Моделирование волн сжатия с большим начальным градиентом в гидродинамике Кортевега-де Фриза Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 42-54.

УДК 517.958

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН СЖАТИЯ С БОЛЬШИМ НАЧАЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ В ГИДРОДИНАМИКЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА

С.В. ЗАХАРОВ, А.Е. ЭЛЬБЕРТ

Аннотация. Рассматривается задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) с малым параметром при старшей производной и большим градиентом начальной функции. Численными и аналитическими методами показано, что полученная с помощью ренормализации формальная асимптотика, соответствующая волнам сжатия, является асимптотическим решением уравнения КдФ. Получены графики асимптотического решения, в том числе в случаях немонотонных начальных данных.

Ключевые слова: Уравнение Кортевега-де Фриза, задача Коши, асимптотика, волна сжатия.

Mathematics Subject Classification: 35Q53

1. Постановка задачи Рассмотрим задачу Коши для уравнения Кортевега-де Фриза:

ди ди д3и . ,

— +М—+е— = 0, 0, е>0, 1

at ох ох6

и(х,0,е,р) = А , igR, р > 0, (2)

с ограниченной начальной функцией Л, которая имеет конечные пределы Л J = lim A(s),

s—>±oo

Aj < Aq , и обладает производной, достаточно быстро стремящейся к нулю на бесконечности. Это классическая модель распространения нелинейных волн в среде с малой дисперсией. Для случая разрывной начальной функции исследование асимптотики было проведено A.B. Гуревичем и Л.П. Питаевским [1]. Асимптотические формулы для эволюции волн сжатия найдены также в работах [2, 3] методом Уизема и в работе [4] методом обратной задачи рассеяния. Для начальных данных типа ступеньки асимптотические формулы получены методом обратной задачи рассеяния [5]-[7]. В случае сглаженной ступеньки асимптотические разложения были построены также методом согласования в работе [8].

Будем считать, что гладкая начальная функция А : М. —М. имеет конечные пределы Aj = lim Л(<т), и справедливы асимптотические разложения

а—>±оо

д±

п=О

S.V. Zakharov, А.Е. Elbert, Modelling compression waves with a large initial gradient in

the korteweg-de vries hydrodynamics.

© Захаров С.В., Эльберт А.Е. 2017.

Работа выполнена при поддержке комплексной программы ФНИ УрО РАН (проект «Разработка новых аналитических, численных и асимптотических методов исследования задач математической физики и приложения к обработке сигналов». Поступила 04 декабря 2015 г.

Существование классического гладкого решения задачи (1)-(2) гарантируется теоремой Каппелера [9], если

О оо

J |А(ж) - Ад 1(1 - х3)с1х < оо, J\А(х) - + x3)dx < оо.

-оо О

Однако в данной работе можно и не предполагать выполнение этих ограничений, а рассматривать только формальное асимптотическое решение; тем более, что в специальном классе функции существование решения доказано и для неограниченных начальных данных [10].

В настоящей статье показано, что приближение, построенное в работе [11], является асимптотическим решением задачи (1)-(2) при е —> 0, р —> 0 и соотношении параметров р2/е —> 0, а также проводится численный анализ этого решения. Представленная статья как раз и ставит цель понять и определить точный математический смысл формальных "решений" уравнения КдФ, в частности, в процессе исследования возник вопрос, в каком именно смысле следует понимать решение Гуревича-Питаевского [1], поскольку метема-тически точной формулировки авторам не удалось найти ни в их оригинальной работе, ни у специалистов. Ниже в Теореме 1 из п. 3 дается строгое определение асимптотического решения внутри зоны осцилляций. Поскольку в аналогичной задаче для параболического уравнения удалось доказать близость асимптотики, полученной методом ренормализации, к точному решению [15], есть некоторые основания предполагать, что и для уравнения КдФ формальное асимптотическое решение, найденное тем же методом, будет также приближать точное решение.

Ясно, что структура асимптотики должна существенно зависеть от соотношения параметров е и р. Здесь предполагается выполнение следующего условия:

¡1 = -4= ->• о.

2. Асимптотическое решение

Известно, что в ряде случаев поведение решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной становится в некотором смысле самоподобным. Тогда оказывается эффективным анализ решения с помощью метода ренорм-группы [12]. Этот подход имеет то преимущество, что сразу же получается равномерное приближение задачи, избавляющее от необходимости строить асимптотические анзацы в отдельных областях. Например, составная асимптотика решения задачи Коши с условием (2) была получена методом согласования [13] для квазилинейного параболического уравнения [14], а в работе [15] показано, что ренормализационное приближение решения асимптотически близко к составному асимптотическому решению.

