Моделирование устойчивых взаимоотношений на графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

С. Н. Астраков

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ НА ГРАФАХ

В данной работе рассматриваются модели, в которых каждый участник системы «оценивает» отношения со всеми своими соседями и принимает решение об изменении отношений с ними.

1. Предварительные сведения Пусть имеется граф О(¥,Е) с множеством вершин ує¥ и множеством дуг (і,])єЕ, іує(1,...,п}Будем рассматривать полный граф О, когда .между каждой парой вершин существуют отношения, определяемые величинами Ху и х]і. Величина Ху характеризует воздействие Уі на у, а величина Ху - воздействие у на Уі. Таким образом, на графе О(¥,Е) определено состояние Х=(хіу), в виде квадратной матрицы порядка п. Заметим, что ограничение на полноту графа можно в дальнейшем снять и расширить область применения полученных ниже методов.

Предположим, что состояния системы Х(к меняются в режиме дискретного времени к=0,1,2,..., перестраивая свои отношения хі]-к по определенным правилам. Будем считать, что каждая вершина Уі переопределяет выгодным для себя образом свой исходный потенциал дг-, сохраняя его на каждом шаге, т. е.

Е А] , ке(1,...,п }. у=1

С другой стороны, вершина V, испытывает на себе суммарное воздействие

(к) П (к), р\ = е 4

>1

направленное от других элементов и меняющееся в течение времени к.

Меняя свои состояния Х(к+1)=Ф(Х(к)), система может стремиться к устойчивым или циклическим решениям, поиск которых представляется весьма интересным. В данной работе рассматривается класс взаимодействий, определяемых стратегией 'участников'', и изучается характер меняющихся состояний Хк), в том числе при к^х>.

Интересы участника / с участником Ц определяются взаимными отношениями Хц и Ху. Вполне уместна оценка полезности отношений функциями вида

1) Су=с(хуХ]1)=Хц+Хц (сотрудничество),

2) Су=с(Ху,Хц)=Ху - Хц (противостояние).

Эти случаи достаточно подробно рассматривались, соответственно, в работах [1,2]. Здесь мы рассмотрим общий линейный случай оценки отношений:

с1]=с(Х1],Х]1)=аХ1]+ЬХ]1.

Возможные значения весовых коэффициентов могут отражать как степень, так и полезность отношений. Представляется естественной следующая стратегия участников:

min(ax j + bxji) ^ max

J xj

n

Z xij = 4i, i = l,2,...,n-j =1

Участник у, на шаге (k+1) принимает решение, основываясь на действиях других участников на предыдущем шаге; поэтому

(k+l) =ax(+1)+ bx( )=-!

iJ

ij

+ bxV =

ik) =

ji n - 1Г=1 ji

1 f n

n -1

Следовательно,

I axj)+ I fej) \j=1 j=1

I J = j=1

Л

Xk+1)=-bxk +-L-f I x(k) + b I X(k)^

■xjV +

' j n - 1

i,xJ +

К j=1 j=1

или

4+1)=- bx 5f'+n-г, і q. + -p?)Л=

a

a

--X j' + f't ’,

где

f(k)=-Ц

n -1

fqi + -apf^ iє{-,2,...,п}.

Таким образом, на каждом шаге определен вектор стабилизации

р{к )={/і( к \/2к \..,/Пк}},

по изменению которого можно определить характер состояний Х(к).

2. Постановка задачи Пусть на графе О(У,Е) определены начальные отношения между вершинами:

' 0 x10) 12 x(0) Л13 •3- s x1

X(0) = x(0) 21 0 x20) 23 x20) 2n

x(0) КЛ n1 x(0) n2 x(0) n3 .. 0,

и заданы рекуррентные преобразования состояний системы:

j+l)=-aj]+/(],i * j 4+1>=o,i = J;

i є{1,2,..., n}, j = {l,2,..., n}

Необходимо определить свойства и характер изменения состояний

Х(к ) = (хЦ^) при различных

а и Ь. Найти устойчивые состояния X * = (х* ), не меняющиеся после преобразования (1).

3. Основные теоретические результаты Важным является то, что в условиях задачи выполняется свойство сохранения ресурса для каждой вершины:

41 = Е Х(к\ / е {1,2,...,п}.

ц=1

Действительно,

Е Х(к+1 = Е

ц=1 ц=1,ц *г'

Ь (к) + п -1 ( + Ь (к)^|

= -~р) ’+-------11 + -Р/ ; 1 = 4г.

а п -1V а )

Опуская достаточно длинные доказательства, приведем основные результаты.

Лемма 1. Для координат вектора стабилизации выполняется соотношение

_ Ьх(к)+-±- І «- + ЬР (к)11 =

Чі + ~ Рі

і/(к> =_е_ Г1+ь

і=1

где ^ = Е 4/ - суммарный потенциал системы.

