь. Ця задача розв'язуеться за допомогою метода сюнченних елементiв. У випадку однобiчно! в'язi перемiщення пластини визначаються за допомогою метода послщовних наближень. За представленим алгоритмом була розроблена програма, на основi котро! було виконано багато розрахунюв. Деякi з них наведено у статп.
