Моделирование влияния запаздывающего аргумента в нелинейной газореактивной системе стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.36

К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, В.С. Шорин, С.Г. Наумов МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО АРГУМЕНТА В НЕЛИНЕЙНОЙ ГАЗОРЕАКТИВНОЙ СИСТЕМЕ СТАБИЛИЗАЦИИ СПУТНИКА С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМ НА ЕГО КОНЦЕ ТЕЛОМ

Составлена система дифференциальных уравнений движения возмущенного моментом внешних сил спутника с упругим стержнем и твердым телом на конце. На основе точного решения линеаризованных уравнений движения получена передаточная функция системы стабилизации в форме отношения квазимногочленов. В пространстве параметров обратных связей построены области устойчивости с учетом времени запаздывания в газореактивных исполнительных двигателях. Проанализированы переходные функции ошибки стабилизации. Исследовано поведение спутника при потере устойчивости и возникновении предельных циклов.

K.P. Andreichenko, D.K. Andreichenko, V.S. Shorin, S.G. Naumov LAGGING ARGUMENT AFFECT OPERATION MODEL IN THE NONLINEAR GAS JET SYSTEM OF STABILIZATION OF A SATELLITE WITH THE ELASTIC ROD AND A TIMBERED SKEW FIELD ON ITS EXTREMITY

The system of differential equations of motion perturbed by an external couple of a satellite with an elastic rod and a rigid body on the extremity composed.

On the basis of the precise solution of linearized equations of motion the transfer function of a system of stabilization in the form of a fraction is obtained, the numerator and which denominator are quazipolynomials. In the space of parameters of feed-backs stability regions built in view of a delay time in gas jet actuating motors, transition functions of an error of stabilization are analyzed here. The behavior of a satellite is explored at loss of stability and origin of limit cycles.

1. Уравнения движения спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом

Рассмотрим плоское движение [1] абсолютно жесткого спутника с моментом инерции J* и массой m* под действием возмущающего момента L* (рис. 1). В точке O на расстоянии

* г*

a от центра массы C спутника жестко закреплено начало прямолинейного однородного

17

С

упругого стержня длиной 1 с погонной плотностью р , модулем Юнга Е, с коэффициентом Н внутреннего трения по Фойгту и моментом инерции поперечного сечения / . На конце стержня в центре массы О1 жестко закреплено абсо-

1 ~ * т*

лютно жесткое тело 1 с массой шх и моментом инерции / .

Система координат Оу* г * абсолютно жестко связана со

спутником С; а* - угол отклонения спутника от орбитальной системы координат, т.е. ошибка системы стабилизации; I*. = —/*(м>*(^ — т*)) - управляющий момент газоре-

*

активной системы с постоянной времени запаздывания т ,

*

,*ч г» * • * ✓ * ч /-ч* * ^ * ч Г\* С ^ * / ^ \ 19* Ґ-* / * \

где w(t ) = р1а ( ) + в2а ( ) + вз I а (cí)d£, f (w ) - неко-

•< 0

у*(^) торая нелинейная функция своего аргумента; в*, Р2, Р3 -коэффициенты обратных связей; t*- время; у*- ускорение возмущенного движения центра массы С спутника; у*( г*, t*) - прогиб стержня; у*(^) = у*(1*, t*) - прогиб конца стержня; а1* - угол поворота абсолютно жесткого тела 1

**

Рис. 1 на конце стержня относительно системы координат Оу г ;

**

N о и Со - соответственно сила и момент сил реакции стержня в точке О его заделки в спутнике; N1* и I* - соответственно сила и момент сил реакции стержня в точке О1 его заделки в абсолютно жесткое тело 1; точка означает производную по времени.

В невозмущенном состоянии имеем

Vt < 0: а*(0 = а*(0 = у**(0 = у**(0 = у*(0 = у^*) = у*( г*, О = у*( г*, О = 0 .

