Моделирование процесса деформирования тел с использованием клеточных автоматов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.688

С.П. Бобков, И.В. Полищук

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

(Ивановский государственный химико-технологический университет)

e-mail: ajto@mail ru)

Статья посвящена вопросам использования дискретных динамических моделей для исследования процесса деформирования твердых тел. Рассмотрено поведение упругого и вязкоупругого тел при механическом воздействии. Показано влияние диссипатив-ной составляющей на поведение тела при ударе.

Ключевые слова: математическое моделирование, дискретные модели, клеточные автоматы, деформирование тела

Развитие технологий, позволяющих проводить исследования микроструктуры деформируемых тел, сделало возможным изучение влияния внутренней структуры материалов на их поведение при механическом воздействии. Последнее обстоятельство весьма важно для развития

-

нических процессов химической технологии, поскольку там центральное место занимают процес-

-

риалов. Известно, что измельчение материалов является одной из наиболее энергоемких стадий в химической, строительной и некоторых других отраслях индустрии. С этих позиций исследования в области моделирования процессов, протекающих при деформировании твердых тел и направленных на снижение энергозатрат, являются весьма актуальными.

Классическими методами моделирования механического поведения твердых тел являются континуальные подходы, использующие уравнения механики сплошной среды. Однако, описание значительных деформаций и, особенно, разрушения тела приводит к сложностям описания подобных процессов с помощью классической механики сплошных сред. В этих случаях хорошей альтернативой континуальным моделям могут быть дискретные динамические подходы и методы, одним из которых является использование систем клеточных автоматов [1].

Клеточный автомат - это математический объект, поведение которого определяется в рамках локальных взаимодействий. Он состоит из набора пространственных дискретных элементов (клеток, ячеек). Для каждой клетки определено множество возможных состояний, переход между которыми определяется функцией переходов, в нашем случае детерминированной. На каждой итерации, в соответствии с упомянутой функцией,

определяется новое состояние клетки, причем ар-

дущее состояние самой рассматриваемой клетки и состояния клеток-соседей [2]. Используя методологию клеточных автоматов, моделируемое тело можно представить как совокупность связанных локальных точек (элементов), в которых сосредоточена вся масса тела. Каждый такой элемент определяется некоторыми параметрами состояния: положение, скорость и пр. [3].

Рассмотрим процесс деформирования твердого тела в двухмерной постановке. Представим твердое тело как совокупность однородных элементов, взаимодействующих друг с другом посредством некоторых связей (рис. 1).

■ I

I I

Рис. 1. Схема дискретной модели двухмерного тела Fig. 1. Discrete two-dimensional model of solid body

При этом математическое описание связи зависит от принятой модели твердого тела. Так при рассмотрении абсолютно упругого тела, связи описываются моделью Гука, при исследовании вязкоупругого тела - моделью Кельвина. Другими словами, тип деформации определяется лишь правилом взаимодействия элементов друг с другом.

Так как тип деформации определяется только законом взаимодействия элементов, то выделим изолированную пару соседних элементов и

.

В случае моделирования упругого тела взаимодействие пар элементов, согласно закону Гука. должно подчиняться следующему уравнению (рисунок 2):

У,-О dl '

(1)

(

j=i

E, (d ,,

■dl

d l

(5)

Для вязкоупругого тела следует учесть

вязкую составляющую (2), таким образом поведе-

-

нием:

miai mig

j=i

(E, (d,-d,)

Л

dil,

i, i,

(6)

где /•.',, - параметр жесткости связи между двумя соединенными элементами / и /; <::/„ - расстояние между элементами в текущем состояние; ¿/„" -расстояние между элементами в исходном (не деформированном) состоянии системы [4].

Рис. 2. Связанная пара элементов в случае упругой деформации Fig. 2. The coupled pair of the elements in the case of elastic deformation

Для вязкоупругой деформации (модель тела Кельвина) на взаимодействие элементов (рис. 3) влияет также вязкая составляющая:

F- - c..v... (2)

V V V v '

где у,, - проекция относительной скорость элементов / и / на направление связи; с„ - коэффициент сопротивления [4].

Рис. 3. Связанная пара элементов в случае вязкоупругой деформации

Fig. 3. The coupled pair of the elements in the case of viscoelastic deformation

На элементы так же могут влиять внешние силы, например сила тяжести:

P,=™,g. (3)

где g - ускорение свободного падения; т, - масса элемента.

