CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987
№ 6
УДК 532.525.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ В ПЛОСКОЙ СТРУЕ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
Е. А. Смирных
Методом дискретных вихрей моделируется процесс турбулентной диффузии пассивной примеси в плоской струе. С использованием картинок с мгновенными положениями вихрей и меченых жидких частиц прослежен механизм образования и развития крупномасштабных вихревых образований в струе. Найдены поля средних скоростей и концентраций, а также дисперсии пульсаций продольной скорости. Определено турбулентное число Прандтля. Результаты расчетов сопоставляются с известными в литературе экспериментальными данными.
Метод дискретных вихрей является весьма эффективным средством изучения крупномасштабных вихревых образований в турбулентных потоках (см. библиографию в [1]). В течение ряда лет он успешно применяется для моделирования плоских турбулентных струй [2, 3]. В данной статье этот метод использован для описания турбулентной диффузии пассивной примеси в плоской затопленной струе процесса, который, как известно [4], определяется в основном крупномасштабным движением.
1. Постановка задачи. Рассматривается нестационарное течение, образующееся при истечении идеальной несжимаемой жидкости из плоского полубесконечного канала с острыми кромками в пространство, заполненное неподвижной жидкостью. Движение начинается в момент ¿=+0. Плотности жидкости, истекающей из сопла, и жидкости в окружающем пространстве одинаковы. Скорость внутри канала при ¿>0 на бесконечности постоянна и равна «о, ширина канала А (рис. 1).
Для описания турбулентной диффузии вводятся меченые жидкие частицы, которые маркируются на срезе канала. Течение, за исключением вихревых поверхностей
21 и 22, стекающих с острых кромок, предполагается потенциальным. Изменение циркуляции вихревых поверхностей определяется на основании постулата Жуковского — Чаплыгина об ограниченности скорости на острых кромках. На стенках канала выполняется условие непротекания.
Метод решения и алгоритм расчета поля скоростей описан в [5]. Шаг по времени в расчетах составил Д/=0,25 А/Ио- Новые вихри вводились в поток в точках с координатами х—е, у=±к[2. Параметр е выбирается из условия, чтобы осредненная (осреднение производится по времени, см. ниже) продольная компонента вектора скорости <^м^>»ы0 в точке х1к= 1. Отметим, что значение в рассматриваемой точке весьма малочувствительно к выбору е: при увеличении е в два раза увеличивается
примерно на 20%.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение вихрей, интегрировалась методом второго порядка точности по времени, а уравнения, описывающие движение частиц, ■— методом первого порядка.
Вихри, отошедшие от среза канала вниз по потоку на расстояние х>15А, объединяются в один, если расстояние между ними становится меньше, чем 0,5 Л. Ошибка в вычислении вектора скорости, обусловленная таким объединением, не превышает 2% в точке х/к=10, у=0.
Для определения поля концентрации на каждом временном шаге в плоскости среза сопла производится маркировка N жидких частиц (в расчетах Л^=10). В силу специфики используемого метода расчета — неограниченности скорости в точке, где располагается точечный вихрь — принимается, что вектор скорости меченых частиц на срезе канала имеет только продольную компоненту, которая не зависит от времени и равна и=и0. Частицы, ушедшие вниз по потоку на расстояние я>12А, удалялись из рассмотрения.
Для вычисления концентрации область течения вне канала разбивается на прямоугольные ячейки. Размеры ячеек изменяются в зависимости от расстояния вниз по потоку от среза сопла: при х/к<5 ячейки представляют собой прямоугольники со сторонами и и0Д£, при х/к>Ъ — квадраты, площадь которых в два раза больше площади указанных прямоугольников. Такое укрупнение ячеек производится в соответствии с ростом масштаба течения вниз по потоку.
Концентрация примеси в ячейке с номером (г, /) в момент * вычисляется по формуле
м
С (XI, У], 0= 2 ¿ц ' к=1
где ■— часть площади прямоугольника, находящегося внутри ячейки (¿, /); разме-
ры этого прямоугольника совпадают с размером ячейки (/, /), а его центр — с центром к-й маркированной частицы; М — общее число меченых жидких частиц, находящихся в потоке (М=Ш/Д£).
Отметим, что описанная процедура аналогична методике восстановления непрерывного поля завихренности по распределению дискретных вихрей, часто применяемой при решении уравнения Пуассона в ряде задач двумерной гидродинамики (см., например, [6]).
2. Результаты расчетов. Наглядное представление о различных стадиях развития струи дают картинки с мгновенными положениями вихрей и меченых жидких частиц. На рис. 2 приведены такие картинки для вихрей в некоторые моменты времени [а) —(= 10 Л/и0, б) — t = 20hlu0, в) - ¿=40 А/'и0]; точки и крестики обозначают вихри противоположных знаков. Ясно видны четыре характерные области течения: 1) область вблизи среза канала, где наблюдается близкое к линейному расположение вихрей; 2) область образования крупных вихрей; 3) взаимодействие вихрей одного знака и их смешение; 4) взаимодействие и слияние вихрей противоположных знаков. Крупномасштабные вихревые образования на рис. 2 напоминают когерентные структуры в реальных струйных течениях (см. например, обзор [7]).
На рис. 3 представлены несколько картинок визуализации струи посредством меченых жидких частиц |а) —( = 25 Л/и0, б) —ЗОЛ/а0, в) —35Л/цп].Из этих картинок можно найти, что передний фронт струи движется с переменной скоростью, равной примерно половине от местной скорости на оси струи в установившемся (в статистическом смысле, см. ниже) режиме. Этот результат качественно согласуется с выводами работы [8], в которой экспериментально исследовались закономерности развития струи при внезапном истечении из осесимметричного сопла. Картинки на рис. 3 показывают также, что течение на границе струи носит перемежающийся характер.
