Модель плоского рычажного механизма Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Пинскер, 3. Г. Рентгеновская кристаллооптика / В. Г. Пинскер. - М. : Наука, 1982. -389 с.

10. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. - М. : Мир, ) 978. - 792 с.

11. Notomi, М. Negative refraction in photonic crystals / M. Notomi // Opt. and Quant. Electronics.

- 2002.-V. 34.-P. 133 -143.

12. Zhang, X. Image resolution depending on slab thickness and object distance in a two-dimensional photonic-crystal-based superlens / X. Zhang // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 195110.

13. Chien, H.-T. Directed diffraction without negative refraction / H.-T. Chien et al. // Phys. Rev. B.-2004.-V. 70. - P. 113101.

14. Kuo, C.-H. Optical transmission of photonic crystal structures formed by dielectric cylinders: Evidence for non-negative refraction / C.-H. Kuo, Z. Ye // Phys. Rev. B. - 2004. - V. 70. - P. 056608.

Барыкина Елена Ивановна, аспирант кафедры «Физика» УлГТУ, имеет публикации в области математического моделирования.

Браже Рудольф Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» УлГТУ. Имеет публикации в области нелинейных волновых процессов.

УДК 621.01 В. К. МАНЖОСОВ, Д. А. НОВИКОВ

МОДЕЛЬ ПЛОСКОГО РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА

Рассмотрены обобщённые параметры движения плоского рычажного механизма на примере кинематического анализа шарнирного четырёхзвенного механизма.

Ключевые слова: модель механизма, плоский рычажный механизм, параметры движения механизма, кинематический анализ механизма, шарнирный четырёхзвенный механизм.

Анализ механизмов предполагает расчёт параметров движения звеньев механизма, определения их положения в заданный момент времени, траектории движения заданных точек, определение скорости и ускорения характерных точек механизма. Для более широкого использования результатов анализа важно, чтобы эти результаты были представлены в обобщённых параметрах движения.

Рассмотрим модель движения плоского рычажного механизма, схема которого представлена на

рис. 1. Обозначим расстояние между точками В и D как S (рис. 1); угол DAB как 8 — К — (рх\

(р^ —угол, определяющий положение шатуна; угол DBC как С(; (ръ — угол, определяющий положение коромысла.

Угол (ръ представляет сумму двух углов - угла ADB, который обозначим как (р\, и угла В DC, который обозначим как ф” {(ръ = (р\ + (р\ ). Обозначим угол DCB между коромыслом и шатуном как у2Ъ.

Механизм имеет одну степень свободы. Предполагается, что закон

движения кривошипа задан: (рх = (/).

Требуется определить параметры движения остальных звеньев механизма: шатуна

ВС, коромысла CD. Длина кривошипа /], длина шатуна /9, длина коромысла

L. Расстояние AD между опорами

© В. К. Манжосов, Д. А. Новиков, 2009

Рис, 1. Положение звеньев и углы механизма

кривошипа и коромысла равно /4.

Анализ движения данного класса механизмов можно найти в работах [1-4]. Соотношение между размерами 1{, /2, /3 и /4 должно обеспечивать условие проворачиваемости кривошипа:

/] + /2 < /3 + /4 ; /4 + /| < /3 + /2 . (1)

При вычислениях или моделировании будут заданы конкретные значения параметров и

1А. Естественно, и результаты вычислений или моделирования можно соотносить только к заданным

значениям параметров, и разработчик ограничен в использовании полученных результатов для других значений этих параметров.

Целесообразен подход, когда функциональная зависимость вида <ръ = (ръ{(р^ /,, /2, /3)

/V л/

преобразуется к функциональной зависимости вида = (рг{(р^ /,, /3), где /|. / /з -

относительные величины (обобщённые параметры), характеризующие отношение заданных параметров к некоторому базовому параметру.

Значения 5 , 8, (р1, $? 3 , <£>3, ОС, (р->, у23 определяются как

^ = л//, + /4 - 2/,/2 соб £, 8-п-щ9 (р^ - агс £

2/3/2

Скорости звеньев можно найти из выражений:

л . . /.•/, . „ л /, соб£*8-$т(р1 -і /, 'соъср"-і-5-і

д=-<р]9 з = -*-лып8-8, (р^ — ------------------^—, #>з=------—--------

5 ' 5 ■ СОЯ ^?3 5 ■ /3 БІП ^3

• _ -Г , -п _ /, СОБ £ • 8 - БІП ср'ъ • І , /3 • СОБ (р[ • І - 6’ • І

7^3 /3 /3 ^ І ! І 5

5 • СОБ 5 • /3 БІП (ръ

/2 • соб а 5 • соб <р'3 /2 ■ соб а

у,- = а • /, =/[С051?-^- зш# ^+

*11 С * «5 ^ 3 і • п З

^‘СОБ^з .9 • /3 БІП

Ускорения звеньев равны

.. /, •/4 (соб <5 • сГ + БІП 8‘8)-Б

• •

П • • • •

о - -Срх, 5 =

_ 1 4

І

.У

_ -/, біп8 • £Г +/, соб8' 8 — біперу £ — 2і • соб^?3 • ^?3 -ь 5і • (ф3)2 -біп^3 Фъ ~ 1

