CC BY
32
УДК 621. 391. 677: 519. 711. 3
К ПРОБЛЕМЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ
А. Н. Якимов
Введение
В математическом моделировании излучения зеркальной параболической антенны из-за сложности пространственной конфигурации ее излучающей поверхности перспективным оказывается использование метода конечных элементов (КЭ). В соответствии с этим методом электромагнитное поле, формируемое антенной в заданной точке, является суперпозицией полей, создаваемых токами КЭ дискретизации ее излучающей поверхности.
В качестве КЭ разбиения излучающей поверхности целесообразно выбрать плоские треугольные элементы. При этом метод аппроксимации излучающей поверхности можно рассматривать как двумерное обобщение методов кусочно-линейной аппроксимации, а гладкая поверхность заменяется многогранной поверхностью аппроксимации. Применение такого подхода позволяет обеспечить непрерывность искомой функции на границах между треугольными КЭ, которая гарантируется равенством значений функции в совпадающих вершинах треугольников, а также позволяет сохранить независимость аппроксимации от расположения КЭ по отношению к глобальной системе координат Охуг . При этом поверхность локально определяется значениями функции в вершинах треугольников и поэтому не изменяется при переопределении осей х, у и г [1, 2].
Математическое описание процесса суперпозиции электромагнитных полей, создаваемых фрагментами излучающей поверхности параболической антенны, представляет собой сложную задачу. Использование средств МЛТЬЛБ позволяет решить эту задачу в матричной постановке [3].
Основная часть
Математическое моделирование излучения параболической антенны целесообразно проводить на основе физической теории дифракции (ФТД), так как эта теория наиболее полно отражает физические процессы в антенне. Различные же уточнения электродинамических решений, полученных в рамках этой теории, обычно носят асимптотический характер и требуют слишком больших вычислительных затрат.
В соответствии с ФТД [4] полное поле излучения антенны формируется двумя составляющими поверхностного тока J : «равномерной» ^ и «неравномерной» Jн , т.е.
J = Jo + Jн . (1)
Приближение дальней зоны позволяет считать, что все направления от начала локальных систем координат конечных элементов на точку наблюдения параллельны. Угловые же координаты точки наблюдения в локальных системах координат КЭ вследствие нелинейности излучающей поверхности оказываются различными. В связи с этим для определения электрических составляющих электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения гладкой криволинейной излучающей поверхностью, особое значение следует придавать оценке характеристик рассеяния КЭ и ребер внешних КЭ, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении плоской электромагнитной волной, падающей под произвольным углом. Следует также обратить внимание и на необходимость оценки пространственной ориентации электрических составляющих поля, создаваемых на идеально проводящих КЭ и ребрах кромки излучающей поверхности тангенциальной Их составляющей магнитного поля в глобальной системе координат, чтобы обеспечить их векторное сложение в точке наблюдения. Компоненты общего поля получаются простым сум-
мированием сферических компонент поля Е^ и Ее, каждого конечного элемента, Е^ и Е^ каждого краевого ребра кромки излучающей поверхности антенны относительно глобальной системы координат [2].
Поле рассеяния гладкой части треугольной грани в результате решения векторных волновых уравнений в форме Стреттона-Чу для трехмерной функции Грина и применения метода Гордона описывается выражениями, удобными для расчета на ЭВМ [5]:
АС Г) =
^Ыт ехр [, к С Я, + Я,) (Т е,)
4 л
Я К
I 4,
(2)
,=1
. * вш[к2(д1 (а1+1 - аг)] к
В = (^1(а,+1- а -ехр[-/ 2(^ (а,+1 + а)]. (3)
(а,+1 - аг) 2
В этих выражениях приняты следующие обозначения: Ц - функция направленности облучателя; Ыт - амплитуда сигнала на входе облучателя; Т - векторный множитель, функционально зависящий от поляризации волны, падающей на треугольную грань, и электрофизических параметров этой грани; ai = р1 - М - вектор, проведенный из средней точки треугольника грани в одну из его вершин (рис. 1); д± = {ду, дх} - проекция вектора д = г - Г на плоскость грани в локальной системе координат Ох у~г ; Г, Г - единичные векторы, совпадающие с направлением волны, падающей в центр треугольника и рассеянной в направлении точки наблюдения соответственно; д** = {дх, -цу} - вектор, который получается вращением вектора #± на 90° по часовой стрелке относительно направления на точку наблюдения; Я{, Я, - расстояния от средней точки треугольной грани до фазового центра облучателя и точки наблюдения соответственно; к = 2 = 4 л / X - модуль удвоенного волнового вектора рассеянного поля; е, - вектор поляризации волны, рассеянной в направлении точки наблюдения. С учетом предположения идеальной проводимости поверхности вектор е, находится из вектора поляризации падающей волны е1 только по тангенциальной составляющей падающего магнитного поля, ориентированного в направлении = [Г X е1 ] с учетом коэффициентов отражения [2].
