Модель оценки риска катастроф ВС при движении по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА №90(8)

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.

Безопасность полетов

УДК 629.735.07

МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ РИСКА КАТАСТРОФ ВС ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ВОЗДУШНЫМ ТРАССАМ НА ОДНОЙ ВЫСОТЕ

И.М. ГРИБКОВ, В.Б. СПРЫСКОВ, Л.К. ЩЕРБАКОВ

В статье описаны модели оценки вероятности столкновения ВС при движении по пересекающимся трассам на одной высоте как в условиях процедурного управления движением, так и при непрерывном радиолокационном контроле. Разработанные модели позволяют решать задачи управления безопасностью полетов при УВД по критерию риска катастроф ВС. В данной постановке задача решается впервые.

Расчет вероятности столкновения ВС является важным этапом при обосновании рациональных требований к бортовому и наземному оборудованию, в проектировании структуры воздушных трасс и является ключевым элементом при определении пропускной способности и приемлемых минимумов эшелонирования. Для корректного описания модели оценки вероятности столкновения необходимо зафиксировать допущения, позволяющие формализовать этот процесс.

Будем считать, что столкновение происходит тогда, когда наблюдается физический контакт между ВС. Для строгого математического описания этого события удобно рассматривать столкновение, как физический контакт критических объемов столкновения рассматриваемых ВС. Под критическим объемом столкновения понимают минимальный объем, аппроксимирующий ВС. Для описания вероятности столкновения при движении ВС по пересекающимся воздушным трассам удобно в качестве критического объема столкновений ВС использовать правильный круговой цилиндр с радиусом основания Я, описывающим ВС в горизонтальной плоскости, и высотой И, соответствующей вертикальному габариту самолета.

Далее, будем считать, что число ВС, вовлеченных в конфликт, равно двум, т.е. будем рассматривать только пару ВС. Если реально в конфликте могли участвовать три или более самолетов, подробный анализ конфликта будем рассматривать исключительно попарно.

Будем считать, что продольные, поперечные и вертикальные ошибки выдерживания планового положения отдельного ВС независимы.

Будем считать, что ошибки выдерживания планового положения одного ВС независимы от ошибок выдерживания другого ВС.

Будем считать, что ВС совершают движение относительно плановых траекторий без изменения режима полета, т.е. отсутствуют указания диспетчеров либо маневры, предпринятые экипажами, необходимые для избежания столкновения.

Представим два самолета, которые совершают движение по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте. Федеральные правила использования воздушного пространства Российской Федерации [1] устанавливают, что пересечение маршрутов производится воздушными судами в режиме горизонтального полета и только в том случае, когда оцененная тем или иным способом дистанция пересечения не меньше величины 8С в момент пересечения. Под пересечением Правила понимают ситуацию, когда номинальное положение одного из ВС находится в точке пересечения маршрутов, а номинальное положение второго ВС приближается к ней (см. рис.1) .

В описанной ситуации столкновение может произойти по той причине, что фактические положения ВС всегда отличаются от номинальных. Поэтому, даже если между ВС при процедурном УВД или при непосредственном радиолокационном контроле расстояния достаточны (не меньше соответствующих минимумов эшелонирования), столкновения возможны, если только не настаивать на финитности плотностей вероятностей ошибок отклонения фактических положений от номинальных.

Пусть интервал ^0^1) представляет собой время, в течение которого пара ВС совершает полет относительно точки пересечения воздушных трасс. Пусть величина Д*(^) представляет собой продолжительность времени прохождения одного ВС пары сквозь другое, т.е. время от начала контакта до завершения прохождения. Если обозначить через \¥отн (^)| абсолютное

значение относительной скорости ВС в момент столкновения 1, I — среднюю дистанцию пути при указанном прохождении, то Д* (^) можно вычислить следующим образом:

I

Дt^) =, ^ ,. (1)

V ^)

| отн У у\

Продолжительность времени Дt(t) столкновения на самом деле является случайной величиной, чье значение зависит от относительных скоростей самолетов рассматриваемой пары в момент проникновения. Однако этот факт не является принципиальным при анализе вероятностей столкновений ВС, совершающих полет относительно точки пересечения воздушных трасс. Главное заключается в том, что все значения Дti ^) являются чрезвычайно малыми величинами. Если предположить, что относительная скорость сближения ВС в момент столкновения лежит в диапазоне (250-500)м/с, а средняя дистанция пути при столкновении мало чем отличается от среднего размера ВС в плане (положим, 1ср=50 м), тогда величины Дti ^) будут лежать в диапазоне (0,1; 0,2) с.

