CC BY
63
Е. Г. Абрамов, Л. К. Панина
моделирование потоков биосуспензий, меченных магнитоактивными наночастицами, в градиенте магнитного поля, Введение
Новые возможности в медицине и биотехнологиях сегодня могут быть реализованы благодаря прогрессу в области нанотехнологий и биоинжиниринга, в частности за счет сорбции живыми клетками наночастиц [1-3]. Обособленное место занимают наночастицы, чувствительные к электромагнитным полям. В медицинских и биологических исследованиях помимо квантовых точек, используемых для визуализации клеточных и субклеточных объектов, наиболее перспективными в смысле многофункциональности и простоты реализации являются магнитные наночастицы. Наночастицы из маггемита и магнетита, инкапсулированные в химически инертную, например, силикатную или алюмосиликатную матрицу применяются для лечения опухолей при помощи их нагрева (гипертермией) вихревыми токами, индуцированными переменными магнитными полями [1, 4]. Магнитные наночастицы, заключенные в полимерные оболочки с пришитыми или сорбированными химическими агентами, также обладают широкой сферой применения. Так если в качестве агентов использовать специфические антитела, несущие их магнитные наночастицы играют роль меток и могут быть визуализированы, например, при помощи световой или электронной микроскопии [5]. С другой стороны, если в качестве химического агента использовать тот или иной лекарственный препарат, гипертермией можно индуцировать его высвобождение из несущего полимера-матрицы за счет температурного фазового перехода. Универсальным свойством таких наночастиц является их подвижность в магнитном поле. Возможность использования этого явления для направленного транспорта, осаждения, концентрирования магнитных наночастиц в заданной области объясняет всевозрастающий к ним интерес [6-8].
При модификации магнитными наночастицами клеток и субклеточных структур, а также при изучении их направленного транспорта в магнитных полях, встает ряд практических вопросов, в том числе: каким минимальным магнитным моментом должна обладать одна наночастица; какая концентрация магнитных наночастиц на единичную биоструктуру (или суммарный магнитный момент всей биоструктуры) необходима для ее перемещения в пространственном градиенте заданного магнитного поля; какова глубина слоя «захвата» магнитоактивной наноструктуры и т. д.
В существующих моделях, как правило, используется лишь магнитогидродинамическая теория, описывающая поведение проводящих жидкостей и газов [9, 10, 11]. В связи с этим представляется целесообразным построение математической модели, описывающей движение как одиночных магнитных наночастиц, так и с присоединенными молекулярно-клеточными объектами, и исследование наиболее общих вариантов модели, позволяющих описывать совместно эффекты седиментации и магнитного улавливания.
© Е. Г. Абрамов, Л. К. Панина, 2011
физическая модель
Нами были предварительно проанализированы составляющие физических процессов, необходимые для рассматриваемой задачи. В качестве основы для физической модели была принята сплошная среда. Для описания движения смеси жидкости и диспергированных в ней частиц под действием внешних сил требуется несколько уравнений, а именно: по одному уравнению неразрывности для жидкости и частиц, уравнение неразрывности для всей суспензии, уравнение Навье—Стокса для жидкости, уравнение движения частиц, уравнение диффузионного потока и уравнение теплопроводности. В случае приложения магнитного поля в уравнении Навье—Стокса необходимо учесть объемные массовые силы, действующие на жидкость со стороны частиц и со стороны магнитного поля. При этом необходимо добавить уравнения, описывающие токи проводимости в жидкости и вызванное ими изменение магнитного поля. В уравнение движения частиц должны входить следующие объемные силы: сила инерции, сила присоединенной массы, сила Бассе—Буссинеска, сила вязкого трения, сила выталкивания, сила тяготения, магнитная сила [12-17].
