CC BY
23
УДК 521.73
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТ КОМЕТ С ФИКСИРОВАННЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ АПСИДАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Н.Ю. Емельяненко
В работе исследуется кинематика касательного сближения малого тела с Юпитером. Предлагаются две модели комет с фиксированным положением апсидальных точек. Рассматривается возможность, и определяются условия низкоскоростного сближения этих комет с Юпитером. Анализируются особенности сближений модельных комет.
Введение
Рассмотрим апсидальные низкоскоростные сближения кометы и Юпитера с фиксированным положением апсидальных точек. Пусть апсидальные точки удалены от орбиты Юпитера на 1 а.е. и находятся за пределами (линия ОА4) или внутри орбиты Юпитера (линия ОР4). Одна астрономическая единица (1 а.е.) - это радиус сферы сближения в большинстве работ, в которых изучаются прохождения комет вблизи планет-гигантов. Итак в работе рассматриваются кометы, орбиты которых удовлетворяют условию:
б-а'=1 II а-д=\. (1)
Нанесём изучаемые орбиты на плоскость (а,е), на которой ранее построена и изучена область комет со [1-3]. Назовем область с верхней границей А4ОР4 расширенной областью комет с особенностями в сближениях с Юпитером (<Вех)- На плоскости (а,е) эти орбиты образуют ломаную линию А4ОР4 (рис. 1). Точки Q, X, Ъ, I, Б - опорные для комет с линии А4ОР4. Точки МиЯ-особые.
Более подробное описание обозначений можно найти в работе [4].
В точках низкоскоростного касания орбит М и М' выполнены условия:
УНУ', (2)
У=У. (3)
Основные задачи исследования. В работе изучаются модельные кометы, орбиты которых расположены на ломаной линии А4ОР4 области юЕХ.
1. Рассматривается эволюция орбит при продвижении вдоль линии А4ОР4 (изменение элементов, характеризующих размеры и форму орбиты).
2. Оценивается возможность, и определяются условия синхронного движения Юпитера и кометы на периоде обращения вокруг Солнца, отмеченном апсидальным минимумом.
3. Выделяются и описываются возможные особенности сближения с Юпитером модельных комет.
В предлагаемых кинематических моделях низкоскоростных сближений предполагается, что при прохождении афелия (перигелия) комета А4(Р4) и Юпитер находятся на одном радиус-векторе.
11.7 *.»•.
Рис. 1. Область комет с особенностями в сближениях
1. Модель А* (невозмущенная орбита до и после сближения) Это кометы, орбиты которых удовлетворяют условию:
а+1--1, 3,52 < а < 5,20 а.е.
а--
(1.1)
Они расположены на верхней левой границе области соех. линии ОА4. В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой А4. Для кометы А4 выполнено равенство:
8й^гм<81, (1.2)
то есть на орбите этой кометы имеются две точки низкоскоростного касания орбит М1 и Мг, расположенные между малой центральной (¿¡¿г) и фокальной (Щг) хордами (рис. 2).
Рассмотрим изменения размеров и формы орбит кометы А4 при продвижении вдоль линии ОА4 области шЕХ. Точки О и А4 на плоскости (а,е) имеют координаты: О (а =5,20 а.е., е = 0,19); А4 (а =3,52 а.е., е =0,76).
Выразим элементы а, (), ц орбиты кометы А4 через её эксцентриситет е и большую полуось орбиты Юпитера а'\
а'+1
а--
Рис. 2. Наименьшая орбита кометы A4
1 + е Q = а'+1,
(1.3)
1-е 1 + е
(а'+1).
Исследование функций а = а(е), q = q{e) на экстремум показало, что при продвижении вдоль линии ОА4 области Шех они непрерывно убывают. Приведем элементы орбит наибольшей (точка О) и наименьшей (точка A4) орбит кометы A4:
а = 5,20 а.е.,
Q = 6,20 а.е., (1.4)
q = 4,20 а.е., е = 0,19.
шах,
A4 •
min ,
A4 '
а = 3,52 а.е.,
б = 3,20а.е., (1.5)
q = 0,85 а.е., е = 0,76.
На орбитах кометы А4 всегда имеются точки пересечения орбит кометы и Юпитера - опорные точки Х1 и Х2. Точки низкоскоростного касания орбит М] и М2 всегда расположены внутри орбиты Юпитера. В момент времени комета и Юпитер находятся на одном радиус-векторе. Так как на дуге и М^Мг модули гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера связаны неравенством V < V', а на дуге ^ М2#М1 - неравенством V > V', на орбите комет А4 всегда имеются особые точки Я] и Лг, при прохождении которых комета и Юпитер еще дважды оказываются на одном радиус-векторе.
