Сдвиг фазы для совместного решения уравнения КдВ и дифференциального уравнения пятого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 2 (2012). С. 80-86.

УДК 517.928

СДВИГ ФАЗЫ ДЛЯ СОВМЕСТНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА

Р.Н. ГАРИФУЛЛИН

Аннотация. Исследуется специальное решение уравнения Кортевега де Вриза, которое описывает влияние малой дисперсии на процессы трансформации слабых разрывов уравнений идеальной гидродинамики в сильные. Это решение также удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка. Для него в зоне Уи-земовских колебаний построено асимптотическое решение с точностью до сдвига фазы. На сдвиг фазы получено уравнение, и с помощью численных экспериментов выбрано конкретное решение полученного уравнения, которое оказывается постоянным.

Ключевые слова: сдвиг фазы, уравнение Кортевега-де Вриза, недиссипативные ударные волны.

1. Введение

В работах А.М.Ильина и С.В. Захарова [1-3] начато исследование вопроса о влиянии малой диссипации на процессы трансформации слабых разрывов в сильные. В этих работах показано, что этот процесс в главном описывается специальным решением уравнения Бургерса. В работе [4] показано, что в задачах с малой дисперсией аналогичную роль играют два специальных решения уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ)

Щ иих иххх 0. (1.1)

В этой работе будет исследоваться одно из них с заданными асимптотиками:

и\ =0, и\ = (—£ — лЛ2 + 4ж)/2. (1.2)

1ж—)• —оо ' 1ж—)-оо 4 п v 1

Решение и{х^) играет универсальную роль [4] в задачах о возникновении бездиссипа-тивных ударных волн [4-6]. В работе [4] для решения задачи (1.1,1.2) построено асимптотическое решение при х2 + £2 —> оо, которое в области незатухающих осцилляций задается квазипростыми решениями уравнений Уизема. Однако, в этом решении оставался неопределенным сдвиг фазы. В данной работе определяется этот сдвиг фазы методом, предложенным в [8].

В [4] показано, что решение и(х,1) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка по переменной х :

Ъиххи 5и3\' 2и + хих — ?Л(иххх + иих)

ихххх + ^^ + — +----------------------------------------^ = 0. 1.3

3 6 18 ) 6 ^ ’

R.N. Garifullin, Phase shift for the common solution of the KdV and the fifth order

DIFFERENTIAL EQUATION.

© Гарифуллин P.H. 2012.

Поступила 19 мая 2012 г.

Уравнение (1.3) представляет собой комбинацию стационарных частей симметрий уравнений КдВ. Одна из них — высшая (обобщенная) симметрия пятого порядка:

Ьиххи Ъи2 5и3\'

ихххх + —^ , (1.4)

вторая - классическая симметрия растяжения:

иТг = 2и + хих — 31{иххх + иих). (1-5)

Уравнения (1.3) можно назвать первым высшим аналогом уравнения Пенлеве I, см.6.2 [4].

Статья состоит из двух частей. В первой части показывается как задача (1.1,1.2) возникает при описании бездиссипативных ударных волн. Для этого рассматривается задача Коши для возмущенного обобщенного уравнения Хопфа с начальными данными, терпящими слабый разрыв. Показывается, что в окрестности точки градиентной катастрофы для главного члена асимптотики возникает исследуемая задача. Во второй части строится асимптотическое решение задачи (1.1,1.2) методом, который использует наличие двух

уравнений, которым удовлетворяет решение и(х,1). Для неизвестного сдвига фаз полученное обыкновенное линейное уравнение третьего порядка. Конкретное решение этого уравнения выбрано с помощью численных экспериментов: моделирования решения и(х,1) и построенного асимптотического решения.

