CC BY
37
Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http ://naukovedenie.ru/ Том 7, №4 (2015) http ://naukovedenie. ru/index.php?p=vol7-4 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/09TVN415.pdf DOI: 10.15862/09TVN415 (http://dx.doi.org/10.15862/09TVN415)
УДК 693
Илюхин Андрей Владимирович
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Россия, г. Москва1
Заведующий кафедрой «Автоматизация производственных процессов»
Профессор Доктор технических наук E-mail: [email protected] РИНЦ: http://elibrary.ru/author profile.asp?id=331654
Марсова Екатерина Вадимовна
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Россия, г. Москва
Профессор кафедры «Автоматизация производственных процессов»
Доктор технических наук Доцент
E-mail: [email protected]
Колбасин Александр Маркович
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Россия, г. Москва
Доцент кафедры «Автоматизация производственных процессов»
Кандидат технических наук Доцент
РИНЦ: http://elibrary.ru/author profile.asp?id=702654
E-mail: [email protected]
Кочетков Андрей Викторович
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»
Россия, г. Саратов Профессор кафедры «Транспортное строительство»
доктор технических наук E-mail: [email protected]
1 125319, Москва, Ленинградский Проспект, 64
Астафьев Михаил Александрович
OAO «Самарагорпроект» Россия, г. Самара Главный инженер Аспирант
E-mail: [email protected] Алхалуш Мохамед
ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»
Россия, г. Москва Аспирант E-mail: [email protected]
Моделирование физико-структурных характеристик композитных материалов с частицами неизометрических форм
Аннотация. Разработаны математические модели случайного заполнения матричных структур, которые представляют собой розыгрыш координат пакуемых сфер с равномерным распределением по объему пакуемого контейнера и которые могут быть использованы для исследования физико-структурных свойств и композиций материалов методом статистических испытаний отдельных случайных заполнений. Моделирование позволяет учесть более тонкие структурные особенности композиций, которые не удается фиксировать экспериментальными методами. Исследования проводятся современными компьютерными средствами, позволяющими производить большой объем необходимых вычислений с высокой точностью и в короткое время. Исследования методами математического моделирования структуры композитных материалов позволяют гибко и оперативно производить необходимые поправки и уточнения методики исследования. Эти методы позволяют исследовать свойства широкого класса материалов от моноатомарных жидкостей до материалов типа бетонов с различными размерами элементов композиций различной формы.
Ключевые слова: композит; объемная концентрация; критическая концентрация; теория «просачивания»; кластер; проводимость; модель.
Ссылка для цитирования этой статьи:
Илюхин А.В., Марсова Е.В., Колбасин А.М., Кочетков А.В., Астафьев М.А., Алхалуш М. Моделирование физико-структурных характеристик композитных материалов с частицами неизометрических форм // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 7, №4 (2015) http://naukovedenie.ru/PDF/09TVN415.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ. DOI: 10.15862/09TVN415
Некоторые физико-структурные характеристики композитных материалов зависят от геометрической формы частиц заполнителя, исследование которых на математических моделях сопряжено с учетом отклонения их формы от сферической. В этом случае следует строить случайные заполнения принятого объема материала несферическими элементами. Моделирование упаковок сферическими и несферическими элементами подчиняется некоторым общим принципам, заключающимся в случайном розыгрыше параметров этих элементов и их расположении в пространстве (в упаковке), последовательности пакования этих элементов, в методах построения алгоритмов и программ. В основу процесса заполнения входит проверка условий непересечения элементов случайного заполнения, как между собой, так и с границами гипотетического контейнера.
Однако принципиальное отличие заполнений сферическими и несферическими элементами заключается в том, что число обобщенных координат каждого элемента значительно больше по сравнению со сферическими элементами, а количество их определяется формой частиц в упаковке. В этих случаях значительно возрастают трудности анализа условий непересечения элементов друг с другом и с гранями контейнера. Причем, если случайное заполнение представлено элементами одной формы, эти условия могут быть систематизированы. Если частицы в упаковке имеют разную форму, то число различных видов сравнения разноименных элементов определяется номинальным коэффициентом из числа форм по два, усложняя программу моделирования и приводя к резкому возрастанию затрат машинного времени. В этом случае приходится оптимизировать процедуру выбора форм элементов заполнения и их представительного количества в упаковке.