На рис. 2 изображена орбита А™" - это наименьшая орбита с линии ОА4. Все опорные точки нанесены только на левую часть рисунка. Особая точка Я показана на правой его части. Там же приведены кратные минимумы (КМ), подробно рассмотренные в третьей части этой работы.
А4 - единственная модельная комета из предложенных в наших работах, орбита которой пересекает орбиту Земли (при е >0,72).
2. Модель Р4 (невозмущенная орбита до и после сближения). Это кометы, орбиты которых удовлетворяют условию:
а'—1
е = 1--, 5,20 :£ а 7,68 а.е.
а
(2.1)
Они расположены на верхней правой границе области соЕх, линии ОР4. В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой Р4. Для кометы Р4 выполнено равенство:
вБ < гм < Б6, (2.2)
то есть на орбите этой кометы имеются две точки низкоскоростного касания орбит М1 и М2, расположенные между малой центральной (¿>¡¿2) и фокальной (Б^г) хордами (рис. 3).
Рассмотрим изменения размеров и формы орбит кометы Р4 при продвижении вдоль линии ОР4 области Юех- Точки О и Р4 на плоскости (а, е) имеют координаты:
О (а = 5,20 а.е., е = 0,19), Р4 (а = 7,68 а.е., е = 0,45). Выразим элементы а, Q, «¡г орбиты кометы через эксцентриситет е и большую полуось орбиты Юпитера а':
а = -
1-е а'-1
(2.3)
Рис. 3. Наибольшая орбита кометы Р4
1-е д = а'~ 1.
Исследование функций а = а[е), Q = 0(е) на экстремум показало, что при продвижении вдоль линии ОР4 области иЕХ они непрерывно возрастают. Приведем элементы орбит наименьшей (точка О) и наибольшей (точка Р4) орбит кометы Р4.
а = 5,20 а.е.,
р7; 0 = 6,20 а.е., (2.4)
ц = 4,20 а.е., е = 0,19.
тах
Р4 :
а = 7,68 а.е.,
6= 11,16 а.е., (2.5)
q = 4,20 а.е., е = 0,45.
Особая точка М на орбите кометы Р™п совпадает с точками Ъ и X; на остальных орбитах линии ОР4 она расположена между точками b и F. На периоде обращения, отмеченном перигелий-
min
ным минимумом, комета и Юпитер три раза оказываются на одном радиус-векторе. Орбита Р4
max w
совпадает с орбитой A4 , но рассматриваются разные модельные сближения: перигелииное у кометы Р4 и афелийное у кометы A4.
На рис. 3 изображена орбита Р4тах. Размещение всех опорных и особых точек совпадает с их
min
размещением на орбите A4 .
3. Особенности апсидальных сближений комет А4 и Р4
Начальные условия низкоскоростного сближения (НУ). Найдем условия, необходимые для длительного низкоскоростного сближения кометы А4(Р4) и Юпитера. Рассмотрим синхронные движения Юпитера и кометы А4(Р4) на периоде ее обращения вокруг Солнца, отмеченном афе-лийным (перигелийным) минимумом (см. рис. 1, 2). В рамках решаемой задачи комета А4(Р4) и
Юпитер движутся по законам Кеплера. Ввиду симметрии движения тел относительно линии апсид опишем движение кометы на дуге U Qq.
Решения уравнения Кеплера были найдены аналитически в опорных точках и точке М. В табл. 1, 2 приводятся: а - угол между направлениями на комету и Юпитер (а = и - v У, - йови-центрическое расстояние кометы; F/F' - отношение модулей гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера в опорных, особых точках, а также в точках минимумов величины r¡. Точки, попадающие в область сближения, отделены жирной ломаной линией. Число таких точек, зависит от эксцентриситета кометной орбиты е.
Согласно табл. 1, 2, в момент времени /„ угол между направлениями на комету и Юпитер ра-
вен о^. Пусть VM и VM. - векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера, соответствующие углу /3 - угол между направлениями на комету, находящуюся в точке М, и Юпитер, находящийся в точке К, такой, что выполняется равенство (1).