2. Возникновение задачи (1.1,1.2)

В статье [4] показано возникновение задачи (1.1,1.2) на примере возмущенного обобщенного уравнения Хопфа, уравнений мелкой воды и дисперсионного нелинейного уравнения Шредингера. В данной статье возникновение этой задачи будет показано более подробно. Рассмотрим задачу Коши для функции 17(Х,Т):

17т + д{и)их + £3иХхх = О,

£/(Х0) = Пг) = { , Л(0) = ЗД>). (2Л)

С помощью замены переменных и переобозначения е мы можем добиться:

^_(0) = ^+(0) = 0, 0(0) = О, д\0) = 1. (2.2)

На исходные данные ставятся условия:

д'(и)> О, Р(0) > ^(0), П(0)<0,

Р(Х)!/(Р(Х))<£ Щ(0).0], У.г ф 0, 1 ' ’

которые обеспечивают существования слабого разрыва начальных данных и возникновения градиентной катастрофы (сильного разрыва) на характеристике X = 0 в некоторый момент времени Т* в невозмущенном уравнении (е = 0).

Будем строить асимптотическое решение задачи Коттти (2.1) в виде ряда:

ЩХ,Т) = и0(Х,Т) + е3[/!(Х,Т) + ... (2.4)

Главный член и первая поправка удовлетворяют задачам:

дтио + д(ио)дхио = 0, и0(Х, 0) = ^(Х), (2.5)

дтиг + д(и0)дхи1 + д\ио)дхи0и1 + д3х170 = 0, [Д(Х, 0) = 0. (2.6)

Решение задачи (2.5) выписывается в неявном виде методом характеристик:

и0 = Р(Х-д([10)Т), Х/0. (2.7)

Решение задачи (2.6) также находится методом характеристик и его можно выписать явно в терминах функции 110(Х, Т).

Точка градиентной катастрофы Х*,Т*, II* определяется соотношениями:

т* = ~рГЩ’ и* = °> Х* = 0 (2-8)

Определим поведение решения 17о(Х, Т), [Д(Х, Т) в окрестности прямой X = 0, с учетом ограничений на исходные данные имеем:

К(0) Ш-№(0)о"(0) 9 ,

+ -х +--------------+; к } х2 + о(х3), х>о,

и(ХТ)-! ! + ТП(0) 2(1+ТП(0))3

х+ ^+ТР'_т х +0{х% х<0

+ и+(Т)Х + 0(Х2), Х>0,

1 + №(0) 2(1 +ТР'_ (О))3

иШ)

и1(Х.Т)=\ (1+г^+()0))4

101 ’ +Щ1(Т)Х + 0(Х2), Х<0

(1 +№(0))4

Мы видим, что первая производная не является непрерывной функцией, более того, первая

поправка 11\{Х,Т) терпит разрыв в точке X = 0 при Т > 0. Поэтому в окрестности

линии X = 0 надо строить асимптотику по-другому. В окрестности этой линии необходимо сделать растяжение переменных:

и(Х,Т,е) = еУ(у,Т,е), х = еу. (2.9)

После этого задача (2.1) в новых переменных примет вид:

Ут + УУу + Уууу + (и(еУ)/е - У)Уу = 0,

лг( м / + еР"(0)у2 + ..., у< 0, (2.10)

(у, ) Г^/£ \ ^;(0)у + е^"(0)у2 + ..., у> 0.

Формальная асимптотика функции V может быть построена в виде ряда:

У(у, Т, е) = Уо (у, Т) + еУ1(у, 1) + .... (2.11)

На главный член асимптотики получается задача:

V# + У°Уу° + Уу°уу = о,

У°(у о) - { Р-^у’ у< °> (2'12)

17 р+(0)у, у> 0.

В случае -Р^(О) = 0 существование решения этой задачи на отрезке Т £ (0, Т*) доказано Фаминским [9]. Для решения задачи (2.12) верна асимптотика, следующая из соображений согласования с разложением для функции II(X, Т)

у(у,т) -»• 1 + (о)Ууу +0°’ у(у,т) 0,у ~°°-

Однако, в окрестности точки градиентной катастрофы X*, Т* становится непригодными и разложение для II(X, Т) и разложение для V(у, Т). В окрестности этой точки требуется делать другое растяжение.

