Моделирование сетей массового обслуживания на основе маркированных графов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.94

П. П. Макарычев, М. А. Волгина

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ОСНОВЕ МАРКИРОВАННЫХ ГРАФОВ

Рассматриваются вопросы организации имитационного моделирования сложных структурированных систем с использованием маркированных графов. Приводятся результаты решения задачи анализа сети массового обслуживания аналитическим и имитационным методом в среде математического пакета МаШса±

Метод имитационного моделирования является одним из наиболее эффективных методов исследования процессов и систем самой различной природы и степени сложности. Лучшей иллюстрацией области применения имитационного моделирования являются системы (СМО) и сети (СеМО) массового обслуживания: телекоммуникационные и вычислительные системы, магазины, производственные участки и т.п.

В данной работе предлагается подход к организации математического и имитационного моделирования, основанный на представлении моделей структур СеМО в виде маркированных ориентированных графов [1, 2].

Для исследования реальной СеМО строится ориентированный граф О , структура которого соответствует структуре исследуемой системы. При этом маркированный граф О = (Р, Е,представляется множеством вершин Р = {р1,Р2,..., Рп} и множеством дуг Е = {^1,^2,..., ет} . Вершины графа ассоциированы с компонентами системы. Для отражения динамики системы вводится маркировка дуг графа. Состояние системы в любой момент времени к = 0,1,2,... определяется текущим значением вектора маркировки

= (цк, , . ., А) дуг графа и значением выходных сигналов вершин

графа [2].

Математическая модель системы состоит из моделей компонентов и модели структуры связей между ними. Структура связей графа О = (¿1, ^2, Мо) задается матрицами инцидентности £>1 = (й^ ^) и

^2 = (^2/ j) размерностью п х т . Матрица ¿1 соответствует входным дугам, а ¿2 - выходным дугам графа. Начальное состояние графа задается начальной маркировкой дуг графа М0 = (ц°,ц°,..., ^).

Динамика маркированного графа осуществляется методом последовательной проводки маркеров в процессе активизации и срабатывания вершин графа. Вершина в текущей маркировке Мк, к = 0,1,2,... считается разрешенной, если на каждой входной дуге размещается число маркеров, равное или превышающее кратность дуги, т.е. должно выполняться следующее логическое условие: Мк > А1у, j = 1, т . В результате запуска разрешенной вершины р^, / = 1, п меняется состояние графа посредством изменения его текущей маркировки Мк. Очередная маркировка Мк+1 определяется уравнением

Мк+1 = Мк + , к = 0,1,2,где Ук - текущий вектор запуска графа дли-

ной п . Элемент вектора запуска Ук, соответствующий разрешенной вершине Рі, равен единице, а остальные элементы вектора равны нулю. Составная матрица £ определяется выражением £ = £>2 - £ . Так, при каждом к-м запуске очередной разрешенной вершины рі определяется вектор запуска Ук и вычисляется очередная разметка графа Мк+1 [3].

На этапе построения концептуальных моделей используется международный стандарт моделирования ГОЕБЗ. При этом работы и перекрестки концептуальной модели в стандарте ГОЕБЗ соответствуют вершинам графа, а связи между работами и потоки объектов (информационные потоки) - дугам графа.

В качестве примера СеМО в стандарте ГОЕБЗ на рис. 1 представлена обобщенная концептуальная модель процесса передачи сообщения по телекоммуникационной системе (ТС). Модель содержит четыре работы (функции): формирование сообщения А1, передача сообщения по каналу связи А2 , формирование запроса на повторную передачу сообщения А4 , доставка сообщения адресату АЗ . Кроме работ, модель содержит два перекрестка 31 и З типа «или». Посредством перекрестков в модели отображается логика процесса передачи сообщений. Если передача сообщения выполнена успешно, то осуществляется его доставка адресату АЗ . В случае сбоя в канале связи или обнаружения ошибки в тексте сообщения формируется запрос на повторную передачу А4 .

Рис. 1 Концептуальная модель ТС

На основе концептуальной модели телекоммуникационной системы, представленной на рис. 1, может быть построена ее математическая модель в виде ориентированного маркированного графа Е = {а,Ь, с,ё, е, /, ^} ,

Р = {ро, Р1, Р2, Рз, Р4, Р5 } . Начальная маркировка дуг графа

Мо = [0 0 0 0 0 0 1]. Вершины графа соответствуют функциям, описывающим работы А1, А2, АЗ, А4 и перекрестки , З . Перекресток 31 соответствует объединению информационных потоков, З - разделению информационных потоков (рис. 2).