Угол /3 для комет A4 и Р4 находился аналитически, а затем табулировался. Сравнение углов (%, и /8 показывает, что они всегда имеют одинаковый знак и для кометы At(P4) при 0,25 < е < 0,59 (0,27 < е < 0,45) отличаются не более чем на 7°. По мере продвижения вдоль линии орбит ОА4 к точке A4 расхождения Д = с^-/3 увеличиваются и в точке А4 Д^х = 14°,8; в точке О Дпа* = 11°,2.
Итак, в момент времени tu выполнено равенство (2), а равенство (1) выполнено приблизительно, что позволяет говорить о наличии низкоскоростных касательных участков на орбитах комет A4 и Р4 в окрестностях точек Mi и М2.
Апсидальные сближения комет A4 и Р4 - это длительные низкоскоростные сближения, так как они охватывают несколько опорных точек орбит.
Положения кометы A4 и Юпитера с углом щ (е < 0,27), 0£р (0,28 < е < 0,43), между направлениями на эти объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы A4. При 0,44 < е < 0,76 точки Mi и М2 не принадлежат области афелийного сближения [5]. Сближения этих комет не будут низкоскоростными.
Положения кометы Р4 и Юпитера с углом с/д(е < 0,23), щ (0,24 <е< 0,35), Qfc(0,36 <е< 0,40), с^(0,41 < е < 0,45) между направлениями на эти объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы Р4.
Заметим, что точки низкоскоростного касания орбит М] и Мг принадлежат области сближения кометы Р4 для всех эксцентриситетов табл. 2.
Кратные минимумы (КМ). В работе Емельяненко [4] было показано, что йовицентрическое расстояние кометы в рамках парной задачи двух тел может быть вычислено по формуле:
г? = la '- rf + 4га 'sin2 -. (3.2)
j I I 2
Качественный анализ уравнения (3.2) не исключает КМ для комет A4 и Р4. Минимумы возможны в точках Q(q) и R(ot = 0), в точке Х(г - а1).
Исследование функции r¡ на экстремум проводилось в два этапа. Сначала в опорных точках и точке M величина r¡ вычислялась по аналитическим формулам (см. табл. 1, 2). Анализ значений
Tj показал следующее. Для всех орбит кометы А4(Р4) функция йовицентрического расстояния
имеет глобальный минимум в точке Q(q). Затем она возрастает до значения г". После прохождения точки M величина г} продолжает возрастать у кометы A4 при ер > 0,48 (у кометы Р4 при ер > 0,43) сначала медленно, а затем (после прохождения точки Р(1))очень быстро. При е <ер выполнено неравенство г" >fj. Первый этап исследования показал, что сближения кометы модели А4(Р4) и Юпитера могут сопровождаться вторичными минимумами.
У ьГ о\ СМ 1-Н т^ чо 1-Н 3 см у 00 1-н см" У и ем" 2,57 у-сг «1 со 3,62 1н Оч ^ СО Я 35 10 О О т-н тс тГ У с О ^ 00 г- ^ 1-Н 00 СО Оч «О Оч
