Вариационный метод расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня открытого профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев, М. К. Сагдатуллин ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенные стержневые системы, напряженно-деформированное состояние, принцип Лагранжа,

вариационный метод.

В данной статье излагается вариационный метод расчета тонкостенных стержневых систем открытого профиля. На основе изложенного метода создана компьютерная программа, позволяющая определять напряженно-деформированное состояние тонкостенных стержневых конструкций открытого профиля. Для оценки достоверности предлагаемой методики приведены результаты решения тестовых задач.

Keywords: thin-walled beams systems, stress-strain state, Lagrange principle, variational method.

In this article presents the variation method of calculation of the of thin-walled open profile beams systems. On the basis of the stated method the computer program, allowing to define stress-strain state of thin-walled open profile beams systems, is made. For an assessment of reliability of an offered technique results of the solution of test tasks are given.

В настоящее время при строительстве быстровозводимых зданий и сооружений, а также при реконструкции и усилении существующих сооружений широкое применение получили легкие стальные тонкостенные конструкции. Как известно [1, 2] теории расчета обычных конструкций не применимы для стержней тонкостенного профиля.

Вопросам напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонкостенных конструкций посвящены исследования [1 - 6].

В работах [4, 5] рассмотрены новые тонкостенные конечные элементы, отличающиеся количеством степеней свободы, зависящим от степени аппроксимации функций деформаций. В статье [4] реализована алгоритм расчета тонкостенных стержневых систем по полусдвиговой и бессдвиговой теориям методом конечных элементов.

Численный метод анализа напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержневых систем открытого и замкнутого профиля рассмотрено в работе [5]. В данной работе используется полусдвиговая теория В.И. Сливкера, где учитывается только часть деформации сдвига, возникающая при кручении.

В данной статье излагается вариационный метод расчета тонкостенных стержневых систем открытого профиля. Для определения напряженно-деформированного состояния стержневой системы используется вариационный принцип Лагранжа и его реализация, описанная в работах [7 - 10]. Отличительной особенностью предлагаемого метода заключается в том, что он основан на простейших деформационных соотношениях для прямолинейного стержня и позволяет рассчитывать сложные стержневые системы, элементами которых могут быть и криволинейные естественно закрученные стержни.

При определении напряженно-

деформированного состояния стержней при изгибе и при кручении применяются следующие основные гипотезы теории Тимошенко и гипотезы, принятые

в теории тонкостенных стержней с учетом сдвигов [2]:

• гипотеза неизменяемости контура, в соответствии с которой профиль стержня в плоскости поперечного сечения перемещается как абсолютно твердое тело;

• гипотеза ненадавливания, согласно которой продольные волокна тонкостенного стержня не взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним направлениях;

• гипотеза безмоментности оболочки, согласно которой, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к профилю поперечного сечения стержня (к срединной поверхности) равны нулю;

• гипотеза плоских сечений, согласно которой, поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации;

• изгибные напряжения, возникающие в плоскости проходящей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения;

• гипотеза о линейном законе распределения напряжений по толщине оболочки.

Напряженно-деформированное состояние тонкостенной стержневой системы определяется вариационным методом. Для определения перемещений в элементах используется вариационное соотношение:

8u-т = о, (1)

где 8и - вариация потенциальной энергии деформации стержневой системы; SW - вариация работы внешних нагрузок.

При определении деформаций и напряжений, вводится декартовая система координат 0xyz, с осью Ox, перпендикулярной к

плоскости поперечного сечения (рис. 1).

Входящую в условие (1) вариацию потенциальной энергии деформаций тонкостенной стержневой системы, в соответствии с [3], записываем в виде:

8и = | Я 1 8ех + Оу*т Зу*т \ САС1 . (2)

1с А

Здесь 1с, А - длина и площади сечений элементов стержневой системы; Е, О -соответственно, модули упругости и сдвига материала; ех, у*т - деформации, определяемые в фиксированной точке М, в локальной системе координат, с осями М уг , М 2(, направленные по касательной и по нормали к профилю стержня (рис. 1).

Особенностью выражения для

потенциальной энергии деформации (2) является то,

что в нем входит деформация у*ху1, выражение для

которой отличается от выражения уу , известного

в теории тонкостенных стержней [2].

При решении задачи входящие в (2) деформации ех, у* вычисляются на основе

методики, которая изложена в статье [7].

