Полные двухресурсные сети с петлями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1 DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-10-16

ПОЛНЫЕ ДВУХРЕСУРСНЫЕ СЕТИ С ПЕТЛЯМИ

© 2016 г. Х. Абдулрахман, В.А. Скороходов

Скороходов Владимир Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: pdvaskor@yandex.ru

Skorokhodov Vladimir Aleksandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of. Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:pdvaskor@yandex.ru

Абдулрахман Хайдар - аспирант, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воро-вича Южного федерального университета, ул. Мильча-кова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: abdulrahm.hai-dar@gmail. com

Abdulrahman Haidar - Post-Graduate Student, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: abdulrahm.haidar@gmail.com

Рассмотрена модель распределения двух ресурсов в однородных несимметричных двусторонних полных ресурсных сетях с петлями. Ресурсная сеть однородна, если все пропускные способности дуги равны: полная, если любые две вершины соединены с противоположными дугами, и симметричная, если в каждой паре противоположных дуг пропускные способности одинаковы. Рассмотрены два вида распределения ресурсов: 1 -й - для каждой дуги указана одна пропускная способность, 2-й - две. Для каждого вида распределения разработаны методы нахождения предельного состояния для произвольной величины суммарного ресурса и порогового значения ресурсной сети.

Ключевые слова: ресурсная сеть, потоки в сетях, распределение потока, двухресурсная сеть, предельное состояние, пороговое значение.

We consider the model of distribution of resources in the homogeneous and asymmetrical bilateral complete resource network with loops. Resource network called complete if any two vertices are connected with opposite arcs, it is called symmetric if for each pair of opposite arcs capacities are the same. We consider two kinds of resource distribution: first, if each arc contains one capacity; second, if each arc contains two capacities. The methods for finding of limit state for arbitrary total value the resource and of threshold of resource network are developed for each type of distribution.

Keywords: resource network, flows in networks, flow distribution, biresource network, limit state, threshold.

Ресурсные сети являются потоковой моделью, предложенной в работах О.П. Кузнецова и Л.Ю. Жиляковой [1-5]. В [1] предложена модель распределения ресурса в однородных полных сетях без петель. В [2] исследованы свойства однородных и несимметричных двусторонних полных сетей с петлями; доказаны теоремы о существовании предельного состояния Р и порогового значения Т суммарного ресурса. В [3-5] исследованы процессы стабилизации потоков в несимметричных ресурсных сетях.

В настоящей работе рассмотрена модель распределения двух ресурсов в однородных и несимметричных двусторонних полных сетях с петлями. Основной задачей работы является разработка метода нахождения порогового значения Т и предель-*

ного состояния Р для произвольных величин суммарных ресурсов.

Основные определения

Ресурсной сетью будем называть ориентированный граф, вершинам (1 < / < п) которого приписаны неотрицательные числа qi (?) > 0, изменяющиеся в дискретном времени и называемые ресурсами, а ребрам У; уу-) - положительные числа гу ,

постоянные во времени и называемые их пропускными способностями. Состоянием сети в момент времени ? (> 0 ) будем называть вектор-функцию 0(1) = );...;qn(?)). Состояние О(0) называется начальным распределением ресурса в сети.

Правила перераспределения ресурса (правила функционирования сети):

п п

Ч1 (? +1) = qi (?) -Xр (?) + ЕРц (?) V/ е [1;п]2, у=1 У=1

где F у (t) - величины ресурсного потока, проходящего по дуге (v,; vj) в момент времени t, - определяются следующим образом:

n

- Fj (t) = r у, если qi(t) >2 r k ;

k=1

r* n

- Fy (t) = -j • q , (t) , если q i (t) < £ r k .

Zrk k=1

k=1

Ресурсная сеть называется однородной, если все пропускные способности равны (обозначим их через r).

Пару ребер (v i; vy-), (vy; vi) назовем двусторонней

парой. Сеть, вершины которой соединены только двусторонними парами, назовем двусторонней сетью.

Двусторонняя сеть называется полной, если любые две вершины соединены двусторонней парой, и симметричной, если в каждой двусторонней паре пропускные способности одинаковы.

Входной пропускной способностью будем назы-

n „ n

in ^^ « out X""1

вать величину r = 2 j , выходной — ri = 2 Гу .

j=1 у =1

В сети выполняется закон сохранения: при её функционировании ресурс не поступает извне и не расходуется в любой момент времени.