Наночастицы, меньшие определенного размера (< 50 нм), изготовленные из ферромагнитного материала, взаимодействуют с магнитным полем подобно парамагнитному иону с необычайно большим спином, не обладая при этом гистерезисом. Такие частицы называют однодоменными, подразумевая, что магнитные моменты всех ее атомов направлены в одну сторону. Температура вызывает флуктуации направления магнитного момента частицы, что описывается функцией Ланжевена. Такое квазипарамагнитное поведение наночастиц, изготовленных из ферромагнетика, называется суперпарамагнетизмом. Намагниченность микро- или наночастицы большей размера одного домена, но несущей в себе однодоменные магнитные наночастицы также описывается функцией Ланжевена при условии ее сферической формы и равномерного заполнения объема магнитными носителями [11, 18]. Именно такие частицы из оксидов железа (англ. аббревиатура БРЮ^ используются для модификации поверхности клеток и для связи с биомолекулами, как специфические магнитные метки и носители для целевой доставки лекарств. Магнитный момент ансамбля таких частиц имеет вид
-> 4 о (4пг° МцВ \ В
М =-Мптгг1М8Ь \ -----^, (1)
3 ” V 3кТ В’
где Ы„ — число наночастиц в ансамбле, гп — радиус наночастицы, Ms — скалярная величина магнитного насыщения материала однодоменной частицы, k — постоянная Больцмана, T — абсолю тная температура, В — вектор индукции магнитного поля, в — скалярная величина индукции магнитного поля, £(£) = — - — функция Ланжевена.
С
В общем случае взаимодействие внешнего магнитного поля с магнитным моментом описывается силой Лоренца. В условиях, когда токами проводимости в несущей среде можно пренебречь, например, в случае деионизированной воды, магнитное поле следует считать безвихревым. В таком приближении магнитное поле не действует на жидкость, а описание его взаимодействия с магнитными частицами принимает простой вид [11, 14]
Ры = у в (м • в) . (2)
Эффекты взаимодействия частиц обычно описывают через зависимость вязкости смеси от концентрации и градиента скорости. Для сильно разбавленных суспензий сферических частиц учитывают лишь концентрационный эффект, например, посредством уравнения Эйнштейна для вязкости, которое мы не берем во внимание ввиду малости суммарного объема занимаемого частицами нано- или молекулярного размера [12, 13, 19-23].
Диффузионный поток выражают, опираясь на первый закона Фика и соотношение Эйнштейна—Стокса [12, 13, 24], а именно:
где п — концентрация микрочастиц, г — радиус частицы, ц — коэффициент кинематической вязкости чистой жидкости.
Практический интерес представляет модель, описывающая стационарное движение разбавленной суспензии частиц в постоянном во времени градиенте безвихревого магнитного поля в устоявшемся потоке жидкости или в неподвижной жидкости без градиента температуры.
Такую физическую модель можно свести к математическому описанию потока одной лишь фазы частиц, для чего понадобятся два уравнения: уравнение неразрывности, включающее диффузионный поток и поток под действием направленных сил. А также уравнение движения частиц под действием следующих сил: сила вязкого трения, сила выталкивания, сила тяготения, магнитная сила.
Уравнение неразрывности в таком случае будет иметь вид
где V — поле скоростей частиц.
При выводе уравнения движения удобно записать модель в форме, пригодной для описания, как потока свободных однодоменных частиц, так и частиц, чей магнетизм обусловлен наличием в них сорбированных магнитных наночастиц. Для определенности, свободную частицу из немагнитного материала будем обозначать как «микрочастицу»; встроенные частицы — наночастицами. Нам понадобится выражение для корректного пересчета плотности «микрочастицы»:
где р — пересчитанная плотность микрочастицы, рт — плотность материала микрочастицы, гт — радиус микрочастицы, рп — плотность материала наночастицы, г„ — радиус наночастицы, Мп — число наночастиц в одной микрочастице. В случае, когда рассчитывается поток свободных одно доменных наночастиц следует принять рт = рп.