Уравнения возмущенного движения рассматриваемой дискретно-континуальной системы в безразмерной форме имеют вид

/ са = I — f (w(t — т)) + Со — $N0, w(t) = р^^) + Р2а^) + Р3| а(^^^,

тс&&с = N0, /Да + Оі) = її, т\ус + уі — (1 + а)а] = N1,

у (г, t) + ус — (а + г )а = —(у "(г, t) + Чу""(г, 0), ( / = Э / Эг, г = 0: у(0, t) = у'(0, t) = 0; г = 1: у(1, t) = у1 (t), у'(1, t) = —О1 (t),

I =— у' (0, t) — ту' (0, t), N0 =— у" (0, t) — у(0, t)

I = у"(1, t) + ту' (1, t), N1 = у"(1, t) + ту,/'(1, t)

t < 0: а(t) = а^) = ус (0 = ус (t) = у(г, t) = у(г, 0 = 0.

Здесь безразмерные переменные и параметры

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

1/2

V Е/

t=—,Т=

Т

в2 = ЕЇ' вз =

Е/

у г* 5 1 Н 1а*

у = —, г = —, -<< 1, у = —, а = — 5 11 Т 5

_ 1а*

а, = —-, у, = —, р, = ■

1 5 1 5 1 Е/Т

_ 1Р*

1Тр

Е/

3 7 /** т**

3 , /с =-^ тс = — ■-

т

т = — р1

&у&с =

л4 •• *

р1 у^

13 N * N 0 = ^ 0 Е/ 5

С = 1210 10 Е/ 5,

&

&

&

Ы 13N* £% a* т*

N =--------, L =-----L, a = —, т = —, о - характерный размер поперечного сечения стержня.

1 EJ 0 М EJ 0 l T F F

Линеаризация в окрестности состояния равновесия приводит уравнение (1.1) к виду

(уравнения (1.2)-(1.6) при этом своего вида не изменяют)

Í* t-T

Jcix = L — — т) — ¿2tt(í — т) — Ьз Г tt(^)d^ + L — aN0, b■ =в ■f (0), j = 1,2,3. (1.1.а)

J 0 J J

2. Динамическая модель системы угловой стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце абсолютно жестким телом

Производя прямое интегральное преобразование Лапласа в соотношениях (1.1.а), (1.2)-(1.6), получаем уравнения возмущенного движения спутника с упругим стержнем в изображениях (которые обозначаются тильдой, X - произвольный комплексный параметр)

[JcX3 + (^X2 + b2¡X + Ьз)е tX]oc(X) = X¿(X) + X¿o(X) — aXÑo(X) , (2.1)

mcX2yc (X) = Ñ0(X), J1X2[(x(X) + a 1(X)] = ^(X), m1X2(yc (X) + ü(X) — (1 + a)a(X)) = iV1(X), (2.2)

y" (z, X) — k4 y (z, X) = — k 4[(a + z)a (X) — ^c (X)], k4 = —X2 /(1 + yX), (2.3)

z = 0: y(0,X) = y'(0,X) = 0; z = 1: y(1,X) = y^X), y'(1, X) = —a 1(X), (2.4)

L,(X) = —(1+ YX) y'(0, X), Ñ 0 (X) = —(1 + yX) ym (0, X) 2

—• —• (2.5)

L%1(X) = (1 + yX) y0 (1, X), Ñ 1(X) = (1 + yX) ym (1, X)

Общее решение линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения (2.3) представляется в форме

y(z,X) = C1 (X) S(kz) + C2 (X) T(kz) + C3 (X) U(kz) + C4(X) V(kz) + (a + z)a(X) — yc (X), (2.6)

где S(z) = (ch z + cos z)/2, T( z) = (sh z + sin z)/2, U( z) = (ch z — cos z)/2, V( z) = (sh z — sin z)/2 -функции А.Н.Крылова, а константы интегрирования C1(X), C2(X), C3(X), C4(X) легко находятся подстановкой (2.6) в граничные условия (2.4). Далее, вводя соотношения (2.6) в равенства (2.5), получаем изображения реакций стержня L%0(X), Ñ0(X) и ¿^(X), Ñ%1(X), действующих (рис. 1) соответственно на спутник в точке O и на тело 1 в точке O1