5 • СОБ (ръ

(2)

*^'2 т

=агс се»- -+ -——. %.= і^з + <РІ. а=агс (эт^т^"). (3)

2і/3 /2

2 2 2

(р2 = л; + (р'ъ — а, у23 = аге соб-^——^—— • (4)

(5)

(6)

^•СОБ^ ^ =ҐЇ-ГУ= Ь соб & ' 8 — БІП • І 13-СОБ(р"-фП2 (7)

(8)

(9)

(10)

д = # . tgg - к:sin <& • Ш. + к •cos УкК, ф2=ф'ъ-а,

U • cos а /2 • cos а

Т1 • 2 7

ас~Фз ’ /з

/ \ 2 /, cos S -S - sin (р\ • 5 /3 • COS (р\ -S-S-S

у s-coscpl S ■ /3 sin (p'l

* А» ас ~ Фъ% h ’

Относительные величины линейных размеров, скоростей и ускорений равны

5 . -2

Я = у, 5 = >/1+/4 +212‘СО$<Р\ , /2 = /2//р /3=/3//р /4 = /4//р хв=хв/11,

ч

Л/

Ув=Ув/1\ ^в=С05(Р1’ Ув = ^п<Р1)’ хс=хсП], ус=ус11х (хс=-/4+/3созр3,

>'г =/3зт^3), /| — базовый параметр лдя линейных размеров;

5 = -—зт£, 5-к-(рх,

5 • СОБ (ръ Я • БШ • /, гД

• /,) - базовый параметр для линейных скоростей;

г, _ -cos£-sin^-J 7, (/,-COS^-S)-! 7, $ т #

г з ; ’ Уз -~-1 5гз > уЛ ’ V1J /

5-COS(!>3 ■ i-Asinpf Ф, Ф,

A = + = ~TOS/~sin^-i + (^-cos^-g)-i *^ (14)

.? • COS ^>3 >?• A sin <^3 1

. в _13-С05$-Ф1 7 а 7 7, Г -cos^-sin^'-i

а ----—~----------------------------’ а = — , Y2 тъ ~ -г-;-~ —~-------•

фк /2 • cos а фх s • cos (ръ U • cos а

(рх - базовый параметр для угловых скоростей;

• • .. л/

ф[ -sin^ + cos^'^-sin^-s-2s-COS^3 'ф\ +5-(^з)“-sin^?3 ^ = _ __ . _ _5

0>, 5 • COS ^>3

..#/ Л ' * W f J Н\2.

<Р 2 5-^3 Оз) ; J 5 5

%=_ =--------------------7—^ +-----------------------------

0>f S tg(Z>" ,S ■ tgl^" /3 sin w" S ■ /3 Sin (-/?"

д _ -sinc> + cos<5-<5-sin<p! -s - 2s -cos^J • $ + J-(<^'): -sin^

(P^ - — - —

s•COS $

/V А/ Л/ л /V /*v 'W -

2s-ф" (Ф1) s s s

+

S tg^?3 £ • tg(pi /3 sin ^ £*/3sin^3

• *

^3 ~ —-S S = — ^ - V ^ = J vl r"

TY = ^3> ^2 /’ -2 , “‘S’ A ./ 5 • -^3’ -Г = Фз>

<P\

ф\ h <Prh Pi'1' Ф

л*

• • а

• • • • #

(р2 = <рг

<р2 ~

-ТТ = <Р2>

<Р\

- базовый параметр для угловых ускорений.

В табл. 1 приведены результаты расчёта параметров движения плоского рычажного механизма, схема которого приведена на рис. 1. За базовый параметр линейных размеров звеньев механизма

принимается длина кривошипа /,.

Соотношения размеров звеньев механизма принято следующим: отношение длины шатуна к

Г**

длине кривошипа 1г—12Их = 4,5 ; отношение длины коромысла к длине кривошипа I = / // = 1,5;

отношение расстояния между опорами А и О к длине кривошипа \ = / // = 4,74 -

За базовый параметр для угловых скоростей звеньев механизма принята угловая скорость кривошипа фх. Поэтому относительная угловая скорость кривошипа фх-фх1фх - 1. Угловая

скорость кривошипа ф] = СОУ1^ .

Движение механизма рассмотрено в пределах одного оборота кривошипа, когда угол поворота (р]

изменяется в диапазоне от 0 до 360° (первая колонка табл. 1). Во второй колонке табл. 1 приведены соответствующие значения угла поворота кривошипа в радианах.