ее 00 С4) о СО * X 00 со <П чо а иГ Оч ОЧ § Л (н 00 СМ ЧО Т-н СО СО о Г- ^ 00 со Оч Оч О со со
и 1-н «-Н V! 1-Н 1-н ем см см ем см" ем ем" ем" со" СО СО СО
$ £ «о г- т-Н о 0\ «О СО 1-н 1-н ■8 ю СО 1-н ее р см СО 1-н С<1 1-Н £ г- <г> 1-Н 1-н со 1-Н 1-Н О О ф Т-Н 1-Н О Т-Н 1—1 1-Н В 1-Н ее Р СМ 1-н 1-н ООО 1-н т-Н 1-н 8 СО оо" ОЧ Оч, г~" Оч
л 1* £ ООО г- со см 1—1 1—1 1-н £ 1-н т ра о о 1-Н / 8 т-Н 8 1-н. к > ем со 1-н Г- ОЧ тч СО, со ^ т—1 Т—1 1—1 СО «О к > чо оч ем ЧО ЧО г^ 1-Н т-Н 1-н ю 1-Н 00 00 см Оч Т-Н
£ кГ я со 1Л ©„с* 1-н* 1-н чо со 1-Н г <н" Оч со Т-Г г »-н 1-Н 1-н & со 00 Оч 1-Н* X. и 8 см" <-1 Оч т-Н Т-Н Т-Н см" см" ем" см ь и СО 00 |> ое^ ем" ем" ем" ОЧ 00 ем ем 1-Н СО 00 1-н со
/ я СО г-9" 1-н 00 чо 1 г-чо »г «г со 00 чо 1 см Г- / см о 1-н 1 00 ем Я> 00 1-Н 1 оч чо ем со со со т-н т-н т-н 1 1 1 СО Т-Н 1—( 1 ё см оо ■<* о чо, ем^ о*, ю Оч Оч 00 00 1111 Г-" чо" 1 1
£ > со СМ з. 1-« 8. 1-н Г-н £ > см 1-н 1-Н к > «о 1-н к > ю ем, 1-н ОЧ ем т—( 9 О 8* ООО О о" р- 1 о, о, о о о, 8 § 3 § 3 о о" «о
и ем а^ СО 00 1-Н т-н ь »г 00 1-Н X, иГ г- Г-; »-н г- 1-Н X, 00 00, 1-н ^ 1-Н 1н ЧО 1-Н см" см" ем" я ем" 3. Ц- ОЧ СМ «о со, ^ см см см 00 ч ем см ЧО ем" см
е 1—1 ем Оч Ч-Н о" ю аГ 1-н 1 ё ■ч- оС 1-Н 1 ё 00 0О 1 «о 00 1-н 1 Т-Н ЧО 1-н 1 >П »-н ■ «У Оч, г- 1-Н ГО ЧО Г-" о" о" ^ ем ем 1 1 1 Оч 1-Н 1 Г^, ЧО «О со со со см ем см Ч со ^ 1—I со ем ■ ЧО
£ > § э Т-Н о 1-Н к > к > § ё т-Н р^ о 00 § к > О 1-Н 1-н 1—1 Т-Н 1-Н Т-Н 1-Н 1-Н 1-Н 1-н 1-Н 1-Н Т-Н к > V-) ЧО чо 1—1 1-н 1-Н 1-Г 1-н41—г т—1 1-Н 00 1-Н 1-н 00 1-Н 1-н
оч 8 со оч см оч а. 1-Н оч а см ем а* оч 00 00 см Оч 13 ЧО О СМ ^ 00 т-Н т-Н 1-Н 1-Н СО с 3 О СО чо «о ■ч- ^ <П 1Л) чо
N 1—1 1-й 1-Н и >-н 1-Н 1—4 1-Н: г» см ем ем СЧ ем ем см СМ СМ ем
й СО 1-н 1-н ем" ем 1 1-Н см 1 ю Т-Н м 1 о V© г-Н ем 1 в ю 1-н см 1 V© 1 / о 00 1-н СО об т-н г-ем ем ■ со, чо, со со со см ем см 1 > * 1-Н Я" 1 а >л оч ем чо" чо" Г-" ем ем см • 1 1 ЧО ем ОЧ ем П а 1
1 г- 1—I о\ г- N ОС г- чо 1 Г-- чо 1 «о Ю 1 с-10 1Л «л 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
г 45 1—1 8 сч 1Г1 1-н * т-н г г »н1 VI оч Т-Н Оч 1-Н к > 00 о, 1-Н 1-н 2. »н ем 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 VI 1—1 1-н ем" ем 1 1-Н см 1 г-; см 1 00 1-Н с* 1 1 Оч Т-Н см 1 о ем" ^ £3 иг 8 см со о см" т—1 со" см 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
со. 1—1 оч о" 1—1 1 00 со 45 ю 1 аа 1-Н чо 1 « СО Г-" 1-Н 1 Оч Р-" 1 в ЧО м" 00 со 1 <п М-НН Ю Ю 1Г1 чо со со см -<* тс ^ Оч СО 00 СО
£ р со 1-Н 1 1 1 N р* о V© с* о 1 ЧО г цГ см" <л о ем г 8 см" СО VI т—1 1-н 1-н ем ем ем" Я ем" г «н см ем ем 00 «о см" 1-Н ЧО ем"
