Модели и методы решения задач маршрутизации в зоне техногенной аварии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ

УДК 519.853+658.52

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАРШРУТИЗАЦИИ В ЗОНЕ ТЕХНОГЕННОЙ АВАРИИ

КОБА К.Н., ПУТЯТИН В.П._________________

Рассматривается задача маршрутизации, связанная с оптимизацией планов эвакуации населения и перемещения аварийных бригад, возникающая при создании систем автоматизации планирования ликвидации последствий техногенных аварий. Предлагается структура ее решения, основанная на рассмотрении системы моделей базовых задач и методов их решения, для которых даны оценки вычислительной эффективности.

1. Постановка проблемы

Законодательство Украины, Государственные нормы [1] и другие регламентирующие документы определяют задачи обеспечения безопасности населения и охраны окружающей среды на случай нештатных ситуаций, вплоть до аварий, связанных с использованием и транспортировкой источников ионизирующего излучения и иных опасных или вредных веществ. Перед всеми уровнями управления поставлена задача разработки планов и выделения сил и средств для минимизации последствий любого типа радиационной аварии, как на стационарных объектах, так и в наземных транспортных средствах, летательных и космических аппаратах, портах.

Для ликвидации последствий промышленных аварий имеется инфраструктура технических и программных средств, позволяющая принимать решения в рамках автоматизированных систем контроля радиационной обстановки. В случае коммунальной аварии, последствия которой распространяются на прилегающие территории, где проживает население, принятие решений о вмешательстве должно строиться на принципах [1] оправданности (контрмер), непревышения (порогов детерминированных радиационных эффектов) и оптимизации (максимизации разности между суммарной полезностью и ущербом), причем в реальном масштабе времени и, ввиду ее многокри-териальности и неполной формализуемости, в интерактивном режиме. В полной мере комплекс возникающих при этом задач остается нерешенным. При этом одной из базовых является задача маршрутизации [2], связанная с подготовкой, в реальном времени, планов вмешательства на основе оптимизации системы маршрутов эвакуации населения и перемещения аварийных бригад, с адаптацией полученных и, возможно, выполняемых планов на (априорно

непредсказуемые) изменения, возникающие в процессе выпадения и перераспределения агрессивной среды (АС).

Задача маршрутизации (ЗМ) является обобщением задачи планирования, сочетающей транспортную и задачу расписания, на нестационарный случай. Она является NP-полной, поскольку даже в стационарном случае таковой является задача поиска оптимальных путей при нелинейных функциях цели [3, 4]. Тем более ЗМ усложняется в нестационарных условиях, диктующих необходимость адаптации плана вмешательства к изменяющимся условиям внешней среды. Поэтому к моделям и методам решения ЗМ выдвигаются достаточно жесткие требования по вычислительной эффективности в целях получения вариантов планов вмешательства оперативно и с требуемой точностью.

2. Анализ исследований и публикаций

Задача маршрутизации, связанная с подготовкой системы маршрутов эвакуации населения и перемещения аварийных бригад, рассматривалась в работе [2]. Вопросы оптимальной маршрутизации на нестационарной сети и ее сведение к системе базовых задач исследовались в работе [4]. Аппаратно-программная реализация математических моделей задач поиска рациональных маршрутов в зоне техногенной катастрофы рассмотрена в работах [5-7].

3. Характеристика задачи маршрутизации

Считаем, что в области q , где осуществляются перевозки, заданарегрессионная модель поля f (x, y ,t), описывающая интенсивность распределения АС.

В качестве транспортных средств используются три основные категории автомобилей (автобусы, грузовые автомобили и микроавтобусы) в количестве

тьт2,тз со средним числом мест 40, 20 и 10, соответственно. Поскольку объем перевозок существенно превышает вместимость одного транспортного средства, с точки зрения ресурса безразлично, осуществляется ли перевозка одним автобусом или одновременно четырьмя микроавтобусами. Тогда транспортный ресурс составляет

M = mj + m2 /2 + m3 /4 единиц вместимостью m = 40 человек каждая; считая скорость перемещения по дорогам постоянной, будем выражать длину маршрутов в единицах времени.