математическая модель
(4)
(5)
Тогда уравнение движения будет имеет вид
2(г%МпМ3Щ)дгаЛВ 9 г]
+ д(р - ро) + V
(6)
где д — ускорение свободного падения, Ро — плотность чистой жидкости, щ — поле скоростей стационарного потока жидкости.
Собрав уравнения 1-6 вместе, получим систему уравнений, описывающую стационарное движение разбавленной суспензии частиц в постоянном во времени градиенте безвихревого магнитного поля в устоявшемся потоке жидкости или в неподвижной жидкости без градиента температуры.
дп _ кТ ді 6 пгтп
V п — п • d^vV — V • дгайп,
2гт (ГПNnMsL(£)gra,dB
9п
47г г^М8В 3кТ ’
Р = Рт |1 + Я„(— ^-1
гт / \ рт у
+ д(р — ро) + «0
(7)
При решении системы (7), необходимо дополнить ее еще уравнением, задающим поле В, если это поле не задано явно.
3
г
т
материал и методика исследования
Уравнения модели выведены теоретически на основе механики сплошных сред. Для проверки модели поставлена краевая задача с граничными условиями второго рода, когда поток частиц через границу равен нулю. Прилипанием частиц к границе области пренебрегли. Численное решение моделировалось в системе ИехРБЕ с использованием схемы Ньютона—Рафсона. Расчетная область (рис. 1) представляет собой полый вертикальный цилиндр с глухими торцевыми стенками высотой 10 см и диаметром 4 см. Краевая задача задана границами расчетной области. Магнит представлен как точечный источник в центре боковой стенки цилиндра (см. рис. 1).
Магнитное поле аппроксимировано степенной функцией на основе эмпирических данных по одному из магнитов, серийно выпускаемых ООО «Валтар». Его условное изображение в плоскости х=0 в виде поверхности значений индукции, а также профиль изменения индукции на избранном отрезке представлены на рис. 2. Магнитное поле задается уравнением В = 0,3119 • 0,0729й Тл, где й — расстояние от точечного магнита в сантиметрах.
Моделировалось поведение двух типов магнитоактивных частиц:
1) наночастиц магнетита диаметром 30 нм;
2) клеток микроорганизмов (иными словами, микрочастиц диаметром 5 мкм) со встроенными наночастицами магнетита, за счет которых клетки приобретали магнит-
Рис. 1. Расчетная область (черный круг на боковой поверхности обозначает постоянный магнит, толщина стенок цилиндра 2 мм)
А
У, СМ
Є я
і
Рис. 2. Условное изо- 2
О
бражение магнитного | поля постоянного маг-
§
нита в виде поверхности значений магнитной индукции в плоскости х=0 и профиля (Л) значений на выбранном отрезке
ные свойства. Рассматривались условия, когда число наночастиц на одну «клетку» составляет 1000.
В обоих случаях начальная концентрация частиц составляет 1010 м-3 и равномерна по объему цилиндра в неподвижном объеме воды с однородной температурой в 20°С. Вводные данные для модели представлены в таблице.
Вводные данные, используемые при моделировании потоков однодоменных частиц магнетита и клеток микроорганизмов в неподвижном объеме чистой воды в магнитном поле
Название Обозначение Размерность Значение
Постоянная Больцмана к Дж/К 1,3807-10-23
Абсолютная температура Т К 293,15
Кинематическая вязкость чистой воды при 20°С п м2/с 1,01-10-6
Ускорение свободного падения & м/с2 9,81
Плотность чистой воды при 20°С Ро кг/м3 998,2
Магнитное насыщение однодоменной частицы магнетита м5 А/м 0,5
Плотность материала однодоменной частицы рп кг/м3 5150
Радиус однодоменной частицы Гп м 1,510-8
Плотность клетки рт кг/м3 1150
Радиус клетки гт м 2,5-10-6
Число наночастиц в одной клетке Пп 1000
результаты исследования и их обсуждение
В ходе вычислительных экспериментов рассматривались два случая. В одном из них моделировалось движение свободных наночастиц магнетита под действием магнитного поля и силы тяжести, в другом — в тех же полях моделировалось движение клеток с присоединенными к ним наночастицами магнетита. Результаты эксперимента показаны в виде поверхностей и профилей, отображающих распределение концентраций частиц в избранных участках цилиндра (см. рис. 1, 3 и 4). Для выявления динамики процесса перераспределения концентраций выбраны два момента времени — 1 и 10 минут.