¿o (X) = )X 2а (X) + (1 + У^)[^12 (k )a! (X) + ^3 (k) y (X)] + ц14 (k )Х2 y с (X)

iVo(X) = ^2i(k )Х2a (X) + (i+YXHMk )a i(X)+^23(k) ü(X)]+|i 24 (k )X2 y (X) ¿%l(X) = ^3i(k )X2á (X) + (1 + YX)[^32(k )a i(X) + ^(k) ^(X)] + ^(k )X2 y (X) iVi(X) = Ц 4i (k )X2a (X) + (1 + YX)[^42(k )a i(X) + ^(k) ü(X)] + |i 44(k )X2 y (X)

(2.7)

Здесь k = k(X) = e*/4VX(1 + yX)-1/4 , |iv1(k) = o^Vi(k) + ^V2)(k), v = 1,2,3,4,

^f1)(k) = k_2(ch k - cos k - sh k sin k)/ A(k), ^^(k) = k_3[k(ch k - cos k) - sin k(ch k -1) +

+ sh k(cos k -1)]/ A(k), A(k) = ch k cos k -1, ^12(k) = k(sh k - sin k)/ A(k), ^14(k) = -^f1)(k)

|i13 (k) = k2 (ch k - cos k)/ A(k), (4V (k) = k- [sin k(ch k -1) + sh k(cos k -1)]/ A(k), (2.8)

M-24(k) = -^2i(k), ^(k) = k_2[ch k - cos k - k(sh k + sin k) + sh k sin k]/ A(k), ^22(k) = -^13(k),

19

123(k) = — k3(sh k + sin k)/ A(k), (^(k) = —^i1)(k), (33(k) = k2 sh k sin k / A(k), (34(k) ^^(k),

^32)(k) = k _3[(1 — ch k )sin k + (cos k + k sin k — 1)sh k ]/ A(k), (32(k) = k (ch k sin k —

— sh k cos k) / A(k), (41 = k—2 (cos k — ch k + k ch k sin k + (k cos k — sin k)sh k) / A(k),

l411)(k) = (2i(k), 142(k) =l33(k), 143(k) = k 3(ch k sin k + sh k cos k)/ A(k), (44(k) = —(211)(k). Функции ivj (k), V, j = 1,2,3,4 аналитичны в окрестности точки k = 0 и при конечных Y > 0 не имеют особенностей в правой половине и на мнимой оси комплексной плоскости (X) . Легко проверить, что

lim X—PvjiVj [k(X)] = bV¡ = const, ReX > 0, V, j = 1,2,3,4, (2.9)

X—■«> J J

bu = aY1'2. Pn = 1/2, b,2 = b,3 = 0, P12 =P,3 = 0, Ь„ =—Y_‘/2, P„ = 1/2. bn = (1 + Oaf'/Jl.

P21 =—1/4- b22 = b23 = 0, P22 =p23 = 0, k4 ='j2y~3/A, P24 = 3/4, bu =—¡V2Y3'4, P31 =—3/4,

Ьг1 = —л/2у—1/4, P32 = 1/4, b33 = Ь„ =y_1'2, P33 = P34 = 1/2, b41 = (a + 1)>ЯУ'\ =—1/4,

b42 =Y—12, P42 = 1/2, b43 = b„ = л/2у—3/4, P<3 =0« = 3/4,

а также

Reivj[k(—ira)] = Re 1vj[k(ira)], Im(j[k(—ira)] = — Im(j[k(ira)]. (2.10)

Подставляя выражения (2.7) в уравнения (2.1)-(2.5), сводим задачу к решению неоднородной линейной системы алгебраических уравнений

9n(X)a (X) + 912(X)&1(X) + 913(X) JyjCX) + X >M(X) y c (X) = XL (X) (2 11)