Рис. 2 Маркированный граф ТС

Входной поток сообщений источника А1 с интенсивностью X поступает в канал передачи сообщений А2 . Посредством канала А2 осуществляется передача сообщений с интенсивностью ц1, после чего с вероятностью г сообщение поступает в узел доставки сообщения адресату А3. Сообщение доставляется адресату с интенсивностью ц2 . В случае обнаружения ошибки с вероятностью 1 - г формируется запрос на повторную передачу сообщения А4 с интенсивностью ц3 . Каждое сгенерированное источником А1 сообщение сопровождается маркером.

В состав математической модели системы, кроме модели структуры связей, заданной матрицами инцидентности j) и ^ = (а^-у), вхо-

дят модели компонент: А1, А2, А3, А4, ^1, ^2. Каждой вершине графа соответствует определенный тип компоненты: логическая компонента («и», «или», «исключающее или») или компонента в виде СМО (источник заявок, узел обслуживания, очередь ожидания). Модель ТС, представленная на рис. 2 ориентированным маркированным графом, содержит следующие компоненты: источник потоков заявок (вершина графа рд), объединитель потоков типа «ИЛИ по времени прибытия маркера» (вершина р\), разделитель потоков типа «ИЛИ по вероятности» (вершина рз), каналы обслуживания заявок (вершина р2, Р4, Р5). Логические компоненты (вершина р^, рз) используются в случае слияния или разветвления дуг графа (потоков). В них задаются дополнительные условия смены маркировки дуг графа, а следовательно, и пути следования сообщений (заявок) в модели.

Модели компонент СМО (вершина рд, р2, р4, р5) характеризуются множеством входных, выходных параметров и функцией, описывающей зависимость выходного параметра компоненты от входных. Результатом имитационного моделирования СеМО являются ее выходные параметры, т.е. характеристики качества функционирования системы: среднее время пребывания заявки в сети (Т с), среднее время обслуживания (Т об) и ожидания заявки в очереди (Тож), среднее число заявок в сети (Nс) и коэффициент загрузки сети р.

Для имитационного моделирования систем в виде СеМО в среде математического пакета Mathcad разработана программа, которая позволяет построить имитационную модель СеМО с произвольной структурой и необходимым набором компонент. В результате имитации работы СеМО определяются основные характеристики системы: Тоб, Тс , Тож, Nс, р. С использованием аппарата обобщенных функций в программе реализована процедура визуализации процессов в узлах СеМО. Так, на основе предлагаемой организации имитационного моделирования получены основные характеристики работы телекоммуникационной сети, представленной на рис. 2. На рис. 3 представлен поток доставленных адресату сообщений на выходе узла А3 при Х = 0,2, ц1 = 2, ц 2 = 3, ц3 = 8, г = 0,9.

Для оценки адекватности имитационной модели выполнен расчет основных характеристик телекоммуникационной системы аналитическим методом [4, 5]. Предлагаемый аналитический метод отличается представлением разомкнутой телекоммуникационной системы в виде замкнутой экспоненциальной СеМО.

Гс(02

1111 І III 1 1 _ 1 мш ... 1

60

120

180

240

300

Рис. 3 Динамика времени пребывания сообщений в ТС

В соответствии с этим методом телекоммуникационная сеть, приведенная на рис. 1, также может быть представлена как замкнутая экспоненциальная сеть (рис. 4).

|^1

Рис. 4 Исходная замкнутая СеМО

Вершины графа СеМО (рис. 4) имеют следующую интерпретацию: р -формирование сообщения; р - передача сообщения; р - обработка и доставка сообщения адресату; р - формирование и передача запроса.

Система алгебраических уравнений, описывающая распределение финальных вероятностей данной СеМО, имеет вид

'-Хр0 + Ц2гр2 = 0,

-ц1 Р1 + ц3 рз + Хро = 0,

<

-Ц2гр2 - Ц2(1 - г)Р2 + ц1р = 0,

-ц3рз +ц2(1 - г)Р2 = 0.

(1)

Условие нормировки для рассматриваемой СеМО: Р0 + Р1 + Р2 + Рз = 1. Заменяем второе уравнение системы условием нормировки и решаем полученную систему уравнений. В результате находим распределение финальных вероятностей СеМО Р0, Р1, Р2, Рз:

Р0 =

2|і3г

Хці|і3 + ц2(ц1|оЗг + Хц3 + Хц1(1 - г))

4

3

0

0

Р =

Р2 =

Р3 =

Хц2ц3

Хц1ц3 + ц2(ц1ц3г + Хц3 + Хц1 - Хц1г) ’ Хц1ц3

Хц1ц3 + ц2(ц1ц3г + Хц3 + Хц1 - Хц1г) ’

Хц1ц2(1 - г)

Хц1ц3 + ц2(ц1ц3г + Хц3 + Хц1 - Хц1г)

(2)

Как видно из формул (2), вероятности состояний СеМО зависят от всех параметров сети: X, ц 1, ц 2, ц 3, г . Используя найденные значения вероятностей, можно определить основные характеристики эффективности работы СеМО (табл. 1).