Параметры движения шатуна рассчитаны по формуле (4) при определении угла поворота (р~,. В табл. 1 значения угла поворота (р^ приведены в градусах (колонка 3) и в радианах (колонка 4).

При определении относительного значения угловой скорости шатуна <р2 = ф2 / фх

использовалась формула (7). Относительные значения угловой скорости шатуна ф2 — ф2 Iф]

приведены в колонке 5 табл. 1.

Абсолютные значения угловой скорости шатуна (колонка 6 табл. 1) определяются произведением относительного значения угловой скорости шатуна ф2 на базовый параметр угловой скорости ф].

Параметры движения коромысла рассчитаны по формуле (3) при определении угла поворота (р3.

В табл. I значения угла поворота (рх приведены в градусах (колонка 7) и в радианах (колонка 8).

Таблица 1

Расчёт параметров движения механизма при /2 = 4,5; /3 = 1,5; /~ = 4,74; фх~ 1

Угол поворота кривошипа <Р\ Параметры движения шатуна Параметры движения коромысла

Угол поворота Ч>2 Угловая скорость Угол поворота Угловая скорость

в град. в рад. в град. в рад. относит. Фг абсолют. Фг в град. в рад. относит. Фг абсолют. Фг

0° 0 170,47 2,97 0,174 0,174 ф] 29,76 0,519 0,174 0,174 ф]

30° 0,523 173,82 3,03 0,057 0,057 ф] 40,99 0,715 0,536 0,536^,

оч О о 1,047 174,55 3,04 -0.002 -0.002 ф] Г 59,54 1,039 0,669 0,669 ф]

12'СО$а 12'С0$а

а-2 tga^ /з' 1ІП ^ і ^ -С0!5 $' $

/2 • соб а

/2 • соб а

а

<РІ

= а,

£ _ -8ІП^ + С08^-^-8ІП^з • 5 - 2І • СОБ • ф'3 + 5 - (ф'3)2 -вІП ^

5- • СОЭ (р3

Окончание

90° 1.57 173,92 я : 3,03 -0,039 -0,039 р, 79,81 1,393 0,664 0,664 ф]

120° 2,094 1 72.10 т 3,0 -0,085 -0,085 ф} 98,33 1,716 0,548 0,548 гД

150° 2.618 0 167,91 2,93 -0,166 -0,166 фх 110.88 1,935 0,249 0,249 ф]

180° 3,14 160.56 2,802 -0,267 -0,267 ф. 110,95 У 1,936 -0,267 -0,267 ф}

210° 1 3,665 153.20 + 2,674 -0,241 -0,241 ф] 96,18 1,678 -0,657 -0,657 ф]

240° 4.188 149,01 2,60 -0,061 -0,061 ф1 75,24 1,313 -0,694 -0,694 ф}

270° 4,712 150,09 2,619 0,124 0,124 ф. 55,98 *■ ■ 0,977 -0,579 -0,579 ф{

300° 5,235 155,78 2,718 0,241 ж 0,241 ф] 40,77 0,711 -0,430 -0,430 фх

330° 5,759 163,63 2,856 0,264 0,264 фх 30,80 я 0,537 -0,214 -0,214 фх

360° 6,28 170,47 2.975 У 0,174 0,174 ф] 29,76 0,519 0,174 0,174 ф^

• / •

При определении относительного значения угловой скорости коромысла (р^—(р^1(рх

*** % / #

использовалась формула (9). Относительные значения угловой скорости коромысла (Д. = (р, / (рх

приведены в колонке 9 табл. 1.

Абсолютные значения угловой скорости коромысла (колонка 10 табл. I) определяются

произведением относительного значения угловой скорости коромысла ф3 на базовый параметр угловой скорости фх.

Полученные значения параметров движения могут быть использованы при кинематическом анализе шарнирного четырёхзвенного механизма с соотношением размеров звеньев /2 =4,5; /3 = 1,5;

7 = 4,74 • Эти значения могут быть применены как эталонные при отладке процедуры моделирования данного класса механизмов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Механические импульсные генераторы с шарнирно-рычажным захватывающим устройством / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. П. Филипповский. - Фрунзе : Илим, 1975. - 148 с.

2. Артоболевский, И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артоболевский. - М. : Наука, 1988.

- 640 с.

0. • •

3. Манжосов В. К. Динамика и синтез кулачковых ударных механизмов / В. К. Манжосов. -

Ульяновск : УлГТУ, 2006. - 160 с.

4. Юдин В. А. Теория механизмов и машин / В. А. Юдин, Л. В. Петрокас. - М. : Высшая школа, 1967.-528 с.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических паук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных воли деформаций в механических волновода.

Новиков Дмитрий Александрович, аспирант. Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации по моделированию механических систем переменной структуры