Моделирование процесса функционирования обслуживающего устройства с обесценивающими отказами методом путей Текст научной статьи по специальности «Математика»

RESEARCH OF DYNAMIC CHARACTERISTICS OF PLATE COUPLINGS

V. Y. Ilyichev, P. V. Vitchuk

Dependences for calculation of possible level of the variable forces and the moments arising in the plate couplings at radial and angular displacement of axes of shafts are given. Results of a experimental study of static and dynamic rigidity of the coupling are presented. Recommendations about the choice of number ofplates are made.

Key words: deformation, dynamics, rigidity, fluctuations, plate coupling, displacement of axes, experimental stand.

Ilichev Vladimir Jur 'evich, candidate of technical science, [email protected], Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University Kaluga Branch,

Vitchuk Pavel Vladimirovich, candidate of technical science, [email protected], Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University Kaluga Branch

УДК 621.0:519.873

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОБСЛУЖИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С ОБЕСЦЕНИВАЮЩИМИ

ОТКАЗАМИ МЕТОДОМ ПУТЕЙ

М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Д.В. Заморёнова, Ю.Л. Явкун

Предложен метод путей, позволяющий моделировать процесс функционирования полумарковских систем. Проведено моделирование процесса функционирования обслуживающего устройства с учетом обесценивающих отказов. Выполнено укрупнение системы с непрерывным фазовым пространством состояний на основании алгоритма фазового укрупнения. Проведено сравнение предложенного метода моделирования и известного метода, основанного на уравнениях марковского восстановления.

Ключевые слова: полумарковская система, метод путей, повторные попадания, обесценивающие отказы.

При моделировании сложных производственных и информационных комплексов используется, как правило, системный подход, предполагающий иерархическое построение моделей систем, учитывающей взаимовлияние всех элементов друг на друга [1-3]. Необходимо обеспечить взаимосвязь иерархических уровней друг с другом (вертикальные связи), а также связь элементов внутри одного иерархического уровня (горизонтальные связи). Связь иерархических уровней обеспечивается за счет информационной согласованности моделей всех уровней, заключающейся в том, что выходные данные моделирования предыдущего уровня являются входными данными для моделирования последующего уровня. Основная сложность состоит в обеспечении горизонтальных связей.

Сложные производственные и информационные комплексы являются стохастическими системами. Фактически, описать их выходные характеристики можно только с какой-то степенью вероятности. В настоящее время широкое распространение для описания таких систем получил аппарат полумарковских (ПМ) процессов [4-9], позволяющий учитывать непростейший характер потоков случайных событий, действующих в системе. Отметим, что если среди потоков случайных событий в системе имеется хотя бы один непростейший, то система является полумарковской. При укрупнении систем, которые необходимы для моделирования, недостаточно определять только моментные характеристики. Довольно часто требуется найти функцию распределения (ФР) времени цикла функционирования какого-либо обслуживающего устройства (ОУ). В случае ПМ систем для этого решаются интегральные уравнения марковского восстановления (УМВ), точное решение которых, как правило, найти не удается. Наиболее распространенным методом решения УМВ является метод последовательных приближение [10].

Целью данной статьи является моделирование ОУ с обесценивающими отказами методом путей для сравнения его с методом, основывающемся на решении УМВ.

Данная задача решена [11, 12] известным методом, использующим решение уравнений марковского восстановления (УМВ). В данной статье моделирование производится предлагаемым авторами методом путей, после чего осуществляется сравнение результатов моделирования. Понятие пути известно из теории графов [13-15]. Модель позволяет оценить влияние надежности ОУ на его производительность при следующем предположении: в случае отказа ОУ обслуживание продукции прерывается, а после восстановления работоспособности элемента обслуживание продукции возобновляется (обесценивающие отказы) [4, 5].

Опишем метод путей.

Первый шаг. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями е М+. При этом определяются ФР

¥1 времен пребывания системы в новых дискретных состояниях, вероятности перехода Р^ из этих состояний в другие состояния (переходные вероятности) удельные частоты р^ попадания в состояния (стационарное распределение ВЦМ) и стационарные вероятности пребывания в состояниях (стационарное распределение ПМ процесса). Процедура проводится известными методами моделирования ПМ систем.

Второй шаг. Выделение всех возможных путей перехода системы из подмножества М+ в подмножество М_. Причем, каждое состояние системы входит в один или несколько путей сразу.

226

Третий шаг. На основании формулы полной вероятности [16] определяются ФР времен пребывания системы в каждом из путей, а также ве-

т

роятности Р^ каждого из путей.

Четвертый шаг. Находим ФР времени пребывания в М+ вне зависимости от начального состояния, которая определяется, как взвешенная

сумма (смесь) ФР каждого из путей. Коэффициентами смеси служат най-

т

денные на пятом шаге вероятности Р^ реализации путей.