Если деформации, возникающие в материале, упругие, то напряжения определяются по закону Гука:

Стх = Е^х, т = Оу*щ . (3)

где

* ' (4)

* к Ухуг = у + Ук

Рис. 1

В выражениях (3) и (4) у - постоянное по толщине стенки усредненный сдвиг; у'ку - сдвиг

при чистом кручении, распределенное по толщине стенки по линейному закону.

Деформации ех, у, у1Цу,( определяются по соотношениям

Сил(х) ёф2(х) сСср3(х) сСХ(х) „ , ех =—^^ + г 2 - у 3--а(я)

сх

сх

сх

сх

Си2(х) Си3(х) Ст(х) у=¡у г2 + Р(ум, г м;+

ёх

ёх

ёх

ук = к* йд>1(х)

ухуг = к = 2.

ССх

Здесь

У = Ум + У1 гу + zttz, 2 = 2м + У1 - ,

г = Су г = Сг у Ся ' 2 Ся

Щ(х),и2(х),из(х) , (р\(х),Р2 (х),фз(х) -

перемещения и углы поворота поперечных сечений стержня относительно осей Ох, Оу, Ог; Р(х) -функция меры депланации; у, г - главные центральные оси инерции поперечного сечения

- длина

стержня;

Р(ум ,2м ) = ум ¡2 - 2м гу

у м 2 м у

перпендикуляра, проведенного из начала координат Охуг к касательной к линии 01М в точке

М; а (у,г) = а (я) = |рсСя

секториальная

площадь профиля; гу, г2 - направляющие косинусы осей Муг , М х1; к - поправочный коэффициент.

Введение поправочного коэффициента к * в выражение для у'ку объясняется тем, что в соответствии с [2], при чистом кручении узкой полосы, касательные напряжения и г вносят

одинаковый вклад в величину момента чистого кручения Н. Следовательно

Н = Ц(ткт 2й)СА + Ц(ткхчуи)СА , (6)

причем

Ц (ткт2й)СА = Л (ткщуа)СА

Так как принята гипотезе о безмоментности, и полагается г = 0, то получается, что момент чистого кручения в теории тонкостенных стержней будет создаваться только напряжением тхуг и

справедливо равенство

Л(ткт2и)М = 1Н .

+Ф2(х)гг -Фз(х)гу - Р( х)Р(ум ,2м ) ,

(5)

2

Для компенсации отсутствия напряжения тхг в выражениях для потенциальной энергии

деформации (2) и для момента чистого кручения, в формуле (5) для у^ вводится коэффициент

к *= 2.

При решении задачи, вводится глобальная ортогональная система координат 0ху~ в котором определяются векторы перемещений

и = {и1(х),и2(х),и3(х)У , углов поворота

<р = {ср1(х), (р2 (х), <р3(х)}т и меры депланации

Xх = [- Р(х), 0, 0 ]т поперечных сечений стержня.

А

А

А

А

х

Перемещения, углы поворота, мера депланации в локальной и глобальной системах координат связаны соотношениями

3 3

и] = Е zJkuk, Р] = Х z}k'~k, к=1 к=1

3

Р} = 1 ^ , j = 1' 2 3 ,

i=1

(7)

где z]■k - направляющие косинусы локальной

системы координат.

Вариация работы распределенных и сосредоточенных внешних сил имеет вид:

SWW =J [¿л (x)Su1 (x) + q2 (x)SS~2 (x) + q3 (x)Sqq3 (x) le

+ m1 (x)Sq (x) + m2 (x)Sq2 (x) + m3 (x)Sq3 (x) -

+

Л

гпв(х)др(х) ] + Х [^кби^Хк) + р2кдЫ2(Хк) + к=1

~ 1 п п + ^к^Щ (Хк) ] + X [ М1 б (Х]) + М 2 ]бп2 (Х]) + ]=1

+ ММ3] <П>3(Х]) + МВ]8Р(Х]) ] (8)

где <~1(х/) , ~2(х) , П3(х) , щ(х) , т2(х) , т3(х) -проекции на оси Ох, Оу, Оу глобальной системы координат распределенных по длине стержня сил и моментов, тв (х,) - поекция бимоментной

распределенной нагрузки на ось; Р1к,Р2к,Р3к -проекции сосредоточенных сил, приложенных в точках продольной оси стержня с координатой Хк ;

М1 ],М2 ],М3 ],МВ] - то же, моментов,

действующих в точках с координатой Х] .

