CC BY
33
Ф. С. Хайруллин, Х. А. Абрагим, О. И. Алхалили
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ДВИЖУЩИМИСЯ МАССАМИ
Ключевые слова: стержневая система, движущаяся масса, вариационный принцип, свободные и вынужденные колебания,
аппроксимирующая функция.
Приводится вариационный метод решения задач о собственных и вынужденных колебаниях пространственных стержневых систем, имеющих медленно двигающиеся сосредоточенные массы. Особенность метода заключается в том, что используются специальные аппроксимирующие функции, которые не требует разбиения стержня на большое количество элементов. Приведены численные результаты.
Keywords: rods system, moved mass, a variational principle, free and forced fluctuations, approximating functions.
We present a variational method for solving problems on their own and forced fluctuations of rods systems with slowly moved concentrated masses. Feature of the method lies in the fact that we use special approximating functions that do not require a partition to a large number of rod cells. The numerical results are shown.
В качестве расчетной модели рассматриваются стержни с пространственными кусочно-гладкими осями (рис.1). Предполагается, что материал стержня изотропный, действует закон Гука, перемещения малы. Принимаются следующие гипотезы: поперечные сечения стержня плоские до деформации остаются плоскими и после деформации; напряжениями, действующими в плоскости поперечных сечений стержня, пренебрегаем.
На основании принятых гипотез можно получить следующие формулы, определяющие перемещения и углы поворота точек поперечного сечения стержня:
и" (з, у, г, г) = ^ (в, /)+г Ф2 (в, г) - у Фэ (з, г)
и’ж(в,у,г,г)= и2()-г Ф^в,*),
и3 (, у, г, г) = иэ (в,г)+у ф! (в, г) (1)
Ф1*(в, у, г,г ) = Ф!(,г)
ф2 (в, у, г,г )=ф2 (в, г)
фЗ (в, у, г,г )=фз (в, г)
**ж ( ж ж ж ж ж ж Р"
где и = и-| , и2, иэ, ф.| , Ф2, Фэ | - вектор
компонентов перемещения и!, и^, и3 и углов
поворота Фж, ф2, фЗ произвольной точки стержня в системе координат в, у, г ;
и = ^ , ^2, иэ, ф-|, Ф2, Фэ } - вектор компонентов перемещения и углов поворота оси стержня; в -длина дуги оси стержня; у, г - главные
центральные оси инерции поперечного сечения стержня.
Деформации стержня определяются через деформации оси стержня по формулам
611 = 6 + г • К2 - у • Кэ ,
е12 = Уэ - г К!, 6!3 = у2 + у К!. (2)
Деформации оси стержня находятся из соотношений Клебша:
Рис. 1
6 = и1,э - к3 и2 + к2 uэ,
у 2 = -и3ё + к2 и1 - к1 и2 - ф2 ,
у3 = и2,э - к1 иэ + к3 и1 - ф3, (3)
К1 = ф1,г - к3 ф2 + к2 фэ,
К2 = ф2,г - к1 фэ + к3 ф1,
Кэ = ф3,г - к2 ф1 + к1 ф2 , где 6, у2, уэ - продольная деформация и углы сдвига; К1, К2, Кэ - изменения кручения и кривизн (деформации кручения и изгиба) оси стержня; к , ^2, кэ - кручение и кривизны оси стержня,
На основании обобщенного закона Гука и введенных гипотез можно показать справедливость следующих физических соотношений, связывающих напряжения и деформации:
^11 = Е 611, ст12 = Э 612 , (4) ст13 = Э 613,
где Е, Э - модули упругости и сдвига стержня.
Для решения задачи используется вариационный принцип Остроградского-Гамильтона [1], на основании которого истинное движение системы за отрезок времени [/0, ^] удовлетворяет вариационному уравнению:
*1
|(5П + 5К-5'^)) = 0. (5)
*0
Здесь П, К - потенциальная и кинетическая энергии стержневой системы; Ь’'М -вариация работы внешних сил.
Потенциальная и кинетическая энергии стержня определяются по формулам:
П = 2 Ш(1 +СТ12612 +ст13613 )С) ,
ди*
(6)
где и, =------; р, V - плотность материала и объем
от
стержня.
