CC BY
33
івиГТ rfiЯТтИ ! О ft УЪ га ЛЙ ffiVttf) П (П?\ 0Б f 1-у 10 f
ХИСАМОВ1 Денис Франгизович, кандидат технических наук
т
МОДЕЛИРОВАНИЕ АНАЛОГОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА КАНАЛАХ НИЗКОГО КАЧЕСТВА
В данной работе с использованием границы Чернова и Гаусса моделируется аналоговая синхронизация апериодической псевдослучайной последовательности (АПСП) на каналах низкого качества.
Ключевые слова: аналоговая синхронизация, синхронизация псевдослучайной последовательности, граница Чернова, каналы с произвольным распределением ошибок.
The mathematical models of the APRS analog synchronization based on the Chernoff bounds which allow to find the precise upper and lower bounds for a probable unreceiving of the startup combination on the chanells with the optional law of errors distribution have been developed in this work.
Keywords: analog synchronization, synchronization pseudorandom sequence, based on the Chernoff, chanells with the optional law of errors distribution
Вывод строгой верхней границы для вероятности неприема пусковой комбинации с использованием неравенства Чернова
В системах защиты информации широкое применение находят АПСП, которые синхронно и синфазно вырабатываются на передающей и приемной сторонах связи. На каналах низкого качества, когда модем не в состоянии выделять дискретные посылки сигнала, возникает потребность в аналоговой синхронизации АПСП. Рассмотрим аналоговую синхронизацию датчиков АПСП. Пусть реализация пускового ПС-ФМ-сигнала имеет вид:
= 0, mo S1 (t) = n(t)Uc = cos( t + p),
= 1, mo S2 (t) = -S1 (t), 0 < t < T;
Yk
, (1)
П() = -|Н , (k - 1)T0 < t < kT0 , k = 1,2,3...B
0 при других t
сигнала; Т - длительность элемента сообщения; ук = (0,1) — псевдослучайная последовательность, не известная противнику (гамма).
В канале присутствует аддитивная помеха е^) с произвольным законом распределения, нулевым средним и дисперсией а2. Тогда на интервале анализа аналоговые отчеты сигнала будут иметь вид:
ИГ + ^ , если i принадлежит ПC; , если i не принадлежит ПC
(2)
где: Uc - амплитуда сигнала; Тс - длительность субэлемента
где а - амплитуда сигнала; = (0, 1) - равновероятные и взаимно независимые случайные величины;
щ
£1 = | ) • со ‘$юс tdt -
произвольно распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией а2.
Предположим, что пусковая комбинация (ПК) известна на приеме и состоит из N символов: Б1, Я2,..., На приеме осу-
1 - доцент кафедры комплексной защиты информации, Кубанский институт информзащиты, Краснодар
03 2011 SPT.indd 29
ществляется автокорреляционный прием пускового сигнала по правилу:
N
X
і = 1
(3)
Здесь и1, и2,..., иЬ, принятые из канала, Ь двоичных символов, а S1, S2,..., SN- известная пусковая комбинация, состоящая из N двоичных символов.
Требуется определить вероятность неприема синхропосылки (СП), если известно, что вся пусковая комбинация входит в интервал анализа.
Рассмотрим случай, когда пусковой и опорный сигналы пересекаются. Тогда можем составить две суммы:
N у, N / у, \ у,
1) 2 (-!)' = 21 а (-1)+ е )•(-!)'=
і=1
і=1
У і
рн = Р <а{)+{ {-1) ' Є+Т + X (-1) ' Є
і=1
где:
К е - 81+т) при . = 1,2,3,..., N - Т; {( - е+т) при . =1,2,3,...,N.
Учитывая слабую коррелированность помехи на интервале субэлемента сигнала, предполагается взаимная независимость отсчетов п и поэтому для оценки (7) используем границу Чернова в виде:
Р {х < Ъ}< g ^) • е~ш , t < 0,
где g (і) = М х} .
Полагая в (8)
х = а ■[ - Л(Г)]+Х (-1)7'' П; и В = О,
і=1 1
получим границу для вероятности неприема СП в виде:
Р < min g(і), при і<О,
N
а (-Ч?))+Х(-1)'
где g ( і ) = М
(9)
математическое ожидание д(Ц вычисляется относительно у1 и п , I = 1, 2, 3,..,Ы
Найдем математическое ожидание относительно у:
М
і■ а(-Ч(Т))+ X (-1)Ті П. і=1
і ■а [>-К( )] N е% + е~‘%
■ е ■ П
і=1
(4)
= а!Ч + 2 е (-1)' ;
.=1
2) 2^ (-1У‘=2 а(-1Т+т+е+т •(-1У‘+
.=1 .=1
+ 2 £1+т •(-1У‘ =
. = N-т +1
= аЛ(т) + X (-1) • е+т + 2 (-1) • е'+т)
.=1 .=N^+1
где R(T) - автокорреляционная функция ПСП при сдвиге, равном Т.