л а ьГ СМ I—1 1 1 1 £ 1-н £ 5 1 1 Оч ем" ^ ем СО 1 ЧО. со ем 1 . Т-н СО Я Я ■ ■ 1 о ^ см 1 1 Г"-" Г-" оо" см см ем 11 1 СО чо етч" см 1 о о" со 1
1-н 1-н 1 1 1 / 1-н ем / 1 см са о ем" ем см со ем ■ са о, 1о" 00, ем ем ем Оч т-Н СО 1 И со о г-«О ЧО чо сс> со со Г-" со 1 "Я-¥ ем, 1-Н Т
О 1—1 Оч г- о чо о чо £ «о а ЧО А ОЧ 00 00 со со со со со О ОЧ Оч со ем ем 00 см ЧО ем ем
£ 0\ 8 т—1 О* Оч о о" к > ЧО Оч о" к > «о ОЧ о" <о Оч о к > со Оч о" см Оч С? к > 1-Н Оч о" Оч Оч О 00 00 ОЧ о" о" о" о" ем т-н ^н 00 00 00 О о о" о 00 О 00 г-о" о
* 00 8 см" >г> оч, 1-Н а т«н X Т1" ОЧ 1-н 1Н1 1-н Оч, 1-н 1Н1 ОЧ о\ 1—< 1-Н о см" «н со о см ем" см ем ем Т-Н ем" К иГ «о- -н ем, см см" см" см" ем см ем 00 ем ем" о СО с*
4 г- 1-н ем" е? чо 1-н см 1 <л> см 1 «п 1-н ^ а 1 ЧО 1-н* ем 1 с? ем ем" ем 1 ■Ч; ем ем ■ ЧО ем" оч, о, ем, см" со со см ^ со сГ ем^ ^ «л Г-; Я ^ ^ Т1- ем ■ «о см •
£ > чо «О Ф « о4. ООО к > ЧО а\ о <к § о ч 1-н Оч о о ^ о ОЧ о' 00 00 ОЧ 00 00 00 о" о" о о к > О ОЧ Оч 00 00 г- г-о о о" о о СО о"
<о оч 1-Н 1-Н а «-Ч ^ 1-Н К 1н" м »г 00 Оч, 1-Н Оч ОЧ 1-Н к 1н 1-Н О ем" ем см" см см 1-Н см" "»н V") ЧО т—1 ^Н 1—1 ем" ем" ем" г- ем" 00 Т-Н ем" оо 1-Н ем"
«Л 1-н со 1-н е? 1-н в ^ 1-Н ^ б1 «о 1-Н т—4 ^ ¿Г Оч 1-Н 1—1 ем" ^ б" СО см" ем • ЧО Г^, 00 см" ем" ем" см см ем ■ ■ 1 СО ем 6" 00 00 00 со со со см ем ем ■ 1 1 00 со 00 со ем со
1 со см 00 о" О 00 00 о о £ > 00 г-о* £ > г-|> о ЧО г-о" > ем г-о о г-о V £ > Оч ЧО О с^ чо ем чо чо ЧО чо о" о" о" о" > ОЧ 00 г-«о «-> «о о" о о" ЧО о" со <г> о" со «л о"
о N 1-Н 1-н 1-Н у с 1-Н о ьГ 1-н и 1-Н 1-н э> а 1-Н ^н ^н ^н 1-н б1 1н 1-н 1-н 1-н 1-н 1-Н 1-Н
1-н Оч 1-Н о" я о" £ о" о й о о о СО о" 1-Н СО о" о ОЧ СО о" 1—4 о « СО о" ЧО Г- 00 ** ** о" о" о" О <0 ОЧ О I СМ «о чо чо чо о" о" о о ЧО ЧО О г- ЧО о"
к
0) 3-
г
О)
£
Таблица 2
Значения угла а в опорных точках как функция эксцентриситета орбиты кометы модели Р4
е у/у ар У/У а, г; Ух/У' 1>х Р ам «М «ь У/у аг Ч1 У/у «02 гГ 4°
1 2 3 4 5 б 7 8 9 14 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0,19 0,23 1 1 1,21 1,23 21,9 21,4 1,94 1,92 1,04 1,03 22,1 21,4 2,00 1,93 1,00 1,02 102 92 11,0 13,2 22Д 21,2 2,00 1,94 101 97 22,3 20,7 2,00 1,94 0,99 0,98 21,6 18,7 1,99 1,86 0,97 0,93 0,62 6,61 1,02 1,26 176 140 175 153 1,07 1,30 0,98 2,05
Iе г,' У/У Ч" у/у ар У/У их Р ам ^ т>м Оь ЧЬ У" 14' г/ У7у «Рг «Р2 иК гЛ # 1
0,24 1 1,24 21,2 1,92 1,03 21,2 1,92 1,03 90 13,8 20,0 1,93 97 20,3 1,92 0,97 17,8 1,82 0,92 4,98 1,28 140 149 1,36 2,44