Подставляя формулы (2)-(4) в соотношения (6) и интегрируя по площади поперечного сечения стержня, потенциальную и кинетическую энергии представим в виде:
П = 1( - (3и2 + к2и3) +
+ а
+ арвик (фі,5 - (зФ2 + к2Фз ^ ■ ауОл{и35 - к2и2 + к2и2 +ф2 )
,5 - (з + кзиі -ФзІ2 1 с),
(7)
+
+ Р■і (фз ■ + РJk (ф1 ■
бв +
+ 21 т ( + и 2 + и з )б*( - во - ^ ) + 2 і
+ 1 Е тк (и12к + и2к + изк ■■
(8)
где А, L - площадь и длина стержня; ^, Jг, Jk -
главные центральные моменты инерции поперечного сечения стержня и момент инерции при кручении; а у, а г, а р - постоянные
коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня и зависящие от формы поперечного сечения стержня.
В этих формулах в кинетическую энергию добавлены слагаемые, учитывающие действие сосредоточенных масс тк, приложенных в точках
оси стержня, перемещения которых и1к, и2к, иэк .
Второй интеграл в кинетической энергии К учитывает воздействие сосредоточенной массы т , которая начинает двигаться в начальный момент
времени из точки с координатой в 0 со скоростью V0 . Здесь 5ж (в) - дельта-функция Дирака.
Если в уравнении (5) вычислить вариацию от кинетической энергии К , определяемой по формуле (8), а затем использовать в интеграле по времени метод интегрирования по частям, то после соответствующих преобразований для вариации 5К можно получить следующее выражение:
5К = -|[рА (и., 8и1 + и 2 5и 2 + и э 5и э)+
+ р■уф28ф2 + р■ІФз8ф2 + рJкФі 5фі ]/,
в -
т (и 8и2 + и26и2 + из5из) 8*(в - в0 - V0і)в -2 Е тк (иік 8и1к + и 2к 8и 2к + и з к 8и зк ■ (9)
2
При выводе этой формулы учитывалось, что масса т движется с достаточно малой скоростью по сравнению со скоростями движения элементов стержня, вызванных колебанием, и в связи с этим во втором интеграле отброшено слагаемое, содержащее производную по времени от дельтафункции Дирака
Для решения задачи стержневая система разбивается на элементы X , (рис.1), оси которых
являются гладкими кривыми.
Введем глобальную систему координат ~, ~, ~ для всей конструкции и локальные системы координат в,-, у і, 2і для каждого стержня X і, где координатная линия в, направлена вдоль оси стержня, линии уі, г, совпадают с главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня.
Для каждого стержня X, за искомые неизвестные принимается вектор перемещений
и, - и,и2,~з,~1 ,Ф2,Фз} , заданный в глобальной
системе координат ~, ~, ~. Этот вектор
представляется в виде:
~ М
(в,І) -Е В'т()т(), (10)
т-1
где Вт () - {вті , В'т2,В'тз,В'т 4,В'т5,В'т6} -
вектор неизвестных функций от времени і;
Р, -
^ - ^і
2 - в,і
, 0 <р, < 1 в, 1, в,2
координаты
начала и конца оси стержня X ,.
Функции формы fm (р,-) имеют вид [2-4]:
/^1) = 1 -Р1, *2 (Р1) = Р1,_
т(р1) = /1(р1)[/2(Р1)]т-2 (т = 3,М).
Изменяя количество слагаемых в выражении (10), можно получать
аппроксимирующие функции различного порядка.
Если определить значения искомой функции в узловых точках, то имеем
V
і
иі (вп, ї) = В' (ї), иІ (в І2 , ї) = В'2 (ї). Следовательно,
коэффициенты В' (ї) В2 (ї) определяют значения вектора перемещений соответственно в начальной и конечной точках оси стержня X і в момент времени
ї. Это обстоятельство позволяет легко осуществлять стыковку стержней и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Так, если
положить в' = в2, то будет выполнено условие стыковки начала і -го стержня с концом } -го стержня. Чтобы удовлетворить, например, граничному условию жесткого защемления на конце
1-го стержня, т.е. условию и і (вц,ї) = 0, следует
положить В' ї ) = 0.