Интервал времени (^^ разделим на непересекающиеся сегменты, продолжительностью А^ каждый. Тогда вероятность отсутствия столкновения за время ^1 — t0) в соответствии с

формулой умножения вероятностей будет равна:

Р (нет столкновения ^0, t1))=Р (нет столкновения в ^0, t0+Аt)) хР(нет столкновения в

Оо +А^ ^ + 2А^/ нет столкновения в ^0, tо + А^))х ... хР (не1т атолкновения в (1 — Аt, tl)/ не1т

столкновения в (t0,t 1 — Аф. (2)

Условные вероятности соотношения (2) можно трактовать как вероятности независимых биноминальных переменных, когда «успех» соответствует столкновению пары ВС в интервале времени Дti, а «неуспех» - отсутствию столкновения. Когда вероятность того, что произойдет столкновение за время Дti очень мала (р ^ 0, ^ ^ 1), вероятности событий независимых биноминальных случайных величин могут быть без потери точности заменены вероятностями событий независимых пуассоновских случайных переменных.

С учетом этого замечания получаем:

Р (нет столкновения в ^0, t1))= Рнет ст(^^ =

еЛ )Д хеЛ)Д х...хеЛ-Д)Д = exp| - }Л01)сИ|, (3)

где Х^)=Рст^, t+Аt)/Аt(t), (4)

- мгновенная интенсивность столкновения в момент времени t е^0, t1).

Очевидно, что

Рст (*00, tl)=1 - exp<! - | Л^ )&\ . (5)

В ряде случаев бывает полезно пользоваться очевидной аппроксимацией выражения (5). Разлагая в ряд (Маклорена) экспоненту и принимая во внимание только линейный член ряда, получим соотношение

Ч

Рст (0 tl)= |Л(*)Л , (6)

0

которое, как правило, является оценкой сверху результата (5).

Для оценки интенсивности столкновения А(*) по формуле (4) необходимо вычислять мгновенную (текущую) вероятность столкновения Рст (*, *+А*) и время перекрытия Д*(*).

Среднее время перекрытия в соответствии с (1) определяется средней длиной прохождения одного ВС через другой и их относительной скоростью. Для цилиндрических критических объемов

средний путь перекрытия равен 1с

2

D 1 D 2

где: RKP = Dr+-f;

DKp i(2) - соответственно диаметры цилиндров для ВС1 и ВС2.

Относительную скорость оценим как

Уот,(t) = 4Wi(t)2 + W(t)2 -2 ■ Wi(t) ■ W2(t) ■ cosg(t),

где:

W12(t)- путевые скорости соответственно для ВС1 и ВС2;

g(t) - угол пересечения путевых скоростей

pRK

итак, получим At (t) =----——. (7)

2Vom, (t)

Значение Pcm (t, t + At) оценим выражением

Pcm (t, t + At) = PRlp ■ Cr(t) (Sx (tX ^ (t)) , (8)

где Cg(t)(sx(t),sy(t))- плотность вероятности перекрытия пары ВС в горизонтальной плоскости, записанной в системе координат 0 sx sy, совпадающей с осями рассеяния фактических положений ВС по отношению к номинальным для, положим, ВС1 (O1 x1 y1). (см. рис.1)

Можно показать, что

Cr(sx, sy) = j j f(x1, Л)- f2((x1- sx )'cosr+ (У1- sy) ■ sing- (x- sx )-Sinr+ 01- sy )'cosr)dxdy1. (9)

С учетом результатов (7) и (9) получим

lt) = 2-Rkp ■ Vom, (t >Cn) ■ S (t), Sy (t)) . (10)

Для оценки вероятности столкновения ВС за интервал времени (t0,tj) воспользуемся формулой (6) с учетом того, что интенсивность l(t) определена выражением (10). Расчетное выражение в этом случае получится, если задать закон изменения плановых относительных расстояний sx (t), sy (t) при движении ВС относительно точки пересечения маршрутов и учесть вероятность перекрытия ВС в вертикальной плоскости PZ (0) .