Поскольку любой план эвакуации на этапе как подготовки, так и выполнения может быть пересмотрен вследствие значительных изменений в распределении поля f(x,y,t) и других причин, введем в рассмотрение начальный момент времени—час Ч. Он может определять момент начала первых перемещений транспортных средств для эвакуации населения и выполнения аварийных работ, а также момент времени в процессе перевозок, начиная с которого задается иной план перемещений. Иначе говоря, это тот момент ТЧ истинного времени 1ист, который принимается за нулевую точку отсчета модельного времени t. Поскольку число аварийных бригад

РИ, 2003, № 4

117

(далее, для краткости, - бригад) во много раз меньше числа рейсов по эвакуации населения, а их направление для выполнения работ производится директивно и, зачастую, на собственном транспорте, задачи построения плана эвакуации и передвижения бригад можно рассматривать независимо. При этом полагаем, что для бригад транспортный ресурс используется в требуемом объеме, а по мере его высвобождения транспортные средства могут направляться на пополнение транспортного ресурса м для эвакуации населения.

4. Задачи маршрутизации для бригад

Можно считать, что для каждого объекта, расположенного в пункте о є O , имеется оценка продолжительности работ То , причем для их выполнения может привлекаться одновременно не более одной бригады; если требуется задействовать несколько бригад, считаем, что этот объект задан в списке O соответствующее число раз.

Пусть бригада £, перемещается из исходного пункта k є K в пункт о є O по маршруту pko за время tko, где выполняет требуемые работы в течение времени

ТО _ _____________ ___ ____ ________

^ , а затем перемещается в пункт і є l по маршруту pol за время toi. Тогда для нее должно выполняться ограничение по максимальной дозе Q“ax воздействия АС:

рессионной модели поля f(x,y,t) делает проверку

допустимости обслуживания Е,^ o достаточно простой (по вычислительной трудоемкости) операцией, состоящей в вычислении значений соответствующих полиномов для заданных моментов времени. Наоборот, решение интегрального уравнения (3) относительно Tmax представляет не только сложную задачу (ввиду зависимости Q|o и Q^1 от f(x,y,t) и Tmax, и Q^1 от выбора маршрута), но и не гарантирует требуемой точности в нестационарном случае, потому что сколько-нибудь точно значение поля f(x,y,t) можно прогнозировать, при потенциально значимых его вариациях, лишь на интервалы времени, много меньшие общей продолжительности выполнение заданий tto + Т| + toi.

В стационарном же случае имеем линейные уравнения относительно времени:

f(Xo,yo) • Tmax = Qmax - (Q + Qko + Qif ), откуда получаем

Tmax = [QmaX - (Q§ + Q|° + Ql1 )] / f(Xo,yo) .

В нестационарном случае для (1) рассмотрим разность (k, o, 1) = Qmax - Q|o1, (4)

определяющую сохранение ресурса по дозе воздействия АС на бригаду £, , и обозначим P(i, j) множество

Qko1 = Q§ + Qko + Q| + Qf < Qmax , (1)

где Q^ — ранее накопленное воздействие АС, а q|° , Q|?, Q^1 — воздействие АС, полученное, в среднем, каждым членом бригады Е, при движении из k в o , при работе в o и при перемещении из o в l. Бригада завершает работу, если выполняется неравенство

Tj° > To . (2)

*

При этом фактическое время Tфакт выполнения работ в пункте о может принимать значение, большее или меньшее оценки To .

В указанных условиях максимальное время Tmax пребывания бригады Е, в пункте о определяется достижением равенства в (1), что приводит к интегральному уравнению

tko+Tmax

Jf (xo , yo >'t) dt = Qmax - (Q§ + Qko + Qf ), (3)

tko

где Q^ в нестационарных условиях также зависит от Tmax, точнее — от момента tko + Tmax начала движения по маршруту pol. При этом условие (2) выполнено, выбор бригады | и маршрутов pko , pol определяет допустимое обслуживание o бригадой Е,

объекта о, если подстановка To вместо Tmax в (3) приводит к выполнению условия (1). Наличие рег-

маршрутов из пункта i в пункт j. Тогда приходим к следующей базовой задаче для бригады Е,, расположенной в пункте k, о поиске оптимального маршрута для выполнения работ на объекте o є O с последующим переходом в пункт 1 .

Задача 1. Найти arg min (tko + tol), (5)

PQ(k,1)

где PQ(k,1) = arg max qc (k,o,1) (6)

p(k,o),p(o,1)

при To = To, q ^ (k, o, 1) > 0. (7)

Далее рассмотрим задачу о выполнении работ на объектах O = {oj}j=1,No при No = Nk . Пусть л = (ль ^2,..., ^no ) — некоторая перестановка номеров бригад из K, TCj є K . Для каждой пары (TCj,oj), i = 1,2,...,No, рассмотрим задачу (5) — (7) и, допустив, что все они имеют решения q „j (kj, oj, 1j), введем критерии

Tti = max (tkjoj + T°j + toj1j ) oj j j j ’

°ieO

N,

TJt No (tkjoj +Toj + toj1j) ,

(8)