Однородные двусторонние полные сети с двумя ресурсами

Будем рассматривать сети с двумя ресурсами, т.е. каждой вершине v (1 - i - n ) в момент времени

t соответствует вектор (q](t); qf(t)) , т.е. состоянием сети в момент t будем называть вектор-функцию

Fj (t) = r единиц (ед.) 1-го ресурса, если

Q(t) =

q2(t)

q\(t ql(t)

qn(t)

ql(t)

n n

qk (t +1) = qk (t) - X Fy (t) + Z Ffl (t) j=1 j=1

V/ е [1;п]г , к = {1,2}, где Рр ) - величины ресурсного потока, проходящего по дуге V; V.) в момент времени ?.

q1(t) > n • r ; Fj (t) = Fi + F2, где Fi = ^ ед. 1-

го

qi(t)

ресурса и г2 = г - ■ ед. 2-го ресурса, если

п

(с,1^) < п • г)л (д)^) + д ) > п • г);

г ^ с1 ^) + с2 (О , п. гр (^) = —-■- ед. 1-го и 2-го ресурсов, если

■ п

1 9

) + дг(*) < гп.

В однородных двусторонних полных сетях с двумя ресурсами ^ (г) , Q2 (^ выделим свойства.

Свойство 1. Если для некоторого момента имеет место равенство д1 + д2 = д* (?') + д^2 ($') ,

то для всех t > справедливо равенство д)(Г) + с,2 (О = (t') + д2 (t').

Множество вершин, у которых д)^) > гп , будем называть зоной 1+ ^); д)^) < гп, д1^) + ц2(г) > гп -зоной 1 +(0 ; д1^) + д2^) < гп - зоной 1- ^).

п п

Свойство 2. Для всех ? X р (t) = X р, (t), где

р=1 р=1

■, р е [1;п]2 .

Лемма 1. Если в момент ? вершины Vjl,Vр ,...,(т < п ) находятся в зоне 1-(/), то выполняются следующие соотношения:

1) (t + 1) = с1 (t + 1) = ^ = (t + 1);

2) (t+1) = С:^ (t+1) = - = С?и (t+1);

3) с! (t+1)+с2 (t+1) = (t+1) + с2, (t+1) = -

определенную на 1+ : задается вектор Q(0) начального распределения ресурса в сети и указываются правила перераспределения (правила функционирования сети):

= с)ш ^+1)+с1 (t+1).

Доказательство. Так как все вершины находятся в зоне 1 (0 , то они отдают весь свой ресурс; их

12 , , , ресурсы д и д в момент времени t +1 равны, соответственно, поступающим в них потокам ресурсов д и д1 из смежных вершин. Лемма верна в силу свойства 3.

Лемма 2. Если в момент ? вершины

Vjl,^^,...,^^ (т<п) находятся в зоне 1+^), то

выполняется условие 1 леммы 1 и, вообще говоря, не выполняются условия 2 и 3.

Доказательство. Для любой вершины зоны

1 +(0 выполняются С ^) < гп , т.е. все эти вершины

n

находятся в зоне 2+ (?) и 2 (?). Таким образом, эти вершины отдают весь свой первый ресурс, и их ресурсы в момент ? +1 равны приходящему потоку первого ресурса. Следовательно,

q)l(t+1)=q1J2(t+1)=-=q)m (?+1).

Для того чтобы доказать, что условия 2 и 3, вообще говоря, не выполняются, приведём пример.

Пример 1. Рассмотрим однородную двустороннюю полную ресурсную сеть с множеством вершин X = {ух, у7} и пропускной способностью г = 2 . Пусть 0(0) такое, что

01(0) = (18; 16; 7; 6; 6; 3;5) ,

02(0) = (8; 6; 15; 12; 2; 4; 1) .

Определим множества 21 (0) = {у1 , у2 },

2 + (0) = {у з, у4 }. Получим величин^1: qJ (1) =11,86 ;

q2 (1) = 9,86; q12(1) = 11,14 ; д|(1) = 9,14 ; q3(1) = = q4 (1) = q 1 (1) = q6 (1) = q7 (1) = 7,86 ; q3 (1) = 11,14 ; q42 (1) = 7,14; q2 (1) = q62(1) = q72 (1) = 3,14 .

Следовательно, qJ (1) + qз (1) ф q4 (1) + ^^ (1), поскольку ^ (1) = д\ (1) и qз (1) ф q4 (1) . Таким образом, показано, что условия 2 и 3 леммы 2 для приведённой сети не выполняются.