Элементы упаковок по форме можно качественно разделить на три группы: с округлой формой, с многогранной формой и комбинированные. Рассмотрим формирование условий непересечения элементов модели упаковок друг с другом и с гранями контейнера для различных форм элементов заполнения. Элементы округлой формы могут быть представлены в виде круглого цилиндра со сферическими основаниями, эллипсоидов вращения, трехосных эллипсоидов и т. д. Ограничимся рассмотрением только этих трех форм элементов.
Упаковка круглых цилиндров со сферическим основанием. Каждый элемент описывается семью обобщенными координатами центров оснований и радиусом сечения цилиндра. Условия непересечения (рис.1) сфер оснований цилиндров представляют собой неравенства:
где п - число упакованных элементов; индексы I и j обозначают номер элемента в упаковке; к, p - номера оснований цилиндра.
хр]у +(гк1-УР])2 +(гк1-гиу > -я})2;
г = 1,2,..., п; у = 1,2,..., п; г * у; к = 1,2; р = 1,2,
(1)
Рис. 1. Схема упаковки не пересекающихся круглых цилиндров со сферическими основаниями
К условиям (1) необходимо добавить условия непересечения сфер оснований одного цилиндра с поверхностью другого. Для чего необходимо опустить перпендикуляры из центров оснований одного цилиндра на ось другого и найти точку их пересечения, решая затем систему уравнений прямой оси и плоскости, ей перпендикулярной и проходящей через центр основания другого цилиндра:
' X - Х, _ У - У, _ 7 - 7,
Х2, - Хи
У - У
1 2, 1 И
7 - 7
2 2, 7И
x - ХР1 хх и - Хи)+(у - УР] Ху* - Уи)
+ (7 - 7р]- \72, - 7и ) = 0;
+
, = 1,2,..., п;] = 1,2,..., п;, * ];р = 1,2.
(2)
(хУ0 70-)
Если обозначить решения системы (2) через координаты точки ^ р' р' р!', которая
лежит между основаниями цилиндров, т.е.
Хц < х0] < X2,;Уц <УР] < У*;7ц < 70] < 7
(3)
то условие, при котором расстояние между точкой основания перпендикуляра и точкой, из которой опущен этот перпендикуляр, должно быть не менее суммы радиусов обоих цилиндров:
Х0] -Хр])2 +(УР0] -Ур])2 +(70, -7р)* ,(Я, + Я,)2
(4)
Для проверки условия пересечения цилиндрических участков элементов достаточно при фиксированном положении центра одного основания смещать центр другого основания по оси цилиндра в сторону первого основания, непрерывно проверяя при этом условия (2) и (3). Прямое решение этой задачи затруднительно.
Условие непересечения цилиндров с гранями гипотетического контейнера кубической формы, совпадает с условием непересечения с этими гранями обеих сфер оснований.
<
Упаковка эллипсоидов. Каждый элемент в упаковке описывается девятью обобщенными координатами: координатами центра, длинами трех полуосей и трех узлов Эйлера (направляющих осей эллипсоида). Эллипсоиды вращения являются частным случаем трехосного эллипсоида, в котором две оси совпадают. Поэтому, эллипсоиды вращения полностью описываются восемью обобщенными координатами.
Непересечение двух эллипсоидов связано с выполнением условия отсутствия корней системы двух эллиптических уравнений. В этом случае из уравнений эллипсоидов определяется в явном виде одна из координат, например аппликата z, и для эллипсоида с большей аппликатой центра берется радикал с отрицательным знаком, а в другом - с положительным. Находится методом наискорейшего спуска минимум величины разности вычитания из первого уравнения второго. Эллипсоиды не пересекаются, если этот минимум не отрицателен. Аналогично определяют условия непересечения эллипсоидов с границами гипотетического контейнера. Так как нет аналитического описания этих условий, то решения уравнений отыскиваются численными методами, используя следующую последовательность операций элементы определителя преобразований через l, m, n и т.д.:
^ = cos р cos щ- cos в sin щ sin р; m = sinщcosр + cos в cos щ cos р; П = sin в sin р;
/2 =- cosщsinр-cosвsinщcosр; m = - sinщsinр + cosвcosщcosр; П = sin в cos р; /3 = sin в sin щ; m = - sin в cos щ; П = cos в,
(5)
где ф - угол вращения вокруг новой оси аппликат; у - угол прецессии (между осью абсцисс и прямой пересечения координатных плоскостей с постоянной аппликатой); 9 - угол нутации (между осями аппликат); 1, т, п, ... - элементы определителя преобразований.
