CC BY
60
УДК 621.0:519.873
АПРОБАЦИЯ МЕТОДА ТРАЕКТОРИЙ НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ЭЛЕМЕНТА С ОБЕСЦЕНИВАЮЩИМИ
ОТКАЗАМИ
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, Д.В. Заморёнова
Предложен метод траекторий, позволяющий моделировать процесс функционирования полумарковских систем. Доказана теорема о временах пребывания в состояниях траектории с учетом повторных возвратов. Проведено сравнение предложенного метода моделирования и известного метода, основанного на уравнениях марковского восстановления.
Ключевые слова: полумарковская система, метод траекторий, повторные попадания, обесценивающие отказы.
Во многих случаях при моделировании сложных полумарковских (ПМ)систем недостаточно определять только моментные характеристики. Довольно часто требуется найти функцию распределения (ФР) времени цикла функционирования какого-либо технического устройства, в дальнейшем именуемого «производственный элемент» (ПЭ). В случае ПМ систем для этого решаются интегральные уравнения марковского восстановления (УМВ). Целью данной статьи является разработка метода моделирования ПМ систем, не использующего УМВ. Апробация метода траекторий производится на примере моделирования функционирования ПЭ с обесценивающими отказами. Данная задача решена [1] известным методом, использующим решение уравнений марковского восстановления (УМВ ). В данной статье моделирование производится методом траекторий, после чего осуществляется сравнение результатов моделирования. Модель позволяет оценить влияние надежности ПЭ на его производительность при следующем предположении: в случае отказа ПЭ обслуживание продукции прерывается, а после восстановления работоспособности элемента обслуживание продукции производится сначала (обесценивающие отказы) [2, 3].
Предлагаемый метод базируется на теореме, приведенной ниже.
Рассмотрим ПМ систему с общим фазовым пространством состояний М. Выделим в фазовом пространстве состояний М ПМ процесса два подмножества М+ и М_, таких, что М+ иМ_ = М. В дальнейшем будем
говорить только про подмножество М+, так как все сказанное будет верно и для подмножества М _. Времена однократного пребывания в состояниях 8 е М + являются случайными величинами (СВ) а 1, имеющими математические ожидания Ш1, функции (£) и плотности (£) распределения, с изображениями в комплексной области (¿) и (¿) соответственно.
СВ 0£ - время пребывания системы в подмножестве М+, имеющая математическое ожидание Т+. Времена многократного пребывания системы в состоянии е М+ за счет повторных попаданий в них за время 0£ явля-
п А
ются СВ 0г-, имеющими математические ожидания ш?, функции Е^ ) и
плотности (^) распределения, с изображениями в комплексной области А А
Е?(и /г- соответственно. Описываемому ПМ процессу соответствует распределение вложенной цепи Маркова (ВЦМ), характеризующееся удельными частотами рг- попадания в каждое из состояний Б/ е М, и вероятностями переходов р из состояний е М в состояния Sj е М.
Прямой переход из М + в М_ могут иметь не все состояния е М+, тогда целесообразно выделить подмножество Е с М + состояний Бе е Е множества М+ из которых возможен прямой переход во множество М _. Введем определения.
Траектория - множество состояний, в которых система должна побывать, чтобы выйти из подмножества М+ в М_ (или наоборот), причем М+и М_= М, где М - все фазовое пространство состояний. Траектория пребывания системы в подмножестве М+ начинается в состоянии, в которое есть прямой переход из подмножества М_. Заканчивается такая траектория состоянием, из которого есть прямой переход в подмножество М_. Если же из такого конечного состояния имеется два и более перехода в различные состояния подмножества М _, в таком случае формируются две и более различные траектории.
Частной траекторией назовем любую часть траектории. Частную траекторию, содержащую состояние, из которого есть прямой переход в подмножество М_, будем называть частной траекторией восстановления.
Для каждой траектории определяется стационарное распределение ВЦМ и вероятности переходов, полагая, что состояния данной траектории
образуют множество
М+ с М, а все остальные состояния объединяются в
подмножество М_, такое, что М+ иМ_ = М, где к - номер траектории.
Также определяются вероятности Рк реализации к-й траектории на основании вероятностей переходов системы, причем ^ рТ = 1.