Пусть суммарные величины 1 -го и 2-го ресурсов

п 1

соответственно равны Ж1 = X (?) и

^2 =Е qг2(t). /=1

Теорема 1. Для однородной двусторонней полной сети с двумя ресурсами и для любого сум-

<к/.

марного ресурса Ж = + W2 имеют место утверждения:

2

1) если Ж < гп , то при любом начальном состоянии 0(0) его предельным состоянием являются

™ Ж Ж Ж,

векторы W1 = (—1;——1),

п п п

W2 - А;Ъ,

n n

W

);

2) если Ж > гп2, то при любом начальном состоянии 0(0) сети, в котором хотя бы в двух вершинах ресурсы не равны, выравнивание не происходит, т.е. в предельном состоянии О также не во всех вершинах ресурсы будут равны. Здесь имеем два случая:

I) если < гп2, то выравнивается первый ресурс и не выравнивается второй ресурс;

, либо q] (0) > rn.

II) если W1 > rn2, то оба ресурса не выравниваются.

2

Доказательство. Пусть W < rn . Если зона

2+ (0) пуста, то все вершины находятся в зоне

_ 12

2 (0) ; тогда в момент t = 1 ресурсы qt и qt

равны в силу леммы 1, т.е. выравнивание происходит за один такт.

Если зона 2+(0) не пуста, то имеем два случая: существует вершина i такая, что либо к-(0) < rn; 1^(0) + q2(0) > rn.

В первом случае 2+ (0) = 0 (так как q] (0) < rn), т.е. первый ресурс выравнивается за один шаг в силу леммы 1.

Во втором случае первый ресурс выравнивается

[2, теорема 1], значит, на некотором шаге t * зона 2] (t*) = 0 . Осталось показать, что второй ресурс тоже выравнивается.

Для этого рассмотрим зону 2 + (t). Если 2 + (t) = 0 , то все вершины находятся в зоне 2~ (t), т.е. по лемме 1 первый и второй ресурсы выравниваются.

Если 2 + (t) Ф 0 , то существует такая вершина i,

что q] (0) + q2 (0) > rn и q] (0) < rn , а поскольку

2

W < rn , то существует момент t1 такой, что 21+(t]) = 0 и 2 +(t]) = 0 . Последнее означает, что все вершины переходят в зону 2" (t1). Отсюда следует, что второй ресурс выравнивается. Рассмотрим пункт 2 (W > rn2). Для варианта I (W1 < rn2) первый ресурс выравнивается, и поскольку для любого момента времени t справедливо 2 +(t) Ф0 (так как W > rn2), то выравнивание второго ресурса не происходит.

Для варианта II (W1 > rn2) первый ресурс не выравнивается [2, теорема 1]. Отсюда следует, что и второй ресурс тоже не выравнивается. Теорема доказана.

Несимметричные двусторонние полные сети с петлями

Ресурсная сеть называется квазисимметричной, если

w ■ in out /14

Уг ri = ri . (1)

i-1

n

Сеть будем называть несимметричной, если она не удовлетворяет условию квазисимметричности (1), т.е. существуют по крайней мере две вершины,

для которых |г/и - г,ш\ > 0.

Пусть Аг■ = г/" — г°и1 , тогда все вершины сети можно разделить на три типа: вершины-приемники, для которых Аг■ > 0 ; вершины-источники, для которых Аг/ < 0 ; нейтральные вершины, для которых Аг, = 0.

Пусть п, I, к - количество вершин, приемников, источников. Будем считать, что вершины с номерами от 1 до I - это приемники, от 1+1 до 1+к - источники, от l+k+1 до п - нейтральные.

Несимметричные двусторонние полные сети с петлями и одним ресурсом. Пусть в несимметричной двусторонней полной (НДП) сети вектор состояния в момент ? Q(t) = (дх (0; д2 ...; дп (0).

Обозначим через Q* (0 = (д*; д*; .; д*) вектор предельного состояния. Определим для каждой вер-

входную r =

j=1

и выходную

гГ' = X гр пропускные способности.

р=1

Введём обозначения: 1— (^ - множество вершин, для которых д , (/) < г°и; 1 + (/) - множество вершин, для которых д, (/) > г°и .

Правила распределения ресурса: в момент t + 1 вершина vi отдаёт в смежную ей вершину Vр г/р-

г

ед. ресурса, если д, (/) > г°и; д, (/) - в против-

гГ

ном случае (правило 2).