(9)

q * =omen,q "j, (10)

- 1 No

q%= "No^l q"j. (11)

Здесь Tn (T) — самое позднее (среднее) время окончания работ для всех Nk бригад, а qп () —

118

РИ, 2003, № 4

минимальный (средний) сохраненный ресурс по дозе воздействия АС на бригады. Тогда если п — множество всех перестановок номеров бригад, каждая из которых дает допустимое решение для всех объектов О, то базовые задачи маршрутизации, связанные с поиском оптимального плана проведения аварийных работ, имеют вид:

4 = 2тл(£-1); = 1,2,...,nj . (18)

При этом суммарное воздействие Qj§ на группу £ , с учетом Q ]', ожидания до начала перевозки и самой перевозки составит

Qji; = Qf + QZi; = Qf + Qw^(t^) + Qp(t%) , (19)

Задача 2. Найти arg min T

яєП

(12) где последние два слагаемых определяются соответ-

ствующими интегральными значениями. Обозначим

Задача 3. Найти arg max q„. (13)

яєП

Задача 4. Найти arg min Тл. (14)

лєП

Задача 5. Найти arg max qn . (15)

яєП

Решение задач 2 — 5 определяет оптимальный план проведения аварийных работ соответственно критериям (8) — (11) с учетом выхода из зоны заражения. При этом в (12), (14) ищется система маршрутов, минимизирующая самое позднее, соответственно — среднее, время завершения аварийных работ, а в (13), (15) — максимизирующая минимальный (соответственно, средний) резерв ресурса по воздействию АС, т.е. минимизируется доза воздействия на бригады с учетом непревышения предельно допустимых значений.

5. Задач маршрутизации для эвакуации

Рассмотрим теперь основные задачи поиска оптимальных маршрутов эвакуации. Пусть ц = (Pj)jeJ — распределение транспортного ресурса между пунктами эвакуации J , такое, что

м = Ейj, Рj > 0,j є J. (16)

jeJ

Пусть Q j — накопленное воздействие АС для населения, расположенного в пункте j є J к моменту tQ = 0, Nj — число людей, подлежащих эвакуации, а p ji — путь, по которому население эвакуируется из j в l є L с I, которому соответственно моменту Т начала эвакуации соответствует маршрут p ji. Тогда население из пункта j эвакуируется группами по mp j человекза

ni = Nj/mp j (17)

рейсов, каждый из которых производится, в среднем, за 2тji единиц времени (включающего собственно время перевозки т ji и то же время возвращения за следующей группой) совокупностью Р j транспортных средств (с достаточной точностью величину nj округляем до целых). Тогда, считая, что показатели Vjj не изменяются за период перевозок, получим, что эвакуация из пункта j (до прибытия последней

группы в i) займет Tj = 2тji • nj -тji единиц времени, а рейсы будут начинаться в следующие моменты модельного времени:

Qi = ™x Qj§ . (20)

i;=lnj

Заметим, что в случае нестационарного поля максимум в (20) можетдостигаться и не на последнем рейсе. Тогда совокупность Pji = {pj назовем маршрутом эвакуации из пункта j є J в пункт i є l с показателями Tj,Qj и расписанием (18), если Qj ^ Q* .

Далее, пусть P(i, j) — множество маршрутов из пункта j є J в пункты i е L ; его подмножества, на которых достигаются минимумы по соответствующим показателям, обозначим

pT(j,l) = a^PtrinTj, Qj ^ Q* , (21)

pQ(j,l) = arg j)Qj, Qj ^ Q*. (22)

Тогда приходим к следующим базовым задачам поиска оптимальных маршрутов эвакуации.

Задача 6. Найти путь pjjf, на котором достигается

TQ = min Tj (23)

j PQ(j,i) J . (23)

T

Задача 7. Найти путь pji, на котором достигается

QT = min Qj j PQ(j,i) J

(24)

Отметим, что критерии (23), (24) определяют лексикографическую оптимизацию: минимизацию времени (дозы) при эвакуации на множестве маршрутов минимальной дозы воздействия АС (кратчайшие по времени). Эти задачи особо актуальны в случае неоднородного поля f (x, y, t).