Введем общую для двух ВС систему координат 0xy с центром в точке пересечения (см. рис. 1). Не снижая общности рассуждений, будем самолет, который первым достигает точки пересечения воздушных трасс, обозначать как ВС1. Тогда для любого соотношения между плановыми путевыми скоростями W] и W2 можно записать:

Sx (t) = (W - W2Cosr)| T Л

Х 2

Sy (t) = -W2 sin r

T

V 2 J

+ scosr;

+ s sin r, (11)

где:

^ 0)=*10) - *2(0;

^О)=у^) - у 2(*);

т

— - время, за которое плановое положение ВС1 достигает точки пересечения маршрутов

* е

0, Т +

Вероятность столкновения воздушных судов за интервал времени (0, Т +-----) будет равна:

ж

0,Т +

т +-

ж

2 У

:2ККр(Щ2 + Ж22 —2Ж Ж2совуУ хР,(0)х

Т

(12)

\

Л.

х /’С^(Щ— Ж2со8^г — 0

Были проведены многочисленные сравнения оценок вероятностей столкновения ВС при пересечении воздушных трасс для различных плотностей /г (х1, у1), /2 (х2, у2), полученные симуляционным и аналитическими методами, которые показали совпадение результатов [2].

Рис. 1. Расположение осей координат ошибок выдерживания плановых положений ВС 01х1у1 и О2Х2У2 и относительных расстояний между центрами ВС в системе Оху

Известно, что в задачах оценки уровня безопасности риском катастроф называют величину, равную ожидаемому числу событий за единицу летного времени. Если за интервал 2-^

времени (0, Т +-------), в течение которого пара ВС совершает процесс пересечения воздушных

Ш2

2 • ^

трасс, веро_ столкновения пары равна Р„,(°.Т + щО, то с учетом соотношения «1

столкновение = 2 катастрофы» риск катастроф ВС при пересечении равен

2- V

2-Рст (0,Т + —)

стУ ш

N =-----------------(13)

аху 2 с ’ ^ '

2- (Т + — - 0)

т.е. равен отношению вероятности столкновения ко времени, в течение которого оценивалась вероятность.

При процедурном управлении воздушным движением, когда диспетчер дает разрешение на пересечение маршрутов на основе анализа докладов экипажей о предполагаемых временах пролетов точки пересечения, неопределенность фактических положений ВС по отношению к номинальным имеет строго навигационный характер (в рамках данной статьи полагаем отсутствие задержек по времени при связях «борт-земля». Однако при расчетах рисков в ГосНИИ «Аэронавигация» такие задержки учитываются всегда). В этом случае плотности вероятностей отклонений фактических положений ВС от номинальных /1(х1, у1) и /2(х2, у2) могут быть описаны (см. [3]) как двумерные двухсторонние экспоненциальные (ББЕ), при которых

1 •М 1 -М

!(х у) = Це 1 • 71 е 1, (14)

2 • Ах 2• Лу

где Лх(у) = 0.618547-RNP [3].

Тогда плотность вероятности перекрытия пары ВС в горизонтальной плоскости, определяемую формулой (9), следует записать с учетом (14) не только как функцию аргументов сх, яу, у, но и аргумента RNP :

+¥+¥ Iх |у| |(х-сх)созТ+(.У-Эу >ту |-(х-Хх)81пу+(у-Ху)оо8у

Су(Б ,Э ,ШР) =------------------------1-Г Ге 1x1 1 -е 1x2 -е 1 с1хс1у, (15)

1бАх1Ау1Ах2Ау2 Ц

где

Лх12(у12) = 0.618547-ШР ; у - угол пересечения путевых скоростей ВС;

Эх, Эу - относительные расстояния между плановыми положениями ВС в системе координат,

совпадающей с осями рассеяния фактических положений ВС1.

Риск катастроф при пересечении прямолинейных маршрутов в условиях процедурного УВД при движении с постоянными путевыми скоростями в соответствии с (13) будет равен

2с

Т +----

1 ш2

N0:;: = (Т+—)-1 -20,, Р(0)(Щ2 + Ш; -2Ш;№1- созу)2 - |Су(Э,(I),(I),ШР)Л. (16)

ш2 0

Несколько по иному должен быть оценен риск при пересечении маршрутов в условиях непрерывного радиолокационного контроля. В течение интервала пересечения

2 V

(0,Т + ш) диспетчер многократно должен (в соответствии с технологией) оценивать расстояние между ВС и разрешать пересечение без изменения режимов полета ВС только в том

случае, если эти оценки не меньше соответствующего минимума эшелонирования. Кроме того, в условиях непрерывного радиолокационного контроля изменяется причина неопределенности фактических положений ВС по отношению к наблюдаемым.