Следуя работе [4], обозначим через T пороговое значение ресурса, такое что при Ж < Т все вершины, начиная с некоторого момента времени t', переходят в зону 1— (г).

Рассмотрим задачу нахождения величины Т.

г

Для этого определим величину ру = —^ - долю

приходящего в вершину V, потока, проходящего по

дуге (V,, Vj). Для предельного состояния Q * обо* *

значим через д* часть ресурса д* , проходящего по дуге (V,, Vj). Для величин р„ и д* справедливы

Тр1} = 1; j=1

n n

X qij =X qj; j=1 j=1

0 < qj < rj.

(2)

Для нахождения величины Т воспользуемся методом определения максимального потока в сети с условиями распределения (см. [6]); для этого построим систему линейных алгебраических уравнений в три шага.

Шаг 1. Для каждой вершины vi ^ е[1; п]1) со*

ставим уравнения относительно неизвестных д* .

п

Рр X с1 — др = 0, р е [1;п]1. (3)

к=1

Шаг 2. К уравнениям системы (3) для каждой вершины V , (, е [1; п]1) добавим уравнения, полученные из (2) (величины хг также являются неизвестными):

x = X q,k >

k=1

n

qk .

k=1

Объединяя (3) и (4), получим систему

q ч =j,

n

x = Xql, иj n]z =

k=1

(4)

(5)

Е*

сы.

к=1

Шаг 3. К уравнениям системы (5) добавляем

ж

еще одно уравнение ду7 = гу7, где у , 7 - некоторые значения из [1; п]1.

Если просуммировать все уравнения первой строки (5), соответствующие вершине V ,, получим

п п п

X—> * X—V X 1 *

Xс р = XРjx■ , т.е. Xс р = х.

р=1 р=1 р=1

Таким образом, поскольку все уравнения второй строки (5) являются линейными комбинациями уравнений первой строки (5), получаем систему

соотношения

qj = j,

n

x = X qli, и j e[1; n]z >

k=1

*

qyz = ryz •

n

V

шины

n

Решая систему (6), получим величины ч* и х/ (/, у е [1; п]2). Если хотя бы для одной из величин Ч* не выполняется неравенство в условии (2), то

ж

заменим последнее уравнение qyz = гу2 на аналогичное относительно других значений у и г (для которых не выполняется неравенство в условии (2)), затем снова решаем систему вида (6).

В итоге, когда решение системы вида (6) удовлетворяет условию (2), пороговое значение может

п

быть найдено как сумма всех величин х/: Т = X х/ .

/=1

Таким образом, имеет место теорема. Теорема 2. Для ресурсной сети с пороговым значением Т:

. Ж

1) если Ж < Т, то для всех вершин qi = ~ х/, т.е. вектор предельного состояния имеет вид

п*-ГЖ Ж • Ж 0 = 1 ^ х1; ^ х2;т хп

2) если Ж > Т, то для всех источников и ней-

*

тральных вершин д* = х/.

Пример 2. Рассмотрим ресурсную сеть, предложенную в [5, пример 1]. Здесь матрица пропуск-

Г1 1 п

суммарный ре-

W W

W

Свойство 1. Если для всех / > I и некоторого момента времени ?' выполняется неравенство qг1 (?') + qi2 (?') < г™ , то для всех ? > ?' будет выполняться qг1 (?) + qi2(?) < г™ .

Доказательство. Так как / > I, то все вершины -источники и нейтральные, т.е. Аг/ = г/п - г°и < 0. Значит gг1(?') + ч2(?') < гЦп < гО?. Отсюда следует, что V* е 2 - (?') и она всегда отдаёт весь первый ресурс, а второго не хватает, чтобы она вышла из 2-. Поэтому V? > ?', gг1 (?) + ч2 (?) < г/п , где / > I.

Свойство 2. Если для вершин V*, Уу (/, у > I) в некоторый момент времени ?' имеет место равенство gг1(?') + qf(t') = ч1 (?') + q2j (?'), и при этом для

любого т rmi = гт] и Jq1(t') + qf(t') < r0ut

U (t') + qf (O < r°ut '

(7)

ных способностей Я =14 5

V4 4 4У

сурс Ж = 1; начальное состояние 0(0) = (1; 0; 0).

Покажем, что пороговое значение Т = 12. Для этого построим систему вида (6) и возьмём

* 1

gyz = ги =1

Решая эту систему, найдём решение, удовлетворяющее условию (2).