Тогда совокупность маршрутов PpR = {Pji}jeJ,ieL назовем планом эвакуации (всего населения), определяемым распределением р вида (16) с показателями эффективности

T„ = max TQ Ц jeJ j , (25)

Qp = maxQT , j£J (26)

V j3 , (27)

Q,,= Tj rg,QT , (28)

РИ, 2003, № 4

119

если пути Pji получены в результате решения задач

6, 7 соответственно ситуации. Здесь первая пара определяет время окончания эвакуации всего населения и максимальное воздействие АС при эвакуации, а вторая — среднее время эвакуации и среднее воздействие. Наряду с этими основными показателями, по усмотрению ЛПР могут задаваться и иные, более адекватно отражающие текущие проблемы эвакуации, поскольку ни один из них не является в полной мере универсальным. Например, если в пункте jj уровень поля низкий, а в пункте j2 — высокий, то выравнивание значений Тц и Tj2 не актуально по сравнению с минимизацией и выравниванием значений Qjj и Qj2; наоборот, в случае опасности новых выбросов критерий (25) или (26) становится доминирующим. При введенных обозначениях базовые задачи оптимизации плана эвакуа-

ции примут следующий вид.

Задача 8. Наити и* = arg min Q„ . Q Vkm) ц (29)

Задача 9. Найти N’T = arg min T, . T 6 цец(М) Ц (30)

Задача 8 определяет поиск плана эвакуации, минимизирующего максимальное воздействие АС по всем группам. Косвенно это приводит и к минимизации времени Тц, хотя можно построить пример нестационарного поля, где имеет смысл “выжидать” его ослабления в окрестности пункта j, если в нем f (x, y, t) = 0. Однако принятие таких решений — это прерогатива ЛПР на основе анализа состояния физического объекта, вызвавшего выброс АС, и перспектив перераспределения поля. В реальности подобная теоретическая ситуация маловероятна вследствие процессов диффузии, переноса и др. При перераспределении поля следует изменять маршруты, что рассматривается ниже. В общем случае задача 8 наиболее актуальна при реальной угрозе населению из-за высоких и/или растущих уровней АС и опасности выбросов.

Задача 9 отражает ситуацию потенциальной опасности для населения, когда уровень поля f (x, y, t) еще не достиг опасных значений, и население требуется эвакуировать за кратчайшее время, хотя и с соблюдением ограничений на степень воздействия АС. При этом итеративное решение задач (29), (30) с уменьшающимся значением Q* позволяет минимизировать и воздействие АС. При ином сочетании критериев и ограничений (25) — (28) получим задачи, аналогичные задачам 8, 9; их постановки и методы решения рассмотрены ниже.

Тогда при ожидании и перевозке по маршруту P = ГФ2 Гі2із общее воздействие определяется величиной

QI = kQ J f0 '9(t)dt + kQ E Ти J f0 ^(t)ds =

0 rij rij

=_fL

kQ

T xj

J 9(t) dt + £ J 9(t) dt 0 rij xi

®(T +1), (32)

где T — момент начала перевозки; t — ее длительность; ті — момент прохождения вершины i. Выражение, аналогичное (32), получим и для бригады.

Поскольку 9(t) > 0, получаем, что даже в случае убывания интенсивности поля сокращение общей продолжительности эвакуации уменьшает суммарное воздействие АС. При этом путь p™n минимальной продолжительности будет определять и путь минимального воздействия, причем использование такого пути при выделенном транспортном ресурсе будет минимизировать и время ожидания.

Проверка однородности поля для любого фиксированного момента времени и подбор уравнения регрессии могут быть эффективно реализованы с помощью известных статистических методов для средних на

моменты сканирования ©.

Далее, имея геометрическую модель сети дорог (она предусматривается в соответствующей геоинформационной системе) и зная их параметры Vy , неизменные для периода планирования, находим параметры {tij} графа г, а по ним — кратчайшие TjQ (по времени) пути перехода из вершин j є J в l є L . Для

нахождения этих путей и множеств FT(j,l) можно воспользоваться [8] алгоритмами Флойда и Йена, что требует порядка

кг ~ N3 (операций) (33)

и обеспечивает получение всех кратчайших путей для всех пар вершин графа Г, а вычисление показателя (32) сводится к вычислению функции ®(TQ). Эти пути с показателями TQ, QT дают решения задачам 6, 7.

Рассмотрим теперь задачу 1. Пусть pko , pol — кратчайшие по времени пути из k в о и из о в l, соответственно. Тогда, исходя из (4), (31), (32), получим, что величина

q§ (k, o, l) = (Qmax - Q§) - ®(tko + T© tol) (34)

6. Методы решения базовых задач поиска оптимальных маршрутов

Рассмотрим вначале случай, когда поле f(x,y,t) является нестационарным, но однородным:

f(x,y,t) = f0 -9(t). (31)

при фиксированной длительности T пребывания на объекте о также обращается в максимум при минимальных значениях tko, tol. Соответствующие этим временам пути определяются из ранее примененных алгоритмов Флойда и Йена, что не требует дополнительных вычислительных затрат. Если T^ = To , эти

120

РИ, 2003, № 4

параметры определяют решение задачи 1. Более того, приравнивая (k,o,l) в (34) к нулю и разрешая полученное уравнение относительно T, получаем максимальную продолжительность работы бригады на объекте, расположенном в пункте о.

