Модель плана распределения порожних вагонов под погрузку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.2:51.001.57

I. М. КУКУШКИА (ДПТ)

МОДЕЛЬ ПЛАНУ РОЗПОД1ЛУ ПОРОЖН1Х ВАГОН1В П1Д НАВАНТАЖЕННЯ

Запропоновано економшэ-математичну модель рацюнального регулювання потоков порожнiх вагошв i3 врахуванням витрат, що пов'язаш з втратами часу вагонами та вантажем у чеканнi навантаження, а також на пересування м1ж пунктами навантаження та розвантаження.

Предлагается экономико-математическая модель рационального регулирования потоков порожних вагонов с учетом затрат, связанных с потерями времени вагонами и грузом в ожидании погрузки, а также на перемещение между пунктами погрузки и разгрузки.

An economic and mathematical model of empty carflow rational regulation has been offered, with account of expenditures, related to the time losses by cars and the freight in a pre-loading demurrage, and also the costs of the cars moving from the points of loading to those of unloading.

Одшею з найважливших задач експлуата-цшно! роботи на залiзничному транспорт е ра-щональне використання порожшх вагошв. За своею природою ця задача багатокрш^альна. Питанню рацюнального регулювання парку вагошв присвячена увага в трудах Е. Г. Голь-штейна, Д. Б. Юдша [1], де пропонуеться кри-терш мшмума експлуатацших витрат на навантаження. У робот А. В. Крушевського, К. I. Швецова пропонуеться модель комплексного регулювання вагошв за критерiем мшму-ма загального пробку навантажених i порожшх вагошв [2]. Модель планування перевезень на замкненому пол^ош пропонуеться в робот [4]. Група авторiв в [3] розглядае оперативний оп-тимальний розподiл потокiв поржнiх вагонiв на пол^ош дирекцii перевезень як стохастичну задачу.

Комерцiалiзацiя перевезень висувае додот-ковi вимоги до плану регулювання потоюв по-рожнiх вагонiв. З одного боку, необхщно по можливост скоротити час простоiв порожнiх вагошв мiж вантажними операцiями, а з другого - вчасно задовольнити потреби в порожшх вагонах у пунктах навантаження.

Припустимо, що в рамках визначених регю-ну та перiоду планування маемо N пункпв ПП^ ( = 1, 2,..., N), в яких е потреба в порожшх вагонах, i множина моментв часу потреби в них tjX(XeEj) , а також М пункпв звiльнення

вагонiв ПЗ ■ (у = 1, 2,...,М) з моментами звшь-нення тНу) вагонiв вiд вантажу та го-товностi iх до вiдправки в пункт навантаження.

Кр1м того, е шформащя вщносно пром1жку часу rj (i - 1,2,..., N; j - 1,2,...,M), що необ-

хщний для перемщення вагону з пункту звшь-нення ПЗ j до пункту потреби в ньому ПП i.

Якщо при цьому p - умовна ощнка одинищ

часу простою вагона, який звшьнився шсля розвантаження в пункт ПЗ j в момент т та

готовий до вщправки для завантаження в пункт ПП i; d iX - умовна ощнка одинищ часу чекан-ня навантаження вантажем, що готовий до ще! операци в пункт ПП i в момент часу tiX, а c j - умовна ощнка часу перемщення порож-нього вагона з пункту ПЗ j до пункту ПП i, то

щльову функщю математично! модел1 можна записати таким чином:

N M

ZEE E(g j^ + с. ) х j^ ^ min;

i=1 j=1 XEE1 xeH. g jXx = \tjX - (T jx + rj )]diX , якщо tiX^T jx + rj ;

gjj^v-[(T jx + rjj ) tiX

p х, якщо tiX<T jx+r ij;

№

' ijXx

= 1, якщо вагон (група вагошв), який зв> льнився в пункт ПЗ у в момент часу т , треба подати шд навантаження в пункт ПП i в момент часу I [Х ;

' ijXx

- 0 - у протилежному випадку.

Ця функщя цш вщповщае нам1ру скласти такий план розподшу порожшх вагошв шд на-

вантаження, при якому сумарш витрати на про-стiй вагонiв у чеканш навантаження та чекання вантажем початку навантаження з урахуванням витрат на доставку вагона з пункту розванта-ження до пункту завантаження були б мш> мальними при деяких обмеженнях.

