CC BY
63
УДК 621.3
В. С. Безяев
МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ И СЕТЕЙ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБМЕНА
Рассматриваются методы анализа систем и сетей информационного обмена с использованием сетей Петри. Приводятся примеры анализа систем и сетей аналитическим методом и методом имитационного моделирования в среде математического пакета МаШСаё.
Анализ систем информационного обмена предполагает построение математических (имитационных) моделей. Отождествляя сообщение или документ в системе с заявкой, передачу (обработку) с обслуживанием, систему информационного обмена можно рассматривать как сеть массового обслуживания (СеМО), содержащую узлы или системы массового обслуживания (СМО). В случае анализа однофазных СМО используется аппарат дискретных и непрерывных цепей Маркова [1, 2]. Как правило, цепи Маркова изображают в виде ориентированного графа (диаграммы переходов). Если одна заявка последовательно обслуживается в системе с несколькими серверами, то имеет место многофазная СМО или СеМО. Разработка математической модели СеМО является более сложной задачей. В модели СеМО требуется отобразить топологию, маршруты перемещений и логику взаимодействия отдельных сообщений (требований).
На рисунке 1 приведена модель системы информационного обмена в виде временной сети Петри [3].
Рис. 1 Модель информационного обмена
Система информационного обмена является СеМО и содержит два узла. Переходы в сети Петри її, ?2, їз, Ї4 соответствуют источникам сообщений и серверам обслуживания. Позиции сети Петри рї, Р2, Рз соответствуют накопителям сообщений. В позиции рї размещено Q маркеров. Каждый маркер соответствует одному сообщению. Посредством (рї, її) представлено поступление сообщения на передачу, (Р2, Ї2) - передача сообщения по каналу связи,(рз, їз) - доставка сообщения адресату,(рз, £4) - запрос на повторную передачу документа по каналу связи. Система характеризуется показательным законом обслуживания в узлах и имеет следующие параметры:
- интенсивность пуассоновского потока сообщений на входе системы информационного обмена Л ;
- среднее время передачи сообщения по каналу связи системы информационного обмена Ті = 1/Ц ;
- среднее время доставки принятого сообщения адресату системы информационного обмена Т2 = 1/Ц2 ;
- среднее время генерации запроса на повторную передачу сообщения по каналу связи Т3 = 1/Цз .
В соответствии с моделью на рисунке 1 можно составить систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы информационного обмена (СеМО):
/1(г) = -Л/ЇО) + Ц2 г /з(ї);
* /2(г) = —1І2(г) + ЛЛ(ї) + Цз(1 -г)/з(ї); (1)
/зО) = _Ц2г /зО) + Ц112(г) + Цз(1 - г)/зОX
где /\(ї), /2(ї), /з(ї) - вероятности отсутствия сообщения в системе, передачи сообщения по каналу связи, доставки сообщения адресату соответственно. Система дифференциальных уравнений может быть решена средствами любого математического пакета, в том числе МаШСаё. Значения финальных вероятностей не зависят от начальных условий. Графики переходного процесса в СеМО в случае Л = 0,8 [1/мин], ц = 10 [1/мин], ц2 = 1 [1/мин], Цз = 5 [1/мин] и г = 0,99 приведены на рисунке 2.
ї
Рис. 2 График переходного процесса в системе
В соответствии с предлагаемым аналитическим методом анализа среднее время пребывания сообщения в системе информационного обмена рассчитывается по формуле
ТС = /2 (гк)/((( -^)л (гк))+ /3 (гк )/(((2 -^)Л (гк)) + !/И +1 ^2 ,
*
где - интенсивность передачи сообщений по каналу связи с учетом обратной связи в сети; гк - окончание исследуемого временного интервала.
Интенсивность ц* оценивается по следующей формуле:
п
1/ Ц* = 1/ + IК Ц1 + Ц3/Ц1Ц3 )] (1- г ) .
/=1
При А = 0,8 [1/ мин], Ц1 = 20 [1/ мин], = 1 \1/ мин], Ц3 = 5 [1/ мин] и
г = 0,99 среднее время пребывания сообщения в системе информационного обмена Tc = 5,15 мин, среднее время ожидания обслуживания сообщения в системе информационного обмена Wc = 4,047 мин.
Состояние узла в СеМО, например узла (p2, t2), в момент времени t можно определить как абстрактное множество Ct, для которого функция pt :Ct х Xt ^ Yt является реакцией системы в момент времени t. Множество всех реакций узла pt,
Р = {Р :Ct хXt &t еТ} ,
составляет семейство реакций узла, а множество С = {С 'Л е Т} - семейство состояний узла. Функция ф^ является функцией перехода состояний на отрезке времени { : t < t < t} . Множество ф^ ,
ф = {фtt :С хХ!г ^С{ & t, t еТ & t >t} ,
составляет семейство функций перехода состояний.
Чтобы определить семейства функций р, ф^, рассмотрим временные диаграммы СМО типа М/М/1: 2, приведенные на рисунке 1.