Рис. 1
Поле рассеяния внешней кромки зеркала, состоящей из ребер внешних элементов разбиения поверхности, может быть найдено, если ввести аналогию этого явления с дифракцией электромагнитной волны на ребре клина (рис. 2) [4, 5]. В этом случае выражение для рассеянного поля имеет вид
E2(*) = FlUm ^(5 + 5) (Tes)L^exp(-ЛР):
(4)
где Т = 0,5 ks qy ; к = 2п / X ; qy - проекция вектора q на ось уг локальной системы координат
Охгуггг (см. рис. 2); Ь - длина ребра грани, принадлежащего внешней кромке; Т = (кг 1) ] О ; 1 = (0,1, 0) - единичный вектор, совпадающий с осью уг; О - коэффициент дифракции магнитной компоненты падающего поля [6, 7].
Рис. 2
Наиболее корректным считается [5] выражение О в форме А. Михаэли, которое для освещенной грани эквивалентного клина в случае наблюдения в передней полуплоскости имеет вид
G = НУ
2 iZ (1/N ) ) sin фs
sin [(я-а1)/ N]
y о
ks sin sin Pi [ sin а1 cos[(n -а1)/ N] - cos(фi / N)
(5)
где Hyо - проекция магнитной составляющей падающего электромагнитного поля на ось yr локальной системы координат Oxryrzr; Z - характеристическое сопротивление окружающей среды; Рг- = arccos( - ri t), Ps = arccos( -1 rs) - углы между направляющими векторами волн, падающих на центр ребра, рассеянных в направлении точки наблюдения и осью yr соответственно (см. рис. 2); фг- и ф^ - углы между проекциями векторов ri и rs на треугольную грань и осью xr соответственно; N = 2; а1 = arccos (ц1); = sin Рs cos фs / sin Рг-.
Зная сферические компоненты поля Eфi и E0i каждого треугольного элемента, Eф j и E0j-
каждого краевого ребра излучающей поверхности относительно глобальной системы координат, можно простым суммированием получить компоненты общего поля [8-10]:
Еф = Z Еф i + Z Еф j , Ee = Z Ee i + Z Ee j . (6)
Представление в МЛТЬЛБ информации об излучающей поверхности антенны и поверхностных токах на ней в матричной форме позволяет придать элементам матриц значения соответствующих параметров в центрах КЭ дискретизации или на их ребрах. Это позволяет использовать форму операций в МЛТЬЛБ с каждым элементом матрицы отдельно для определения компонент поля Еф и Ее . Так, например, нормаль п к поверхности КЭ и проекция магнитной составляю-
щей Иг- на эту поверхность (Н н) могут быть получены по координатам вершин треугольного КЭ и его центральной точки [3].
Нормаль п к плоскости, проходящей через вершины треугольника р1, р2 и р3, совместим с осью 2 локальной системы координат КЭ и опишем ее пространственную ориентацию в системе Охуг известными [2] формулами
гх = 008 а2х = Лх / г, , ^ = сое < = Ау / гп , = со8 а\ = / г,
(7)
где гх, zy, - направляющие косинусы оси 2 локальной системы координат Охуг в глобальной системе Оху2; гп = ± ^
Л2 + Л2; + Л'2 , причем знак перед корнем определяется знаком вектора
нормали, опущенной из точки О на плоскость КЭ;
ур1 2р1 1 2р1 хр1 1 хр1 ур1 1
Лх = ур 2 2р 2 1 , Лу = 2р 2 хр 2 1 , Лх = хр 2 ур 2 1
ур 3 2р 3 1 2р3 хр3 1 хр 3 ур 3 1
хр1 - хр3, ур1 - ур3, 2р1 - 2р3 - координаты вершин треугольника р1, р2 и р3.