Таблица 1

Показатели Расчетные формулы

Исходная СеМО Эквивалентная СеМО

Р1 + Р2 + Р3 1

Т об РоХ * ц

— р1 + р2 + р3 1

Т с (РО - (Р1 + Р2 + Р3))Х * і ц -X

Т ож Т с - Т об Т с - Т об

N с ХТ с ХТ с

Р + р2 + р3 X

Р *

Ро ц

Упростим исходную СеМО (рис. 4), объединив состояния Ру, Р2, рз, т.е. Рг = Ру + Р2 + Рз . Эквивалентная СеМО с суммарной вероятностью Рг представлена на рис. 5. Составим систему алгебраических уравнений для эквивалентной сети и, выбрав условие нормировки р^ + Ро = 1, найдем интенсивность обслуживания в эквивалентной СеМО:

ц* = Х—0 = Х

Ро

ре 1 - Ро

X

* л

Используя эквивалентную СеМО и ее параметры ц , А, можно оценить показатели эффективности работы СеМО, расчетные формулы для которых представлены в табл. 1.

Таким образом, аналитический метод позволяет решить задачу оценки характеристик сложных СеМО на основе рассмотренных эквивалентных преобразований. При эквивалентных преобразованиях СеМО параметры ее «новых узлов» могут быть рассчитаны на основе параметров узлов исходной модели, что обеспечивает гибкий и эффективный анализ характеристик СеМО.

На основе аналитического расчета и имитационного моделирования при заданных начальных условиях (Х = 0,2 (Х = 0,7), ц1 = 2, ц2 = 3, ц3 = 8 , г = 0,9 и N = 10 ООО, где N - количество сообщений) найдены основные характеристики работы рассмотренной телекоммуникационной сети. Результаты расчета представлены в табл. 2.

Таблица 2

Показатели X Аналитический расчет Имитационное моделирование

СеМО СеМО

Исходная Эквивалентная Исходная Эквивалентная

T об 0,2 0,938 0,938 0,910 0,935

0,7 0,939 0,939 0,908 0,947

T ож 0,2 0,217 0,217 - 0,217

0,7 1,807 1,807 - 1,822

T с 0,2 1,155 1,155 - 1,151

0,7 2,746 2,746 - 2,769

N с 0,2 0,231 0,231 - 0,230

0,7 1,922 1,922 - 1,912

р 0,2 0,187 0,187 0,184 0,187

0,7 0,657 0,657 0,636 0,654

Из табл. 2 видно, что аналитически рассчитанные показатели эффективности для исходной и эквивалентной СеМО практически равны, что подтверждает эквивалентность представлений моделей сложных структурированных СеМО.

Сравнение результатов, полученных на основании имитационного моделирования, с показателями аналитического расчета показывает, что при малых интенсивностях поступления заявок расхождение между результатами аналитического расчета и имитации снижается. Как видно из табл. 2 отклонения значений результатов имитационного моделирования от значений результатов аналитического расчета не превышают 3 %.

Таким образом, предлагаемый метод организации имитационного моделирования на основе ориентированных маркированных графов поддерживается стандартом IDEF3 и может быть реализован в системах компьютерной математики: Mathcad, Maple и др. Результаты имитационного моделирования различных СеМО с применением математического пакета Mathcad также подтверждают эффективность предложенного метода организации имитационного моделирования на основе ориентированных маркированных графов.

Список литературы

1. Волгина, М. А. Маркированные гиперграфы в задачах компьютерного моделирования / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках : материалы Четвертой Всероссийской научной Internet-конференции. - Тамбов, 2002.

2. Волгина, М. А. Матричное описание ориентированных маркированных графов / М. А. Волгина, П. П. Макарычев // Новые информационные технологии и системы : труды VII Международной научно-технической конференции. Ч. 2. -Пенза : Изд-во ПензГУ, 2006.

3. Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем : пер. с англ. / Дж. Питерсон. - М. : Мир, 1984. - 264 с.

4. Моделирование систем с использованием теории массового обслуживания : учебное пособие / под ред. д.т.н. Д. Н. Колесникова. - СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2003. -180 с.

5. Олзоева, С. И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем / С. И. Олзоева. - Улан-Уде : Изд-во ВСГТУ, 2004. - 70 с.