к
Теорема о временах пребывания в состояниях траектории с учетом повторных возвратов.Если в дискретной эргодической ПМ системе с известным стационарным распределением для выделенной к-й траектории с состояниями е
М+
известны функции Е (?) и плотности / (?) 58
распределения, то функция Р-1 (я) и плотность (я) распределения времени 0г- пребывания системы в состоянии Б- этой траектории с учетом повторных попаданий в него в области изображений
Р? (я) = - Р(я)
С1
к -С - 1М(я)'
(1)
а в области оригинала они имеют вид
/Т (я) = -т Л (я)-
С
/1 1 ^
(О = -ТРг (0 + — X
С1 С1 т=1
/ \т
- С,
V У
Р,(,)т (/),
(2)
гТ (0=^ ■ л (')+-Г х (1 - 1)т-г!")т+1о>
С1 С1 т=1 С1
где С- = —Г--коэффициент увеличения времени пребывания системы в
РеРе]
состояниях Б- е М + за счет повторных попаданий в него; р- - стационарная частота пребывания системы в состоянии Б- для выделенной траектории; ре - стационарная частота пребывания системы в состоянии Бе (конечном состоянии данной траектории, из которого есть прямой выход в подмножество М-) для выделенной траектории; Р^ - вероятность перехода из состояния Бе в состояние Sj, принадлежащее подмножеству М-.
Доказательство. Времена пребывания системы в состояниях (Б- е М +) увеличиваются за счет повторных попаданий системы с какой-то вероятностью в эти состояния за время пребывания всей системы в подмножестве М+, и больше ни за счет чего они увеличиться не могут, что очевидно. Но это означает, что число попаданий системы подчиняется геометрическому закону распределения с вероятностью Р- того, что система выйдет из этого состояния, а вероятность того, что останется в нем 1 - Р-. При этом граф, описывающий поведение системы в данном состоянии при известной ФР Р- (/) времени пребывания в данном состоянии Б-имеет вид, представленный на рис. 1.
Условные обозначения приняты следующие: Б- о - мгновенное состояние соответствует выходу системы из состояния Б-; Б-1 - исследуемое
состояние , суммарное время пребывания в котором определяется; Р\ -вероятность перехода системы из Бц в о;(1 _ Р) - вероятность повторного попадания системы в состояние 1; Е\ (г) - ФР СВ аг-, имеющей математическое ожидание ш,.
Рис. 1. Граф состояний, соответствующих геометрическому
распределению
По данному графу составляем УМВ:
г
Ек (г) = (1 _ р) | / (г _ з) ЕА +РгЕг (г). (3)
о
Итерируя полученное уравнение (3), имеем (4)
Ек (г) = р • Ег (г) + р I (1 _ р)ш (г) =
г
ш=1
(4)
¥ / \ = РгЕг (г) + Рг I (1 _ Рг)ш /Рш (г) * Ег (г).
ш=1
Плотность распределения /к (г) имеет вид
/к (г) = Рг • / (г) + Рг I (1 _ Рг)Ш /^+1(г)
ш =1
Неизвестной величиной здесь, которую необходимо определить, является Рг . Известно, что при геометрическом законе распределения
Л шг
шАг = —, отсюда следует Рг
Рг = —. (5)
Найдем шАг .По известной теореме [2] можно точно определить Т+ . Для дискретных состояний формула имеет вид
I шг Рг
Т+=-геМ+-= I т,-Р-.
I I Ре/Рг
ееМ+ I I Ре/Ре
ееЕ сМ+ /еМ_ ееЕ сМ+ /еМ_
Тогда
V \ р - • (6)
Введем коэффициент с\ увеличения времени пребывания системы
в состояниях ¿>7-
Ск =
I I РеРе
Так как из рассматриваемой траектории имеется только один выход из состояния - конечного состояния данной траектории, из которого
есть прямой выход в состояние Sj подмножества коэффициент с^ увеличения времени пребывания системы в состояниях будет иметь вид
Сг
1 '
Тогда т0у = т{ -с^ , а вероятность Р^ определяется из условия обеспечения увеличения ш7 до величины т67, откуда следует, что искомая вероятность Р{, исходя из (5),
= (7)
тЩ с*
Подставляя (7) в (4), получаем (2).