ч* =1, ql2 =1, qlз =1, qyl = 0,428, gy2 =1,714,

gyз = 2,143 , gУ1 = 1,571, qУ2 = 1,571, qУ3 = 1,571, х1 = 3, х2 = 4,286 , х3 = 4,714.

Таким образом, пороговое значение Т = х1 + х2 + х3 = 12. По теореме 2 предельное состояние 0 * имеет вид

то для всех ? > ? выполняется g1 (?)+g12 (?) = gJ■ (?) + qj (?).

Доказательство. Из соотношений (7) следует, что в момент ?' вершины vi, V- е 2-, поэтому они

отдают весь свой ресурс gгl(?') + gi2(?') и получают одинаковый ресурс. Таким образом, их ресурс в момент ?' +1 равен поступающему к ним входному потоку /'п (?') = ■ (?') = g1 (?') + qг2 (?'), тогда свойство 2 верно в силу свойства 1.

В момент ? +1 вершина V* отдает в ребро Vу гу

первого ресурса, если q1(t) > r°ut;

out . 4i

q1(t)

первого

ресурса и ri

q1(t)

V out

r

второго ресурса, если выпол-

няется условие

fq1 (t) < r0

; r

q](t)

qj(t) + qf (t) > гГ ' " r0ut

перво-

0* = (у х1';у х2— х3) = (0,25; 0,357; 0,393) .

Несимметричные двусторонние полные сети с петлями и двумя ресурсами. В несимметричных двусторонних полных сетях с петлями и двумя ресурсами 01(?), 02(?) выделим свойства.

(?)

го ресурса и гу ' второго ресурса, если

гг°и

ч1(? )+Ч2(? ) < гГ?.

Теорема 3. В НДП-сети с петлями для любого начального состояния и для любого суммарного

ресурса

w = х (q1(t)+qf(t))

i=l

существует такой мо-

мент времени t , что

Vt > t' q1(t) + qf (t) < r'n , i > l.

r

Доказательство. Так как i > I, то все вершины либо источники, либо нейтральные. Если все вершины находятся в зоне 1—, то из свойства (4) следует, что неравенство (8) выполняется.

1. Для вершин-источников (, е [I + 1;1 + к ]1) выполняется неравенство гп < г""1.

Если для вершины-источника vm , qlm (0) > rm

out m ,

т.е. vm е 11+ и вершина vm отдаёт за каждый такт по т первого ресурса, но гт < гЩ"1 ; поэтому за каждый такт её первый ресурс уменьшается, и в некоторый момент времени ц вершина vm перейдет в зону 1+ или 1—.

Если vm перейдет в зону 1 +, то д1т (t1) < Ш и

д]п (О + сШ^) > т, но вершина vm - источник, поэтому она отдает ресурса больше, чем получает, и после конечного числа шагов vm перейдет в зону 1—, т.е. в общем случае vm е 1— в момент t'. Следовательно, д1m (t') + сШ(1') < г'Т , vm всегда отдает весь первый ресурс, а второго не хватает, чтобы она вышла из 1—, т.е. существует момент t' такой, что для всех t > t' выполнено

сШ СО + сШ(1 ) < гш .

2. Пусть vm - нейтральная вершина, т.е.

rin = rout m m

При этом второй ресурс, проходящий по дуге (V,, Vр), не может превышать величину г^ .

Будем называть первой и второй входной пропускной способностью вершины V, соответственно

величины г,т = X г, и г, т = X г^ , а первой и вто-р=1 р=1 рой выходной пропускной способностью вершины

V, - г; 1ои1 = ]: г1, г,20"1 = XXгi2. р=1 р=1

В момент t +1 вершина V, отдает в ребро Vр:

1

гр = г1 + г2, если gгl(t) > г"""; тр. ^^ первого ре-

1,

1

сурса и min (rj , r? - r? второго ресурса, если

q\(t)

\q)(t) <rf"

lq1(t) + q2(t) > rOU ; гГ

первого ресурса и

qi (t) ■ , 2 q\(t)4

min(ri/- , rj - '--OJ-) второго ресурса, если

q](t) + q2(t) < riOUt,

где

1 2 r. = r + r

r i? riJ +r i? '

r" = X min (r2 r - r ) rout = XXr.