На рис. 3 представлены результаты моделирования процесса со свободными наночастицами. Видно, что частицы смещаются за довольно короткий промежуток времени в область, прилежащую к постоянному магниту, где и наблюдается увеличение концентрации наночастиц. При этом осаждения наночастиц в поле силы тяжести не происходит.
Совершенно иначе меняется концентрация магнитоактивных клеток, несущих магнитные наночастицы. На рис. 4 видно, что в этом случае, наряду с магнитным притяжением и увеличением концентрации клеток вблизи полюса постоянного магнита, за выбранный промежуток времени происходит также частичное осаждение клеток в поле тяготения.
Таким образом, согласно результатам численного моделирования, быстрого осаждения наночастиц в гравитационном поле не происходит, тогда как магнитное поле эффективно и быстро работает при осаждении частиц нано- и микроразмеров. За 10 мин виртуального времени вычислительного эксперимента одиночные наночастицы магнетита сосредоточиваются в области магнитного полюса. Использование более крупных клеток при выбранной концентрации наночастиц (1000 шт.) на клетку приводит к тому,
X, см Ъ, см
Рис. 3. Распределение концентраций однодоменных частиц в моменты времени 1, 10 минут в виде поверхности значений в плоскости х=0 и профиля (Л) значений на выбранном отрезке
1 минута А
10 минут А
\
\ . \
\
\
м
Рис. 4. Распределение концентраций бактериальных клеток «набитых» наночастицами магнетита в моменты времени 1, 10 минут в виде поверхности значений в плоскости х=0 и профиля (Л) значений на выбранном отрезке
что гравитационное поле конкурирует с магнитным полем за концентрирование микрочастиц, т. е. часть микрочастиц оседает на дно сосуда, а часть «прилипает» к полюсу магнита. По-видимому, для полного магнитного улавливания должна быть выбрана более высокая концентрация используемых магнитных меток или более сильные магнитные поля.
заключение
Поскольку в настоящее время наночастицы широко используются в медицине и биотехнологиях для направленной доставки лекарственных средств и других агентов, а также в качестве средств диагностики, модель будет полезна при разработке технологий, предназначенных для процессов осаждения, разделения суспензий биологического или другого происхождения при использовании магнитных полей.
Полученная модель и результаты численных экспериментов с ее использованием позволяют говорить о применимости магнитных полей средних интенсивностей для осаждения суспензий модифицированных клеток, обладающих магнитными свойствами. Использование магнитного поля в противоположность полю тяготения эффективно при осаждении свободных магнитных наночастиц из раствора. С другой стороны, микрочастицы или клетки, наделенные посредством наночастиц магнитными свойствами, в сравнимой степени подвержены влиянию гравитационного и магнитного полей при использованных концентрациях. Для того чтобы достичь преобладающего действия магнитных полей на такие модифицированные клетки, можно на основе модели рекомендовать использовать более высокие концентрации наночастиц на одну клетку или наноматериалы с более высоким магнитным моментом с целью получения высокой намагниченности клетки и ее направленного транспорта в магнитном поле. Предложенную модель можно применять для качественного или полуколичественного описания процессов концентрирования частиц или клеток в переменных магнитных полях при различных режимах.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-08-00-477), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (грант № 2.1.1/485) и Правительства СПб. для студентов и аспирантов (грант № 2.6/04-06/055).