Применяя к формуле (4) преобразование Лапласа, получим
^ (5) = + Р, £ (1 -Р; )"' //" =
///=1
(8)
= 1(1 = 1(1 -ЪГЯЧз).
7?1=1 т=О
Полученное выражение представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Возьмем предел выражения
2(1 -ЪТГЬУ
1п=0
иш ¿(1-3 Г//"(*) =
п—
/11=0
1-(1 -Ш(*У
Тогда выражение (8) будет иметь вид
рк =___(9)
Соответственно изображение ПР / (7) будет иметь вид
/к (*)=
sPlFl ( 5)
Рг/г (5)
1 -(1 - Рг )/М 1 -(1 - Рг )/М Подставляя (7) в (9) и (10), получим
(10)
1
Р (5)
Р^ (5) =■
1 -
1 -
/ (^ )
^ У
/г (5)
/г' (5)
сг
Рг (5)
(ск - 1/ (5 ) '
/г (5)
с
/г (5)
1/(5 )
г У
Теорема доказана.
Г
Следствие 1. Время 0£ пребывания системы в траектории равно
сумме всех СВ 0г- 0£ = X 0г, а значит, ФР Р£ времени 0£ - пребывания
1
о
системы в траектории, равно последовательной свертке всех ФР Р^
= р0 * р1 * Р2 *... * Р0 *... * Рп ,
где п - число состояний, входящих в траекторию.
Следствие 2. На основании формулы полной вероятности выражение для определения ФР 0 £ времени пребывания системы в подмножестве М+ имеет вид
р£ = Р1Г • Р1Г + Р2Г • Р2 + РзГ • РзГ +... + РГ • РГ +... + РпГ • РГ .
Следствие 3. Времена пребывания в состояниях всей системы определяются следующим выражением
РЕ = Р? • Р/ + Р2Г • Рг2 + РзГ • Рг3 +... + РГ • Р? + ... + РЙГ • Р? .
Следствие 4. ФР времен пребывания в частных траекториях восстановления соответствуют УМВ для ФР времен пребывания системы в подмножестве М + с заданным начальным состоянием. Таким образом, для дискретной ПМ системы получено точное решение системы УМВ.
Отметим, что в целом алгоритмы фазового укрупнения (например, предложенный в [3]), используемые для перехода от систем с непрерывным множеством состояний к системам с дискретными состояниями, являются приближенными, поэтому говорить о точном решении системы УМВ в непрерывном фазовом пространстве некорректно.
Г
Г
с
1
с
1
1
с
1
1
п
Метод траекторий. Первый шаг. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями е М+. При этом определяются ФР р времен пребывания системы в новых дискретных состояниях, вероятности перехода Ру из этих состояний в другие состояния (переходные вероятности) удельные частоты рг попадания в состояния (стационарное распределение ВЦМ) и стационарные вероятности пребывания в состояниях (стационарное распределение ПМ процесса). Процедура проводится известными методами моделирования ПМ систем.
Второй шаг. Выделение всех возможных траекторий перехода системы из подмножества М+ в подмножество М -. Причем каждое состояние системы входит в одну или несколько траекторий сразу.
Третий шаг. Определяются стационарное распределение ВЦМ и вероятности переходов для каждой из траекторий.
Четвертый шаг. На основании вышеизложенной теоремы заменяют-
а . 0 .
ся времена пребывания в состояниях г на г - для них определяются
плотности и ФР времен пребывания системы в состояниях ^ е М+ с учетом повторных возвратов в соответствии с приведенной теоремой.
Пятый шаг. В соответствии с теоремой о полной вероятностиопре-
рк
деляются вероятности к реализации каждой из траекторий, на основании переходных вероятностей цепи Маркова.
Шестой шаг. Находим ФР времени пребывания в М+ вне зависимости от начального состояния, которая определяется, как взвешенная сумма (смесь) ФР каждой из траекторий, выходящих из состояния $>1. Коэффициентами смеси служат найденные на пятом шаге вероятности Р' реализации траекторий.
Рассмотрим на конкретном примере реализацию предлагаемого метода моделирования.