4 X """V/j , 'ij 'IJ out ) ' r X 'j •

j=1

j=1

Если vm е 1;+, то сШ (1) > гШ"1 , поэтому vm отдаёт Ш , получает гШ - одинаковые величины. В некоторый момент времени tl вершины-источники перейдут в 1—, следовательно, из вершин-источников vm будет получать первый ресурс,

суммарной величины меньшей, чем гШ (поскольку вершины-источники V, е 1— и г,т < г""). Отсюда получим, что величина первого ресурса, поступающего в vm, уменьшается, следовательно, vm

перейдет в зону 1 +, и затем в некоторый момент времени t' vm перейдет в зону 1— и останется там. Таким образом, существует момент времени t' такой, что Vt > 1г дШ (t') + дШ (О < Ш = Ш , т.е. неравенство (8) выполнено.

НДП-сети с петлями, двумя ресурсами и двумя пропускными способностями. В НДП-сети с петлями и с двумя ресурсами положим, что пропускная способность разделена на две части: г 1р , г р2 .

Пороговое значение Т' - это количество первого ресурса, для которого первый и второй ресурсы распределяются независимо друг от друга. Для того чтобы найти значения Т' и вектор предельного со-

п

О* т 2* с"^1 х—1 т

, положим г т = г р — д2 , г 0 = X г т .

т р=1

Таким образом, получаем НДП-сеть с петлями, одним ресурсом д) и одной пропускной способностью гт .

Решая систему вида (6) для рр = рТ, найдём величину порогового значения первого ресурса

п

Т^х.

■=l

По теореме 2, если < Т , то для всех вершин к *

будет д* = х,, т.е. вектор предельного состояния

Q * = (Ж7х; у1 х2;.; хп); если >Т , то для

* щ

всех источников и неитральн^тх вершин д* = х,.

Литература

1. Кузнецов О.П. Однородные ресурсные сети. I. Полные графы // Автоматика и телемеханика. 2009. № 11. С. 136 - 147.

2. Кузнецов О.П., Жилякова Л.Ю. Полные двусторонние ресурсные сети с произвольными пропускными способностями // Управление большими системами. 2010. № 30-1. С. 640 - 664.

3. Жилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. I. Процессы стабилизации при малых ресурсах // Автоматика и телемеханика. 2011. № 4. С. 133 - 143.

4. Жилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. II. Потоки при больших ресурсах и их стабилизация // Автоматика и телемеханика. 2012. № 6. С. 103 -118.

5. Жилякова Л.Ю. Несимметричные ресурсные сети. III. Исследование предельных состояний // Автоматика и телемеханика. 2012. № 7. С. 67 - 77.

6. Скороходов В.А., Чеботарева А.С. Задача о максимальном потоке в сети с особыми условиями распределения потока // Дискретный анализ и исследование операций. 2015. Т. 22, № 3. C. 55 - 74.

References

1. Kuznetsov O.P. Odnorodnye resursnye seti. I. Polnye grafy [Uniform resource network. I. Complete

Поступила в редакцию

graphs]. Avtomatika i telemekhanika, 2009, no 11, pp. 136-147.

2. Kuznetsov O.P., Zhilyakova L.Yu. Polnye dvustoronnie resursnye seti s proizvol'nymi propusknymi sposobnostyami [Full bilateral resource network with arbitrary bandwidths]. Upravlenie bol'shimi sistemami, 2010, no 30-1, pp. 640-664.

3. Zhilyakova L.Yu. Nesimmetrichnye resursnye seti.

I. Protsessy stabilizatsii pri malykh resursakh [Asymmetric resource network. I. The process of stabilization at low resource]. Avtomatika i telemekhanika, 2011, no 4, pp. 133-143.

4. Zhilyakova L.Yu. Nesimmetrichnye resursnye seti.

II. Potoki pri bol'shikh resursakh i ikh stabilizatsiya [Asymmetric resource network. II. Flows for large resources and their stabilization]. Avtomatika i telemekhanika, 2012, no 6, pp. 103-118.

5. Zhilyakova L.Yu. Nesimmetrichnye resursnye seti.

III. Issledovanie predel'nykh sostoyanii [Asymmetric resource network. III. Study of limit states]. Avtomatika i telemekhanika, 2012, no 7, pp. 67-77.

6. Skorokhodov V.A., Chebotareva A.S. Zadacha o maksimal'nom potoke v seti s osobymi usloviyami raspredeleniya potoka [Maximum flow problem in a network with special conditions of flow distribution]. Diskretnyi analiz i issledovanie operatsii, 2015, vol. 22, no 3, pp. 55-74.

21 апреля 2016 г.