9v1 (X)a (X) + 9v2 (X )(x 1 (X) + 9v3 (X) ^1 (X) + X ^ (X) y c (X) = 0, v = 2,3,4 где 911(X) = (Jc + a(21 — (11)X3 + (b1X2 + b2X + b3)e tX , 914(X) = X(a(24 — (14), 921(X) = —(21X2,

Ф12 (X) = (1 + YX)X(a(22 —I12), 913(X) = (1 + YX)X(a(23 — (13), Ф22 (X) = —(1 + yX)(22 ,

Ф23 (X) = —(1 + yX)(23, Ф24 (X) = mcX2 —124, Фзl(X) = (J1 —131)X2, Ф32 (X) = J1X2 — (1 + yX)(32,

ф33 (X) = —(1 + yX)(33 , ф34 (X) = (34 , ф41 =—[m1(1 + a) + (41]X2 , ^2(X) = —(1 + yX)(42 , (2.12)

Ф43 (X) = mX — (1 + yX)(43, Ф44 = 2 —(44, 1vj =1vj [k (X)], V, j = 1,2,3,4.

Решая систему уравнений (2.11) относительно a(X), получаем изображение ошибки стабилизации

a (X) = 0(X) ¿(X), Ф (X) = Q(X)/ D(X), (2.13)

D(X) = det{фvJ(X)}, V, j = 1,2,3,4 ; Q(X) =Xdet{фvJ(X)}, V, j = 2,3,4, (2.14)

где квазирациональная дробь Ф (X) является передаточной функцией системы стабилизации, D(X) - характеристический квазимногочлен, Q(X) - возмущающий квазимногочлен.

3. Метод D-разбиений применительно к дискретно-континуальным системам Определение 1. Квазирациональная дробь Ф^) = Q(X)/D(X) называется физически возможной, если найдутся такие действительные числа na и пь , что существуют пределы

lim X—naD(X) = ca = const, lim X—nbQ(X) = cb = const, ReX > 0

X—X—

и выполняются условия

па > пь +1, I сь к~, са ф О Яе О(-гю) = Яе О(гю), 1т О(-гю) = - 1тО(гю), ЯеQ(-iю) = ЯеQ(iю), 1тQ(-iю) = - 1тQ(iю).

В силу свойств (2.9) и (2.10) функций =цу)[к(Я)], V, ] = 1,2,3,4 передаточная функция Ф(Я) согласно соотношениям (2.13), (2.14) является физически возможной квази-рациональной дробью, причем па = 7 .

Определение 2. Квазимногочлен О(Я) называется устойчивым, если все его нули ^, V = 1,2,... расположены на комплексной плоскости (Я) слева от мнимой оси, т.е. ЯеЯV к 0, V = 1,2,3,...

В работах [2, 3] сформулированы и доказаны утверждения.

Теорема 1. Пусть квазимногочлен О (Я) аналитичен на мнимой оси и в правой половине комплексной плоскости (Я) и пусть существует такое действительное число па, что

Пт Я-ПаО(Я) = са Ф 0, ЯеЯ> 0,

Я——гс

а также

Уюе (-гс,гс): О(гю) = и(ю) + гу(ю) Ф 0, и(-ю) = и(ю), у(-ю) = -у(ю).

Тогда, если при монотонном возрастании ю от 0 до гс вектор О(гю) повернется на комплексной плоскости (и, ¡у) от положительной действительной полуоси и в положительном направлении на угол па п /2, то квазимногочлен О(Я) является устойчивым.

Теорема 2. Физически возможная квазирациональная дробь Ф(Я) = ^(Я)/О(Я) является асимптотически устойчивой, если квазимногочлен О(Я) устойчивый, а квазимногочлен Q(Я) аналитичен на мнимой оси и в правой половине комплексной плоскости (Я).

Теорема 3. Если в квазирациональной дроби Ф(Я) = Q(Я)/О(Я) квазимногочлен О(Я) имеет в правой половине комплексной плоскости (Я) хотя бы один корень, не совпадающий с корнями квазимногочлена Q(Я), то квазирациональная дробь Ф(Я) неустойчива.