Обмеження моделi забезпечують:

• подачу порожнього вагона або групи вагошв пiд навантаження для кожного моменту потреби в кожному пункт потреби не шзшше деякого критичного моменту часу Тх :

т

Е Е (Т ]Ц + Гг1)Х]Хц- ТгХ ;

]=1 ЦеЯ ]

1 = 1,2,..., N; ХеЕг;

• вимоги реальност виконання плану:

т

ЕЕ *Ухц = 1; * = 1,2,•, N ; ХеЕг;

] =1 ЦеЯ 1

п

ЕЕ хУхц- 1; 1 = 1,2, •••, М; цеЯ,,

1 =1 ХеЕ1

тобто у визначений пункт до кожного моменту потреби необхщно подати один вагон або групу вагошв, а також шсля звiльнення у визначено-му пунктi в кожний момент звшьнення пiсля розвантаження до наступного навантаження направляеться не бiльш як один вагон або група вагошв.

Побудована модель вщноситься до класу задач лшшного програмування з бульовими змшними.

Для застосування вщомих алгоршмв пот-рiбно спочатку перетворити чотирьохiндексну модель на двохiндексну. 1з щею метою потрiб-но заменити пари шдекив (1, X) та (/, ц) двома iндексами I i к за наступними формулами:

* -1 }-1

I = Х + ЕN.; к = v+ЕNs,

¿=1 ¿=1

де Ni та М, - кшьюсть елеменпв множин Ei та Я / вщповщно.

Введемо замшу змшних ХуХц = у 1к та по-значимо крiм того:

1 +су = ь1к; т /ц + г1/ = а1к; Т,х = и1;

I = 1,2,..., п ; к = 1,2,..., т;

( N М Л

п = Е N., т = ЕМ ] .

V 1=1 ]=1 )

Пiсля цього математична модель може бути представлена в такому виглядi:

п т

ЕЕЪшУш ^тш;

I=1 к=1

т

Е Уа =1; 1=1,2, •••, п;

к=1

п

ЕУа -1; к=1,2т;

г=1

т

ЕакУгк -иг ; г = I2, п ■

к=1

За допомогою деяких перетворень цю модель можна звести до так звано! «задачi про призначення» [1]. Для цього:

- по перше, якщо т > п, присво!ти Ъ1к зна-

чення Q,.(1 = 1, 2,..., п, к = т +1, т + 2,..., п);

- по друге, якщо агк > иг, присво!ти Ъгк зна-чення Q, де Q - досить велике число, наприк-

п т

лад Q = ЕЕЪ

гк ; у результат одержимо квад-

г=1 к=1

ратну матрицю елементiв Ъ1к розмiром (п х п).

Для «задачi про призначення» юнують вщо-мi алгоритми [1]. Але мае сенс розробити спе-щальний алгоритм, який дозволяв би у випадку потреби, ^м тих обмежень, якi описанi в мо-делi, враховувати додатковi умови, наприклад, завершення деякого обсягу перевезень у певний час. У такому випадку доцшьно мати алгоритм, який дозволяв би, ^м оптимального плану, аналiзувати деяку кшьюсть допустимих планiв, близьких до оптимального. Такий алгоритм можна побудувати на щеях методу неявного перебору, при цьому прийняти до уваги, що допустим плани знаходяться на множит перестановок з п елеменпв П = (п 1, п 2,..., п п).

В алгоритмах, побудованих на щеях методу неявного перебору, дуже важливим е вдалий вибiр упорядкування елементiв, що пiдлягають перебору, органiзацiя само! процедури перебору та процедури визначення оцiнки плану. Сут-тевим е те, щоб у процесi перебору два посл> довнi варiанти плану мшмально вiдрiзнялися за структурою i щоб ця вiдмiннiсть була в ос-таннiх елементах.

Пропонуеться наступна послщовшсть дiй в алгоритмi.

Перша д/я: Формування першого допустимого плану: п l = l; p{ = n -1 +1(l = 1,2,..., n);

L=1 bn i.

i=1

n

Друга д1я: Dl =£min(brt,br2,„bra).

r=l

Третя д/я: к = n -1. Четверта д/я: p к = p к -1. П'ята д/я: Якщо рк = 0, переходимо до п'ято1 д^'; якщо р к Ф 0 , переходимо до восьмо!

ди.