Окрестность точки (0, Т*) исследуем с помощью внешнего разложения (2.4). Выпишем, как себя ведет решение 11о(Х,Т) в окрестности точки градиентной катастрофы слева и справа от прямой X = 0:

х - (У'(°) + К( 0)(Т*)2) и2/2 -и(Т -Т*) + ... = 0, X > 0 (2.13)

х- [р^Щ+Т )и + ... = 0, Х<0. (2.14)

Здесь и ниже константа

5 = (д,г(0) + ^"(0)(Т*)2)/2 > 0 (2.15)

считается положительной, в силу условия (2.3) она не отрицательна, а в ситуации общего положения положительна.

Согласно методу согласования асимптотических разложений [7] проведем растяжение переменных в окрестности точки градиентной катастрофы:

и(Х, Т) = аеаи, Т-Т* = ЪеЧ, X = сеЪ. (2.16)

В новых переменных уравнение (2.1) и формулы (2.14) примут вид:

2 3

^ ^а—/3 , ^ ^2а—Л , ^ ^3+ск—37^ . ^ -За—7 // /г\\„ , г\

~е 111Н- £ 11111Н- ^ххх Н- £ 0 (0)гл их Н- * * * О?

о с с6 с

се^х — 5а2е2аи2 — аЬеа+13и1 + ... = 0, ж>1, (2.17)

с£7ж — ( + Т* ] ае"м + ... = 0, ж —1.

Потребовав равенство коэффициентов перед первыми тремя слагаемыми в первых двух уравнениях, получим систему:

а — /3 = 2а — 7 = 3 + а — З7, 7 = 2а = а + /3,

а/6 = а2/с = а/с3, с = 8а2 = аЪ.

Эта система имеет следующее решение:

а = /3 = р, 7=р> а = 8~2^5, Ъ = 63/5, с = 61/5.

5 5

После растяжения (2.16) с указанными параметрами уравнения (2.17) примут вид:

1^1 х ^ххх 0(е3/5) = О,

х — и2 — и£+0(£3/5) = 0, х 1, и + 0(е3/5) = 0, ж <С —1.

Этот вид в главном совпадает с задачей (1.1,1.2).

3. Определение сдвига фазы

Асимптотическое решение задачи (1.1,1.2,1.3) при £ —>• оо состоит из нескольких частей [4]. Особый интерес представляет зона незатухающих колебаний. Сделаем естественную замену переменных

X

и = Ш(£,з), 5 = —.

После нее уравнения (1.1,1.3) примут вид:

£ 5иззз + 0/1 — 2ви3 + и[/3 + и = 0, (3-1)

г10[/^ + \t~\2WsUss + (ЮС/ + 3)иззз) + ^(5[/2 - 8 + Зи)и8 - \и = 0. (3.2)

6 6 3

В уравнении (3.2) все производные по переменной х третьего и более высокого порядка

можно заменить в силу уравнения (3.1):

2Г5(([/, + 9)и88 + 6зи888) - 6ГАи88Ь + (5в + и2 + 8зи)иа - (Ш + 3)Ш* - (5 + Щи = 0.

(3.3)

Асимптотическое решение и этой системы (3.1,3.3) строится в виде ряда по обратным степеням £

II = и,о(<р, в) 1 5^4[/1(</?, в) 1 5^22(9^, з) + ..., £ —У оо. (3-4)

Здесь и0, 11\ и и2 - 2тг периодические функции быстрой переменной (р. Эта переменная имеет вид

p = t5|2f{s) + n{s),

где п(в) — искомый сдвиг фазы.

Для функции II,о получаем следующую нелинейную систему уравнений по быстрой переменной (/?:

(/;)2^^о + (я(з) + и о) д^[10 = 0, .

