CC BY
49
Библиографический список
1. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. Vol. C.25, № 9. P. 875-884.
3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 5. С. 643-650.
4. Абросимов М. Б. Характеризация графов с заданным числом дополнительных ребер минимального вершинного 1-расширения // Прикладная дискретная математика. 2012. № 1. С. 111-120.
5. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения направленных звезд // Дискретная математика. 2011. Т. 23, № 2. С. 93-102. 001: 10.4213/бт1144.
Characterization of Graphs with a Small Number of Additional Arcs in a Minimal 1-vertex Extension
M. B. Abrosimov, O. V. Modenova
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected], [email protected]
A graph G* is a k-vertex extension of a graph G if every graph obtained from G* by removing any k vertices contains G. k-vertex extension of a graph G with n + k vertices is called minimal if among all k-vertex extensions of G with n + k vertices it has the minimal possible number of arcs. We study directed graphs, whose minimal vertex 1 -extensions have a specific number of additional arcs. A solution is given when the number of additional arcs equals one or two.
Key words: minimal vertex extension, exact extension, fault tolerance, graph theory.
References
1. Abrosimov M. B. Grafovye modeli otkazoustoichivosti [Graph models of fault tolerance]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2012, 192 p. (in Russian).
2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system. IEEE Trans. Comput., 1976, vol. C.25, no. 9, pp. 875-884.
3. Abrosimov M. B. On the Complexity of Some Problems Related to Graph Extensions. Math. Notes, 2010, vol. 88, no. 5, pp. 619-625.
УДК 629.78
4. Abrosimov M. B. Characterization of graphs with a given number of additional edges in a minimal 1-vertex extension. Prikladnaya Diskretnaya Matematika [Applied Discrete Mathematics], 2012, no. 1, pp. 111-120 (in Russian).
5. Abrosimov M. B. Minimal vertex extensions of directed stars. Diskr. Mat., 2011, vol. 23, no. 2, pp. 93-102 (in Russian). DOI: 10.4213/dm1144.
К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ РЕАКТИВНОГО СНАРЯДА ЗАЛПОВОГО ОГНЯ
Д. К. Андрейченко1, К. П. Андрейченко2, В. В. Кононов3
1 Доктор физико-математических наук, зав. кафедрой математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2 Доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа, Саратовский государственный технический университет, [email protected]
3Ассистент кафедры математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Проведено исследование влияния продольного ускорения на устойчивость дискретно-континуальной модели однока-нальной системы угловой стабилизации с запаздывающим аргументом упругого вращающегося стержня. Развиты методы построения областей асимптотической устойчивости и анализа импульсных переходных функций рассматриваемой комбинированной динамической системы, уравнения движения которой могут быть проанализированы лишь на основе численных методов либо методов асимптотического интегрирования. Определены критические значения продольного ускорения.
Ключевые слова: комбинированные динамические системы, системы стабилизации.
( Андрейченко Д. К., Андрейченко К. П., Кононов В. В., 2013
9
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] сформирована комбинированная динамическая модель реактивного снаряда в виде вращающегося вдоль продольной оси упруговязкого стержня, на концах которого закреплены абсолютно жесткие тела реактивного двигателя и головной части снаряда. При этом удалось развить известные методы [2] теории газореактивных систем стабилизации упругодеформируемых конструкций применительно к реактивным снарядам залпового огня. Применительно к снарядам с дальностью стрельбы до 200 км и более весьма актуальными становятся исследование влияния продольного ускорения на области асимптотической устойчивости системы стабилизации, а также определение критических значений продольного ускорения. Но данная математическая модель может быть проанализирована лишь на основе численных методов [3] либо на основе методов асимптотического интегрирования [4].
1. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОМБИНИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
После приведения к безразмерным переменным и параметрам [1] в пренебрежении величинами высшего порядка малости модельные уравнения автономной системы стабилизации упругодеформи-руемого реактивного снаряда залпового огня принимает вид
То< + < = -То(< 1 + < 2), т^о + 6<1 = N1 + Р1,
Л01 = ¿1 - ^N1, ^(</31 + 02) = ¿2 + 6N2, (1)
т2[-и)о + г3>1 - (1 + £1 + £2)<1] = N2 - пег(ш-0)- т) - т^<2,
и + (1 - ¿7О)«"" + 7и'''' + Ог [(т2 + 1 - г)и'' - и'] = -г33о + (г + £1X1, и(о,г) = о, и' (0, г) = о, и(1,г) = г1 (г), и'(1,г) = -<2 (г), N1 = -(1 - ¿7 о)и''' (о, г) - 7и''' (о, г), N2 = (1 - ¿7 о)и''' (1, г) + 7и''' (1, г), (2)
¿1 = -(1 - ¿7о)и''(о,г) - 7и''(о,г), ¿2 = (1 - ¿7о)и''(1,г) + 7и''(М), <(0) = <г(о) = <г(о) = о, г = 1, 2, го(0) = ш1(0) = го(0) = 1У1 (0) = 0, и(г, 0) = и(г, 0) = 0.