1 6 Чч у/у г; У/У ар Ч* У/у «X Р Ом гм % Оь £ уЬ/у «Р2 ТР2 У О! ч' у/у »н г/ I
0,32 0,34 1 1 1,28 1,29 20,5 20,4 1,85 1,84 1,08 1,09 20,1 19,8 1.91 1.92 1,02 1,02 78 76 18,0 19,0 19,7 19,4 1.91 1.92 93 93 15,9 14,4 1,85 1,85 0,92 0,90 10,0 8,19 1,74 1,79 120 120 7,28 3,57 1,78 1,94 0,83 0,80 132 130 1,86 2,02 6,53 7,79
0,35 1 1,29 20,4 1,84 1,09 19,7 1,92 1,01 75 19,6 19,3 1,92 93 13,6 1,86 0,90 7,23 1,84 120 1,52 2,06 |0,79 130 2,10 8,45
* 4« У/У' о» г; у/у ар Ч* У/у V* Р Ом # Им °Р2 тГ аь ЧЬ У/у г* Ч* ч' У/у 1
0,36 0,40 1 1 1,30 1,32 20,3 20,2 1,74 1,83 1,10 1,12 19,6 19,0 1,97 1,95 1,01 1,01 74 71 20,1 22,1 19,2 18,6 1,93 1,96 92 92 16,6 15,0 1,86 1,87 100 100 12,7 8,78 1,88 2,02 0,89 0,86 129 122 2,17 2,29 -0,7 -11,0 2,22 3,18 0,78 0,73 9,12 12,0
1« г,4 у/у г; у/у 1>х «Р2 °Р2 ГР2 Ч аР г/ У/У' р ам Ч* ■Ом % гГ «Рз аь V у/У «я г/ ' ?.....
0,42 1 1,32 20,2 1,83 1,13 69 70 20,2 1,83 18,8 1,97 1,01 23,1 18,3 1,98 92 14,1 1,83 100 0,45 1 1,33 20,2 1,82 1,12 68 70 20,0 1,82 18,4 2,01 0,98 24,6 17,8 2,02 92 12,8 1,92 100 6,45 2,16 0,85 120 2,38 3,88 13,4 2,43 2,45 0,79 118 2,56 5,23 15,4
га
ф
I
х
м о о
о)
Так как эти минимумы вызваны не гравитацией Юпитера, а специфическими размерами и формой кометных орбит, так же как и для кометы А2(Р2) [6], это - геометрические кратные минимумы (ГКМ) [1, 7].
Для уточнения положения ГКМ на втором этапе работы линейной интерполяцией между всеми опорными точками и точкой М через 10° по истинной аномалии г> кометы А4(Р4) были вычислены значения величин 15, а и К/К'. Анализ результатов подтвердил наличие ГКМ у кометы А4(Р4) при всех значениях их эксцентриситетов. У кометы Р4 по крайней мере еще один минимум попадает в область сближения [5]. То есть, у этой модели в области юЕх всегда есть ГКМ. Сначала р2 находится вблизи точки Я, затем он плавно смещается к точке X, а в окрестности точки Я появляется третий минимум (см. табл. 2). У кометы А4 при е > 0,46 ГКМ не принадлежат области сближения. Вторичный минимум кометы А4 расположен в окрестности точки Я при е < 0,42; между точками Ъ и Б (0,43 < е < 0,76). При 0,28 < е < 0,30 имеется очень слабый минимум в окрестности точки X. При 0,39 < е < 0,45 опять появляется дополнительный слабый минимум. Он непрерывно смещается от точки Р к точке М и не фиксируется при е > 0,46 (см. табл. 1).
Количественный анализ подтвердил наличие вторичных минимумов у кометы А4(Р4) в окрестности точки Я. В окрестности точки X вторичный минимум обнаружен у кометы Р4 при всех значениях величины е. У кометы А4 очень слабый минимум периодически появляется в окрестностях точек X, Р, М.