Так как передаточная функция Ф(Я) динамической модели (2.13) рассматриваемой системы стабилизации является физически возможной квазирациональной дробью, то система стабилизации асимптотически устойчива, если Ф(Я) удовлетворяет теореме 2, т.е. если при изменении ю от 0 до гс приращение аргумента функции О(гю) удовлетворяет условию

А а^О(гю) = 7п/2. (3.1)

0<ю<гс

Из приведенных в работах [2, 3] доказательств теоремы 1 следует, что Р нулей квазимногочлена О(Я) переходят в правую половину комплексной плоскости (Я), если

А а^О(гю) = 7п/2 -пР. (3.2)

0<ю<гс

Следовательно, согласно теореме 3 в этом случае система стабилизации неустойчива.

Таким образом, система стабилизации находится на границе устойчивости, если частотный годограф О(гю) характеристического квазимногочлена проходит на комплексной плоскости (и, ¡у) через начало координат 0. В силу этого представляется возможным развить метод О -разбиений при построении границ областей устойчивости бесконечномерных динамических моделей систем стабилизации спутников с упругими стержнями в пространстве

21

коэффициентов обратных связей. Заменяем в определителе О(Х) переменную X на гю, разлагаем полученный определитель В(гю) по элементам первой строки и приравниваем нулю. Разрешая последнее равенство относительно фп и принимая во внимание, что согласно (2.12) фп = -гю3(Jc + а\121 -Цп) + (Ь3 -Ь1ю2 + ¡Ь2ю)е~'ю, после несложных преобразований получаем соотношения

Ь3 + гюЬ2 = ^(ю, Ь1), (3.3)

1 4

го>3( Jc + а^21 -ЦП)^ ф17^1 ]

А11 1=2

+ ^ю2, фу;. = ф (гю), V, 1 = 1,2,3,4,

ф 22 ф 23 ф24 ф 21 ф23 ф24 ф21 ф22 ф24 ф21 ф22 ф23

А = ф32 ф33 3 ф , А12 = - ф31 ф33 3 ф , А13 ф31 ф32 4 3 ф , А14 = - ф31 ф32 3 3 ф

ф 42 3 4 ф 4 4 ф ф 41 3 4 ф 4 4 ф ф41 ф 42 ф44 ф41 ф42 ф43

Из соотношений (3.3) следуют параметрические уравнения границ областей устойчивости динамической модели (2.13) рассматриваемой системы стабилизации спутника на плоскости параметров (Ь3, Ь2)

Ь3 = Яе ^ (ю, Ь1), Ь2 = —1т ^ (ю, Ь1).

ю

(3.4)

Предположим, что на спутник действует возмущающий момент в форме функции Хевисайда Ь(г) = 1(0. Тогда ¿(X) = 1/X, и из (2.13) следует а(Х) =Ф(Х)/X. Переходная функция ошибки стабилизации, соответствующая данному изображению а(£) (X) = Ф(Х)/ X, может быть найдена при помощи алгоритма численного обращения

интегрального преобразования Лапласа [4].

Рассмотрим далее динамическую модель (2.13), (2.14) системы стабилизации спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце абсолютно жестким телом с параметрами Jc=0,07442, тс=34,75, тх=3, Jl=0,007, а=0,05, 7=0,01. На рис. 2, а для случая Ьг=0,7 слева изображены ограниченные убывающие при увеличении т области устойчивости, а справа показаны переходные функции для соответствующих точек из данных областей соответственно при т=0,001, 0,005, 0,01. Заметим, что при т=0 область устойчивости распространяется вдоль координаты Ь2 неограниченно, а снизу остается ограниченной подобно тому, как показано на рис. 2 при т=0,001.

