CC BY
7УДК 519.688
С.П. Бобков, С.С. Смирнов
ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
e-mail: [email protected]
Статья посвящена исследованию адекватности дискретной модели, описывающей процесс упругой деформации одномерного твердого тела. Рассмотрено распространение импульсов в теле и их отражение от границы раздела сред. Проверено выполнение закона сохранения энергии.
Ключевые слова: дискретные модели, клеточные автоматы, упругие волны
Ранее нами были рассмотрены возможности применения дискретных динамических моделей в виде клеточных автоматов для анализа процесса распространения упругих волн в твердых телах [1]. При этом непрерывное пространство разбивалось на элементы, каждый из которых работал как конечный детерминированный автомат. Состояние элементарного автомата на каждом шаге дискретного времени зависело от его предыдущих состояний и состояний элементов - соседей. С использованием закона Гука была получена функция переходов для моделирования процесса деформирования одномерного упругого тела, которая имеет вид [2]:
"i(tk+1) = 2ui(tk)-ui(tk_1) +
At2
Mtk):
»i+l(tk)-Uj(tk) h
(2)
Средняя скорость элемента i в момент времени tk
«i(tk)-«i(tk-i)
v;(tk) =
At
(3)
где и^к) - смещение (абсолютная деформация) 1-го элемента в момент времени 1к; С; - скорость упругой волны в материале элемента; Д1 - шаг по времени; Ь - шаг по координате.
Нетрудно показать, что выражение (1), а также получаемые из него функции переходов для крайних элементов тела, являются локальными правилами, описывающими макроскопические взаимодействия элементов в идеально упругом материале.
Помимо величины абсолютной деформации еще одним параметром распространения возбуждения по стержню является относительная деформация. Она характеризует не абсолютный, а относительный сдвиг элемента вдоль координатной оси. Кроме того, интересно также рассмотреть скорости элементов при движении импульса по стержню. Напомним, что в рамках дискретной модели все точки элемента движутся одинаково.
Эти параметры рассматриваемого процесса можно выразить так.
Величина средней относительной деформации 1-го элемента в момент времени 1к:
Проверить адекватность и, в конечном итоге, применимость рассматриваемого подхода можно путем сравнения полученных модельных результатов с известными общепринятыми положениями.
Рассмотрим распространение одиночного импульса по однородному одномерному стержню.
Значения основных параметров процесса примем аналогичными рассмотренным ранее [2], т.е. плотность материала стержня - 2000 кг/м3; скорость звука в материале - 5000 м/с, стержень длиной 20 мм разбит на 20 элементов с шагом 1 мм, шаг по времени 0,2 мкс.
Внешнее воздействие осуществляется на первый (крайний слева) элемент четырьмя импульсами амплитудой 0,05, 0.05, -0,05 и -0,05 мкм соответственно и продолжительностью в один шаг по времени.
На рисунке представлены результаты моделирования в виде значений смещений (абсолютной деформации) иь относительной деформации 8; и скорости волновой поверхности Vi элементов. Моменты времени XI равны шагам по времени с номерами 5, 10, 20 и 29, соответственно. Импульсы, движущиеся в обратном направлении, изображены пунктирной линией.
Анализ данных показывает следующую картину процесса.
Импульс смещения произвольной формы движется по стержню, отражается от свободного конца стержня и продолжает движение в противоположном направлении. При этом форма импульса не искажается. Это полностью соответствует картине распространения возмущения в идеаль-
ХИМИЯ И ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ 2012 том 55 вып. 7
107
ном случае (без потерь энергии). То же можно сказать об импульсах относительной деформации и скорости волновых поверхностей.
Рис. Моделирование процесса деформирования тела Fig. Modelling the deformation process of a solid
Рассмотрим подробнее процесс отражения импульсов от свободного конца стержня. Согласно модели отраженные импульсы имеют ту же фазу, что и падающий. Поведение волн на границе двух сред подробно описано в монографии [3]. Здесь указано, что процесс отражения зависит от величины следующего параметра
v = (4)
РА
где р - плотности, С - скорости волн (индексы 1 и 2 относятся к материалу стержня и окружающей среды).
В нашем случае плотность среды 2 игнорируется, т.е. у « 0. Согласно [3] отражение импульсов на границе сред в таких условиях должно быть синфазным, что и подтверждается моделью.
Кроме того, из теории известно, что зависимости для скорости волновой поверхности (геометрическое место точек, движущихся одинаково) и относительной деформации описываются одной и той же функцией, но с разными знаками. Из рис. легко заметить, что скорость волновой поверхности и относительная деформация для любой клетки и любого момента времени находятся в противоположных фазах. Это полностью согласуется с теорией.
Необходимым элементом проверки корректности функции переходов (1), является проверка сохранения механической энергии в стерж-
Кафедра информационных технологий
не при отсутствии ее диссипации после прекращения внешнего воздействия на него.
В процессе распространения воздействия в стержне, частицы материала движутся и, следовательно, обладают кинетической энергией. Кроме того, изменение объема элементов стержня, их деформация связана с изменением потенциальной энергии. Полная энергия, которой обладает стержень при распространении в нем механического возбуждения, будет суммой этих двух видов энергии. Поскольку нами рассматривается стержень из идеального материала, в котором отсутствуют потери, исследуемая система является консервативной. То есть суммарная полная энергия элементов - клеток должна сохраняться для любого момента времени.
Плотность (отношение к единице объема) полной энергии i-го элемента в момент времени tk можно определить так:
W, (tk) = M'iK„„(tk) + Ti'inoT(tk) = Н t{(tk )]2 + С2 [6, (tk )]2 (5)
Для рассматриваемого примера должно выполняться условие:
5>i(tk) = const i=l
Условие (6) должно выполняться для любого tk после прекращения внешнего воздействия.
Результаты расчета суммарной плотности полной энергии представлены в таблице.
Таблица
Расчет суммарной плотности энергии
Номер шага по времени 1 2 3 4 5 6
Сумма плотности энергии, Дж/м3 125 250 375 500 500 500 500
Расчеты показывают, что после окончания внешнего воздействия сумма плотности полной энергии материала, для всех tk ^ 4 постоянна и равна 500 Дж/м3. Это еще раз подтверждает корректность предлагаемой модели.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология.
2009. Т. 52. Вып. 3. C.109-114.;
Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).
2. Бобков С.П., Смирнов С.С. // Изв. вузов. Химия и хим. технология». 2010. Т. 53. Вып. 8. C.100-102;
Bobkov S.P, Smirnov S.S. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010. V. 53. N 8. P. 100-102 (in Russian).
3. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Физматлит. 1959. 572 с.;
Gorelik G.S. Oscillations and waves. M.: Phizmatlit. 1959. 572 p. (in Russian).
108
ХИМИЯ И ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ 2012 том 55 вып. 7