Временный спутниковый захват (ВСЗ). Как уже было сказано ранее, у кометы А4(Р4) в окрестностях особых точек М] и М2 выполнено условие (2) и приблизительно выполнено условие (1). Поэтому окрестности этих точек благоприятны для возникновения ВСЗ. У модельных комет оно возникает и за пределами области сближения (при е > 0,46), так как разность углов а„ - Р < 11° для 0,19 < е < 0,67(комета А^; для 0,19 < е < 0,52 (комета Р4). Окрестности апсидальных точек неблагоприятны для возникновения ВСЗ. В точке Q кометы А* (точке д кометы Р4) выполнено условие (1), но условие (2) сильно нарушается. Явление ВСЗ никогда не перейдет в ВГЗ (временный гравитационный захват), так как йовицентрическое расстояние комет в течение всего сближения слишком велико (см. значения г9, г*, г* в табл. 1, 2). Йовицентрические траектории представляют собой замысловатые петли, вызванные изменением гелиоцентрической скорости (комета то догоняет Юпитер, то отстает от него). У кометы А4 (Р4) при е < 0,45 кратные минимумы функции йовицентрического расстояния, не связанные с обращением кометы вокруг Юпитера принадлежат области апсидального сближения [6].
Заключение
Итак, сближения комет А4, Р4 и Юпитера, удовлетворяющие начальным условиям, рассмотренным выше, - это низкоскоростные сближения. Особенности сближений:
1.Сближения комет А4 и Р4 могут бьггь длительными. Для кометы А} сближение охватывает весь период ее обращения вокруг Солнца (е < 0,27); распространяется на дугу
(е < 0,43). Для остальных объектов с линии ОА4 комета не покидает области сближения на полупериоде, включающем афелий. Для кометы Р4 оно охватывает весь период ее обращения вокруг Солнца (е < 0,23); распространяется на дугу и (е < 0,40).Для остальных объектов с линии ОР4 комета не покидает области сближения на дуге и М]ЯМ2.
2. Функция йовицентрического расстояния комет А4 и Р4 имеет кратные минимумы. Глобальный минимум достигается в апсидальной точке: р = <2 Г\ р = д. Вторичные минимумы - это геометрические кратные минимумы. Они имеют место в окрестностях точек пересечения орбит кометы и Юпитера и (или) в окрестностях точек, в которых комета и Юпитер находятся на одном радиус-векторе. ГКМ принадлежат области сближения комет А4 иР4 при е < 0,45.
3. На орбитах комет А» и Р4 имеются две точки низкоскоростного касания орбит. Для комет с линии ОА4 точка М принадлежит области сближения при е < 0,37. Точки М1 и М2 - это центры низкоскоростных касательных участков, на которых вероятен временный спутниковый захват в смысле Эверхарта. На участках ВСЗ расположен максимум функции йовицентрического расстояния комет. ВСЗ модельных комет А4 и Р4 не может перейти во временный гравитационный захват, так как во всех минимумах комета находится слишком далеко от Юпитера. ВСЗ комет А4
и Р4 не может быть длительным, так как условия (1,2) быстро нарушаются до и после прохождения кометой точки М.
Работа поддержана грантом РФФИ№ 06-02-16-512,
Литература
1. Емельяненко Н.Ю. Кинематика низкоскоростных сближений комет с Юпитером. Модели орбит // Всерос. астр. конф. (ВАК-2001). СПбГУ. Тезисы докладов. - 2001. - С. 63.
2. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тис-серана. 3. Кинематика низкоскоростных сближений // Астрономический вестник. - 2003. - Т. 37. -№1.-С. 66- 73.
3. Емельяненко Н.Ю. Моделирование орбит комет // Вестник ЮУрГУ, серия «Математика, физика, химия». - 2003. - Вып. 4. - №8(24) - С. 99-106.
4. Емельяненко Н.Ю. Модели комет с неафелийным касанием орбиты Юпитера. Апсидаль-ные точки расположены на орбите Юпитера// Вестник ЮУрГУ, серия «Математика, физика, химия». - 2005. - Вып. 6. - №6(46). - С. 45-52.
5. Емельяненко Н.Ю. Динамика орбит комет при тесном сближении с Юпитером. Анализ длительности сближений // Астрономический вестник. - 2003. - Т. 37. - №2. - С. 153-160.
6. Емельяненко Н.Ю. Модели низкоскоростных сближений комет с Юпитером // Кинематика и физика неб. тел. - 2003. - № 4. - С. 113-116.
7. Емельяненко Н.Ю. Низкоскоростные сближения наблюдаемых комет с Юпитером // Всерос. астр. конф. (ВАК-2004). МГУ. ГАИШ. Тезисы докладов. - 2004. - С. 226.
Поступила в редакцию 22 мая 2006 г.