6а(з)(Г)2д1и0 - 2(Г)2д1и0дЩ + дЩ (з - и2 + 4а{з)и0 + 3а{з)) = 0.

Для функций [/1,^/2 линейные неоднородные системы уравнения. Первое из уравнений на и1 имеет вид:

(/;)2^^1 + (а(5) + и0) + д(р£/о = —З/'п'д^ио

I тт \ д^и^'п! + дзи0 о^({'г&тт\

+ (2в - и0)—---------------3&(/ ^[/0) - —.

Здесь обозначено:

a(s) = ^ - 2s.

Исключив из (3.5) выражение д311о, получим уравнение второго порядка для функции

(Л:

(f)292vUo + -Uq + a(s)U0 + 3a(s)2-------*— — 0. (3.7)

Уравнение (3.7) может быть один раз проинтегрировано:

(f'd^Uo)2 + -Uq + ci(s)Uq + (6a2 — 3a — s)Uq + 6(s) — 0. (3-8)

О

Здесь b(s) - произвольная функция (константа интегрирования).

Далее предлагается не выписывать явно решение Uq, а просто считать, что это некая 2тг периодическая функция, удовлетворяющая уравнению (3.8). В силу этого уравнения мы можем все производные от Uq выписать как рационально-дробные выражения в терминах:

Uo, d^Uo, dsUo, d2U0,

Уравнения на U\ имеют вид :

+ (a(s) + Uq) dtpUi + dvUQUx

'«VfJi + (a(s) + t/„) d,fUl + dvWA = F№,drUM,a,c/,«,.)

6a(s)(ff)2d^,Ui — 2(f')2(d2UidvUo + d^UodpUi) + d^Ui^s — Uq-\- AaUo + 3a) (3-9)

F2(U0, dip Uq , dsU0, a, 6, a', b', n', s) -0,-1- fd^

+2dvUo(2a — Uq)U\ —

Здесь ^1,^2 — полиномиальные функции своих аргументов. Исключая из системы (3.9) последовательно старшие производные [/1 по переменной (/?, придем к соотношению, не содержащему функцию [Д - условию совместности этой системы:

(3(2в + а)(—2в — 24а + 3 + 36 а2)а! + (4в + 2 а)У + бза — 4з — 27а + 108а2 — 66 -108а3) Щ + 3(2в + а)(—72а3 + 54а2 - 9а + 12за + 46 - Зз)а' + 3(4а - 1)(2з + а)6' (3.10)

+45а2 - Збза2 + 216а4 + 156 - 198а3 + 15за - 48а6 = 0.

Поскольку равенство (3.10) должно выполнятся тождественно, то равны 0 коэффициенты при разных степенях [70, следовательно получаем уравнения для а(з),6(з) :

, _ (2а - 1)(—288а3 + 192а2 + 24за - 27а - 4з + 46)

а ~ (2з + а) (-576а3 + 504а2 - 126а + 48за + 86 - 12з + 9) ’ , .

7/ о . —бза + 4з — 108а2 + 27а + 66 + 108а3

6' = 3^ - 54а2 + 36а - 9/2 а' +------------------------------------------.

^ 11 4:8 +2а

Система (3.9) совместна тогда и только тогда, когда а(в) и 6(з) определены из уравнений (3.11). Если это условие выполнено, то все производные по р от 11\ старше второго порядка можно выразить через младшие производные, например:

(//)25^[/1 = — ([/о -\- а)II\ + (п + 55[/о/5¥,[/о)Сг1([/о, а, з)/з + Сг2(£^о> а-, 6, з)///д^ио,

где С1, С?2 — некоторые функции.

Уравнения на [/2 имеют вид :

/

(Г)2Щи2 + (а(з) + [/о) 8^2 + д^ио112 — —

6а(5)(/;)253[/2 — 2(//)2(<92[/2<9¥,[/0 + д^иодр^) + ^[/2(5 — + 4а[/о + За) (3-12)

+2<9¥,[/0(2а — [/0)^2 = ттгуг-

/ 0^<Л)

Здесь ^3,^4 — функции, зависящие от предыдущих поправок.