Зная силы, действующие на элементы, воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы определить их новые координаты и скорость:

™,а, =F(Pi,Vi,t), (4)

где Pi - положение /-ого элемента в пространстве; я, - ускорение элемента.

Учитывая (1), (3) и (4) получим уравнение для суммы сил, действующих на произвольный элемент в случае упругой деформации:

1 У

При численном моделировании процесса

деформирования в качестве внешнего воздействия

-

пятствие. Скорость отскока тела от препятствия можно определить из закона отражения

л'п = л'с -2-й • (п ■ V), (7)

где Ус - скорость элемента перед столкновением,

1;и - скорость тела после столкновения, п - нормаль к поверхности препятствия.

-

ровании столкновения элементов тела с препятствием является трение. В качестве модели был использован закон Амонтона-Кулона, устанавли-

-

ния, возникающей при относительном скольжении тела, с силой нормальной реакции, действующей на тело со стороны поверхности. Уравнение может быть записано следующим образом:

-м; . (8)

где к я - коэффициент трения между элементом / и поверхностью 5; А^, - сила реакции опоры [5].

Итак, с учетом трения, (5) и (6), силы, действующие на элемент в случае столкновения его с поверхностью, описываются следующей формулой для упругого тела:

т,а г = тд + 1 1 п 1 (9)

j=i

dl

E, (d, - d°)

d l

+ c,v, « «

(10)

где D — список соседних элементов.

:

п

та>= + к*Ы„ + X 1=1

Для вычисления обновленного положения

-

Кутты-Фельберга. Этот метод имеет четвёртый

порядок точности, то есть суммарная ошибка на

-

док 0(114) с ошибкой на каждом шаге порядка 0(115). Кроме того, метод позволяет оценить ошибку и на ее основе автоматически изменить шаг интегрирования [6].

На основании описанной модели были

проведены численные эксперименты с помощью

-

ного обеспечения. Для ускорения вычислений все

векторные операции были выполнены с использованием векторных инструкций, также было реализовано параллельное выполнение вычислительных процедур на нескольких вычислительных ядрах.

-

вания упругой и неупругой деформации двухмерных тел различной формы и структуры при свободном падении на неподвижное препятствие.

-

ронами 0,1x0,1м; второе - круг радиусом 0,05м с полостью по центру радиусом 0,035м. Результаты экспериментов представлены в сравнительной форме для того, чтобы оценить влияние диссипа-тивных процессов на поведение тела при ударе. Фрагменты рисунков отстоят друг от друга по времени на 2 мс.

■ I ■ ■

я ■ I ■ I ■

1 0 2 О 3 О 4 О 5 С

iOQQQO

1 2 3 4 5

Рис. 4. Процессы деформирования тел в результате удара: а-упругая деформация, б - вязкоупругая деформация наиболее напряженных участков конструкций Fig. 4. The deformation processes of bodies as the result of impact: a - elastic deformation, б - viscoelastic deformation of most stressed parts of constructions

При моделировании были приняты следующие основные параметры: скорость при столкновении - 15 м/с; материал тела - каучук

Кафедра информационных технологий

(плотность - 910 кг/м3; модуль упругости -

0.79.Ю7 Па; -упругого деформирования - 6-102); шаг по времени - 50-10~6с; материал препятствия - гранит.

Анализ рисунков показывает, что в обоих случаях вязкоупругое тело деформируется слабее и отскакивает от поверхности после столкновения менее высоко. Безусловно, это связано с потерями энергии вследствие ее диссипации.

Можно сделать вывод, что предложенный подход дает результаты, хорошо согласующиеся с общепринятыми положениями теории. Иллюстрация хорошо отражает влияние диссипативной составляющей на процесс удара тела о препятствие. Кроме того, при моделировании легко рассчитать деформации связей внутри тела и, при необходимости, действующие механические напряжения.

-

-

ской нагрузке или локализации наиболее напряженных участков конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобков C.1I. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. С. 109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V.52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

2. Toffoli T. Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling. MIT Press. 1987. 200 p.

3. Psakhie S.G., Horie Y., Yu S. // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2001. V. 37. P. 311-334.

4. Лурье А.И. Теория упругости. M.: Наука. 1970. 940 е.; Lurie A.I. Theory of Elasticity. M.: Nauka. 1970. 940 p. (in Russian).

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука. 1979. 520 е.; Sivukhin D.V. The general course of physics. M.: Nauka. 1979. 520 p. (in Russian).

6. Ernst H., Syvert P., Gerhard W. Solving Ordinary Differential Equations I.: Springer Science & Business Media. 1993. 528 p.