Исследуется модель функционирования ПЭ при условии, что в случае отказа ПЭ обслуживание продукции прерывается, а после восстановления его работоспособности обслуживание единицы продукции начинается сначала, т. е. время, затраченное на обслуживание единицы продукции до момента отказа ПЭ, обесценивается [1].
Необходимо определить ФР Ре (7) СВ е - время между двумя соседними моментами окончания обслуживании продукции с учетом отказов ПЭ, а также математическое ожидание, дисперсию указанной СВ и производительность ПЭ.
Будем предполагать, что время обслуживания единицы продукции ПЭ - СВ а! с ФР Р1(7) = Р{а1 < 7}. Время безотказной работы ПЭ - СВ а2 с ФР р2(7) = Р{а2 < 7}, время восстановления ПЭ - СВ Р2 с ФР
6з
О^) = Р$2 £ 0. СВ 01 а2, Р2 предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР ^1(0, ^2(0, О2(0 существуют плотности /¡(0, /2(0, &2(0. При отказе ПЭ обслуживание единицы продукции прерывается, после восстановления его работоспособности прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала.
Для описания функционирования элемента используем процесс марковского восстановления ПМВ {Xп, 0п; п > 0} и соответствующий ему полумарковский процесс ПМП ) х ) с состояниями:
10х - ПЭ работоспособен, началось обслуживание очередной единицы продукции; время, оставшееся до отказа ПЭ, равно х > 0;
11х - мгновенное состояние, соответствующее моменту окончания обслуживания единицы продукции; время, оставшееся до отказа ПЭ, равно х>0;
20 - произошло восстановление работоспособности ПЭ, прерванное обслуживание единицы продукции начинается сначала;
21 - произошел отказ ПЭ, обслуживание единицы продукции прервано.
Временная диаграмма функционирования ПЭ приведена на рис. 2, граф переходов системы - на рис. 3.
10х Лх 21 20 Лх 21 20 21 20
10х 10х
Рис. 2. Временная диаграмма функционирования ПЭ
Фазовое пространство состояний имеет вид
Е={10х, 11х, 20, 21}. Опишем вероятности переходов ВЦМ:
р1 оХ = Ж х - У),0 < У < х; РоХ = (х); Р$хх = 1; ¥ ¥
р20У = I /2( У+0Ж0^;у > 0; Р201 = I Щ)/2№; Р?10 = 1. 0 0
20
Рис. 3. Граф состояний ПЭ
Система интегральных уравнений для стационарных плотностей имеет вид
сю сю
Рю(*) = Р11 (*) = \Му - Фю(у№+Ро//2(Л' + 0/1 (0^;
х о
сю сю
Ро = Ро
о о
оо
2Р0 + / (Р11 (*) + р ю(х))<1х = 1. 0
Решением первого уравнения системы является
со
Рю(*) = Ри(*) = Ро \/2(х+уШу)<1у>
о
где /?1 (/) = плотность функции восстановления процесса с вре-
п=1
менем восстановления ос^.
Постоянная ро находится из условия нормировки. Времена пребывания в состояниях:
ъ10х=хла1; иц*=0;
1)21 =Р2; г)2о = ос1ла2. ФР времен пребывания в состояниях имеют вид Ох (0 = I* (0 • ^1(0; % (0 = <?2 (0; /^20(0 = ^1(0-^2(0-Граф состояний системы с дискретными состояниями представлен на рис. 4.
Необходимо определить вероятности переходов, стационарное распределение ВЦМ и ФР времени пребывания системы в состояниях 10 и 20 системы с дискретными состояниями по формулам [3]:
jp (dx)P{x,Er)
Ek
Pkr=—-7-\-, (11)
КГ P (Ek)
Jp (dx)Fx(t)
Fk(t)=E* / ч—• (12)
A P (Ek)
21 ( ) Г ) 11
Рис. 4. Гря^Ь состояний системы с дискретными состояниями
Для состояния 20:
Р21 =Р20 = Р0^0 = 1^1(0/2(0^; ^20 = I^1(0/2(0Л-
о о
Для состояния 10
сю оо
Pli =Рю = 9o\^\f2{x + y)hl{y)dy = Ç)0\F2{y)hl{y)dy. 0 0 о
91 11
По формуле (11) находим вероятности переходов J^q и ^10 :
со со
PO\àx\f2(x + y)hl{y)F\(x)dy \hl{y)dy\f2(x + y)F\{x)dx
р21 _ 0 0__ 0_0_
по -------—
Ро\Е2{у)КШ> J F2{yHy)dy
СО со
Ро1^"1/2 (* + у\ {х^у \ /?! {у^у \/2(х + уЩ (х^х Д11 _ 0 0__ О_0_
^о --¡¡---—¡г:--
Ро1^2 {у)Ь1 {у)4у | Е2 {у)Их {у)Оу
о о
Найдем ФР времени пребывания системы в дискретном состоянии 10, используя (12)
оо оо
Ро J [l - l.Y (í) ■ Fx (Olí/2 (x + y)h (y)jydx
o o
po J 00
Преобразовав данное выражение, получим
оо
\\{yW2(y + t)dy _
F10(i) = --- Fi(i).
0
Имеются два подмножества:
М+ ={10,21,20} и М_={11}. Определим траектории выхода системы в подмножество М_ (рис. 5)
Т\ ={5105П}'72 = lS\0Sl l}-
Рис. 5. Траектории выхода системы из подмножества М+ = {10,21,20}
Определим ФР времен пребывания системы в состояниях 21 и 20 системы с учетом повторных попаданий по формуле (1):
c21-(c2l-l)/2lW
гттр - р20 _ 1 - г2 - р21 _ 1
где с20 --jj - —¡j, с2\ --jj - —¡y ■
Р20' ^20 Р20 Р2\ Р20 Р20 С помощью последовательной свертки определим ФР времени пребывания системы в каждой траектории:
F\ (0 = ^о(0; ?2 (0 = ^10(0 * ?2\(0 * *20(0,
где * - знак операции свертки.
Найдем вероятности реализации каждой из траекторий:
pt = Po1; Pi = Po-
Причем PT + P2T = 1-
q
Отсюда становится возможным определить ФР Fe (t) время пребывания системы в подмножестве M+ вне зависимости от начального состояния, как взвешенную сумму (смесь) ФР времен пребывания системы в подмножестве каждой траектории с коэффициентами равными вероятностям реализации этих траекторий
Fe (t) = f1t (t) P1T + fT (t) pT .
Решения для F^^ (t) ФР времени цикла обслуживания ПЭ с учетом его отказов, а также для математического ожидания и дисперсии, полученные известным методом, использующим УМВ, приведены в [1]: 1 ¥ t ¥ F 0 (t) = 1- (F1 (t) J F 2(t + y )h1 (y )dy + J y(t - x) F1 (x)dx J fi( x + y )h (y )dy), c 0 0 0
где
y(t ) = G 2 (t ) + ( g 2 * FiF 2 )(t ) + [hg *(G 2 + g 2 * F i F 2)](t );
¥ Í \ ^ ¡ \ c = jf2(x)Hi(x)ûX; Hi(x) = SF*(n\x); hi(t) = £/^(t) 0 n=1 n=1
¥
hg(t) = Z(g2 *(Flf2)T(n\t).
n=1
M0 = -(Ma 2 + Mp 2). c
D0 = 1[Da2 + Dp2 + (Ma2)2 - (Mp2)2 + 2(Mp2 + Ma1)(Ma2 + Mp2) -
c
¥¥ ¥¥ -2j jVy (t)F2(t + y)dtdy-2(Mp2 + Ma-) j jVy (tf(t + y)dtdy]-00 00
1 2
—2(Ma 2 + Mb 2)2. c2
Результаты сравнения полученных двумя методами ФР FS0(t ) и F06on (t ) представлены на рис. 6.
Исходными данными для моделирования служат ФР F-(t), F2 (t) и G2 (t ), распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами u, l, m соответственно. Причем
fl(t) = u2 ■ t ■ e-ut; f2(t) = 12 • t • e~U ; g2(t) = |m2 • t ■ e~m <,
¥
где и=10 (ч1); X = 0,25 (ч1); (I =1 (ч 1).