Литература
1. Fortin J. P., Gazeau F., Wilhelm C. Intracellular heating of living cells through Neel relaxation of magnetic nanoparticles // Eur. Biophys. J. 2008. Vol. 37. P. 223-228.
2. Smith M. J., Sheehan P. E., Perry L.L. Quantifying the Magnetic Advantage in Magnetotaxis // Biophysical Journal. 2006. Vol. 91. P. 1098-1107.
3. Wilhelm C., Riviure C., Biais N. Magnetic control of Dictyostelium aggregation // Phys. Rev. E.
2007. Vol. 75. P. 041906.
4. Wilhelm C., Fortin J. P., Gazeau F. Tumour cell toxicity of intracellular hyperthermia mediated by magnetic nanoparticles // J. Nanoscience and Nanotechnology. 2007. Vol. 7. P. 2933-2937.
5. Iwasaka M., Ueno S. Detection of intracellular macromolecule behavior under strong magnetic fields by linearly polarized light // Bioelectromagnetics. 2003. Vol. 24(8). P. 564-570.
6. Andre W., Martel S. Micro-photovoltaic cells designed for magnetotaxis-based controlled bacterial microrobots // IEICE Electronic Express. 2008. Vol. 5, N 3. P. 101-106.
7. Miller-Schulte D. Novel magnetic microand nanoparticles for biomedical separation and as means for a new approach to aids therapy // Magnetic and Electrical Separation. 2000. Vol. 10. P. 141-159.
8. Wilhelm C., Gazeau F. Universal cell labelling with anionic magnetic nanoparticles // Biomaterials.
2008. Vol. 26. P. 3161-3174.
9. Кирко И. М., Кирко Г. Е. Магнитная гидродинамика. Современное видение проблем. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский Институт компьютерных исследований, 2009. 632 с.
10. Сыроватский С. И. Магнитная гидродинамика // Успехи физических наук. 1957. Т. 62. Вып. 3. C. 247-303.
11. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // Успехи физических наук. 1974. Т. 112. Вып. 3. С. 427-458.
12. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. В. П. Вахомчика и А. С. Попова; под. ред. Г. Ю. Степанова. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. Гидродинамика. 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. VI. 736 с.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. Электродинамика сплошных сред. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Т. VIII. 656 с.
15. Невский Ю. А., Осипцов А. Н. Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Письма в ЖТФ. 2009. T. 35. Вып. 7. С. 98-105.
16. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. Т. 1. 464 с.
17. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2 т. М.: Наука, 1976. 536 с.
18. Гудошников С. А., Любимов Б. Я., Скомаровский В. С. и др. Влияние свойств магнитных наночастиц на эффективность их фильтрации из биологических сред организма в магнитных полях с высоким пространственным градиентом // Архив первого международного форума по нанотехнологиям, 2008, Москва. URL: http://rusnanotech08.rusnanoforum.ru/sadm_files/disk/ Docs/2/10/10%20(44).pdf (дата обращения 04.10.2010).
19. Бибик Е. Е. Реология дисперсных систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. 172 с.
20. Рудяк В. Я., Белкин А. А., Егоров В. В. Об эффективной вязкости наносуспензий // Журнал технической физики. 2009. T. 79. Вып. 8. С. 18-25.
21. Рудяк В. Я., Белкин А. А. О релаксации скорости наночастицы в конденсированной несущей среде // Письма в ЖТФ. 2003. T. 29. Вып. 13. С. 70-76.
22. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. Гидромеханика, перемешивание и теплообмен. М.: Мир, 1964. 216 с.
23. Ходаков Г. С. Реология суспензий. Теория фазового течения и ее экспериментальное обоснование // Российский химический журнал. 2003. T. XLVII, № 2. С. 33-44.
24. Учайкин В. В., Саенко В. В. К теории классической мезодиффузии // Журнал технической физики. 2001. T. 71. Вып. 2. С. 8-15.
Статья поступила в редакцию 14 октября 2010 г.