Рассмотрим на конкретном примере реализацию предлагаемого метода моделирования.

Исследуется модель функционирования ОУ при условии, что в случае отказа ОУ обслуживание продукции прерывается, а после восстановления его работоспособности обслуживание единицы продукции начитается сначала, то есть время, затраченное на обслуживание единицы продукции до момента отказа ОУ, обесценивается [11, 12].

Необходимо определить ФР /е ) СВ е - времени между двумя соседними моментами окончания обслуживании продукции с учетом отказов ОУ, а также математическое ожидание, дисперсию указанной СВ и производительность ОУ.

Будем предполагать, что время обслуживания единицы продукции ОУ - СВ а1 с ФР ) = Р{а1 < 1}. Время безотказной работы ОУ - СВ а2 с ФР ) = Р{а2 < ¿}, время восстановления ОУ - СВ Р2с ФР

02^) = Р{Р2 < 0. СВ а1,а2,Р2 предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР /КО,/2(0,02(0 существуют плотности /1(0,/2(0,<§2(0. При отказе ОУ обслуживание единицы продукции прерывается, после восстановления его работоспособности прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала.

Для описания функционирования элемента используем процесс марковского восстановления ПМВ{Хп, 6п; п > 0} и соответствующий ему полумарковский процесс ПМП Х(0 ) с состояниями:

10х - ОУ работоспособен, началось обслуживание очередной единицы продукции; время, оставшееся до отказа ОУ, равно х > 0;

11х - мгновенное состояние, соответствующее моменту окончания обслуживания единицы продукции; время, оставшееся до отказа ОУ, равно х > 0;

20 - произошло восстановление работоспособности ОУ, прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала;

21 - произошел отказ ОУ, обслуживание единицы продукции прервано.

Временная диаграмма функционирования ОУ приведена на рис. 1, граф переходов системы - на рис. 2.

11х 10х

Рис. 1. Временная диаграмма функционирования ОУ

Фазовое пространство состояний имеет вид

Е={10х, Их, 20,21}.

20

21

11х

10х

Рис. 2. Граф состояний ОУ

Система интегральных уравнений для стационарных плотностей имеет вид:

Рю(*) = Р11 (*) = I Му - *)Рю(у)<&+Ро Ш*+0Л (0^;

.г 0

оо оо

Ро = Ро ^1(0/2(0Л+ о о

оо

2ро + /(Рц(х) + Рю(х)Ух = 1. 0

Решением первого уравнения системы является

оо

РюО) = Р11 Сл) = ро /ЛС* + уШу)^у,

о

оо , ч

где /?1(0= Х/1 (0 " плотность функции восстановления процесса с

п=1

временем восстановления ос^.

Постоянная ро находится из условия нормировки. Времена пребывания в состояниях равны:

у10х =хлахт9

г)20 = ос! л а2.

ФР времен пребывания в состояниях имеют вид:

о.т (0 = 1.Г (0 • (о; 1 (0 = (0; ^20 (0 = (0 • ^ 2 (0. Граф состояний системы с дискретными состояниями представлен на рис. 3.

21 ( ) ( ) 11

10

Рис. 3. Граф состояний системы с дискретными состояниями

Необходимо определить вероятности переходов, стационарное распределение ВЦМ и ФР времени пребывания системы в состояниях 10 и 20 системы с дискретными состояниями по формулам [5]:

|р (Лс)р(х9Ег)

Для состояния 20:

Ы*)=Ек / Ч— (12)

А Р (Ек)

Р21 = Р20 = Ро •

229

¥ ¥ Po1 = JFi(t)f2(t)dt; pjq1 = JFl(t)f2(t)dt. 0 0

Для состояния 10

¥ ¥ ¥

Pll =P10 =Po Jdx Jf2 (x + y)hi(y)dy = Po JF2(y)hi(y)dy. 0 0 0

По формуле (11) находим вероятности переходов P^1 и Pq1 :

¥ ¥ ¥ ¥

Po J dx J f2(x + y )h1 (y)F 1(x )dy J h1 (y )dy J f2(x + y )F1(x )dx

P 21 _ o 0__ 0_0_

P10 _-_-

¥¥

Po J F2(y)h1(y)dy J F2(y)h1(y)dy

00

¥ ¥ ¥ ¥

Po J dx J f2(x + y)h1(y)F1(x)dy J h1 (y)dy J f2(x + y)F1(x)dx

P11 _ o o__ o_0_

P10 _-_-.