Зная направляющие косинусы вектора Нг- и осей локальной системы координат Оху2 относительно глобальной Оху2, легко найти его проекции на оси локальной системы Оху2 :
Н х = со8 аН' = Н 1 (со8 аН • со8 ахх + со8 а^' • со8 аху + со8 аН • со8 ах), Ну = Н1 со8 аН' = Н' (со8 аН • со8 ау + со8 аН • со8 а у + со8 аН' • со8 ау), Н ш = Н1 со8 аНН' = Н' (со8 аН' • со8 а х + со8 а^' • со8 а у + со8 аН'' • со8 ).
Модуль тангенциальной составляющей на поверхности КЭ при этом равен
Ф
(8)
НП = Них + Н2у
(9)
а ее проекции на оси локальной системы могут быть определены по выражениям
Нн г = со8 аН* = Н^ / Нн, Н н у = со8 аН" = Н1у / Н н,
Нп 2 = со8 аНй= 0.
(10)
Полученных данных оказывается достаточно, чтобы определить вектор плотности поверхностного тока J^ = 2 [ п х НЛ ] в локальной системе Оху2, а с использованием формулы (7) и в глобальной системе координат Оху2.
Отношение полученных компонент поля Еф и Ее к их максимальным значениям представляет собой функции, описывающие нормированные диаграммы направленности (ДН) по полю в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответственно.
Расчеты, проведенные в МЛТЬЛБ, подтвердили адекватность предложенной математической модели микроволновой антенны. Так, например, расчет симметричной параболической антенны с диаметром зеркала Оз = 1 м и фокусным расстоянием / = 0,35 м, при шаге дискретизации излучающей поверхности равном А/2 , для случая ее облучения электромагнитной волной с длиной А = 0,1 м и вертикальной поляризацией, создаваемой рупором с размерами ар = 0,065 м
и Ьр = 0,048 м в горизонтальной плоскости показал близость рассчитанных ДН (рис. 3) к аналогичным характеристикам, полученным аналитическими методами с высокой степенью приближения [2].
F{<P)
0,4
0,8
0,6
0,2
0
0
5
10 <Р, град
Рис. 3
Рассчитанная по предложенной модели ДН антенны без учета краевых эффектов в горизонтальной плоскости (см. рис. 3, кривая 1) в результате учета «неравномерной» составляющей поверхностного тока успешно уточняется (см. рис. 3, кривая 2). Сравнение полученных ДН с рассчитанной методом аппроксимации интерполяционным полиномом с использованием ламбда-функций и погрешностью, не превышающей 1-2 % [11], показало близость результатов моделирования к аналитическому решению (см. рис. 3, кривая 3).
Полученные результаты позволяют утверждать, что предложенная математическая модель адекватно отражает процесс излучения параболической антенны, может быть реализована в МЛТЬЛБ и пригодна для исследования влияние формы излучающей поверхности на характеристики излучения антенны [12, 13]. Эта модель также позволяет оценить влияние деформаций излучающей поверхности антенны на ее характеристики излучения.
1. Семенов, А. А. Теория электромагнитных волн / А. А. Семенов. - М. : МГУ, 1968. - 320 с.
2. Якимов, А. Н. Цифровое моделирование излучения микроволновой антенны с учетом краевых эффектов / А. Н. Якимов // Метрология. - 2002. - № 11. - С. 32-38.
3. Дьяконов, В. П. MatLAB 5. 3. 1 с пакетами расширений / В. П. Дьяконов, И. В. Абраменкова, В. В. Круг-лов ; под ред. В. П. Дьяконова. - М. : Нолидж, 2001. - 880 с.
4. Уфимцев, П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции / П. Я. Уфимцев. - М. : Сов. радио, 1962. - 244 с.
5. Борзов, А. Б. Методы цифрового моделирования радиолокационных характеристик сложных объектов на фоне природных и антропогенных образований / А. Б. Борзов, А. В. Соколов, В. Б. Сучков // Журнал радиоэлектроники : электронный журнал РАН / под ред. акад. РАН Ю. В. Гуляева. - 2000. - № 3. -URL: http://jre. cplire. ru/iso/mar00/3/text. html (дата обращения: 24. 03. 2015).
6. Gorbalysov, M. The Improving of the Radar Detection System under the Influence of External Actions / M. Gorbalysov, N. Yurkov, A. Yakimov // MODERN PROBLEMS OF RADIO ENGINEERING, TELECOMMUNICATIONS AND COMPUTER SCIENCE Proceedings of the Xlth International Conference TCSET'2012 February 21-24. - Lviv-Slavske, Ukraine, 2012.
7. Shishulin, D. Research of the Vibration Effects on the Mirror Antenna's Radiation Using ANSYS / D. Shishulin, N. Yurkov, A. Yakimov // MODERN PROBLEMS OF RADIO ENGINEERING, ELECOMMUNICATIONS, AND COMPUTER SCIENCE Proceedings of the International Conference TCSET'2014 Dedicated to the 170th anniversary of Lviv Polytechnic National University. - Lviv-Slavske, Ukraine, 2014. - February 25. - March 1. - С. 135-136.
Заключение
Список литературы
8. Якимов, А. Н. Дискретное представление - основа моделирования антенн сложной конфигурации / А. Н. Якимов, Э. В. Лапшин, Н. К. Юрков // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Т. 16, № 4 (2). - С. 454-458.
9. Якимов, А. Н. Проблемы моделирования излучения антенн с учетом влияния возмущающих воздействий / А. Н. Якимов // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2013. - Т. 1. - С. 86-89.
10. Якимов, А. Н. Исследование геометрической модели параболической антенны / А. Н. Якимов // Труды Междунар. симп. Надежность и качество. - 2012. - Т. 1. - С. 242-244.
11. Драбкин, А. Л. Антенно-фидерные устройства / А. Л. Драбкин, В. Л. Зузенко, А. Г. Кислов. - М. : Сов. радио, 1974. - 536 с.
12. Якимов, А. Н. Предикатная алгебра выбора в моделировании микроволновых антенн сложной конфигурации / А. Н. Якимов // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 1. - С. 78-83.
13. Якимов, А. Н. Моделирование электромагнитных взаимодействий в параболической антенне / А. Н. Якимов // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 4. - С. 21-27.
Якимов Александр Николаевич
доктор технических наук, профессор, кафедра радиотехнических и оптоэлектронных комплексов, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (190000, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 67, лит. А) Б-шаП: [email protected]
Аннотация. Математической описание процесса суперпозиции электромагнитных полей, создаваемых фрагментами излучающей поверхности параболической антенны, представляет собой сложную задачу, поэтому предлагается описание этого процесса в приближении физической теории дифракции. В связи с этим излучающая поверхность представляется совокупностью конечных элементов (КЭ) ее дискретизации, а электрические составляющие электромагнитного поля, создаваемого в точке наблюдения, определяются характеристиками рассеяния КЭ и ребер внешних КЭ, образующих кромку излучающей поверхности при их возбуждении плоской электромагнитной волной облучателя антенны, падающей под произвольным углом. Представление в МЛТЬЛБ информации об излучающей поверхности антенны и поверхностных токах на ней в матричной форме позволяет использовать форму операций в МЛТЬЛБ с каждым элементом матрицы отдельно для определения компонент поля. Полученные результаты позволяют утверждать, что предложенная математическая модель адекватно отражает процесс излучения параболической антенны, может быть реализована в МЛТЬЛБ и пригодна для исследования влияния формы излучающей поверхности на характеристики излучения антенны.
Ключевые слова: антенна, излучение, дискретное представление, МЛТЬЛБ.
Yakimov Aleksandr Nikolaevich
doctor of technical sciences, professor,
sub-department of radio and optoelectronic complexes,
Saint-Petersburg State University
of Aerospace Instrumentation
(190000, 67 Bolshaya Morskaya street,
Saint-Petersburg, Russia)
Abstract. The mathematical description of the process of superposition of electromagnetic fields generated fragments of the radiating surface of the parabolic antenna is a complex task, it is therefore proposed that the description of this process in the approximation of the physical theory of diffraction. In this regard, the radiating surface is represented by a set of finite element (FE) discretization, and the electric components of the electromagnetic field generated at the point of observation, are determined by the scattering characteristics of the FE and the outer edges of the FE, forming an edge of the radiating surface with excitation of a plane electromagnetic wave irradiator of the antenna incident at an arbitrary angle. Representation in MATLAB of information about the radiating surface of the antenna and the surface currents therein in a matrix form allows you to use the form of operations in MATLAB with each element of the matrix separately to determine the component of the field. The obtained results allow assert that the proposed mathematical model adequately reflects the process of radiation of a parabolic antenna, can be implemented in MATLAB and is suitable to study the influence of the shape of the radiating surface on the radiation characteristics of the antenna.
Key words: antenna, radiation, discrete representation, MATLAB.
УДК 621. 391. 677: 519. 711. 3 Якимов, А. Н.
К проблеме дискретного представления излучения параболической антенны / А. Н. Якимов // Надежность и качество сложных систем. - 2015. - № 3 (11). - С. 17-22.