Построим асимптотическое решение задачи (1)—(2), используя технику, сходную с методом ренормгруппы, в наиболее простом ее варианте. Перейдем к внутренним переменным

х=у/ег], 1 = у/ев, (4)

поскольку это позволит учесть все члены уравнения (1). В качестве "затравочной" функции возьмем решение уравнения

дг 2дг д3г _

дв дг] дг]3

с начальным условием

Ао > V > 0.

Будем искать разложение решения в следующем виде

и(х, г, е, р) = г(г], в) + р\¥{г], в,р) + ..., (7)

где добавка р\¥(г],в,р) должна устранить особенность затравочной функции в начальный момент времени. Из уравнений (1) и (5) вытекает, что функция ]¥ удовлетворяет линейному уравнению

т^ + д(ш) + ^ = 0_ (8)

дв дг] дг]3 Дифференцируя уравнение (5) по переменной г/, убеждаемся, что выражение

Г(„ в) - 1 эг<"-9>

удовлетворяет уравнению (8). Более того, С представляет собой функцию Грина, поскольку

оо оо

Ит [ СМ)/(ц)Фу=-А + 1 Л_ [ г(г], 0)/'(г/) с1г] = /(0)

б^+о J " л+ - л0

—оо

для любой финитной функции /.

Подберем решение \¥ в виде свертки с функцией Грина С таким образом, чтобы асимптотическое приближение удовлетворяло начальному условию (2). Тогда

оо — оо

После интегрирования по частям и подстановки в разложение (7) получаем искомое выражение

оо

и(х,г,е,р) ъ Л+* Л- I ^

— оо

которое проясняет структуру асимптотического решения по параметрам е и р в главном приближении. Несмотря на то, что функции г и ]¥ не зависят явно от у/е, результат зависит от р и у/е в силу замены (4), поскольку асимптотическое решение (9) рассматривается и при конечных значениях времени ¿.

В качестве примера положим Л^ = 0 и Лд = а > 0. А в правую часть (9) подставим вместо г(г],в) асимптотическое решение Гуревича-Питаевского: гс,р(г],в) = а при г/ < —ав, в) = 0 при г] > 2ав/3,

Zgp(v,8) = а

Т]

при — ав ^ г] ^ 2ав/3, где ( = —, сЬт^а) — эллиптическая функция Якоби, а функция

ав

а(() определяется из соотношения

1 + а (10)

К (а) и Е(а) — полные эллиптические интегралы (первого и второго рода). В результате получаем

. . , I А Т UM

u(x, t, е, р) « 2Л - - Л

(х + at\ . íx — 2at/3\

{—) ~ л ("Н

{х-\-а£)/р

А'(з)

(х-ш/г)/р

2с1п2 ( д(х, ¿, в, р),а

х — рв аЬ

а

2 ( р 8 аЬ

где

д{х,г,з,р) = х- рз - —

1 + <т'

2 / X р 5

аЬ

После замены х — рз = приходим к следующей формуле:

. /ж + аА [х — 2аЬ/?>\ щх, ¿, е, р) « ¿, е, р) = 2Л (-) — Л ( - )

Р

Р

р -1 V р

:п)

ду,

где

ш{у) = ^\у-\[1 + а2{у)]

Таким образом, главное асимптотическое приближение в данном случае представляет собой функцию трех внутренних переменных, хр~1, ¿р-1 и ¿е-1/2, которая при £ = 0 совпадает с начальной функцией К{хр~1).

3. Аналитическая оценка значения оператора КдФ

внутри области осцилляций

Лемма 1. Пусть

А(» = а + О (|з|-1) , в ->• -оо, А(» = О (е-1) , в ->• +оо,

и эти соотношения можно дифференцировать нужное число раз. Тогда для ограниченной функции (р(г) Е С°° справедливо

оо

J А' ^ ) = -а<р(0) + О

—оо

р ->• 0.

Доказательство. Воспользуемся тем, что = </?(0) + О

~\[Р ^ ^ ^ \[Р- Имеем:

оо

~р / д/ (р) ^^ + =

—оо

при

1 Р

у/р оо —^

; / л' 0 ^+ар(0) + \ /л' (й + ^ / л' (й

л/Р

у(0)

у/Р

уГр

- / Л' ( - ) <1г + а Р ) \Р

-уГр

О

О

где были использованы асимптотики Л и Л' при в —> ±оо. Лемма доказана.

Следствие 1. Справедливы следующие соотношения:

2/3

Р ->• 0,

2 2/3 -1

Теорема 1. Для любой функции А, удовлетворяющей условиям в Лемме 1, в облает,и

2 аЬ

Бо = |(х, ¿) | — аЬ + ^ ж ^ —--V

функция щ, заданная формулой (11), являет,ся асимптотическим решением уравнения (1) в следующем смысле:

т(х, ¿, е)

, ™ , м ( Р

л/е V л/е

дщ дщ д3щ

т + Щ г, дх дх3

М

= р ->• 0, е ->• О,

\/£

Х5/2С2

с1п3(&, <т)сп(Ь, <т)8п(6, и), Ь и, а опре-

дщ дщ д3и0

где = -т— + --Ь е^г-г, гп(х, Ь, е) =-—

от аж ааг 3

деляются формулой (13), функция т(х,1,е) вместе с ££щ может обращаться в нуль в

конечном числе точек (х,£) = (хк(е), tk(£)), к = 1..К, К € N.

Таким образом, из оценок (12) вытекает, что соотношение и суммы модулей про-зводных имеют порядок р/^/е + у/р£, поскольку важно именно это соотношение, а не величина сама по себе, которая, вообще говоря, может быть и большой. Это в точности соответствует соотношению параметров р,е, которое предполагалось в п. 1. Заметим, что используемое нами понятие асимптотического решения отличается от стандартного определения формального асимптотического решения в виде бесконечного ряда, дающего сколь угодно малую невязку при подстановке его в уравнение.

В случае когда асимптотическое решение строится в виде функции (а не ряда), даже малость невязки (при подстановке этой функции в уравнение) сама по себе не может служить критерием ее пригодности, поскольку производные могут оказаться того же порядка малости; следовательно, величину невязки необходимо с чем-то сравнивать. Наиболее естественно в качестве сравнения взять абсолютную величину отдельных членов, входящих в уравнение.

Доказательство Теоремы 1. Обозначим через коэффициенты асимптотики функции А £ С°

Л / N Л1 Л2 ^ ( 1

Л 5 = а -\--- Н--тг + О —

5 Кв3

Л 5 = - + -§"

в 8г

01 ?

в —> —со,

в —> +оо.

Пользуясь (11), Леммой 1 и асимптотикой функции А(в), в —±оо, получаем

2А^р А~[р

где

С

щ = +

[2(1п2 (Ь, а) + а2 - 1] ,

х

Ъ

аЬ х — 2а£/3 а3/2 (х г(1 + а2)

а

а

ж \а 3

Дифференцируя (11) по и аналогично применяя Лемму 1, получаем:

:1з)

дщ

о{9-

дщ дх

—

о{9-

í-l о ^ X X X I ^ I

ОХА \£ £

Подставим теперь в G линейное приращение <То + с'(С)(С ~~ Со) вместо <7, где <7о = с (Со);

и продифференцируем по t,x. Имеем при ( = — —> (0 = —- равномерно по всем

at ato

Со, С £ (-1 + 2/3 - р) при р > 0:

2^6 а5/2<7^(1 + a^)dn(bo,a0)cn(bo,ao)sn(bo,ao) {t(( - (0) (jí — -1—--г С/

G _ 2v/6a3/2o-2dn(bo,o-o)cn(bo,o-o)sn(6o,o-o) | ^ f t(( - (о)

_ 4v/6a5/2o-2dn(bo,o-o)cn(bo,o-o)sn(6o,o-o)(o-g + 1 - Зсфп2(Ь0, <т0))

G:c:c:c ~~ Q£3/2 +

a3/2 / ж0 ¿0(1 + / ж0 \ /7 \ íh \ л/7 \

где o0 = —---, сто = <7 — и en (o, <7), sn(o, а), так же, как и dn(o, <7) —

V6e Va 3 / V ato /

стандартные эллиптические функции Якоби. Отсюда вытекает вторая оценка в (12). Функция rri(x, t, е) с некоторым коэффициентом равна функции dn(6, ег)сп(&, <j)sn(6, <7), которая при замороженном <7 осциллирует по х и t, и в некоторых точках обращается в нуль:

4л/ба5/2<72

m(x,t,e) =---dn3(6, <7)cn(6, a)sn(6, <7).

о

Кроме того,

Gf GGX

+ sGxxx = О -

Vе/

х

равномерно по всем (о, С £ (—1 + р, 2/3 — р) при р > 0. Для каждого луча ( = — можно

at

выбрать сколько угодно близкое значение Следовательно,

дщ дщ д3щ ^ ^^ ^ ^ (р ^\

+ щ— + е—т = Gt + GGX + £Gxxx + О ^ + VP , «ж oxá \£ /

<9£ <9ж дх3

получаем первую оценку в (12). Тем самым Теорема 1 доказана.

4. Численные расчеты

В настоящем разделе приводятся графики асимптотических решений рассматриваемой задачи. Для этого использовалась система символьных вычислений Maple. Функция <7 (у) (10) приближалась соответствующими рядами Тейлора в четырех областях. Для построения подынтегральной функции в (11) использовались кубические сплайны с узлами в ее точках экстремума и приблизительно 200 сегментами. Поскольку решение Гуревича-Питаевского имеет особенности производных на фронтах волны, мы не включили в рис. 4, 5 те части графиков, которые содержат эти особенности.