Компоненты вектора перемещений ип , углов поворота у и меры депланации 3 на каждом участке стержневой системы представляются в виде следующих рядов:

м

ик = = X Скт/т ((),

=q = z^L/m(О, q~k=q'k = zbL/„(0- (9)

m=1

m=1

Здесь /т (()- функция формы, определяемая выражениями

_/!(() = 1 -3/2 + 2/3 , /,(() = /(1 -/2)/,

/4 (()=(!3 -/2 ) I , /т (/)=(1 - /)2 ^; ,

где т = 5,М, / = х/1г (о < / < 1); х - длина продольной оси стержня, отсчитываемая, от начала участка до рассматриваемой точки; 1г - длина

участка стержня; к = 1,2, 3 ; г = 1, Ж.

После подстановки в условие (1) выражений вариации потенциальной энергии (2), вариации работы внешних сил (8), с учетом соотношений (7), (9) получим систему алгебраических уравнений

[к ]£}=Н

(10)

где [к ] - матрица жесткости стержневой конструкции; {с} - вектор неизвестных

коэффициентов с'кт , Dim , B'km где

Ckm = {ck1, Ck2 , Ck3 ^ ; Dkm = {dI 1, Dk2, Dk3 } ;

B'km = {в'к 1, 0, 0 f ; - вектор, зависящий от

внешних нагрузок.

При вычислении интегралов, входящих в вариационное уравнение (1), используется численное интегрирование с использованием формулы Гаусса. Интегрирование проводится по длине стержней и по площади их поперечных сечений, согласно методике, описанное в [10].

Решая систему уравнений (8) находим

неизвестные коэффициенты C'km, B'km

и Dkm .

Затем, по формулам (7), (9) определяются перемещения и с использованием соотношений (3) и (5) вычисляются деформации и напряжения.

Внутренние усилия и моменты, возникающие в поперечных сечениях тонкостенного стержня, вычисляются по формулам:

N = Ц&х dA , Qy = JJr tydA, Qz = jjr tzdA,

A А А

My = jj^x zdA , Mz = \\axydA

A A

H = k* jjr^ZtdA , Ma = jj(t tzy-t tyZ)dA ,

А

Bw = jjCTx ®dA -

(11)

В соотношениях (11) касательные напряжения т определяется по формуле, которое получено на основе уравнений равновесии отсеченной части стержня

T(s) =

d u1(x)

d х

Aa(s)+

dp2 ( x)

d х

SOy(s) +

d (p3(x) dх 2

Soz(s)-

d2 q(x)

d х 2

Som(s)

Здесь

^ = JJzdA, Soz =JJydA, Som = \\adA,

A0 Ao Ao

где Аа - площадь отсеченной части сечения.

Для оценки достоверности предлагаемой методики приведем нижеследующие тестовые примеры.

Представим данные расчетов статически определимого и статически неопределимого стержней, представленных на рис. 2,а,б. Сечение стержней и геометрические характеристики сечения приведены на рис. 2,в и в таблице 1. Характеристики материала стержней:

E = 2.1 • 105 мПа , G = 8.1 • 104 мПа . Интенсивность

А

А

m=1

распределенной нагрузки эксцентриситет приложения нагрузок е = 0,0335 м .

q = 0,01 кН / м , распределенных

Таблица 2

а)

I = 3 м

б)

У

и и и

ННН1111

V

I = 3 м

в)

Рис. 2 - Расчетная схема статически определимого (а) и неопределимого (б) стержней; сечение стержней (в)

Таблица 1

Момент инерции при свободном кручении т 4 Jd, м 0,028125■10"8

Секториальный момент инерции т 6 Jm, м 351,5625-10~12

Осевой момент инерции т 4 Jx, м 126,5625 ■10"8

Результаты расчета статически

определимого и неопределимого стержней приведены в таблице 2. Для сравнения в таблице также приведены результаты расчетов указанных стержней по методике, изложенное в [4], и по технической теории З.В. Власова [6]. Из сравнения приведенных результатов видно, что данные, полученные по предлагаемой методике совпадают с результатами расчетов, полученные в работе [4] и с результатами, полученными по теории З.В. Власова (наибольшее расхождение результатов не превышает 4 %).