Увеличение массы т1 и момента инерции J1 закрепленного на конце стержня абсолютно жесткого тела существенно изменяет области устойчивости. На рис. 2, б для случая Ь1=5, т1=тс=34,75 и J1=Jc=0,07442 слева показаны затемнением убывающие с ростом времени запаздывания т области устойчивости соответственно при т=0,001, 0,01, 0,02, а справа изображены соответствующие переходные функции для выбранных в областях устойчивости точек. При т=0,001 верхняя граница области устойчивости поднялась до уровня порядка Ь2=5200, а при т=0,02 область устойчивости разделилась на две части с верхней границей порядка Ь2=90. При т=0,1 область устойчивости отсутствовала всюду на плоскости параметров (Ь3,Ь2).

4. Исследование предельных циклов

В случае, если параметры обратной связи не принадлежат области устойчивости, развитие малых возмущений может привести к автоколебаниям и возникновениям предельных циклов. При нахождении приближенных 2п / ю-периодических решений уравнений (1.1)-

(1.6) полагаем

22

е

“(') “ 2 +а„е--)■ V,(')* 2!:,(У{:'е'"“ + У-У“) ■ = «, • У-“ = Vі,а■

) * 2,:,(а,‘’е“ +а-‘г)е-""' )■ у,(г) * 2 У‘‘'е“ + у"’«-"”) ■ а-, = «"’■ У-“ = У

У( г,') * 2 !:,(У“ (¿У‘" + У-“ (гК............ )■ У- “ (г) = У, (г)

н'(') = Р1(х (') + в2а(') + в3 [ а(' )4' =

(4.1)

и>,

+2

“=1

в2 + іп”в1 + | а«“” +1 в2 - гпюР1 - -

іп”) V

а) б)

Рис. 2

Выражения (4.1) позволяют удовлетворить уравнениям движения (1.2)-(1.5) (в силу их линейности), при этом уравнения относительно а|11), у(пс), , уп (г) аналогичны (2.2)-(2.5)

при X = X п = шю и приводят к следующему результату

(4.2)

К +Фу2(Х„ К' +Фу3(Х„ ) Уп' + ^4(Хп ) У.') = 0,

Хп = ina, п = ±1, ±2,..., ± Na, V = 2,3,4

Приближенное выполнение уравнения (1.1) приводит к условиям

fo = 0, (4.3)

¥и(Хи )a. +¥12(Х„ К1 +¥13(Х„ ) У? +ХП¥14(Х„ )У.) =~e~%Kfn,

(4.4)

Хп = ina, п = ±1, ±2,..., ± Na

где ¥11(Х) =Х2( Jc + a^21 ¥12 (Х) = (1 + УХ)(а^22 ¥13(Х) = (1 + УХ)(а^23

¥14(Х) = а^24 -Ц14, Vvj =M-vj[k(Х)], V = 1,2, j = 1,2,3,4,

а i* 2п/а _.

fn = — I f [w(t)]e inmdt = fn(a,w0,Rea1,Ima1,Rea2,Ima2,...,ReaN ,ImaN )

2п 0 (4*5)

n = 0, ±1, ±2,..., ± Na

Исключая величины a.1, y.c), y^ из (4.2), (4.4), находим

an =-e-V. . Хп =ina n = ±1, ±2,..., ± N a , (4.6)

D (Хn )

^*(Х):

¥и(Х) ¥12(Х) ¥13(Х) ¥14(Х)

ф21(Х) ф22 (Х) ф23(Х) ф24(Х)

Ф31(Х) Ф32 (Х) Ф33(Х) Ф34 (Х) '

Ф41 (Х) Ф42 (Х) Ф43 (Х) Ф44 (Х)

Воспользовавшись тем, что фаза периодического автоколебательного движения может быть выбрана произвольно, потребуем

Im a1 = 0. (4.7)

Условия (4.2)-(4.7) представляют собой записанную в неявной форме систему нели-

нейных уравнений относительно 2Na+2 действительных величин a, w0, Re a., n=1,...,Na; Im a., n=2,.,Na, которая может быть решена численно.