На рис. 6 приведены результаты моделирования. На рис. 6,а показано, что результаты моделирования предложенным точным методом и приближенным практически совпадают. Увидеть разницу в кривых можно только при 100-кратном увеличении на рис. 6,6.
а
Рис. 6. Сравнение результатов моделирования классическим приближенным методом последовательных приближений и предлагаемым точным методом: а - при обычном масштабе; б - при 100-кратном увеличении; 1 - решение приближенным методом; 2 - решение предлагаемым
точным методом
Математическое ожидание и дисперсия СВг- времени цикла обслуживания единицы продукции ПЭ с учетом его отказов, определенные двумя методами:
- известным методом, использующим УМВ:
шобсл = 0,25157209 ч; £>обсл = 0,184262 ;
- предлагаемым методом:
т?= 0,25157209 ч; £>§ = 0,189366.
Результаты моделирования доказывают правильность предложенного метода.
В дальнейшем предполагается апробировать предлагаемый метод на моделировании других ПМ систем.
Исследования выполнены при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по базовой части Государственного задания № 2014/702, проект №3858.
Список литературы
1. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.
2. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук.думка, 1982. 236 с.
3. Королюк В.С. Стохастические модели систем / Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наук.думка, 1989. 208 с.
4. Методы моделирования полумарковских систем / В.Я. Копп, М.В. Заморенов, Ю.Е. Обжерин, О.В. Филипович // Адаптивш системи автоматичного управлшня: Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник. Дншропетровськ, 2015. Вип. №1(26). С. 208 - 221.
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v_kopp@,mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Обжерин Юрий Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., ohisevamail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнова Дарья Викторовна, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Севастопольский государственный университет
APPROBATION OF THE TRAJECTORIES METHOD BY THE EXAMPLE OF THE MODELING OF THE FUNCTIONING PROCESS OF THE PRODUCTION ELEMENT WITH DEPRECIATIVE FAILURES
M. V. Zamoryonov, V. Ya. Kopp, Yu.E. Ohzherin, D. V. Zamoryonova
The method of trajectories, allowing to model the process of functioning of the semi-Markov systems, is presented. The theorem on the stay time in the trajectory states, taking into account the repeated returns, is proved. A comparison of the proposed method of modeling and of the well-known method based on the Markov renewal equation is carried out.
Key words: semi-Markov system, the method of trajectories, re-entry, depreciative
failures.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, сandidate of technical sciences, docent, zamoryo-noffa gmail. com, Russia, Sevastopol State University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppCciimail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Obzherin Yuriy Evgenevich, doctor of technical sciences, professor, objsev(a),mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mik(a),ukr.net, Russia, Sevastopol State University
УДК 539.375
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДИФИЦИРОВАННОЙ ТЕОРИИ «ЛОКАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ»
Ю.Н. Овчаренко
С позиции механики хрупкого разрушения в статье изложена модифицированная теория «локальная плотность энергии деформации» и ее экспериментальная проверка.
Ключевые слова: локальная плотность энергии деформации, линейная трещина, model, modell, направление распространения трещины.
В работе автора [1] были предложены новые условия разрушения для теории «локальная плотность энергии деформации», разработаннойра-нее G.C. Sih в [2, 3].Речь идет о линейной трещине для задачтиоб/е/и/илитиоб/е// и оценивании опасности разрушения с помощью критерия плотности энергии деформации.
В теории G.C. Sih длякритерия плотности энергиидеформации использовалось известное в научной литературе выражение:
W = \(оггг + авев + т гвугв) (1)
Асимптотические напряжения и перемещения у вершины трещины в полярной системе координатах могут быть записаны в виде [4]:
иг = C]Y~ ^ ^—cos ^ в + 5 cos~j + C2r~^(3sin^6 — Ssin^j; ÜQ = C^i^cos^e + 3 cos~j + C2r~2^(—sin^6 — sin^j;
тгв = C^^^sin^e + sin^j + C2r~2±(3cos^6 + cos^jX 2) 2/шг = Ctr2 [(/с — ^ cos^ — ^cos^O + C2T2 (k — ^ sin^ + ^sm^öj;
= С±Г2^—(^k+ + + C2r2 — (k + ^ C05~ + \cos\®