Здесь
<(г) = -в(г) + ¿а(г), и(г,г) = х(г, г) + ¿у(г, г), wj(г) = xj(г) + ¿у-(г), <(г) = -(г) + ¿а(г), N (г) = ^ (г) + (г), ^ (г) = -¿у. (г) + (г), ^ = 1,2, Р1 (г) = рЖ1 (г) + ¿рУ1 (г), (3)
г — индивидуальная пространственная координата; ао, во — углы, определяющие направление пуска, вращающегося с угловой скоростью О вокруг продольной оси снаряда; а1, в1 и а2, в2 — углы Эйлера-Крылова отклонения оси г1 от го и оси г2 от г1; а, в — углы, задающие положение вектора кинетического момента ротора гироскопа; (хо,уо,го) — координаты точки 01 в системе Оохоуого; (х, у, г) — координаты точек срединной линии стержня; (х1 ,у1, 1) — координаты конечной точки О1 срединной линии; NXj, NУj и ЬХб, (^ = 1, 2) — соответственно силы и моменты сил реакций стержня, действующие на тела 1 и 2; РХ1, РУ1 — поперечные возмущающие силы; то — постоянная времени гироскопа; 0 — угол опережения установки газореактивных исполнительных двигателей относительно осей выходных сигналов гироскопического датчика угловых перемещений; Т — время запаздывания газореактивных исполнительных двигателей; п — коэффициент обратной связи; аг — безразмерное продольное ускорение; mj, Jj (^ = 1, 2) — соответственно масса и экваториальный момент инерции абсолютно жестких тел 1 и 2; (■)' = д(-)/дг; точкой сверху обозначено дифференцирование по времени г. Уравнения (1) образуют комбинированную [5] динамическую систему (КДС), содержащую обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, граничные условия, условия связи и начальные условия. При аг < 1 уравнения (2) переходят в аналогичные уравнения из [1]. Набор величин х(г) = (РХ1 (г),РУ1 (г))т рассматривается как входная вектор-функция, а набор величин у(г) = (а1 (г), в1(г), хо(г), уо(г))т представляет собой выходную вектор-функцию КДС. Поскольку система уравнений (2) линейна, в ней выполняется одностороннее
Д. К. Андрейченко и др. К теории устойчивости системы угловой стабилизации снаряда
интегральное преобразование Лапласа /(А) = Ь[/(£)] = /0° /(£)е-Л и далее исключается величина А) (символ «~» над изображением Лапласа далее опущен). Поскольку аналог краевая задачи (2) в изображениях Лапласа линейным образом зависит от величин А2-^0(А), (А), А2^1 (А), (А), то
N(А) = [1 + 7(А - Ш)]^ (А)А2^(А) + Щ2)(АМ(А) + Щ3) (А)А2(А) + Щ4)(А)<^(А)], (4) Ь(А) = [1 + 7(А - ¿0)][ьк1)(А)А2^о(А) + 42)(АН(А) + Ь^ (А)А2^ (А) + Ь^ (А)^(А)], к = 1,2.
Входящие в выражения (4) функции Щ(^)(А), Ь^^А), к = 1, 2, 3 = 1, 2,3,4, являются решением следующих вспомогательных линейных краевых задач:
А2и(г, А) + [1 + 7(А - Ш)]и''''(г, А) + ах[(т2 + 1 - г)и''(г, А) - и'(г, А)] = -5] + (г + &), и(0, А) = 0, и'(0, А) = 0, и(1, А) = ¿2, и'(1,А) = -¿4,
щф (А) = -и'''(0, А), Ьф (А) = и''(1,А),
(А) = и''' (1, А), Ь ф (А) = -и'' (0, А) 3 = 1, 2, 3,4, ¿V — символ Кронекера.