Статически определимый стержень

Определяемые параметры Ф х, max рад. Ртах 1 / м в т, тах кН ■ м 2

По

предлагаемому 0,0226 0,00857 0,000993

методу

По

технической 0,0225 0,00856 0,000993

теории В.З. Власова

Статически неопределимый стержень

Координаты При При При

сечения 1 = 0 1 = 0.75 м 1 = 1.5 м

стержня

Определяемые Р Вт

параметры кН ■ м 2 1 / м кН ■ м 2

По

предлагаемому -0,00024 0,000897 0,000116

методу

По методике,

изложенное в -0,00023 0,00091 0,0001165

[4]

По

технической -0,00024 0,000917 0,000115

теории В.З. Власова

Выполнен расчет консольного

криволинейного стержня (рис. 3,а), загруженного сосредоточенным моментом М = 10 кН ■ м. Форма сечения стержня, её геометрические характеристики и характеристики материала стержня приведены на рис. 3,б и в таблице 3.

М = 10 кН ■ м

!Ш8ЙШ

б)

1 I

10

о о

СП

300

Рис. 3 - Расчетная схема (а) и размеры сечения криволинейного стержня (б)

2

q

X

q

г

X

Таблица 3

Модуль упругости материала Е, мПа 2.1-105

Модуль сдвига О, мПа 8.1-104

Момент инерции при свободном кручении т 4 Jd, м 0,336 •10~6

Секториальный момент инерции т 6 Jm, м 1,081 •Ш-6

Осевой момент инерции т 4 Jx, м 1,667 -10~4

Результаты расчетов приведены в таблице 4. В этой таблице приведены максимальные значения угла закручивания, крутящего момента и бимомента в сечениях рассматриваемого стержня. Для сопоставления в указанной таблице также приведены результаты расчета заданного стержня по программе А№УЯ. Наибольшее расхождение результатов, как это видно из таблицы, находится в пределах 1,5% .

Таблица 4

Определяемые параметры Фх, гаях рад. м к,тах кН • м в т, тах кН • м 2

По предлагаемому методу 0,4938 10,0 15,0

По программе АШУЯ 0,4984 10,0 15,179

Выводы

• Полученные расчетные данные по предлагаемой методике совпадают с результатами расчетов по технической теории З.В.Власова и с результатами, полученными с помощью программы АКЯУЯ;

• Результаты расчетов показывают, что изложенное в [7] метод расчета криволинейных, естественно-закрученных стержней, основанного на простейших деформационных соотношениях

для прямолинейного стержня, можно распространить и для тонкостенных стержней, поперечное сечение которых составлено как из прямолинейных, так и криволинейных участков.

Литература

1. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. 566 с.

2. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

3. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля / М.Н. Серазутдинов // Вестник Казанского Технологического Университета, Казань. 2013. № 5. - С. 216-223.

4. Лалин В.В. Исследование конечных элементов для расчета тонкостенных стержневых систем / В.В. Лалин, В.А. Рыбаков, С.А. Морозов // Инженерно-строительный журнал. 2012. № 1(27). С. 53-73.

5. Рыбаков В.А. Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера для анализа напряженно-деформированного состояния систем тонкостенных стержней / Дисс. канд. техн. наук : 01.02.04. Санкт-Петербург, 2012. 184 с.

6. СмирновА.Ф. Сопротивление материалов. Учебник для вузов. / Под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: Высшая школа, 1989. - 600 с.

7. Серазутдинов М.Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104 -108.

8. Серазутдинов М.Н. Расчет усиливаемых нагруженных конструкций вариационным методом /М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х.А. Абрагим // Изв. вузов. Строительство. 2010. № 7. С. 118 - 123.

9. М.Н. Серазутдинов, Влияние монтажных сил на несущую способность усиливаемых стержневых систем. / М.Н. Серазутдинов., М.Н. Убайдуллоев, А.Х. Абрагим // Вестник Казанского технологического университета. 2011 г. № 10. С. 116 - 124 .

10. М.Н. Серазутдинов. Повышение несущей способности усиливаемых нагруженных конструкций / М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х. А. Абрагим // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: обзорно-аналит. и научно-технич. журн. - М.: -РУДН, 2011. - № 3. - С. 23-30.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, [email protected]; М. Н. Убайдуллоев - канд. техн. наук, доцент той же кафедры, [email protected]; М. К. Сагдатуллин - канд. техн. наук, доцент той же кафедры.