Рассмотрим теперь метод решения задач 2 — 5 для случая, когда число бригад Nk равно числу объектов No. Не теряя общности положим, что любая бригада K может быть направлена на любой объект о є O ; в противном случае достаточно рассмотреть соответствующие подмножества пунктов из К и объектов из

О.

Пусть c = (Cij) — квадратная (nх n) - матрица( n = Nk) затрат времени

c.j =Jtkioj + T0j + toji пРи q1(k1,oj,l) > 0; (35)

[Mj в противном случае,v

где Мт—достаточно большая величина, аtki0■ , toi —минимальное время, соответствующее минимуму в (5), за которое можно перейти из k. в oj и из oj в l є L , соответственно, при условии (7).

Пусть такое решение существует для каждого i, и Стах — максимальное такое значение в с. Тогда в качестве Мт возьмем величину, большую чем n cmax, например Мт =(n+1) cmax .

Матрица с, с учетом (34), однозначно определяет (n х n) - матрицу воздействий АС z = (zij):

zj=(Qmax - Qi) -®(cij),

в которой элементы cij < MT определяют значение Mq так же, как и выше определена величина Мт.

Пусть Нk — множество (n х n) - матриц £ = (£ij), удовлетворяющих условию распределения

E^ij = Z^ij = 1, ^ij є{0,1}, ij

которое означает, что элемент i взаимно- однозначно назначен элементу j, задавая тем самым перестановку п номеров бригад (i) для работы на объектах j по правилу = j | §ij = 1. Тогда, выбирая в качестве функции цели величины

zT = Д 2 cij^ij , zQ = j Z zij^ij i,j=1 i,j=1

получаем, что задачи 4, 5 соответственно при z = zj, z = zq сводятся к стандартной задаче о назначениях [3-5]:

найти = arg min z, (36)

которая может быть решена венгерским алгоритмом с трудоемкостью [5]

2 о

~n + n3 (операций), (37)

причем это требует порядка n - 2 итераций основной процедуры выбора очередного независимого нуля. Если же,соответственно для задач 4, 5 имеет место неравенство zj(§*) ^ Mj или zq(§*) > Mq , то допустимые решения отсутствуют.

Рассмотрим задачу 2. Обозначим c(o) = c . Пусть \ * — решение задачи 4 и

c* = max cij. (38)

§ij=1

По матрице c(o) получим матрицу c(1), изменив ее элементы по правилу §ij = Mj, если cij > c *. Если для полученной матрицы c(1) условие распределения не выполняется, матрица £, * дает решение и задаче 2. В противном случае решаем задачу (36) для матрицы c(2), полученной из c(1), подобно (38), и т.д. На

„(а)

некотором шаге получим, что для матрицы c ' решение существует, а для c(a+1) — не существует. В

определяющей, как описано выше, перестановку

п = {л.} со значением критерия тл = ma?i c(jk). Реше-

§ij=1

ние задачи 3 получим аналогичным образом, рассматривая вместо с матрицу z

Трудоемкость решения задач 2, 3 в а раз выше, чем (37). Однако учитывая, что в реальных задачах число допустимых для перемещения путей к ближайшему объекту составляет несколько единиц, получаем, что фактическая трудоемкость решения задач 2, 3 также соответствует (37).

В случае Nk > No или Nk < No решение задач 2 — 5 также сводится к задаче (36) за счет введения фиктивных элементов. В первом случае, вводя n = Nk - No фиктивных объектов со значениями cij = zij = 0, приходим к задаче (35) с (Nk х Nk) - матрицей {§ij}, где бригада i, назначенная на фиктивный объект j, остается на месте, а остальные No бригад обслуживают No объектов. Аналогично, во втором случае вводим n = No - Nk фиктивных бригад, где объекты, на которые они назначены, не обслуживаются.

Рассмотрим теперь случай, когда поле f (х, y, t) пространственно-неоднородно. В этой ситуации маршрут Рт (i,j), оптимальный по времени, может не совпадать с маршрутом Pq(1, j), определяющим минимальное воздействие АС. Это и приводит квозник-новению задач лексикографической оптимизации 1, 6, 7. Для их решения можно применять рассмотренные выше методы с тем отличием, что оценка воздействия АС производится на основе использования сеточной и регрессионной моделей поля f(x,y,t). При этом для решения задач 2 — 5 применимы представленные выше методы, где параметры cij, z^ рассчитываются по решениям задачи 1 для неоднородного поля.