(5)
Аналогично [1] из (1) в изображениях Лапласа и (4) следуют выражения для передаточных функций системы стабилизации по угловой ошибке ^ и поперечному смещению и?0
П(А) =
(А)
А(А)
П0(А) = Атоо
(А)
<МА) = П(А)Р] (А), ^о (А) = П0 (А)Р (А),
А(А) =
АА(А) '
^11 (А) ^12 (А) А^13 (А) 0М(А)
"021 (А) 022 (А) 023 (А) "024 (А)
^31 (А) 032 (А) А033 (А) 034 (А)
041 (А) 042 (А) А043 (А) 044 (А)
А^ (А) = - det["vj(А)], V =1, 3,4, 3 = 1, 2,4, А^о (А) = - det["vj (А)], V = 1, 3,4, 3 = 2, 3,4; 011 (А) = [1 + 7(А - Ш)][е1Щ(1)(А) - ь1]) (А)], 012(А) = [1 + 7(А - Ш)]&Щ(2) (А) - ь]2)(а)], 013(А) = А[Л + (1 + 7(А - Ш))(& Щ(3)(А) - Ь13) (А))], 014(А) = [1 + 7(А - Ш)]^4 (А) - ь]4)(а)], 021 (А) = Ш1 - [1 + 7(А - Ш)]Щ(1) (А), 022(А) = -[1 + 7(А - Ш)]Щ(2) (А), 023(А) = Ь - [1 + 7(А - Ш)]А2Щ(3)(А), 024(А) = -[1 + 7(А - Ш)]Щ(4)(А), 031 (А) = -[1 + 7(А - Ш)]^1(А) + ь2])(А)], 032(А) = -[1 + 7(А - Ш)]^2(А) + ь22)(А)], 033(А) = А[Л - (1 + 7(А - Ш))(6Ж23) (А) + ь23)(а))], 034(А) = ^А2 - [1 + 7(А - Ш)][6Щ(4)(А) + ь24)(А)], 041 (А) = (1 + Т0А)(Ш2 - [1 + 7(А - Ш)]Щ(1)(А)), 042(А) = (1 + Т0А)(Ш2А2 - [1 + 7(А - Ш)]Щ(2)(А)), 043(А) = -Ш2(1 + 6 + 6) А(1 + Т0А) - пт0е-гв-т(Л-гП) - [1 + Т(А - Ш)]АЩ(3)(А)(1 + Т0А),
044 (А) = Ш2аг (1 + Т0А) - ПТ0е
-гв-т(Л-гП) _
(1+ Т0А)[1+ 7(А - Ш)]Щ(4)(А)
Компоненты изображений Лапласа входной х(А) = (РХ1 (А),РУ1 (А))т и выходной у(А) = (а}(А), в(А),х0(А),у0(А))т вектор-функций связаны следующим образом:
-в1 ( А) "
«1 ( А)
ПИ(А) П12 (А) П21(А) П22 (А) ]
" Рх1(А) ■ Х0 ( А)
. Ру1 ( А) . . У0(А) .
П?1(А) П]2 (А) [_ П2](А) П22 (А) ]
Рх1(А) Ру1 (А)
ПИ(А) = П22 (А) = [П(А) +П(А)]/2 = ^1(А)/Р(А),
П12(А) = -П21 (А) = ¿[П( А) - П(А)]/2 = д2(А)/^(А), П?1 (А) = П02(А) = [П0 (А) + П0(а)]/2 = д0 (А)/АР(А),
П12(А) = -П0](А) = ¿[П0(А) - П0(А)]/2 = д0(А)/АР(А),
причем характеристический и возмущающие квазимногочлены суть
D(A) = Д(А)ДЩ Qi(А) = [Д^(А)Д(1) + Д^1 (А)Д(А)] Д g2(A) = i [д^1 (А)Д(А) - Д^1 (А)Д(А)] /2, Q1(A) = [Д^0(А)Д(А) + Д^0(А)Д(А^ /2, Q0(A) = i [Д^о(А)Д(А) - Д^о(А)Д(А)] /2,
D(A) = D(A), Qv(A) = QV(A), QV(A) = QV(A), v = 1, 2.
2. РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
При умеренных и средних значениях |А| выполнялось численное решение краевой задачи (5) на основе проекционного метода Галеркина в предположении
N+4
u(z, A) ^Y^ UkTk(2z - 1), 0 < z < 1. (6)
k=0
Здесь Tk(z) = cos(k arceos z) — ортогональные полиномы Чебышева 1-го рода. Краевая задача (5) сводилась к дискретному аналогу — системе линейных уравнений относительно Фурье-коэффициентов Uk, k = 0,1,...,N„ +4. Выражения для вспомогательных
j = 1, 2,3,4, не имеют особенностей в конечной подобласти правой комплексной полуплоскости (А), если там нет нулей определителя дискретного аналога (5), что достаточно просто проверяется на основе принципа аргумента. Во всех рассмотренных ниже случаях вспомогательные функции N"kj)(А), (A), k = 1, 2, j = 1, 2,3,4, не имели особенностей в правой комплексной полуплоскости (А). Приближенное вычисление вспомогательных функций Nij) (А), N2(j) (А), L j (А), Lj (А), j = 1, 2, 3,4, при |А| > 1, Re А ^ — 0"0, 0 < ст0 < го, удобно выполнять на основе асимптотического интегрирования вспомогательных линейных краевых задач (5) по методу Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) [4]. Частные решения однородного уравнения (5) представляются в виде e±kV(z>±k), e±ikV(z,±ik), где k = k(A) = [—A2/(1 + y(A — Ш))]1/4, и используется асимптотическое разложение:
V(z, k) = V0(z) + k-1 Vi(z) + k-2V2(z) + k-3V3(z) + ....
В результате при |A| > 1, Re А > -сто, 0 < сто < го функции Nkj)(A), Lkj)(A), k = 1, 2, j = 1, 2, 3,4, являются аналитическими функциями А, причем
lim A-14D(A) = (miтоJJ2)2, lim А-47/4Qi(A) = V^Y1^m^(m2J2)2,
v—уж X—УЖ
lim A-13Q0(А) = T0m1(m2J1 J2)2, Re А > -го,
а обобщенные степени возмущающих квазимногочленов Q2(А) и Q2(А) характеризуются величинами, меньшими 47/4 и 13 соответственно.
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОМБИНИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Из теорем об устойчивости КДС [5] следует, что система стабилизации будет устойчива при выполнении условия
Д arg D(i^) = 7п
и неустойчива — в других случаях. Для управляемых КДС характеристический квазимногочлен является функцией не только комплексного параметра А, но и параметров обратных связей
£(А, 0, п) = Д(А, 0, п)Д(А, 0, п).
Аналогично [1] параметрические уравнения возможных границ области устойчивости на плоскости параметров (0, п)принимают вид
Re Д(го>, 0, п) = 0, 1т Д(го>, 0,п) = 0, Ие Д(-2^, 0, п) = 0, 1т Д(-го>, 0, п) = 0, 0 < го.
Д. К Лндретенко п др. К теорт устойчивости системы угловой стабилизации с наряда__
Рассмотрим модель системы стабилизации с параметрами т0 =7, 7 = 0.06, Ш1 = 0.06, т2 =0.1, Л = 0.015, Л = 0.02, £1 = 0.03, £2 = 0.05, т = 0.07, рУ1 = 0.01, ро = 0.01 при 0 = 5, Ь = 0.02 и 0 = 9, Ь = 0.0648 для значений коэффициента внутреннего трения 7 = 0.06 и 7 = 0.01.
На рис. 1 представлены границы областей устойчивости для значений перегрузки а2 = 0, 2, 5, 10 и 7 = 0.06. При увеличении значения перегрузки а2 область устойчивости постепенно смещается вправо на плоскости параметров (0, п).
Аналогичные результаты для границ областей устойчивости для значений коэффициента внутреннего трения 7 = 0.01 представлены на рис. 2.
,а= 0
0.4-
0.2-
0 0.2 0.4 0.6
Рис. 1. Область устойчивости модели при 7 = 0.06
0 0.2 0.4 0.6
Рис. 2. Область устойчивости модели при 7 = 0.01
Как видно, изменение коэффициента внутреннего трения 7 при возрастании угловой скорости вращения снаряда 0 значительно сокращает области устойчивости. Для реактивных снарядов залпового огня представляет интерес увеличение массы т2 головной части снаряда.