/=1

Лемма 2. Для каждого / е{1,2,...,п} выполняется следующее рекуррентное соотношение

п -1 а

где

1 + -п _ 11 а

(

м Ь1 Ь О

Чі \ 1----I +---------1

а I ап _ 1

есть постоянная величина.

Лемма 3. В момент времени к для каждого / е{1,2,...,п} выполняется соотношение

/ік) ={0 + сі(1+г+г2 +... +/"!),

где

г = _-

1 Ь

п _ 1 а

или, с учетом преобразования геометрической прогрессии,

/?)=

п _ 1 а

Ь + (п _ 1)а

1 _1 _

1Ь

п_1 а

Теорема 1. Для устойчивого поведения вектора стабилизации необходимо и достаточно выполнение условия:

I г| =| (Ь/а)/(п-1)\ <1 или I Ь/а| <п-1 . (2)

При этом условии предельные значения координат вектора стабилизации равны:

= г {(к) = с (п _ 1)

/і = Ііт /і = сі

к

а + Ь

Ь + (п _ 1)а

Ь + (п _ 1)а

^ Г 1 _Ь 1+^'

V а I а п _ 1,

Теорема 2. В условиях рассматриваемой модели для решений системы выполняются следующие утверждения.

А. При условии (2) начальное решение системы, заданное соотношениями:

1

ху =

Ь + (п _ 1)а

аЧ, _ ЬЧ, +

ьо_

п _ 1

(3)

является стационарным, т. е. не изменяется в течение дискретного времени к.

В. При условии \а/Ь\<1 любое начальное решение системы в результате преобразований (1) при к^оо стремится к решению (3).

Замечание 1. При некоторых а и Ь (в частно -сти при а=Ь) решение системы стремится к двум предельным циклическим (нечетному и четному), зависящим от начальных условий, которые в среднем определяют устойчивое решение (3). Как показывают расчеты, цикличности можно избежать, если в стратегию «принятия решений» ввести свойство «исторической преемственности»:

у(+1) = _—х( ) + )

&+!) = а +')

= а у

і

’ + (1 _а)хУ

(к)

(4)

і Ф у,0 < а < 1;

У

= 0,і = у;

/ е {1,2,...,п} Ц = {,2,...,п}

Замечание 2. В случае 1<\а/Ь\<п-1 имеется необычная ситуация: решение системы расходится при сходящемся векторе стабилизации. Условно это объясняется тем, что если «полезность» отношений обеспечивается в большей степени за счет партнера (Ь>а), но эти «злоупотребления» имеют несколько ограниченный характер (а/Ь<п-1), то «крах» системы наступает при достаточно продолжительной материальной обеспеченности участников системы.

4. Некоторые конкретные интерпретации и численные эксперименты

Рассмотрим примеры, на которых реализуются приведенные выше алгоритмы. При этом можно наглядно анализировать поведение систем с помощью численных решений. Кроме того, исходя из здравого смысла, можно корректировать алгоритм (например, для неполного графа) или ввести в стратегию принятия решения некоторые изменения.

4.1. Задача распределения средств на конкурентные взаимодействия.

Предположим, что три фирмы (политические партии) А], А2, А3 распределяют свои фиксирован-

сі =

ные ресурсы 4\=80, 42=50, 43=40 друг против друга с целью улучшения своего конкурентного положения. Необходимо определить устойчивое состояние, устраивающее всех участников взаимодействия с точки зрения их интересов.

Покажем, что некоторое допустимое решение (не обязательно оптимальное) в результате преобразований будет приближаться к устойчивому решению. Степень близости к устойчивому решению будет определяться поведением вектора стабилизации /=(/ь/2,/з).

В данном случае имеется классический случай противостояния с оценкой отношений по формуле

Су с(ХуХц) Ху - ХЦ

т.е. а=1, Ь=-1.

Рекуррентные соотношения (1) принимают вид:

Ц+1) = - х( > +),/ * ц

4+1}=0- /=1;

/ е {1,2,3}, 1 = {1,2,3}.

Согласно лемме 2, с;=0, /=1,2,3, поэтому

/(к+1) = 1/(к),; = 1,2,3.

После второго шага

(0 45 35Л

X(2) =

, /2)=(2.5;-2.5; 0).

2 1

При начальном решении ( 0 50 30Л

X(0 ) =

--(10; -10; 0).

40 0 10

ч20 20 0 у имеется довольно сложная ситуация (см. рис 1): Х\2=50, х13=30, Х21=40, Х23=10, Х31=20, х32=20. Первый участник «чувствует» себя уверенно по отношению ко второму и третьему участникам; третий участник создает угрозу второму (20 против 10).