РИ, 2003, № 4

121

7. Методы решения базовых задач оптимизации плана эвакуации

Если для всех пунктов j є J имеются решения задач 6, 7, то распределение р транспортного ресурса М определяет интегральные критерии (25) — (28) плана эвакуации. В силу наличия ограничений (21), (22), решение задач 8, 9 произведем в два этапа. Вначале найдем опорное решение po вида (16), обеспечивающее выполнение ограничений (21), (22) для фиксированного плана маршрутов. Это означает, что максимальное число рейсов (17) с учетом (18) должно быть таким, чтобы максимальное воздействие Qw = Qwj в ожидании перевозок при средней дозе воздействия АС q = qj в пункте j за период х = х j! удовлетворяло соотношению (19), т.е QI+ Qw + Qp = Q*. Поскольку значения Q1 и Q * заданы, а среднее воздействие Qp при перевозке группы рассчитывается как указано выше, получаем, что величина Qw = Q* -Q - Qp, в среднем, требует такого числа перевозок nj, что приводит к неравенству q • 2т- nj < Qw , nj>i, где q — доза воздействия АС в единицу времени в пункте ожидания.

Так, если Qw<0, ограничения (21), (22) не могут быть выполнены даже без ожидания. Назовем эту ситуацию отсутствием решения задач 8, 9 по недостатку транспортного ресурса.

Пусть Qw>0 . Тогда, если 2xq > Qw, ожидание второго рейса недопустимо. Пусть nj такое (максимальное) число рейсов, что n • 2xq < Qw и (nj +1) • 2xq > Qw. Тогда минимальный ресурс для пункта j составит

рj = Nj / mnj. Обозначим р = j. Тогда, если выполняется условие jeJ

йо = M“!>j ^ 0 jeJ

(39)

выполнение ограничений (21), (22), в среднем, обеспечено и транспортный ресурс цо может быть распределен в дополнение к р для уменьшения показателей Qp, . В случае недостатка транспор-

тного ресурса ЛПР должно принимать решение об

отыскании дополнительного ресурса в объеме |р0| и/

или об ослаблении ограничений при пропорциональном распределении транспортного ресурса в объеме

^ j

• M. В этом случае число поездок увеличится

до nj = Nj / mnj = nj -p /M и воздействие АС, боль-

шее, чем Qw, составит

В случае выполнения неравенства (39) ресурс р0 должен быть распределен так, чтобы обеспечить минимизацию (27), (28). Для получения начального распределения р0 = (Pj>}jeJ этого дополнительного ресурса po предлагается следующий подход.

Так какдополнительный транспортный ресурс может уменьшить воздействие АС, в среднем, только за счет уменьшения времени ожидания эвакуации, потребуем равномерного уменьшения Qw в а раз. Тогда распределение ресурса рo из (39) должно обеспечить такое количество рейсов n), при котором выполняются равенства

n'j-2 х q = а Qw , n'j =

Nj

m(po +P j)

что дает N

Nj

—v—: •2 T q = а —2 T q po = —p j (40)

m(po +Pj) mPj , ^j a j. (40)

Суммируя последнее равенство по всем j є J, имеем

M - p =1—— p , откуда получаем, что степень ослаб-

a

ления максимального воздействия АС за период ожидания, a_1, определяется отношением транспортного ресурса, необходимого для получения допустимого решения, ко всему ресурсу:

“ = %. (41) Поэтому, в среднем, максимальное воздействие АС для всех пунктов эвакуации составит

Qmax ~ Q*- (Qw _aQw) = Q*-Qw(1 -a) =

= Q*«+(QE -Qp)(1 -«) = Q*^ +(QE -Qp)(1 -M).

Тогда из (40), (41) следует, что начальное распределение дополнительного ресурса ^o имеет вид

_ 1 -p/M M-р

j " р/M цj " р цj

Окончательно получаем, что транспортный ресурс М имеет распределение

* , o4 M т

Ej= (Ej + j = —Pj> j є J .

(42)

Распределение транспортного ресурса p получено в целях обеспечения выполнения ограничений (21), (22) в предположении о малой вариации поля f (x, y, t) во времени. Распределение р * общего ресурса (42) обеспечивает, кроме того, начальное равномерное (по дозе) приближение для наиболее актуальной задачи эвакуации — задачи 8 для критериев (26) и (28).