На рис. 3, а, б для системы стабилизации с параметрами т0 = 7, т1 = 0.06, = 0.015, £1 = 0.03, £2 = 0.05, т = 0.07 при 0 = 5, 7,8,9 и Ь = 0.02(0/5)2 для значений коэффициента внутреннего трения 7 = 0.06 и 7 = 0.01 приведены графики критических перегрузок аг в зависимости от массы головной части снаряда т2 (при пропорциональном изменении момента инерции головной части снаряда 72 = 0.2т2). Критические значения перегрузок аг, при которых происходит потеря устойчивости системы стабилизации, находились методом бисекции с оптимизацией интервала поиска. Как следует из представленных на рис. 3 результатов, увеличение массы т2 головной части снаряда приводит к значительному ограничению на величину угловой скорости 0 вращения снаряда.
а б
Рис. 3. Значения критических перегрузок модели при 7 = 0.06 (а) и 7 = 0.01 (б)
Библиографический список
1. Андрейченко Д. К., Андрейченко К. П. К теории автономных системы угловой стабилизации реактивных снарядов залпового огня // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 3. С. 141-156.
2. Андрейченко Д. К., Андрейченко К. П. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 6. С. 150163.
3. Флетчер К. Численные методы на основе метода Га-леркина. М. : Мир, 1988. 352 с.
4. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М. : Мир, 1972. 274 с.
5. Андрейченко Д. К., Андрейченко К. П. К теории комбинированных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 54-69.
On Stability Theory of Autonomous Angular Stabilization System for Combined Dynamical Systems
D. K. Andreichenko1, K. P. Andreichenko2, V. V. Kononov1
1 Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected], [email protected]
2Saratov State Technical University, Russia, 410054, Saratov, Polytechnicheskaya st., 77, [email protected]
Studied the effect on the stability of the longitudinal acceleration discretely-continuum model of single-channel angular stabilization system with of delayed argument. Methods of construction asymptotic stability areas and analysis of impulse transition functions are developed. The critical values of the longitudinal acceleration are defined.
Key words: combined dynamical systems, stabilization systems. References
1. Andreichenko D. K., Andreichenko K. P. On the theory of autonomous angular stabilization systems of missiles for salvo firing. J. of Computer and Systems Sciences Intern., 2009, vol. 48, no. 3, pp. 465-480. DOI: 10.1134/S1064230709030137.
2. Andreichenko D. K., Andreichenko K. P. On the theory of stabilization of satellites having elastic rods. J. of Computer and Systems Sciences Intern., 2004, vol. 43, no. 6, pp. 973-986.
3. Fletcher K. Chislennye metody na osnove metoda YflK 519.95
Galjorkina [Numerical methods based on the Galerkin method]. Moscow, Mir, 1988, 352 p.
4. Cole J. D. Perturbation methods in applied mathematics. Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., Waltham, Mass.-Toronto, Ont.-London, 1968, 260 p. (Rus. ed.: Cole J. Metody vozmushhenij v prikladnoj matematike. Moscow, Mir, 1972, 274 p.)
5. Andreichenko D. K., Andreichenko K. P. On the theory of hybrid dynamical systems. J. of Computer and Systems Sciences Intern., 2000, vol. 39, no. 3, pp. 383-398.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТРУКТУРЫ АВТОМАТА ФРАГМЕНТАМИ ПОВЕДЕНИЯ
С. А. Богомолов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский государственный социально-экономический университет, [email protected]
Изучается задача идентификации структуры автомата конечным фрагментом его поведения. Под поведением автомата понимается множество различных о.-д. функций, реализуемых в автомате, а под конечным фрагментом поведения -следы о.-д. функций и автоматов. Ведено понятие идентифицирующего следа для автомата, «неизбыточного» относительно его реализации. Предложен подход, позволяющий в множестве следов, идентифицирующих автомат, выделить и описать конечное множество «неизбыточных» следов, содержащих только необходимую информацию для идентификации автомата.
Ключевые слова: автомат, эксперимент с автоматом, подэксперимент эксперимента, след о.-д. функции и автомата, идентифицирующий след автомата, операция редукции следа, неизбыточный идентифицирующий след автомата.
ВВЕДЕНИЕ
Обширный класс как фундаментальных, так и прикладных проблем анализа дискретных систем допускает их естественное сведение к проблемам идентификации. Л. Льюинг [1] отмечал: «Формирование моделей на основе результатов наблюдений и исследование их свойств — вот по существу основное содержание науки». Модели могут быть более или менее формализованными, но все они
( Богомолов С. А., 2013