Далее полагаем

f (w) = th(rw) (4.8)

и, следовательно, в (1.1.а) Ъ- = r$j, j = 1,2,3. В этом случае, в силу нечетности f (w) w0 = 0,

а приближенные выражения (4.1) содержат лишь гармоники с нечетными индексами.

Численное решение систем нелинейных уравнений выполнялось при помощи стандартных функций пакета Optimization Toolbox системы MATLAB. Улучшение сходимости тригонометрических рядов выполнялось согласно [4].

5. Развитие малых возмущений

Если параметры обратной связи не принадлежат области устойчивости линеаризованной системы, то фазовое пространство нелинейной дискретно-континуальной системы может 24

не содержать предельных циклов, либо содержать конечное (или бесконечное) число предельных циклов. Каждый из этих предельных циклов может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым. Устойчивый предельный цикл может характеризоваться некоторым множеством притягивающихся к нему фазовых траекторий. Следовательно, требуется выполнить численное моделирование развития малых возмущений во времени. При дискретизации (1.3) по пространственной переменной z положим

y(z,t) “INTun.«Я.(2z -1). (5.1)

где Tn (x) = cos(n arccos x) - ортогональные полиномы Чебышева 1-го рода, и потребуем

л 1

Г [У(z,t) + y - (a + z)a + y"(z,t) + yT(z,t)]Tn(2z -1) = 0, n = 0,1,...,Nu. (5.2)

* 0

Подстановка (5.1) в (1.1), (1.2), (1.4)-(1.6) приводит к условиям

Jca = L - f (w(t - t)) + Lo — aNo, w(t) = ß1a(t) + ß2a(t) + ß3J a(^)d^, (5.3)

mcyc = No, J1(ä + ä1) = Lp mjy c + y - (1 + a)a] = N„ (5.4)

Nu +4 Nu+4 Nu +4 Nu +4

I y, COT (-1) = o, I un (t )r;(-1) = 0, I un (>)T, (1) = У1, I u, (t )Jn'(1) =-2a,, (5.5)

n=0 n=0 n=0 n=0

L = -42 N=0+4 (u, (t) + К (t ))Гп'С-1), N0 = -8I N=+4 (u, (t) + Yu (t))T"(-1)

(5.6)

L = 4I (t) + yün (О^Ы), N1 = 8I n=0+4(un (t) + yün (t))ТПС-1)

t < 0: a(t) = a(t) = аД0 = ^(0 = yc (t) = yc (t) = yjCf) = y^t) = 0 (

un (t) = u, (t) = 0, n = 0,1,..., Nu

Условия (5.2)-(5.7) представляют собой записанную в неявной форме систему обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и соответствующие

им начальные условия относительно величин a(t), J a(^)d^, a1(t), yc (t), y1(t) un (t),

J 0

n=1,2,...,Nu. После приведения к нормальной форме указанная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась численно при помощи стандартных функций системы MATLAB. Моделирующий начальное возмущение входной сигнал можно задать в виде 8 -образующей функции малой амплитуды, например

L(t):

е . nt rn п

-------sin—, tє [0,t0]

2nt0 t0 , е << 1, t0 << 1.

,0, г £ [0, г0]

Далее везде полагаем, что в выражениях (4.8) г=10.

Исследование процесса развития малых возмущений во времени приводит к результатам, в значительной степени аналогичным [5], где анализировались случаи потери устойчивости спутника с упругим стержнем без груза на конце. В нижней части области неустойчивости, находящейся ниже показанной на рис. 2 затемнением области устойчивости, система может не допускать предельных циклов либо допускать один или несколько предельных циклов. Однако в любом случае соответствующие развитию малых начальных возмущений фазовые траектории уходят в бесконечность, что означает неустойчивость возможных предельных циклов. Данные на рис. 3 соответствуют случаю т=0,01 на рис. 2, а. Предельные циклы при р2=8, в3=30, т.е. Ь2=80, Ь3=300 показаны на рис. 3 сплошной линией, а выходящая из начала координат фазовой плоскости (а, а) фазовая траектория показана пунктиром.