Углы ф, у, 9 являются обобщенными координатами эллипсоида в пространстве. Учитывая обозначения (5) уравнению ьго эллипсоида придаем следующий вид:
(1иХ + ¡21у + ¡Ъ12 + X )2 (тиХ + ш21У + + % )2
2 + 1.2 + а1 Ъг
(п11Х + П2гГ + Щг2 + 2г )2 = + с2 '
С (6)
где X;, У1, - координаты эллипсоида; а1, Ы, с - длины полуосей его - тоже обобщенные координаты ьго эллипсоида.
Из уравнения (6) определим z в виде выражения
2 = ¥1 (Х,У)±тЩхЗ), (7)
где Fi(X,Y) и gi(X,Y) - многочлены второй степени, определяемые коэффициентами преобразования (5) и другими обобщенными координатами.
Для определения непересечения ьго и j-го эллипсоидов рассмотрим выражение:
9
(Х, У) = г (Х,У)- Г] (Х,У)-Vgi (Х,У)(Х,У),
(8)
представляющее собой разницу нижней части кривой построенной по выражению (7) и ьго эллипсоида и верхней части j-го эллипсоида, если В области определения фу(ХД)
это выражение имеет положительный минимум при не пересечении эллипсоидов, т. е., если
Ш1П9
(Х, У) > 0;, = 1,2,..., п; ] = 1,2,..., п;, * ]
(9)
то все п эллипсоидов образуют упаковку непересекающихся элементов.
Упаковка выпуклых многогранников. В моделях упаковок выпуклых многогранников обобщенными координатами служат координаты всех вершин. При моделировании этих заполнений, несмотря на кажущееся разнообразие форм многогранников, все они могут образовывать заполнение по единообразным алгоритмам и программам. При этом могут моделироваться заполнения элементов как с однотипной, так и с не однотипной формой, а также с разным числом вершин. В этом случае необходимо задаваться лишь их максимальным числом.
Сформулируем условия непересечения двух многогранников. В каждом многограннике образуем множество комбинаций из трех вершин и проведем через них семейство плоскостей. Очевидно, что эти плоскости будут или проходить сквозь многогранник (пересекать его), или включать в себя его грани. Если провести проверку на непересечение всех ребер с отрезками прямых, заключенных между любыми двумя вершинами одного многогранника, со всеми гранями указанного семейства другого многогранника, а затем эту же процедуру повторить в обратной последовательности, то можно сделать заключение о пересечении этих многоугольников. Рассмотрим эту процедуру подробнее.
Выберем из j-го многогранника (рис. 2) любые три вершины, а в ьм-любое ребро.
Рис. 2. Пересечение ребра одного многогранника гранью другого
Точка пересечения прямой, совпадающей с ребром и плоскостью через указанные три вершины, определяется из решения системы уравнений:
Х-Хи _ Y-Yи _ Z-Zfcl
Xpi - Хк1 Ypi - Yki Zpi - Zki
Х - Х£1 Y - Yfj Z - ^
X — X ^ — ^ Z — Zí.
а £) а в а в
X, ■ —
Ь) в
^ ^ Zhj ^
= 0.
(10)
Если решением системы является точка (Хо, Уо, Zo), то в случае, если грань и ребро пересекаются, эта точка должна принадлежать ребру, т.е.
X, < X0 < Хр1 < 70 < У^;^ < 20 < . (11)
Для проверки принадлежности точки (Хо, Уо, 2о) плоскости треугольника необходимо убедиться, что точка (Хо, Уо, 2о) расположена между ребрами треугольника из данной вершины, т. е. следует проверить соотношения:
ео8(авЬ)> шах[со8(аГО),со8(ЬГО)];
со8(вЬа)> шах[со8(вЬО),со8(аЬО)];
со8^Ь)> шах[со8^О),со8(ЬаО)) ^2)
При этом в соотношениях (12) достаточно проверить только любые два неравенства.
Таким образом, невыполнение хотя бы одного из условий (11) и (12) указывает на то, что данное ребро не пересекает выбранную грань. Невыполнение же этих условий для всех ребер и граней ьго и j-го многогранников свидетельствует о их непересечении. Для того чтобы многогранники полностью находились внутри гипотетического контейнера, необходимо, чтобы все вершины лежали внутри него.