Компоненты перемещения в локальной системе координат связаны с компонентами перемещения в глобальной системе координат соотношениями:
и, =[с, ] и, (11)
где
[С ] =
'[с*,]
о
[С
, [Сю ] =
С
ІО 'с 2О ^ ІО с13
О 2' О с22 ґ-^ІО с23
О с32 ґ-^ІО с33
у о j - матрица направляющих косинусов локальной системы координат в глобальной системе координат.
Подставляя для каждого стержня X /
аппроксимирующие функции (10) в формулу (11), а затем в уравнение (7) и (9), удовлетворяя кинематическим граничным условиям и условиям стыковки стержней, после соответствующих преобразований получается система
дифференциальных уравнений в обычных производных относительно неизвестных
функций В‘т ), т = 1,М, / = 1,/:
[о]{в}-[М ]{В"}={Р }, (12)
где [М], [О] - матрицы масс и жесткости стержневой системы; В} - вектор неизвестных функций, {р} -вектор правой части, зависящий от внешних нагрузок.
В случае свободных колебаний действие внешних нагрузок не учитывается, вектор неизвестных функций представляется в виде {В}= {Вс }еш и система уравнений (12) принимает вид:
.2Г
[о]{вс ]+ю2 [М ] {вс )= 0,
I. .ц. Ю
где В} - вектор неизвестных постоянных, ю -собственные значения.
Это уравнение в качестве параметра содержит время (, которое определяет положение движущейся массы т. Задавая конкретные
значения времени t, получаем собственные значения ю и собственные формы для разных положений движущейся массы. Для решения этой задачи используется метод Рэлея-Ритца [5].
Для решения задач в случае вынужденных колебаний используется метод Ньюмарка [6].
Рис. 2
В качестве примера приведены результаты расчеты плоской рамной стержневой конструкции, представленной на рис.2. Предполагается, что все стержни одинаковые круглого поперечного сечения диаметра d. Масса т движется горизонтально вправо по верхним стержням, начиная с левого верхнего шарнира. Приняты следующие числовые параметры: Е = 200ГПа, О = 80ГПа , d = 8 см , а = 2 м, т = 10 кг .
В таблице 1 приведены минимальные собственные частоты в зависимости от положения массы т на конструкции. Результаты приведены для первых двух пролетов.
Таблица 1
в (см) 0 25 50 75 100 125 150 175 200
ю (Гц) 25,3 12,0 9,55 13,5 41,5 13,9 10,2 13,4 35,9
Рис. 3
Для минимальной частоты ю = 9,55 Гц, когда масса т находится в середине первого пролета, на рис.3 приведена форма колебания для левой половины рамы.
В таблице 2 приведены значения максимального напряжения, возникающего в точке приложения массы т , в момент нахождения массы в этой точке.
0
Таблица 2
в (см) 0 25 50 75 100 125 150 175 200
^гпах (МПа) 0,03 1,99 3,18 1,59 0,05 1,64 2,63 1,68 0,08
Литература
1. Абовский Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П.Абовский, Н.П.Андреев, А.П.Деруга - М.: Наука, 1978. - 288 с.
2. Серазутдинов М. Н. Метод расчета криволинейных стержней / М.Н.Серазутдинов, Ф.С.Хайруллин // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1991. -№5. - С. 104 - 108.
3. Хайруллин Ф.С. Расчет напряженно-деформированного состояния сотового поликарбоната. / Ф.С.Хайруллин, М.Н.Серазутдинов, С.Г.Сидорин // Вестник Казанского технологического университета. № 9. Казань. 2010 г. С.433-437.
4. Хайруллин Ф.С. Определение напряженно-
деформированного состояния материала сотовой структуры. / Ф.С.Хайруллин, С.Г.Сидорин // Вестник Казанского технологического университета. Т. 15, № 18. Казань. 2012г. С. 23 - 26.
5. Справочник по динамике сооружений. Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. - М., Стройиздат, 1972. -511с.
6. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / Бате К., Вилсон Е. - М.: Стройиздат, 1982. -448 с.5
© Ф. С. Хайруллин - д-р физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, [email protected]; Х. А. Абрагим - канд. техн. наук, доцент, Технологический университет - Ирак-Багдад; О. И. Алхалили -канд. техн. наук, доцент, Технологический университет - Ирак-Багдад.