Хк
Ск
Ук
ик
II 1 1 1 1 1 1 1 1 й и 1 1 Ц 1 1 II и ~н
■ 1 1 1 ! Р 1 I II 1 1 1 1 1 • Р ! 1 р
| ■ ) 1 | 1 ' 1 I 1 1 1 1 1 1 Р 1 • 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' • 1 1 1 •
| ■ ) 1 -Ф ±- 1 1 -¥—1 1 —*- ! ' 1 • 1 1 —• 1 »
t2 Ь
t4 15 ?б ^7 t8 t9 tl0 1ц
Рис. 3 Временная диаграмма СМО
Множество моментов времени, связанных с поступлением требований в СМО М1 ={1, t2, t4, tб, t7, t9}. Множество моментов времени, когда об-
служенные требования покидают СМО М2 _{ї2, ї-о, їц} . Множество
моментов времени блокировки требований М3 _{ї7 } . Множество моментов поступления требований М4 = М-\Мз .
Зададим поступление заявок на вход СМО с помощью 8 -функции Дирака:
[8х(ї - їк хесли їкє Мі; ч _ ч(ї) = іп , €„ (1)
[0, если їк € М-.
Моменты окончания обслуживания требований в СМО:
= „ч_ [8є(ї - їкX если 1 к є М2;
єк єк(ї) | ^ € д ^ (2)
[0, если їк € М2.
Число заявок, поступивших на вход СМО, определяется соотношением
ї
а(ї) _ {X хк (т) [їк є М4 ] ]т. (3)
0
Число заявок, покинувших СМО после обслуживания, определяется соотношением
ї
в(ї) _ їх Єк (т) [їк є М2 ]т . (4)
0
Число требований, находящихся в СМО в момент времени ї (состояние системы),
ї
С, _ |(Xхк (т) кк є М4]- XЄк (т) [їк Є М2 ]т . (5)
ї
0
С учетом выражений (1)-(5) среднее время, проведенное сообщением в системе информационного обмена, при анализе методом имитации может быть определено по формуле
N
Тс = X V - *к)/N, (6)
к =1
где N - общее число сообщений на входе системы; 1к - момент времени поступления к-го сообщения в систему; Ук - момент времени покидания систе-
мы к-м сообщением.
Среднее число сообщений в системе информационного обмена за промежуток времени (0, VN) определяется выражением
N
^ = X(Ук - 1к)7VN , (7)
к=1
где VN - момент времени покидания системы последним сообщением.
Интенсивность поступления заявок на обслуживание может быть определена на основе формулы Литтла: X* = Мс/Тс [1]. Так, если интенсивность поступления сообщений в систему обмена X известна, то выполнение равенства Х = X* является одним из подтверждений адекватности моделей.
На рисунке 4 приведены графики изменений состояния в первом узле СеМО (числа сообщений). Из графика видно, что число сообщений в узле не превышает двух. Следовательно, в первом узле необходимость в накопителе сообщений большой емкости отсутствует. Кроме того, вероятность нахождения сообщения в узле очень мала.
3,2
2,4
С(р 1,6
0,8
0
0 40 80 120 160 200
г
Рис. 4 График изменений состояний первого узла
На рисунке 5 приведен график изменений состояния второго узла в системе информационного обмена. Как следует из графика, вероятность возникновения длинной очереди сообщений в узле достаточно велика.
22
16,5
С(г) 11
5,5
0
0 40 80 120 160 200
г
Рис. 5 График изменений состояния второго узла
Длина очереди может достигать боле двадцати сообщений. Поэтому при реализации системы во втором узле необходимо установить накопитель для сообщений с достаточно большой емкостью.
На рисунке 6 приведен график изменения состояния всей системы информационного обмена. Из сопоставления графиков следует, что изменения очереди во втором узле и в системе в целом различаются очень мало.
1 1 II II1 1 IIII 1 1
пи и
г
Рис. 6 График изменений числа сообщений в системе
Методом имитационного моделирования выполнен анализ системы информационного обмена с заданными выше параметрами. Результаты имитационного моделирования: Тс = 5,17 мин, = 4,065 мин. Таким образом,
относительная разность оценок средних времен пребывания требования в системе и времени ожидания в очереди, полученных аналитическим методом и методом имитационного моделирования, составила 0,4 и 0,45% соответственно. Кроме того, результаты, полученные аналитическим методом, удовлетворительно совпадают с оценками по известной методике [2].
Список литературы
1. Крылов, В. В. Теория телетрафика и ее приложения / В. В. Крылов, С. С. Са-
мохвалова. - СПб. : БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.
2. Уолрэнд, Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания / Дж. Уол-
рэнд ; пер. с англ. - М. : Мир, 1993. - 336 с.
3. Котов, В. Е. Сети Петри / В. Е. Котов. - М. : Наука, ГРФМЛ, 1984. - 128 с.