Шоста д/я: Якщо ркч Ф1, проводимо цик-лiчне зрушення п l (( = к, к +1,..., n ) за правилом п = п к , п к =п к+1, (к = 1,2,..., n -1 ),

П n =п •

Сьома д/я: рк = n - к +1. Восьма д/я: к = к -1. Якщо к > 0, переходимо до третьо1 ди.

Дев'ята д/я: Проводимо циктчне зрушення п l (l = к, к +1,..., n ) за правилом

п = пк , п к =п k+\, (к = 1,2, n - 1), п n =п-

nn

Десята д/я: Якщо ^ Ьы < L , L = ^ b ы , l=1 l=1 переходимо до дванадцято1 д^', якщо

n

^ Ь1п l > L , переходимо до одинадцято1 дiï•

l=1

n-к

Одинадцята д/я: Якщо ^ bп + Dl > L, пе-

l=1

n-к

реходимо до восьмоï дiï; якщо ^ bп + Dl < L,

l=1

переходимо до дванадцятоï ди.

Дванадцята д/я: к = к +1, переходимо до четвертоï ди.

Пiсля закiнчення роботи алгоритму L - зна-чення функцп цiлi, яке вiдповiдаe оптимальному плану. Для того, щоб одержати план, який вщповщае цьому значенню функцп, необхщно провести наступнi дп з iндексами• Перша д/я. xjX|U = 0 ; i = 1, 2,..., N ;

j = 1,2, ..., M ; XeE, ; ; l = 1.

Друга д/я: i = 1, 5 = l. Третя д/я: 5 = 5 - N .

Четверта д/я: Якщо 5 > 0 , i = i +1, перехо-

i

димо до третьо1' дп; якщо 5 = 0 , X = ^ Nifc, пе-

к=1

реходимо до п'ято1' дiï; якщо 5 < 0,

i-1

X = l - ^Nк , переходимо до п'ято1' дп.

к=1

П'ята д/я: j = 1, 5 = п l. Шоста д/я: 5 = 5 - M j.

Сьома д/я: Якщо 5 > 0 , j = j +1, переходи-

j

мо до шостш дп; якщо 5 = 0, j = ^Mк , пере-

к=1

ходимо до восьмо1' дп, якщо 5 < 0, jU = щ -

j-1

и = п l - ^ Nк , переходимо до восьмо1' дiï•

к=1

Восьма д/я: xi]-Xu = 1. Дев'ята д/я: l = l +1.

Десята д/я: Якщо l < n , переходимо до дру-roï дй', якщо l > n , оптимальний план сформо-ваний вiдповiдно до x jX|U.

Перелiк дiй з iндексами, який дозволяе по-вернутися вщ двохiндексноï моделi до чо-тирьохiндексноï, необхiдно застосувати i в тому випадку, коли для одержання оптимального плану використовуеться один з вщомих у лте-ратурi методiв розв'язування задачi «про призначення» [1].

Побудована модель вщповщае задачi в новiй постановцi, запропонований алгоритм ураховуе особливостi моделi i при вщповщних сполу-ченнях вихiдних даних е бiльш ефективним для визначення ращонального плану розподiлу по-рожшх вагонiв пiд навантаження нiж вiдомi в науковiй лiтературi•

Не зважаючи на те, що вибiр порядку елеменпв (розташування по сачках i стовпчиках матрицi [b 1к ] вiдповiдно до моментiв потреби в

порожшх вагонах i моменпв звiльнення ваго-нiв) е природним, доцшьно провести додаткове дослiдження з метою вщшукання бiльш ефек-тивного правила вибору початкового порядку.

Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. - М.: Наука, 1969. - 382 с.

2. Крушевский А. В., Швецов К. И. Математическое программирование и моделирование в экономике. - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1979. - 456 с.

3. Великодный В. В., Кириченко А. И., Скалозуб В. В., Цейтлин С. Ю. Оперативное оптимальное распределение потоков порожних вагонов на полигоне дирекции перевозок // Проблемы экономики транспорта: 2-я Международная научная конференщя: Тез. докл. - Д., 2002. - С. 173-174.

4. Кукушкша I. М., Новжова Н. Г. Планування перевезень на замкненому пол1гош // Матема-тичне моделювання в шженерних 1 фшансово-економ1чних задачах: Зб. наук. пр. - Д.: С1ч, 1998. - С. 5-8.

Надшшла до редколегп 22.09.03.