AQ = 2хq(n) - nj) = 2хqnj (-^--1) « Qw (-^-1),

MM

или, в относительных единицах,

SQ=^Q = Qw(1) = Q*-qS-Qp g-M Q Q* Q*(M ) Q* p .

Поскольку моменты Tj окончания эвакуации из пунктов j є J различны, с теоретической точки зрения можно направлять высвобождающиеся транспортные средства на эвакуацию из других пунктов. Однако при этом необходимо учитывать степень воздействия АС на водителей и сами транспортные средства в целях замены первых и дегазации/дезак-

122

РИ, 2003, № 4

тивации вторых, возможность поломок автотранспорта и прибытия новых транспортных средств, а также возможность изменений поля f (x, y, t), которые на интервале прогнозирования, определяемом периодом эвакуации, являются весьма приближенными. В связи с этим поиск решения задач 8, 9 предлагается производить посредством оптимизации начального распределения ресурса ц соответственно критериям (25) — (28). Затем, при приближении к

моменту T* = minTj, перераспределять ресурс ц на jeJ

момент T* соответственно фактической реализации плана эвакуации и изменениям в обстановке, что могло быть вызвано действием погодных, технических и иных факторов, а также сообразно изменениям в распределении поля f (x, y, t) на момент T* . При этом для оценки степени загруженности транспортных средств на период эвакуации (To,Tmax) или произвольный период (T,Tmax) предлагается использовать интегральный и динамический критерии, соответственно:

Mt*

= 1 -

2 (Tmax Tj) 'М- j

jJ_____________

M • Tm

(43)

Z[Tmax - max(T,Tj)] Щj

Mt = 1 - ^-------------------

T M • (Tmax - T)

(44)

Критерий (43) позволяет оценить равномерность загрузки автотранспорта по всем маршрутам эвакуации за весь ее период, а (44) — на требуемом интервале времени (T,Tmax) с целью определить момент перераспределения имеющегося ресурса М по достижении критического порога М Трит.

Оптимизацию в задачах 8, 9 предлагается осуществлять с помощью методов дискретной оптимизации на множестве распределений М ресурса М, исходя из начальных распределений ц, ^ * . Для этого могут быть применены хорошо зарекомендовавшие себя методы сужающихся окрестностей, последовательного анализа вариантов и другие. Эти методы позволяют использовать и иные критерии, расчет которых опирается на решения рассмотренных базовых задач.

8. Алгоритм решения ЗМ

Алгоритм решения задач маршрутизации основан на сведении частной задачи к системе базовых задач на основе предложенной системы моделей и соответствующих методов оптимизации. Учитывая неполную определенность прикладных задач в отношении критериев и ограничений, он должен удовлетворять следующим принципам организации интерактивного процесса ситуационного анализа и принятия решений на планирование аварийных работ и эвакуацию населения.

1. Алгоритмы, модели, задачи и методы их решения должны представляться иерархической системой, где оптимальное и эффективное (по точности, трудоем-

кости и затратам памяти) решение задач нижнего уровня обеспечивает оптимальное или рациональное (в смысле эвристического или иного обоснования) решение задач более высокого уровня общности. При этом ЛПР должно иметь возможность задавать элементы данных и решений на всю глубину моделей, независимо от установленных им критериев и ограничений; например, директивно задавать маршруты эвакуации из отдельных районов, распределение бригад по объектам и др.

2. Алгоритм решения ЗООМ должен обеспечивать оперативность анализа ситуаций, под которой понимается возможность (а) получения интегральных показателей плана эвакуации (включая оценку решения при существующем транспортном ресурсе и т.п.) на фазе оценки ситуации в течение 5 — 10 минут; (б) уточнения интегральных показателей за счет более глубокой оптимизации и коррекции вариантов по усмотрению ЛПР на фазе планирования в течение 30 — 60 минут; (в) коррекции принятых к исполнению планов в случае форс-мажорных и иных обстоятельств соответственно временным нормативам (а), (б).

3. Оперативному учету подлежат изменения, обусловленные внешними обстоятельствами или соображениями ЛПР, которые относятся к значимым вариациям поля f(x,y,t), локальным или глобальным, изменениям критериев и ограничений, изменениям в составе или распределении транспортного ресурса, а также в проходимости дорог в районе эвакуации.

4. С учетом ограниченной точности прогнозирования значений поля f(x,y,t) и многокритериальности задач маршрутизации основной акцент должен делаться не на поиск оптимальных решений, актуальность которых при долгосрочном прогнозировании теряется, а на оптимальную адаптацию планов эвакуации к изменениям в обстановке, выявляемым по данным непрерывного мониторинга окружающей среды и их краткосрочным прогнозам.