Ро IF2 (у^(уIF2 (уУ 0 0

Найдем ФР времени пребывания системы для в дискретном состоянии 10, используя (12)

¥¥ P0 J L1 - 1x (t )• F1(t )JJ f2 (x + y )h1( y )dydx

F10 (t)

0 0

¥¥

Po JJ f2(x + y )h1( y ^ydx 00

Преобразовав данное выражение, получим

¥

_ I Л|(у )F2 (у + X ^ _

Ао (х ) = 1 - Р1(х)+ ^----).

| ¿1( у )F 2 (у 0

Имеются два подмножества:

М +={10,21,20} и М - = {11}. Определим пути выхода системы в подмножество М _ (рис. 4):

Щ0 = {£10 £11}, Щ1 = {£10 £ 21£ 20 Щ2 = {£10 £ 21£ 20 £ 21£ 20 £11}... Остальные пути образовываются при повторном попадании системы в состояния £21 и £20 .

Рис. 4. Траектории выхода системы из подмножества М+ - {10,21,20}

Введем гипотезы реализации каждого из путей:

Но - система попала в состояния ¿>21 и ^20 0 раз (путь 0); Н\ - система попала в состояния ¿21 и ^20 по 1 РазУ^ #2 - система попала в состояния ¿>21 и ^20 по 2 раза; #3 - система попала в состояния ¿>21 и ^20 по 3 раза; Нп - система попала в состояния »521 и ^20 по п Раз-Тогда вероятности реализации каждого из путей будут равны:

Р(Щ) = р/о1 ; Р(#1) = Р\о ■ Р\1 ; Р(Н2) = Р\20 ■ (Р20 )• Р20 '■> Р(Я3) = Р1201-(Р2201)2-Р2101;

вд^-^ГЧ1-

Определим ФР времен пребывания системы в каждом из путей:

(0 = Ао (0 * (/21 (0 * /21 (0); %2«=Ао«*(/21(0*/21(0)2; рфз (0=Ао (0 * (/21 (0 * /21 (О)3;

(0 = Ло(0* (/21(0* /21«)", где * - знак операции свертки.

Тогда суммарная ФР времени пребывания системы в подмножестве М+ примет вид

ОО / _2

Ре(0 = Р10 -РЮ^+РЮ^О1- 1Н)1 -Ш*)*/21 (0)я*АО(0,

п=1

где * - знак операции свертки.

Перейдя в область изображение по Лапласу, получим

г-1

/Е (?) = Р0 • /^10 (?) + Р01 • Р201 • I (Р2201)_ • (/21 (?) • /21 ))П • //10 (?).

п=1

Учитывая, что второе слагаемое представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р , и первым членом А0 равными:

р = Р2о • /21 (^ )• /21 (^); А = Р101 • Р201 • /21 ) • /21 (^) • //10 ),

имеем:

р )= Р11 / )+ Р21 Р20 • /21)• /21//10С?)

^х^ ) = Р10 • р10) + Р10--21-Т^-—.

1 _ Р220 • /21 )• /21 )

Решения для /9 (г) ФР времени цикла обслуживания ОУ с учетом его отказов, а также для математического ожидания и дисперсии, полученные известным методом, использующим УМВ, приведены в [11]:

/9(г) = -(/1 (г)|/2(1 + у)И1 (у)Су + ]у(г - х)/1 (х)Сх|/2(х + у)И1 (у)Су), с 0 0 0 где у(г) = 0 2(г) + (<2 * /1 / 2)(г)+* (0 2 + <2 * /1 / 2)](г);

¥ ¥ , ч ¥

с = | /2 (х) Я1 (х)Сх; Я1 (х) = I /*(п) (х); ^(г) = I /*(п) (г); 0 п=1 п=1

1

(г) = I(§2 *(/1/2)) (г). М0 = -(Ма2 + Мр2).

п=1 с

= Da2 + ^р2 + (Ма2)2 - (Мр2)2 + 2(МР2 + Mа1)(Mа2 + Мр2) -с

¥¥ ¥¥ - 2 Ц Уу (т) / 2 (X + у )СтСу - 2(Мр 2 + Ма1) Ц Уу (т) /2 (т + у )СтСу ] -00 00

1 2

- — (Ма 2 + Мр 2)2. с2

Результаты сравнения полученных двумя методами ФР ^(г) и /0(г) представлены на рис. 5.

Исходными данными для моделирования служат ФР /1 (г), /2 (г) и О2 (г), распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами и, 1, т соответственно. Причем

/1 (г) = и2 • г • е-и г; /2 (г) = 12 • г • е-1г; §2 (г) = т2 • г • е-тг, где и = 10 (ч-1); 1 = 0,25 (ч-1); т = 4 (ч-1).

232

оо

На рис. 5, а показано, что результаты моделирования предложенным точным методом и приближенным практически совпадают. Увидеть разницу в кривых можно только при 100-кратном увеличении на рис. 5, б.