1. Начальная функция Л =--агс1г —.

2 р

иО (1=0.1 ,ерзПоп= 5 0.01 ,гИо=0.01)

4- /

\ 3 /

1-

-0.4 -0.2 0.2 x 0.4

Рис. 1. г = = 0.1

иО (1=1 ,ерзПоп=0.01 ,гИо=0.01)

Рис. 2. г = 1

1=5

Рис. з. г = 5

2. Численная оценка значения оператора КдФ. Для приближённого решения щ обозначим

т\{х)

дщ

т

щ-

дщ дх

+ £■

д3щ

дх3

т2(х)

дщ дщ д3щ

т + Щ г, дх + £ дх3

Как видно по рис. 4, 5, величина гпх оказывается значительно меньше величины т2. Ещё раз подчеркнём, что важна малость именно соотношения гпх и т2, а сама величина гпх вовсе не обязана быть малой.

т1

Рис. 4. г = 1

Рис. 5. г = 5

3. Начальная функция Л1 = — агс^— ^ — Зе

иО (1=0.1 ,ерзПоп=0.01 ,гИо=0.01)

РИС. 6. Л1 : г = 0.1

1= л А \ 41 -4 -3 -2 -1 1 13 4

-2-4-6-

Рис. 7. Лх : г = 1

РИС. 8. Лх : г = 2

4. Начальная функция = — агс^— ^ + Зе

иО (1=0.1 ,ерзПоп=0.01 ,гИо=0.01)

РИС. 9. Л2 : г = 0.1

иО (1=1 ,ерзПоп=0.01 ,гИо=0.01

Рис. 10. Л2: г = 1

иО (1=2,ерзПоп=0.01 ,гИо=0.01)

Рис. 11. Л2: г = 2

Авторы признательны Б.И. Сулейманову за обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Нестационарная структура бесстолкновителъной ударной волны // ЖЭТФ. 1973. Т. 65, Вып. 2. С. 590-604.

2. Гуревич A.B., Крылов А.Л., Эль Г.А. Опрокидывание волны Римана в дисперсионной гидродинамике // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 54, Вып. 2. С. 104-109.

3. Крылов А.Л., Ходоровский В.В., Эль Г.А. Эволюция немонотонного возмущения в гидродинамике Кортевега-де Фриза // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 56, Вып. 6. С. 325-329.

4. Мазур Н.Г. Квазиклассическая асимптотика в методе обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ и решение модуляционных уравнений Уизема // Теор. и матем. физ. 106:1 (1996). С. 44-61.

5. Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с начальными данными типа ступеньки // Матем. сб. 1976. Т. 99. № 2. С. 261-281.

6. А. Cohen Solutions of the Korteweg-de Vries equation with steplike initial profile // Comm. Partial Diff. Eq., 9:8. 1984. P. 751-806.

7. S. Venakides, Long time asymptotics of the Korteweg-de Vries equation // Transactions of AMS, 293:1. 1986. P. 411-419.

8. Сулейманов Б.И. it О решении уравнения Кортевега-де Вриза, возникающего вблизи точки опрокидывания в задачах с малой дисперсией // Письма в ЖЭТФ. 58:11. 1993. Р. 906-910.

9. Т. Kappeler Solutions of the Korteweg-de Vries equation with steplike initial data //J. Diff. Eq. 63:3. 1986. P. 306-331.

10. Бондарева И.H. Уравнение Кортевега-де Фриза в классах растущих функций с заданной асимптотикой при \х\ —> оо // Матем. сб.. 122(164):2(10). 1983. С. 131-141.

11. Захаров C.B. Ренормализация в задаче Коши для уравнения Кортевега-де Фриза // Теор. и матем. физ. 175:2. 2013. Р. 173-177.

12. Теодорович Э.В. Метод ренормализационной группы в задачах механики // Прикл. Матем. Мех. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 335-367.

13. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

14. Захаров C.B. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с двумя малыми параметрами // Докл. Акад. Наук. 2008. Т. 422. № 6. С. 733-734.

15. Захаров C.B. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с большим начальным градиентом и малой вязкостью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2010. Т.50. № 4. С. 699-706.

Захаров Сергей Викторович

Институт математики и механики УрО РАН,

ул. Софьи Ковалевской, д. 16

620990, г. Екатеринбург, Россия

E-mail: [email protected]

Эльберт Александр Евгеньевич

Институт математики и механики УрО РАН,

ул. Софьи Ковалевской, д. 16

620990, г. Екатеринбург, Россия

E-mail: [email protected]