После первого шага расчетного алгоритма (1) получаем

(0 50 30Л

45 0 5

, 30 10 0

V у

«Запущенный» алгоритм аналогичным образом меняет состояние системы и на следующих шагах.

При к^ос решение стремится к устойчивому, которое вычисляется по формулам (3):

(0 45 35Л

X* = 45 0 5 ,?=(0;0; 0).

35 5 0

V у

Оно устраивает всех участников с точки зрения угроз (рис 2), т.к. все Су=0.

4.2. Задача об оптимальном обслуживании коммуникационных линий

Под понятием коммуникационных линий можно предполагать транспортные сети, линии связи и т.д. Обслуживание таких систем имеет ярко выраженный распределительный характер, когда конечные пункты (смежные вершины) принимают решения по распределению средств на функционирование инцидентных линий.

Для наглядности рассмотрим небольшую коммуникационную систему, состоящую из четырех вершин В1, В2, В3, В4 (см. рис. 3), в которой отсутствует связь между В3 и В4.

Ресурсы вершин, участвующих в обслуживании сети, зададим таблицей:

Вершины, В; В1 В2 В3 В4

Ресурсы, 4; 50 40 30 20

X (1) =

Заметим, что «периферийные» пункты В3 и В4 имеют меньше ресурса, чем «центральные» В1 и

В 2.

Также, как и ранее, Ху - доля ресурса, направ-

40 0 10

30 10 0

V у

Первый и второй участники сохранили свои распределения, т.к. первый имел одинаково «хорошее» противостояние с соперниками, а второй -одинаково «плохое». Третий же участник логично перестроил взаимоотношения и сделал их паритетными.

^=(5; -5; 0).

ленного от В; и Вц, а Сщ - оценка «полезности» по

данному направлению. Так как пара вершин совместно обслуживает свою линию, то уместно считать, что

СУ~С]1~ХУ+Х1

т.е. а = 1, Ь=1 для функции С;ц=аХ;ц+ЬХц;.

Интересы каждого участника состоят в том, чтобы содержать инцидентные линии на одинаково высоком уровне. Решается вопрос: можно ли в

процессе саморазвития системы справедливо распределить ресурсы на обслуживание линий , если каждый пункт принимает самостоятельное решение по распределению ресурса на каждом шаге?

Покажем, что некоторое начальное решение, например

(0) =

с(Ю) =

С 0 28,00000 28,0073 27,9927

28 0000 0

28,0073 27,9926

28.0073

28.0073 0

0

Х^> =

с 0 20 20 10 Л с 0 20 2500 11,1250

10 0 20 10 Х (20) = 7,7500 0 14,8750

20 10 0 0 16,8750 13,1250 0

,10 10 0 0 J 19,3750 к 7 10,6250 0

с 0 30 40 20 Л с 0 28 0000 28 0000

(с(0) )= 30 0 30 20 , С(20) = 28,0000 0 28 0000

и 40 30 0 0 28,0000 28 0000 0

V 20 20 0 0 J к28,0000 28 0000 0

С

в результате определенного алгоритма стремится к оптимальному (устойчивому) решению.

Учитывая, что степени вершин различны, сделаем корректировку преобразований:

/М = ^-+«4 і = 1 + 4

#+1) = - X (’ + /(^ V (і, ]) € Е,

где ё1=ё2=3, ё3=ё4=2 - степени вершин, Е -множество ребер системы.

Численные расчеты для к=10, 20,30 дают:

С 0 20,2499 11,1223 18,6177Л

X

(30 ) =

с(30)=

С 0 7,7500 16,8750 19,3750 С 0 28,0000 28,0000 28,0000

20,2500

0

13,1250

10,6250

28,0000

0

28,0000

28,0000

11,1250

14,8750

0

0

28 0000 28 0000 0 0

27,9927Л 27,9926 0 0

18,6250Л

17.3750 0

0

28,0000Л 28 0000 0 0

18,6250Л

17.3750 0 0

28,0000Л 28,0000 0 0

X

(10 ) =

7 7501 16,8750 19,3750

0

13,1250

10,6250

14,8823

0

0

17 3677 0 0

Очевидно, что решение практически стабилизировалось. Матрица полезности С(к показывает, что обслуживание линий проходит равномерно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.И. Ерзин, С.Н. Астраков, И.И. Тахонов, О.А. Гадяцкая. Одна задача функционирования распределенной сети. - Материалы международного семинара «Вычислительные методы и решение оптимизационных задач». Бишкек, 2004, с. 77-82.

2. С.Н. Астраков, А.И. Ерзин. Одна модель саморегулирующейся системы. - Математические структуры и моделирование, 2004, № 13, с. 30-38.

□ Автор статьи:

Астраков Сергей Николаевич - канд. физ.-мат. наук, доц., зав. каф. высшей и прикладной математики (Кемеровский филиал РГТЭУ)