Следует отметить, что условия непересечения многогранников значительно проще условий непересечения округлых тел неизометрической формы, однако количество вычислений по проверке этих условий значительно. Так, если каждый многогранник имеет т вершин, то число ребер отрезка прямых составляет число сочетаний из т по два, т. е. Ст2. Число же всевозможных граней, которые можно провести через любые три вершины его, составляет число сочетаний из т по три, т. е. Ст3. Нетрудно видеть, что для каждой пары
т2 (т -1)2 (т - 2)2
многогранников необходимо тетраэдров это число равно 24.
12
раз проверить условия (11) и (12). Так, для
Разработанные математические модели случайного заполнения представляют собой розыгрыш координат пакуемых сфер с равномерным распределением по объему пакуемого контейнера. Они могут быть использованы для исследования физико-структурных свойств и композиций методом статистических испытаний отдельных случайных заполнений. Моделирование позволяет учесть более тонкие структурные особенности композиций, которые не удается фиксировать экспериментальными методами. Исследования проводятся современными компьютерными средствами, позволяющими производить большой объем необходимых вычислений с высокой точностью и в короткое время. Исследования методами
>
математического моделирования структуры композитных материалов позволяют гибко и оперативно производить необходимые поправки и уточнения методики исследования.
Эти методы позволяют исследовать свойства широкого класса материалов от моноатомарных жидкостей до материалов типа бетонов с различными размерами элементов композиций различной формы [5-9].
ЛИТЕРАТУРА
1. Лычев А.С., Пименова Э.В. Получение математических моделей прочности бетонов для оперативного регулирования их составов // Надежность и контроль качества строительных конструкций: Сб. научн. трудов / КИСИ. - Вып. 4 -Куйбышев, - 1976. - С. 37...42.
2. Лычев А.С. Вероятностные методы расчета строительных элементов и систем: Учебное пособие. Самарская государственная архитектурно-строительная академия. Самара: 1995. - 160 с.
3. Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем // ЖТФ. - 1951. Т. 21. №6. - С. 667 - 685.
4. Илюхин А.В., Колбасин А.М., Марсов В.И. Формирование оптимальной структуры асфальтобетонной смеси с пуассоновским распределением частиц / Строительные материалы. 2012. №9. - С. 47 - 50.
5. Статистические методы контроля качества при производстве цементобетона и цементобетонных смесей / Васильев Ю.Э., Полянский В.Г., Соколова Е.Р., Гарибов Р.Б., Кочетков А.В., Янковский Л.В. // Современные проблемы науки и образования. 2012. №4. С. 101.
6. Проблемы долговечности цементных бетонов / Рапопорт П.Б., Рапопорт Н.В., Кочетков А.В., Васильев Ю.Э., Каменев В.В. // Строительные материалы. 2011. №5. С. 38-41.
7. Совершенствование структуры отраслевой диагностики федеральных автомобильных дорог / Аржанухина С.П., Кочетков А.В., Козин А.С., Стрижевский Д.А. // Интернет-журнал Науковедение. 2012. №4(13). С. 70.
8. Адаптивное управление подвижностью при дискретном производстве цементобетонных смесей / Васильев Ю.Э., Каменев В.В., Кочетков А.В., Шляфер В.Л. // Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). 2011. №2. С. 96-100.
9. Диагностика и паспортизация элементов улично-дорожной сети системой видеокомпьютерного сканирования / Васильев Ю.Э., Беляков А.Б., Кочетков А.В., Беляев Д.С. // Интернет-журнал Науковедение. 2013. №3 (16). С. 55.
Рецензент: Овчинников И.Г., профессор кафедры «Транспортное строительство», д.т.н., зам. руководителя «Поволжского отделения Российской академии транспорта», ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».
Iluhin Andrey Vladimirovich
Moscow state automobile and road technical university
Russia, Moscow E-mail: [email protected]
Marsova Ekaterina Vadimovna
Moscow state automobile and road technical university
Russia, Moscow E-mail: [email protected]
Kolbasin Aleksandr Markovich
Moscow state automobile and road technical university
Russia, Moscow E-mail: [email protected]
Kochetkov Andrej Viktorovich
Saratov state technical university of Gagarin Yu. A.