5. Оптимальные решения базовых задач должны получаться с полиномиальной трудоемкостью, пред-

3

почтительно не превышающей n , и линейными затратами памяти.

В соответствии с этими требованиями алгоритм решения взаимосвязанных задач оценки обстановки и маршрутизации может быть представлен следующей последовательностью процедур.

Процедура 1. Оценка обстановки.

1.1. Начальная установка. По данным мониторинга рассчитывается модель поля f(x,y,t), параметры графа г , описывающего дорожную сеть. Задаются критерии, ограничения, транспортный ресурс, час Ч и другие параметры ЗМ. Переход к 2.1.

1.2. Мониторинг распределения АС. В реальном масштабе времени датчики параметров АС сканируются с шагом по времени TD и синхронно обрабатываются в целях выявления значимых изменений в

РИ, 2003, № 4

123

распределении поля f (x, y, t) в соответствии с принятыми критериями или по усмотрению ЛПР.

В случае выявления значимых вариаций задается новый час Ч и производится переход к 2.2; иначе процедура 1.2 продолжает выполняться в фоновом режиме.

Процедура 2. Построение плана маршрутов для бригад.

2.1. Решаем задачу (из 2 — 5) поиска оптимальной системы маршрутов для бригад на час Ч. Переход к

3.1.

2.2 Производим коррекцию плана выполнения аварийных работ на час Ч по новым данным о поле

f (x, y, t), накопленном бригадами воздействии АС, о выполненных и новых работах. Переход к 3.2. Процедура 3. Построение плана эвакуации.

3.1. Решаем задачу (из 8, 9) поиска плана оптимальной эвакуации на час Ч. Переход к 1.2.

3.2. Производим коррекцию плана эвакуации на час Ч по новым данным о поле f (x, y, t), накопленном населением при воздействии АС, о произведенной эвакуации и транспортном ресурсе. Переход к 1.2.

9. Выводы и направления дальнейших исследований

Рассмотрена задача маршрутизации, связанная с оптимизацией планов эвакуации населения и перемещения аварийных бригад, возникающая при создании систем автоматизации планирования ликвидации последствий техногенных аварий.

Предложена структура решения задачи маршрутизации, основанная на рассмотрении системы моделей базовых задач и методов их решения, для которых даны оценки вычислительной эффективности.

Проведенное исследование позволяет перейти к разработке программного обеспечения для оперативного решения задач маршрутизации в зоне техногенной аварии.

В дальнейшем особое внимание необходимо уделить совершенствованию методов решения задач маршрутизации при нестационарных условиях распространения вредных веществ.

Значительный практический интерес представляют вопросы создания портативных вычислительных устройств для оперативного принятия решений в экстремальных ситуациях при техногенных авариях.

Литература: 1. Норми радіаційної безпеки України. К.: МОЗ України, 1998. 125 с. 2. Коба К.Н., Путятин В.П. Концептуальная постановка задачи маршрутизации при техногенной катастрофе // Системи обробки інформації. Зб. наук. праць, Харків: НАНУ, ХВУ, 2001. С. 129-133. 3. Рейнгольд Э, Нивергельт Ю, Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980. 476 с. 4. Смеляков С.В., Кушнерук Ю.И., Товарницкий А.В. Общая задача оптимальной маршрутизации на нестационарной сети и ее сведение к системе базовых задач // Электрон. моделирование. 1992. № 3. С. 79-84. 5. Патент. (Україна). Пристрій для оптимізації маршруту при техногенній катастрофі / В.П. Путятін, К.М. Коба. № 47961 А. Опубл. 15.07.2002. Бюл. № 7. 6. Патент. (Україна). Пристрій для моделювання маршруту за обмеженнями зараження / В.П. Путятін, К.М. Коба. № 47963 А. Опубл. 15.07.2002. Бюл. № 7. 7. Патент. (Україна). Пристрій для моделювання маршруту через регіон катастрофи / В.П. Путятін, К.М. Коба. № 47962 А. Опубл. 15.07.2002. Бюл. № 7. 8. Кристофидес Н. Теория графов: Алгоритмический под-ход.М.: Мир, 1978.432 с.

Поступила в редколлегию 24.02.2003

Рецензент: д-р техн. наук Комяк В.М.

Коба Константин Николаевич, аспирант кафедры кибернетики ХГТУСХ. Научные интересы: математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Артема, 44, тел. 40-43-76.

Путятин Валерий Петрович, зав. кафедрой кибернетики ХГТУСХ. Научные интересы: математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Артема, 44, тел. 40-43-76.

124

РИ, 2003, № 4