Очевидно, неприем может произойти только тогда, когда первая сумма (4) будет меньше второй суммы (5):
ї^а[М-Я(ї)] N . е • П ск (г П )< е
.2 N
і ■а [>-Ч(і)]+2- X П
=1
(10)
=1
Неравенство (10) получено из условия
ск(х)< е2 .
Учитывая, что п центрированная, выражение (10) можем переписать как:
(5)
і ■ а[Ы - Ч (Т )]+і2^ N02
(11)
Легко показать, что показатель степени в (11) минимизируется при:
}=
= Р | а (-ч(т ))+{ ({ { -Є.+т )+. _Х.+ ( -1) • (є. -Є.+т ) <0}.(6)
Учитывая, что под обоими знаками суммы в правой части неравенства (6) стоят случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями, равными 2а2, формулу (6) можем переписать как:
Рн = Р | а(N - Ч(Т)) + X (-!)'■ п. < 0 } ,
2N-а2
тогда окончательно имеем:
а2 + а И2 [Ы-К(Т)}2
р < п<і,п g(t) = е
■ 2N 82 • 4N = е М , (12)
(7)
(8)
где Н2 = а2/о2 - отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемника к спектральной плотности помехи. Для оценки вероятности неприема ПК на всем интервале анализа Ь используем аддитивную границу Буля [1], тогда окончательно получим:
— H2N Е-! Н2 [-Я(У]2
Рн < (Ь - 2^ • е ^ + 2 е ш . (13)
.=1
Неравенство (13) дает строгую верхнюю границу для вероятности неприема ПС при произвольных помехах в канале. Представляет интерес рассмотрение некоторых частных-случаев, например, когда помеха в канале типа белого гауссовского шума (БГШ).
Вывод точной формулы для вероятности неприема ПК в условиях гауссовских помех
В частном случае, когда помеха гауссовская с нулевым средним и с дисперсией 52 легко получить точную формулу. Для этого (7) представим как:
25.07.2011 12:00:26
Pн = P\ї^(-1У,
= р{гі>а[М-К(Т)},
(14)
где
*7=ХН)Г’ г1‘
1=1
гауссовская величина с нулевым средним и дисперсией равной 2№2.
Тогда для (14) можем получить точную формулу в виде [2]:
г
Р„=Р{^>а[ЛГ-Д(Г)]}= } —1_
а[ІІМ!(Г)] 28у ж N
(ІХ-
=1-р
где
N (15)
«рг-ВД/ \=1_г{Н№-11<Г)]/ '
/ду/ш) \ /уШ
- интеграл вероятности.
~ /
Рн <{Ь-2Щ- 1-Р № N-1 + 1 Т=1 1-Р
- у ^ V - V
Я[АГ-Д(Г)]
4ж
Известно, что в классе помех с произвольным законом распределения, гауссовская помеха всегда дает нижнюю границу для вероятности ошибки [1].
Поэтому выражение (16) можно рассматривать как нижнюю границу вероятности неприема ПК в случае произвольных помех в канале. На рис. 1 приведены нижняя и верх-
Для определения вероятности неприема пускового сигнала на интервале анализа, опять воспользуемся аддитивной границей и получим окончательное выражение в виде:
, V
Граница Чанова Точная формула при БГШ
(16)
Рис. 1. Границы вероятности неприема ПК
няя границы вероятности неприема ПК Рн = (р ( Н2 ) для различных N при аналоговом запуске и произвольных помехах в канале, рассчитанные по (13) и (16) соответственно. Из анализа кривых, приведенных на графике, видно, что верхняя граница (13), полученная с использованием неравенства Чернова, дает достаточно плотные результаты (кривые 1 и 2) и, следовательно, будет хорошей оценкой Р при произвольных слабо коррелированных помехах в канале
Литература
1. Коржик В.И., Финк Л.М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. -М.: Связь, 1975. - 275 с.
2. Хисамов Д.Ф. Граничные оценки вероятности синхронизации псевдослучайной последовательности на каналах с произвольным. распределением, ошибок / Материалы, международного конгресса «Математика в XXI веке»/ 25-28 июня 2003 г. - Новосибирск: Академгородок, 2003. http://www.sbras.ru/ws/MMF-21/