а

г

Рис. 5. Сравнение результатов моделирования классическим приближенным методом последовательных приближений и предлагаемым точным методом: а - при обычном масштабе; б - при 100-кратном увеличении; 1 - решение приближенным методом; 2 - решение предлагаемым точным методом

Математическое ожидание и дисперсия СВ e -времени цикла обслуживания единицы продукции ОУ с учетом его отказов, определенные двумя методами:

известным методом, использующим УМВ:

mq = 0,106799 ч; Dq = 0,008286ч2;

предлагаемым методом:

mS= 0,106918 ч; D = 0,008793ч2.

Результаты моделирования доказывают правильность предложенного метода.

В дальнейшем предполагается апробировать предлагаемый метод на моделировании других ПМ систем.

Исследования выполнены при финансовой поддержке министерства образования и науки российской федерации по базовой части государственного задания №2014/702 проект № 3858 и при поддержке гранта РФФИ № 15-01-05840.

Список литературы

1. Прейс В.В., Ядыкин Е.А. Теоретические основы и методы технического диагностирования многоканальных технологических систем роторных машин. Тула: Изд-во ТулГУ. 2005. 72 с.

2. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Теоретические основы технической диагностики автоматических роторных и роторно-конвейерных линий в массовых производствах // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 9-20.

3. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Оценка структурной надежности многоканальной части автоматических роторных линий на стадии проектирования // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып.11. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 437-443.

4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка.1982. 236 с.

5. Королюк В.С. Стохастические модели систем / Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка. 1989. 208 с.

6. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.

7. Броди С.М., Власенко О.Н., Марченко Б.Г. Расчет и планирование испытаний систем на надежность. Киев: Наукова думка, 1970. 192 с.

8. Obzherin Yu.E., Boyko Ye.G. Semi-Markov Models. Control of Res-torable Systems with Latent Failures. Elsevier, Academic press, USA, 2015. 214 p.

9. Peschansky A. I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAMВERT Academic Publishing, 2013. 138 p.

10. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.: Гос-техиздат, 1949. 380 с.

11. Копп В.Я., А.И. Обжерин, Песчанский Ю.Е. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.

12. Апробация метода траекторий на примере моделирования процесса функционирования производственного элемента с обесценивающими отказами / М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, Д.В. Заморёнова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 8. Ч. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. С. 57-70.

13. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 272 с.

14. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1988. 480 с.

15. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании / под ред. А.П. Ершова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1985. 352 с.

16. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учеб. для вузов. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк. 1999. 576 c.

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., Севастополь, [email protected], Россия, Севастопольский государственный университет,

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v [email protected], Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнова Дарья Викторовна, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Севастопольский государственный университет,

Явкун Юрий Леонидович, ст. преподаватель, yuri.yavkun@,gmail.com, Россия, Севастопольский государственный университет

FUNCTIONING MODELING OF SERVICE FACILITY WITH DEVALUATIVE FAILURES

USING ROUTE METHOD

ZamoryonovM.V., Kopp V.Ya., ZamoryonovaD.V., Yavkun Yu.L.

The article presents a trajectory method allowing to model the functioning process of the semi-Markov systems. The functioning modeling of the service facility with allowance for devaluate failures is performed. The enlargement of the system with continuous phase space of states based on the algorithm of the phase enlargement is carried out. A comparison of the proposed modeling method and a well-known one based on Markov renewal equations is presented.

Key words: semi-Markov system, trajectory method, repeated enterings, devaluative

failures.

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noffagmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@,mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mika ukr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university,

Yavkun Yuri Leonidovich, senior lecturer, yuri.yavkun@gmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol national university

УДК 681.5.01

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ УПРАВЛЕНИЯ

А.В. Моржов, С.В. Моржова

Предлагается метод, позволяющий достаточно просто оценивать параметрическую чувствительность периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления.

Ключевые слова: релейная система, кусочно-линейный объект управления, периодические движения, параметрическая чувствительность.

Релейные автоматические системы широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Благодаря появлению технологических возможностей создания ключевых управляющих элементов на новых принципах, не требующих контактного взаимодействия, релейные системы и сегодня не утратили своей значимости.

На кафедре «Системы автоматического управления» Тульского государственного университета под научным руководством профессора Н.В. Фалдина долгие годы успешно развивается прикладная теория релейных систем автоматического управления. В ее основу положена универсальная характеристика релейной системы - фазовый годограф. В рамках данной теории к настоящему моменту разработаны эффективные методы, позволяющие выполнять анализ (исследование периодических движений, оценивание их устойчивости по алгебраическому критерию, приближенное исследование режима слежения с помощью линеаризации по полезному сигналу) и синтез релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления.