Моделирование движения летательного аппарата с машущим крылом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Cloud of Science. 2016. T. 3. № 4 http:/ / cloudofscience.ru

Моделирование движения летательного аппарата с машущим крылом1

Л. Ю. Ворочаева, С. Ф. Ефимов, О. Г. Локтионова, Б. В. Лушников, С. Ф. Яцун

Юго-Западный государственный университет, 305040, Россия, Курск, ул. 50 лет Октября, 94,

e-mail: mila180888@yandex.ru, efimov@mail.ru, rector@swsu.ru, bvl_61@inbox.ru, teormeh@inbox.ru

Аннотация. Статья посвящена исследованию вертикального полета аппарата с машущим крылом, также называемого орнитоптером. Робот представляет собой цепочку пяти последовательно соединенных активными цилиндрическими шарнирами звеньев, центральное из которых является корпусом, а остальные попарно образуют складывающиеся крылья. Особенность рассматриваемого устройства заключается в том, что взмахи его крыльев имитируют движение крыльев чайки, т. е. у объекта есть биологический прототип. Для аппарата разработана математическая модель полета, большое внимание уделено модели взаимодействия звеньев робота с воздушной средой, определены положения и скорости точек приложения приведенных аэродинамических сил к каждому из звеньев. На основании результатов численного моделирования вертикального полета робота установлено наличие трех режимов полета: подъем, зависание на некоторой высоте и снижение, на нахождение устройства в одном из указанных режимов влияют параметры колебаний крыльев, а именно частота и амплитуда взмахов, соотношение амплитуд колебаний двух звеньев одного крыла и смещение относительно нуля положения равновесия колебаний крыльев.

Ключевые слова: орнитоптер, летающий аппарат, машущее крыло, аэродинамические силы, вертикальный полет, режимы полета.

1. Введение

С развитием робототехники и сопутствующих технологий все больший интерес проявляется к бионике — науке, которая изучает характер движения живых организмов, а также явления и процессы, протекающие в них с целью создания ме-хатронных приборов, работающих по тем же принципам.

Изучение характера движения птиц позволило сделать важный вывод о том, что в качестве упрощенной системы, адекватно моделирующей движение робота-орнитоптера, можно рассматривать систему трех или пяти твердых тел, связанных

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-08-00787.

между собой шарнирами, оснащенными электроприводами [1-7]. Подавая управляющие напряжения на электроприводы, можно изменять относительные углы, определяющие положение звеньев друг относительно друга, на заданные значения.

2. Описание орнитоптера

В статье рассматривается аппарат с двумя машущими крыльями, называемый орнитоптером, который состоит из цепочки пяти звеньев [5]. Каждое крыло робота образовано двумя звеньями 1 и 2, 4 и 5, соединенными между собой цилиндрическими шарнирами, при помощи таких же шарниров крылья присоединены к корпусу 3 (рис. 1). Цилиндрические шарниры являются активными за счет приводов 6, при помощи которых крылья совершают взмахи относительно корпуса. Особенностью предложенной в работе конструкции является то, что крылья аппарата во время каждого взмаха изменяют свою площадь в проекции на горизонтальную плоскость, благодаря чему и осуществляется полет: при движении крыла вверх его звенья складываются, сопротивление воздуха, действующее на них, уменьшается, при движении вниз звенья крыла раскладываются, увеличивая сопротивление воздуха под крылом.

Рисунок. 1. Расчетная схема орнитоптера

В работе исследуется движение орнитоптера в вертикальной плоскости Оху при условии, что корпус аппарата моделируется прямоугольником со сторонами 13 и И3, а звенья крыльев — стержнями длинами ¡¡. Также в работе принято допущение, что центры масс звеньев совпадают с центрами их симметрии — точками С С каждым звеном связана относительная система координат О,ху, так, что ось О,х, располагалась вдоль звена (для звена 3 относительная система координат С3х3у3, ось С3х3 проходит через точки С3 и О4). Положение робота на плоскости Оху одно-

значно описывается проекциями положения центра масс корпуса на оси Ох и Оу, а также углами ф7 наклона звеньев к горизонтальной оси, отсчитываемыми против часовой стрелки. Таким образом, вектор обобщенных координат имеет вид

Ч =( хс 3 Ус 3 Ф1 Ф2 Фз Ф4 Фз (!)

Полет орнитоптера происходит при действии на него сил тяжести mig, приложенных в центрах масс звеньев и направленных вертикально вниз, моментов М21, М32, М34, М45, генерируемых приводами, и аэродинамических сил Яь приложенных в точках Qi.

3. Модель аэродинамического взаимодействия 3.1. Определение аэродинамических сил

Во время движения орнитоптера на каждое звено 7 = 1, 2, 4, 5 действуют аэродинамические силы, которые в проекциях на координатные оси абсолютной и относительной (связанной со звеном 7) систем координат могут быть записаны следующим образом (рис. 2):

Д = Д + Д = + Д°- (2)

Рисунок 2. Схема приложения аэродинамической силы к звену 7 = 1, 2, 4, 5

Проекции аэродинамических сил в абсолютной системе координат определяются по формулам

где Сх, С — коэффициенты проекций аэродинамической силы; 8ГОс, — площади сторон звена 7 перпендикулярно осям Ох и Оу соответственно, хоп уа — проекции скорости точки Qi на оси Ох и Оу.

Площади SOx и SO будем вычислять по формулам

SO = S?1" cos Фг + S°'y sin ф, (4)

Sfy = S°M sinф + Sfiyi cos ф, (5)

где

sox = bht, S°iyi = lb (6)

— площади звеньев, перпендикулярные осям Ox и Oiyi относительных систем координат, для i = 1, 2, 4, 5; SOiXi = 0, bi — ширина звеньев, определяется в направлении, перпендикулярном плоскости Оху и на рис. 1 не показана.

Для определения положения точек Q на звеньях и их скоростей будем считать, что точки Q являются центрами масс фигур, образованных силами Ry\

направленными перпендикулярно звеньям. Причем эти точки удалены от центров масс крыльев на расстояния k¡, а для корпуса положение точки Q определяется расстояниями k3 и относительно центра масс последнего вдоль сторон ДД и

д д.

3.2. Определение скоростей точек Qi

Скорости точек Q. будем определять исходя из их положений на звеньях, принятых ранее, которые во время движения робота постоянно меняются. Скорости

точек (А, 04 равны:

rQ2 ~ ГСЪ + -^ЗОРСЗОЗ ^20 (РоЗС2 + Рс202 )>

Г04 = ГСЗ + ^30PC304 + ^40 (Ро4С4 + РС4О4)'

где Pry,2 = ^О)7, Рс404 = (К ^У — соответствующие относительные радиусы-векторы; Тю — производная матрицы поворота

T =

Ti0

( cos ф - sin ф.^

(9)

81П ф, СОв ф, ,

Скорости точек 0]. (А- равны:

Г01 ~ ГСЗ ^ЗиРсЗОЗ ^2С)Р0302 ^10 (Ро2С1 Рс101 ) ' ( 10)

Г05 = ГСЪ + ^ЗОРСЗСЧ + ^4С)Р0405 + ^50 (Ро5С5 + Рс505 ) > ( 1 1)

где Рг]г,\ = {К О)7, р^05 = (к. О)7 — соответствующие относительные радиусы-векторы.

Скорость точки 03 имеет вид:

гдз ~гсз "'"^зоРсзоз- (12)

где Рсз0з =(к3 р3)т —относительный радиус-вектор.

3.3. Определение положений точек Qi

Для определения расположения точек ^ на звеньях (расстояния ki, р3) будем расой о(3)

сматривать соответствующие проекции аэродинамической силы Ду и щх, перпендикулярные осям О^, Оъуъ, а точки ^ считать центрами масс соответствующих фигур. Скорости точек ^ в проекциях на оси систем координат ОХУ записываются с использованием матриц поворота Г0;:

(13)

/

T = T =

-'о i Ji0

cos ф sin ф

' . (14)

v-sin Ф cos ф^

Перейдем к вычислению расстояний kt. Для этого определим формулы для (у,',] У, сгруппировав слагаемые при к~, кп /с" соответственно и получим формулы для расчета проекций аэродинамических сил на оси О.y.. Представим R) следующим образом:

R} = üytf + byk + cy. (15)

Для этого введем обозначения, записанные ниже.

С рS0iyi „

(16)

СrpS°'y' г

h: м = —^-[-2хсзф, sin ф; + 2 усзф, cos ф, +

+ ф,ф3/3 соэ(ф3 - ф,) + 2ф,ф2(4)/2(4) соз(ф2(4) - ф,) + Ф;/, ],

(' p.S" "" . „ п

bi=2Aу = J 2' ["2ХСзФ, Sln Ф, + 2>СзФ, C0S Ф, + Ф^З С05(Ф:, " Ф, ) + Ф^ J , (I8)

К- = -CyPSiiyi(?i (Усз cos Фз - *сзsin Фз) > (19)

С „ р^

"¿=1,5 у

Усз ^П2 Ф, - 2*сзУсз 8ШФ,- со§Ф,- + Усз соэ2 Ф, ±

± х0ф3/3 эш ф, соз(ф3 - ф;1) ± 2хсзф,±1/,±1 81П ф, соз(ф,±1 - ф,) + ± хсзф,/, эш ф, + у03ц>313 соэ ф, соэ(ф3 - ф, ) + + 2>;сзФ,±1/,±1 соэ ф, соз(ф,±1 - ф,) + >>сзф,/, соэ ф, + + ф2/2 соэ2 (ф3 - Ф, )/4 + ф,±1ф3/,±1/3 соз(ф,±1 - ф,) соэ(ф3 - ф,) + + Ф/рУ/ч С08(ф3 - ф, )/2 + ФУ,2! соэ2(ф,±1 - ф,) +

+ ф

'¿^¿±^¿'¿±1'

, V

соз(ф,±1 -Ф,) + Ф2^-

с

Су рS^

, = 2,4 у

2

•2___2

*2 ф, - 2хсзусз 81П ф, СОЭ ф, +

С3у =

+ У'сз СОЭ" ф, ± Хсзф3/3 81П ф,+1 СОЭ(ф3 - ф, ) ±

хсзф,/, эшф; + З>сзф3/3 соэф, соэ(ф3 - Ф,) + УСЗЦ>,1, СОЭф, +

+ ф2 соэ2(ф3 - ф,) + ф,ф3/,/3 соэ(ф3 - ф, )/2 + Ф2

О^Г1

2

Найдем расстояния къ 1 = 1-5, по формуле

(20)

(21)

Л'к 3 [х^,3 эт2 ф3 - 2хсзусз эт ф3 сое ф3 + у^3 сое2 ф3 ]. (22)

Ш2 I Ш2

к = | к • Ry?dkl |

й/2 ' а,у1,2 + 12Су

(23)

Таким образом, найдены расположения точек ^ для крыльев (звенья , = 1, 2, 4, 5).

Аналогичным образом вычислим расстояние : определим формулу для вычисления (Хр3)~, преобразуем выражение (х'033 )~, сгруппировав слагаемые при р3, р3, р3 , подставив выражение (х'033получим формулу для определения проекции аэродинамической силы на ось О3х3.

Введем следующие обозначения:

/ ' _ счОЗхЗ

^Ф2

К = "О.Р^'Фз (*СЗ С08 ф3 + усз вш ф3),

(24)

(25)

а3 х =

OxpS

О3 x 3

I 2 2 * 2*2 I

- л^з cos~ Фз + ^сз-Усз sin Фз cos Фз +Усз sin~ Фз (26)

2

и запишем силу следующим образом:

^ЗГ = а3хР3 + КР + С3х ■ Найдем расстояние по формуле

к3/2 / Л./2

Рз =

п 3/ 2

f Р3 • *33} dp J f *33} dP3

/ - h 3/2

- h 3/2

b Л2

a3A + 12c3.

(27)

(28)

Для частного случая, когда скорости вращения ф; —> 0, выражения для положения точки приложения аэродинамической силы будут иметь вид:

а3х (фз « 0) = 0, ciiy (ф, * 0) = 0 , i = 1, 2, 4, 5, (29)

h,(Фз * 0) = О, Ь1У (ф; « 0) = 0, 7 = 1, 2, 4, 5, (30)

с3т(фз « 0) * О, С?1,(Ф, « 0) * 0, / = 1, 2, 4, 5, (31)

р3=0, ki=0. (32)

Следовательно, можно сделать вывод, что при ф; ~ 0 точки приложения аэродинамических сил к звеньям i будут располагаться в центрах их масс.

4. Математическая модель полета орнитоптера

Система дифференциальных уравнений движения орнитоптера, записанная с использованием уравнения Лагранжа II рода и принципа возможных перемещений, может быть представлена в матричном виде следующим образом:

A(q)q + B(q)D(q)q =F. (33)

где A(q), B(q) — матрицы коэффициентов; D(q) — диагональная матрица первых производных обобщенных координат q; F — матрица обобщенных сил, имеющие вид

A(q) =

4i 0 a13 a14 a15 a16 a Л a17

0 a22 a23 a24 a25 a26 a27

a3i a32 a33 a34 a35 0 0

a41 a42 a43 a44 a45 0 0

a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57

a61 a62 0 0 a65 a66 a67

v°71 a72 0 0 a75 a76 a77 )

(34)

B(q) =

(0 0 0 0 00 00 00 00 00

о

О q2

b13 Ь14

Ь23 Ь24

0 Ь34

Ь43 0

Ь53 Ь54

0 0

0 0

26 0

Л

27

0

d(q) =

О О

О ch О

о 0 0

о о о

о q4

О 0 0

45 0

75

0

О

о о

О q5

00

0 0

56 0

Ь76 0 0 О

о о Яб

67

0

0 Л

0

о

о

о

о

(35)

(36)

f = (F f2 f F4

4 F5

О q

F6 Fj.

(37)

5. Моделирование вертикального полета орнитоптера

Предложенная в работе расчетная схема орнитоптера такова, что позволяет данному устройству имитировать взмахи крыльев птиц и, соответственно, поведение птиц во время полета. В связи с этим разработаны законы изменения углов звеньев крыльев, при которых поведение аппарата в воздухе аналогично полету чайки [5].

ф2 (t) = -ф02 cos (at)- w2, (38)

ф4(0 = ф04^ (at) + w4, (39)

ф01 cos (a1t) + Wj, t < T14, ф1 (t) = J -ф01 cos (a (t - T14)) + w, T14 < t < 3T/4, (40)

ф01 + w ,3T/4 < t < T,

-ф05 cos (юt)- W, t < T/4, ф5(t) = J ф05 cos(a(t -T/4)) - w5, T/4 < t < 3T/4, (41)

-ф05 - w ,3T/4 < t < T, где ф0; — некоторое значение угла поворота звена, определяющее амплитуду колебаний; w — смещение положения равновесия колебания звена вверх/вниз; T —

период колебания звена. Причем, ф05 = -ф05 - w5, ф+5 = ф05 - w5, ф04 = -ф04 + w4,

Ф04 =ф04 + W4 •

Введем следующие обозначения: ф01 = ф05 = ф0, ф02 = ф04 = ф0, щ = щ = щ = щ = w, причем положим, что ш1 = 2<в . Введем коэффициент, характеризующий соотношение амплитуд колебаний звеньев 4 и 5 (1 и 2):

^ = ф04/ ф05 =ф0/ ф0- (42)

5.1. Исследование режимов полета

На рис. 3 приведены временные зависимости координаты уС3 центра масс корпуса орнитоптера при разных значениях соотношений смещений щ = —щ. По графикам видно, что существуют три режима вертикального полета устройства: подъем, зависание на некоторой высоте и снижение. Причем, с ростом щ = — щ режим снижения меняется на зависание, а затем на подъем, а при отрицательных значениях щ = —щ по мере их приближения к 0 расстояние, на которое снижается орнитоптер, уменьшается, при положительных значениях щ = —щ при стремлении их к 0 расстояние, на которое происходит подъем устройства, также убывает.

1'СЪ М

0.8

щ 1} Пп ,3

1 '

2

0.1 0.2 t1 с

0.1 0.2 С

а)

б)

в)

Рисунок 3. Графики зависимостей усз(?) при Т = 0.03 с, ф0 = 0.4 рад: а — снижение (1 — щ = —щ = —15°, 2 — щ = —щ = —10°, 3 — щ = —щ = —5°), б — зависание (щ = —щ = —1°), в — подъем (1 — щ = —щ = 5°, 2 — щ = —щ = 10°, 3 — щ = —щ = 15°).

5.2. Определение средней вертикальной скорости орнитоптера

Более удобными для анализа являются зависимости средней вертикальной скорости аппарата от амплитуды взмахов крыльев при различных значениях параметров этих колебаний. Средние скорости движения центра масс корпуса по высоте у!Г для раз-

а

личных режимов движения объекта приведены на рис. 4-6. Средняя скорость вы-считывается по формуле

У 5Г -X у

Е Усъ,

N ]=\-м

где N — число вычислений за период колебания крыльев.

По графикам рис. 4 видно, что с уменьшением частоты ю (ростом периода колебаний Т) значения средних скоростей снижаются, причем на всех кривых наблюдается максимум, который также сглаживается с убыванием ю.

Рисунок 4. Графики зависимостей: 1: Т = 0.03 с, 2: Т = 0.04 с, 3: Т = 0.05 с, 4: Т = 0.06 с, 5: Т = 0.07 с, 6: Т = 0.08 с, 7: Т = 0.09 с, 8: Т = 0.10 с, 9: Т = 0.11 с, 10: Т = 0.12 с, 11: Т = 0.13 с, 12: Т = 0.14 с, 13: Т = 0.15 с

При наименьшем угле ф0 = 0.175 рад значения средних скоростей отрицательные, а при наибольшем угле ф = 1.571 рад отрицательные при малых частотах колебаний крыльев и положительные при больших ю. Это означает, что при больших значениях частот по мере роста амплитуды колебаний крыльев происходит следующая смена режимов движения: снижение, зависание, подъем, а при уменьшении значений частот последовательность смены режимов другая: снижение, зависание, подъем, зависание, снижение, а при самых малых частотах существует только режим снижения.

На рис. 5 представлены результаты исследования влияния соотношения амплитуд колебаний звеньев крыльев на средние значения скоростей вертикального перемещения устройства.

4¡¡Лг. м/с

и

О.з

-0:5

2

3 \

1

- 1

¥>о, рад-

3 \_1_

4

<Ро, РВД-

Оо 115 2 о 0.3 1 1.5

а) б)

Рисунок 5. Графики зависимостей у^ (<р0) при V = 0 рад, Т = 0.03 с: а — 1: X = 1, 2: X = 2, 3: X = 3, 4: X = 4; б — 1: X = 1, 2: X = 1/2, 3: X = 1/3, 4: X = 1/4.

По данным графикам можно выделить три вида кривых. Первый вид справедлив для равенства амплитуд X = 1, когда при минимальном значении ф0 средняя скорость у!г отрицательна и близка к нулю, затем при увеличении ср0 до значения Ф0 = 0.785 рад средняя скорость переходит через ноль и по некоторой кривой достигает своего наибольшего значения, а затем убывает также по криволинейному закону и при <0 = 1.571 рад приближается к нулевому значению. Второй вид кривых соответствует случаю X > 1. При этом увеличивается наибольшее значение средней скорости и величина ф0, соответствующая максимуму, а второй участок кривой, на котором происходит убывание уя., сокращается и при "/. = 4 перестает существовать. Третий вид кривых соответствует случаю X < 1, при этом средние скорости принимают только отрицательные значения. Отметим, что по мере роста ф0 эти значения плавно убывают до минимальных, а потом плавно возрастают, причем с уменьшением X пик средней скорости наблюдается при меньшем значении угла ф0, а участок графика, соответствующий возрастанию у%г. сокращается.

На рис. 6 приведены графики средних вертикальных скоростей орнитоптера при различных значениях V. На графиках можно выделить три участка, которые отличаются для положительных и отрицательных значений V. В первом случае (для V < 0) средняя скорость вначале возрастает почти пропорционально амплитуде колебаний крыльев ф0, достигает наибольшего значения, затем убывает тоже пропорционально росту <, достигает наименьшего значения и вновь возрастает. Причем по мере увеличения значения V последний участок графика сокращается, повторное возрастание средней скорости становится менее заметным. Второй вид графиков справедлив для V > 0, на которых вначале наблюдается незначительное убывание средней вертикальной скорости по мере роста ф0, причем, чем больше

значение м>, тем более существенно снижение . Затем на графике происходит рост средней скорости пропорционально ф0 до достижения максимального значения, а после этого вновь убывание у!г, величина последнего участка графика и величина, на которую уменьшается средняя вертикальная скорость, убывают по мере увеличения ^. График при w = 0 является переходным между графиками при ^ < 0 и w > 0.

) ^ ч/с

1

(

/ \ 7 \ 5 4°о, Е ->

Рисунок 6. Графики зависимостей ^,.(ф0) пРи ^ = 1, = 0 рад, Т = 0,03 с: 1: м> = -15°, 2 : = -10°, 3: = -5°, 4:м> = 0°, 5: = 5°, 6: w = 10°, 7: w = 15о

6. Заключение

В статье представлены результаты исследований вертикального полета пятизвенно-го робота-орнитоптера с машущими складывающимися крыльями, особенностью которого является то, что движение крыльев в полете имитирует взмахи крыльев чайки. В работе разработана математическая модель плоского полета устройства в вертикальной плоскости, представленная в матричной форме. Детально освещен вопрос аэродинамического взаимодействия звеньев аппарата с воздушной средой, определены положения и скорости точек приложения приведенных аэродинамических сил к каждому из звеньев робота.

На основании математической модели проведено численное моделирование полета робота, по временным зависимостям вертикальной координаты центра масс корпуса установлено наличие трех режимов полета: снижение, зависание и подъем. Причем зависание наблюдается для каждого значения ф0 только при некотором определенном значении ю, а подъем и опускание имеют широкий диапазон варьирования двух указанных параметров.

Построены графики зависимостей средних значений вертикальной скорости корпуса устройства от амплитуды колебаний звеньев крыльев, установлено влия-

ние на последовательность смены режимов полета, максимальные и минимальные значения ysr параметров колебаний крыльев: соотношения амплитуд колебаний звеньев 1 и 2 (4 и 5) и смещения w положения равновесия колебаний звеньев крыльев от нуля.

Литература

[1] DeLaurier J. D. An ornithopter wing design // Canadian aeronautics and space journal. 1994. Vol. 40. No. 1. P. 10-18.

[2] Brooks A. N. Development of a wing-flapping flying replica of the largest Pterosaur // AIAA. 1985. P. 85-1446.

[3] DeLaurier J. D. The development of an efficient ornithopter wing // The aeronautical journal of the royal aeronautical society. 1993. Vol. 97. P. 153-161.

[4] Craparo E., Ingram B. A. Micro-sized ornithopter wing design // 41st aerospace sciences meeting and exhibit. 2003. P. 1-9.

[5] Jatsun S. F., Vorochaeva L. Yu., Efimov S. V. Study of the motion of a mechanical system due to the oscillatory motion of the side links // JVE International LTD. Vibroengineering. 2016. Vol. 8. P. 74-79.

[6] Jackowski Z. J. Design and construction of an autonomous ornithopter : Diss. Massachusetts Institute of Technology. 2009.

[7] Maglasang J., Isogai K., Goto N., Yamasaki M. Aerodynamic Study and Mechanization Concepts for Flapping-Wing Micro Aerial Vehicles // Memoirs of the Faculty of Engineering. 2006. Vol. 66. No. 1. P. 71-82.

Авторы:

Людмила Юрьевна Ворочаева — кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры механики, мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет

Сергей Венегдитович Ефимов — кандидат технических наук, докторант кафедры механики, мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет Оксана Геннадьевна Локтионова — доктор технических наук, профессор, проректор по учебной работе, Юго-Западный государственный университет

Борис Владимирович Лушников — кандидат технических наук, доцент кафедры механики, мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет Сергей Федорович Яцун — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой механики, мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет

Modeling the Motion of a Flapping Wing Aerial

Vehicle

L. Y. Vorochaeva, S. V. Efimov, O. G. Loktionova, B. V. Lushnikov,

S. F. Jatsun

Southwest State University 50 let Oktyabrya St., 94, Kursk, Russia, 305040 e-mail: efimov@mail.ru

Abstract. The article discusses the vertical flight of a flapping wing aerial vehicle, which is also called an ornithopter. The robot is a chain of five links connected in series by active cylindrical hinges with the central link being the body and the remainder forming folding wings in pairs. The distinctive feature of this device is that the flaps of its wings imitate those of a seagull i.e. the device has a biological prototype. We construct a mathematical model of this device; much attention is given to the model of the interaction of the wings with the air environment and we determine the positions and velocities of points of application of the reduced aerodynamic forces to each of the links. Based on the results of numerical modelling of the vertical flight of the robot three modes of flight were established: ascent, hovering at a certain height and descent. The device can operate in these modes based on the oscillation parameters of the wings in particular flapping frequency and amplitude, the ratio of the amplitudes of two links and one wing and the shift of the equilibrium oscillation position of the wings relative to zero.

Key words: ornithopter, flying apparatus, flapping wing, aerodynamic forces, vertical flight, flight modes.

Referenses

[1] DeLaurier J. D. (1994) Canadian aeronautics and space journal, 40(1): 10-18.

[2] Brooks A. N.(1985) AIAA, pp. 85-1446.

[3] DeLaurier J. D. (1993) The aeronautical journal of the royal aeronautical society, pp. 153161.

[4] Craparo E., Ingram B. (2003) A micro-sized ornithopter wing design. In 41st aerospace sciences meeting and exhibit, pp. 1-9.

[5] Jatsun S.F. et al. (2016) JVEInternational LTD. Vibroengineering, 8:74-79.

[6] Jackowski Z.J. (2009) Design and construction of an autonomous ornithopter. PhD, MIT

[7] Maglasang J., Isogai K., Goto N., Yamasaki M. (2006) Memoirs of the Faculty of Engineering, 66(1):71-82.