2

4

а

а

0,8

0

-0,8

-1,6

-0,12 -0,06 0

0,06 а

Рис. 3

а

0,25

а

0,3

-0,25

-0,5

-0,01 -0,005 0

-0,3

0,005 а

-0,6

и} *

«•лг Л# :=її : ^¡т

ю=41, 71 ч^!*! *

V

-0,014 -0,007 0 0,007 а

Рис. 4

В верхней части области неустойчивости, находящейся выше показанной на рис. 2 затемнением области устойчивости, развитие малых начальных возмущений может приводить к образованию устойчивых малоамплитудных высокочастотных предельных циклов. Данные на рис. 4 соответствуют случаю т=0,01 на рис. 2, а при в2=50, в3=50, т.е. Ь2=500, Ь3=500. Однако с ростом амплитуды начального возмущения фазовые траектории могут не «наматываться» на предельный цикл, но уходить на фазовой плоскости в бесконечность. В случае, когда в верхней области неустойчивости р3>>р2, т.е. Ь3>> Ь2, предельные циклы становятся неустойчивыми, и качественно поведение системы аналогично случаю, представленному на рис. 3.

При удалении точки, описывающей текущие значения параметров обратной связи, вверх от границы устойчивости, т.е. при возрастании параметра р2 (или Ь2), влияние интегрирующего звена уменьшается. В результате фазовые траектории блуждают в некоторой окрестности малоамплитудных высокочастотных предельных циклов, заполняя некоторую область фазового пространства. Данные на рис. 5 соответствуют рис. 2, б при т=0,02, р2=70, р3=2 (т.е. Ь2=700,

а

0,5

0

-0,5

-1 -0,04

-0,02 0 Рис. 5

ю=22,29

__і________

0,02

а

4

2

0

0

0

Ьз=20). При этом в области, заполняемой фазовыми траекториями, образуются два предельных цикла, причем внутренний цикл отличается меньшей частотой.

Заключение

Известно, что дестабилизация системы управления по низшим формам колебаний может возникать за счет неправильного выбора параметров обратной связи. Как показано в настоящей работе, возможны дестабилизация упругих управляемых конструкций по высшим формам колебаний и возникновение малоамплитудных высокочастотных (периодических либо апериодических) автоколебаний, вызванных наличием запаздывающих звеньев. В связи с этим далее представляет интерес применение моделей упругих элементов конструкций, более точно описывающих их поведение в высокочастотной области (например, с использованием моделей тонкостенных конструкций типа Тимошенко), а также уточнение математических моделей запаздывающих звеньев в системе управления. Указанные уточнения могут существенно повлиять на характер расположения и протяженность областей устойчивости в пространстве параметров обратной связи, а также на характеристики автоколебательных режимов в системе управления. Также представляет интерес исследование устойчивости предельных циклов и построение границ областей существования устойчивых предельных циклов в пространстве параметров обратных связей. Однако решение данных задач выходит за рамки настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1991. Т. 29. Вып. 6. С. 828-839.

2. Андрейченко Д.К. К теории комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 54-69.

3. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование линейных дискретноконтинуальных систем / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, А.Б. Смарунь // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 183-195.

4. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К. Андрейченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 7. С. 1030-1044.

5. Андрейченко К.П. Устойчивость и предельные циклы системы стабилизации спутника с упругим стержнем и газореактивными двигателями с постоянным временем запаздывания / К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 2. С. 11-17.

Андрейченко Константин Петрович -

доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой «Прикладная математика и теория навигационных приборов» Саратовского государственного технического университета

Андрейченко Дмитрий Константинович -

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» Саратовского государственного технического университета

Шорин Виталий Сергеевич -

студент группы ПБС-41 факультета электронной техники и приборостроения Саратовского государственного технического университета

Наумов Сергей Г еннадиевич -

студент группы ПБС-41 факультета электронной техники и приборостроения Саратовского государственного технического университета