Исключая последовательно производные функции [/2 из этих уравнений, получим соотношение вида:

<9^0 /^[/о С3(Ц>,а,6) \

^ 1 ад * 1 V (ад)2 +(/ад)2(12а + 2[/0-3)у' * 1

(дросЪИо С4([/0,а,6) \гг , , /Л

- / о тт \2 - тт Ч2ПО = С5(С/0, а, 6, п , п ).

\ (0^110)2 (/^[/0)2(12а + 2[/0 - 3)/

Дифференцируя это уравнение по р, получаем соотношение такого же вида, исключая из этих двух уравнений д1рз11\, получаем:

ад = §7^1 + та"Сб(^А/) + ^7(в,а,6,Я + ^ ^ а> 6) /; 5)_

(3.14)

Подставив это в уравнение (3.13), получим соотношение вида:

(3.15)

д^ио^и111 + А!??,77 + А2П1) + д311о + В\д2иодзио + -£>2<92[/о +

Бз(<т)3 + £4(<ЗД)2 + В5№ + Дз = 0,

где

Л = /, а, 6), В* = В^и0, 5, /, а, 6)

некоторые функции.

Без ограничения общности можно считать функию 17о четной по р. Тогда в (3.15) первая часть нечетна, вторая четна по р. Следовательно, из (3.15) немедленно получаем два, уравнения:

п"' + Ахп" + А^п! = 0. (3.16)

<Э3£^о + В1д211од311о + -£>2<Эз^о + В3(дзи0)3 + В^(д311о)2 + В5д311о + £>6 = 0. (3-17)

Общее решение (3.16) имеет вид:

и(з) = С*1 + (^2^1(3) + С2П2(’$). (3.18)

Здесь '/?-1,7г2 — отличные от константы линейно-независимые решения (3.16). С использованием численных методов мы получаем:

п(з) = 7Г.

Численно показано, что разница между численным и асимтотическим решением убывает как £-5/2 для этого значения /?,(з). На рисунке 1 представлено численное моделирование решения 11(1, л) при £ = 19 и главного член асимптотики 11о(р, в).

Рис. 1. Численное моделирование функции U(t,z) при t = 19 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.М. Il’in, S.V. Zakharov On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities // International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Moscow, 1999). Funct. Differ. Equ. 8 (2001), no. 3-4. P. 257-271.

2. Захаров С.В., Ильин A.M. От слабого разрыва к градиентной катастрофе // Матем. сб., 192:10 (2001). С. 3-18 .

3. Захаров С.В. Зарождение ударной волны в одной задаче Коши для уравнения Бюргерса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 44:3 (2004). С. 536-542.

4. Гарифуллин Р.Н., Сулейманов Б.И. От слабых разрывов к бездиссипативным ударным волнам // ЖЭТФ. 2010. 137, вып. 1. С. 149-164.

5. Камчатнов А.М., Корнеев С.В. Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодно-мерном канале под действием поршня // ЖЭТФ. 2010. 137, вып. 1. С. 191-204.

6. С.A. El, V.V. Khodorovskii, A.M. Leszczyszyn Refraction of dispersive shock waves arXiv:1105.1920vl [nlin.PS]

7. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989. — 336 с.

8. R. Garifullin, В. Suleimanov, N. Tarkhanov Phase Shift in the Whitham Zone for the Gurevich-Pitaevskii Special Solution of the Korteweg-de Vries Equation Ph. Let. A 374 (2010). P. 1420-1424, D01:10.1016/j.physleta.2010.01.057.

9. Фаминский А.В. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в случае негладкой неограниченной начальной функции // Матем. заметки, 83:1 (2008). С. 119-128 .

Рустем Наилевич Гарифуллин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: rustemOmatem. anrb. ru