Перейдем к результатам расчета средних характеристик в струе. В нескольких сечениях струи определялись профили продольной и поперечной компонент средней скорости, средней концентрации и дисперсии скорости. На рис. 4 приведены профили
і)
« «■
..«««#•
&_і_
>.‘Ь£:
йг-Г-
лГ
«,
20 х/к
Рис. 2
а)
/)у Ыъ^
ч-г- . ,*у
Лі
Ж- *
15
20 х/к
Рис. З
—■—,<Ю, <0
М-, <ри>"г
Рис. 4
«Ученые записки» №6
109
величин <м>, <с> и < (и— <«»2 >1/2 «> — символ операции осреднения) в сечениях х/к= 1; 2; 4; 6; 8; 10. Осреднение проводилось по времени, например,
Л + Д т
<с{х,у)>=Хт ]* с(х'У>*)а*>
*1
где ¿1 = 50А/м0 —время установления статистически стационарного режима течения в области х < ЮЛ, ДГ = 50Л/н0— интервал осреднения.
Анализ осциллограмм концентрации примеси, полученных в расчетах, показывает, что в отдельные моменты времени концентрация принимает значения, большие единицы. Этот дефект обусловлен относительно малым количеством меченых жидких частиц в потоке. Однако, как показали расчеты, он слабо влияет на среднюю концентрацию. Из рис. 4 видно, что профиль средней концентрации шире, чем профиль средней скорости. Этот результат находится в полном соответствии с экспериментальными данными (см., например, [9]).
Различие в ширине профилей средней скорости и концентрации в полуэмпириче-ских теориях турбулентной диффузии объясняют отличием от единицы турбулентного числа Прандтля Рг<=^(/£>(, где v¡ — коэффициент турбулентной вязкости; —коэффициент турбулентной диффузии. Результаты данной работы позволяют определить функцию Ргг(г/) в струе (в общем случае Рг^сопэ!:). Для этого предположим, что течение, например, в сечении */Л=8, слабо отличается от автомодельного и может быть описано в рамках приближения пограничного слоя. Для числа Рг( по определению имеем
<«'„'> /?<!>
РГ/ = -------L—— , и' = и — < и >, с' = с — < с >.
<с' v’ >/d<c>
ду
Если в эту формулу подставить выражения для <и' V' > и <с' *>'>, найденные из осредненных уравнений импульса и концентрации после однократного интегрирования, то получим следующее выражение:
Рг‘ -<с>/г<^> -<с>/±<1>: ч-у1х■
I дт\ Г ду
При использовании этой формулы профили и <С<Г> находились с помощью ме-
тода наименьших квадратов по значениям в 40 точках.
Рис. 5
На рис. 5 приведены результаты расчетов числа Рг( (сплошная кривая) и экспериментальные данные [10] (в треугольниках). Соответствие этих данных является достаточно удовлетворительным. Наибольшие погрешности в определении числа Prt как в расчетах, так и в экспериментах имеют место на границе струи. В расчетах низкая точность определения здесь величины Рг( объясняется крайне редким попаданием в эту область течения меченых жидких частиц.
В заключение отметим, что результаты проведенного численного эксперимента свидетельствуют о целесообразности дальнейшего развития описания турбулентной диффузии с помощью метода дискретных вихрей. Объединение описанного в данной статье метода с алгоритмом, предложенным в [11], может явиться полезным инструментом при решении задач, связанных с протеканием химических реакций в турбулентных потоках.
ЛИТЕРАТУРА
1. С а б е л ь н и к о в В. А, С м и р н ы х Е. А. Численный расчет турбулентного течения на начальном участке плоского канала с острыми кромками методом дискретных вихрей. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 4.
2. Айрапетов А. Б. Вихревая модель плоской турбулентной струи. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1784.
3. Белоцерковский С. М., Дворак А. В., Хлапов Н. В. Моделирование на ЭВМ плоских турбулентных струй. — ДАН СССР,
1985, т. 282, № 3.
4. М о н и н А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика.
Ч. I, — М.: Наука, 1965.
5. Смирных Е. А. Моделирование периодического возбуждения плоской турбулентной струи методом дискретных вихрей. — В кн.: Теплофизические и физико-химические процессы в энергетических установках.— Минск, 1986.
6. Christiansen J. P. Numerical simulation of hydrodynamics by the method of point vortices. — J. Comp. Phys., 1973, vol. 13, 363.
7. Власов E. В., Гиневский А. С. Когерентные структуры в турбулентных струйных течениях. — В сб.: Модели механики сплошной среды. — Новосибирск, ИТПМ, 1983.
8. Kuo Т. W., Braceo F. V. On the scaling of impulsively started incompressible turbulent round jets. — J. Fl. Eng., 1982, vol. 104, 191.
9. Теория турбулентных струй./Под ред. Г. Н. Абрамовича. — М.:
Наука, 1984.
10. Brown L. W., Antonia R. A. Meargements of turbulent Prandtl number in a plane jet. — J. Heat Transfer, 1983, vol. 105, 663.
11. Choniem A. F., Chen D.-Y., Oppenheim A. K. Formation and inflamation of a turbulent jet. — AIAA Paper 84-0572.
Рукопись поступила 11IVI 1986 г.