Russia, Saratov E-mail: [email protected]
Astafev Mihail Aleksandrovich
OAO «Samaragorproekt» Russia, Samara E-mail: [email protected]
Alhalush Mohamed
Moscow state automobile and road technical university
Russia, Moscow E-mail: [email protected]
Physics simulation-structural characteristics of composite materials with particles are not geometric shapes
Abstract. Mathematical models of casual filling of matrix structures which represent draw of coordinates of packed spheres with uniform distribution on the volume of the packed container and which can be used for research of fiziko-structural properties and compositions of materials by method of statistical tests of separate casual fillings are developed. Modeling allows to consider thinner structural features of compositions which don't manage to be fixed by experimental methods. Researches are conducted by the modern computer means allowing to make large volume of necessary calculations with high precision and in a short space of time. Researches by methods of mathematical modeling of structure of composite materials allow to make flexibly and quickly necessary amendments and specifications of a technique of research. These methods allow to investigate properties of a wide class of materials from monoatomic liquids to materials like concrete with various sizes of elements of compositions of various form.
Keywords: composite volume concentration; critical concentration; the theory of «trickle down» cluster conductivity; models.
КЕГЕКЕ^Е8
1. ЬуеЬеу Л.Б., Р1шепоуа Б.У. Ро1иЛеше та1еша11сЬе8к1кк шоёе1еу ргосИпобй ЬеШпоу ё1уа орега11упо§о ге§иИгоуап1уа ¡кИ БоБ1ауоу // Каёе2Ьпо81' 1 коп1хоГ каЛеБ1уа Б^океГпу^ копБ^^1у: БЬ. паисИп. 1гиёоу / К181. - Уур. 4 -КиуЬуБЬеу, - 1976. - S. 37...42.
2. ЬусЬеу Л.Б. УегоуаШоБШуе ше1оёу гавсЬе1а Б^океГпукИ е1ешеп1оу 1 в1в1еш: ИсЬеЬпое роБоЫе. Башагекауа §овиёагв1уеппауа агкЬ11ек1игпо-81го11е1'пауа акаёеш1уа. Башага: 1995. - 1бо б.
3. Оёе1еувк1у У.1. Яа8сЬе1 оЬоЬвЬсЬеппоу ргоуо^шовй §е1его§еппукЬ в1в1еш // - 1951. Т. 21. №6. - Б. 667 - 685.
4. ПуикЫп Л.У., Ко1ЬаБ1п Л.М., Магеоу У.1. Богш1гоуап1е орйшаГпоу Б^кШгу авГа1'1оЬе1оппоу БшеБ1 б риаББопоуБк1ш гавргеёе1еп1еш сЬа81й8 / Б^океГпуе materialy. 2012. №9. - Б. 47 - 5о.
5. 81ай81;1ске8к1е ше1оёу коп№о1уа касЬев1уа рг1 рго12уоёБ1уе 1Бешеп1оЬе1опа 1 18ешеп1оЬе1оппукЬ БшеБеу / УавИ'еу Уи.Е., Ро1уапБк1у У.О., Боко1оуа Е.К, ОапЬоу КВ., КосЬе1коу Л.У., УапкоуБк1у Ь.У. // Боугешеппуе ргоЬ1ешу паик1 1 obrazovaniya. 2012. №4. S. 101.
6. РгоЬ1ешу ёо1§оуесЬпо811 18ешеп1пукЬ ЬеШпоу / ЯаророЛ Р.В., ЯаророЛ КУ., Kochetkov A.V., Vasil'ev Yu.E., Kamenev V.V. // Stroitel'nye materialy. 2011. №5. Б. 38-41.
7. S0уeгshenstу0уanie БйикШгу otгas1eуoy diagnostiki Геёега1'пукИ aуtoшoЬi1'nykh ёого§ / Л^апиШпа Б.Р., Kochetkoу Л.У., Ко2т Л.Б., Stгizheуskiy Б.Л. // Ыегпе^Иита1 Naukovedenie. 2012. №4(13). S. 70.
8. Лdaptiуnoe иргау1еп1е podvizhnost'yu рг1 diskгetnoш pгoizуodstуe tseшentoЬetonnykh БшеБеу / УаБП'еу Уи.Е., Кашепеу У.У., Kochetkov Л.У., Sh1yafeг УХ. // УеБШ1к Moskoуskogo aуtoшoЬi1'no-doгozhnogo gosudaгstуennogo tekhnicheskogo uniуeгsiteta (МЛБ1). 2011. №2. S. 96-1оо.
9. Diagnostika 1 pasportizatsiya e1eшentoу u1ichno-doгozhnoy seti sisteшoy videokomp'yuternogo Бкашгоуашуа / УаБИ'еу Уи.Е., Ве1уакоу Л.В., Kochetkoу Л.У., Ве1уаеу D.S. // Inteгnet-zhuгna1 Naukoуedenie. 2013. №3 (16). S. 55.