Действительно, в момент времени измерения координат пары ВС радиолокатором ti

неопределенность фактических положений ВС по отношению к номинальным (наблюдаемым) определяется только ошибками подсистемы наблюдения. Но в любой другой момент времени внутри обзора радиолокатора к ней добавляется неопределенность, связанная с навигационным характером движения ВС. Можно показать, что суммарная дисперсия отклонений ВС от номинального положения для любого момента времени внутри интервала локации (от момента времени измерения положения ВС ti до момента следующего измерения ti + Тл) равна

г1{, )(<) = ^»-(у )+г№Р о-р1(, )0 - ^)), (17)

при условии, что навигационные ошибки представляют собой стационарный в широком смысле случайный процесс.

В формуле (17) использованы следующие переменные:

- сг—y)(ti)- дисперсия ошибок определения координат ВС по направлению движения (х) и поперек направления движения (у) радиолокационной подсистемой наблюдения;

- - стационарная дисперсия навигационных отклонений ВС от номинального положения, соответствующая данному типу ЯЫР (гШР = 0.874758-ЯЫР [3]);

- Пу)^ — ti)- нормированная автокорреляционная функция навигационных отклонений от

номинала вдоль (х), и поперек (у) движения ВС.

Для оценки риска катастроф при движении по пересекающимся маршрутам в условиях

2 5 (0,т + ж)

непрерывного радиолокационного контроля интервал времени пересечения

необходимо разделить на п отрезков, равных периоду обзора радиолокатора, оценить вероятность столкновения ВС для каждого отрезка с учетом изменения дисперсии (см. (17)), найти суммарную вероятность по всем обзорам локатора и оценить риск катастроф по формуле

N

RADAR

axy

i=1

T +

2s

W

(T + — )_1-2R W

кр

• Pz (0) • W + W2 - 2W1 • W2 • cos g)

(18)

n i л

ü j Cg(sx (tX Sy (tX , , SRNP ; Px,y (t))dt,

i=1 t.

где:

Cg(Sx (tX Sy (tX O , °y,t , SRNP ; Px,y (t)) =

1

y

я

—¥—¥

e hc1(t) e X.1(t) e

(x—sx )cos g+( y—sy) sin g 1x2(t)

e

161x1 (t )1y1 (t )1x2 (t )1y2 (t)

—(x—sx) sin g+( y—sy )cos g 1.2(t)

dxdy

ox1

1y1,2(í) =

1,2 (t) Ti

01,2^)

~TT~

определяется по формуле (17);

определяется по формуле (17).

Модели (16) и (18) позволяют решать разные задачи, в том числе определять минимумы продольного эшелонирования при движении ВС по пересекающимся воздушным трассам на

x

одной высоте при различных типах УВД. Покажем, как на практике следует применять разработанную теорию.

Для обоих типов управления положим, что приемлемый (целевой) риск катастроф при

горизонтальном пересечении тьзху равен 5 10-9—1—. Пусть Я = 50м; Щ = Щ = 900;

л.час час

Рг(0) = 0.39; Т = 20мин .

Для обоснования минимума при процедурном управлении будем использовать модель (16) и решать уравнение

(5) - = 0 (19)

по аргументу 5, определенному формулой (11) (см.рис.1). Корни по 5 уравнения (19) при заданных углах пересечения, скоростях ВС и параметрах КЫР будут представлять собой искомые минимумы эшелонирования. Результаты расчетов для КЫР = 1; 4; 10; 20 и у = 450;70°;950;120° представлены в табл. 1 на рис.2.

Таблица 1

Минимумы продольного процедурного эшелонирования при движении ВС по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте

5Х [км]

ЯМР ^^Гп.ш.] угол пересечения (град)'\ 1 4 10 20

45 13 47,5 110 210

70 13,5 50 117 220

95 15,5 58 136 250

120 21,5 85 190 350

Рис. 2. Зависимость минимумов продольного процедурного эшелонирования при полетах по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте (5Х) от навигационного обеспечения полетов ВС (КЫР) и углов

пересечения маршрутов (у)

Для обоснования минимумов при непрерывном радиолокационном контроле будем использовать модель (18) и решать уравнение

(5) — ^ = 0 (20)

по аргументу 5, определенному формулой (11). Корни по 5 уравнения (20) при заданных углах пересечения, скоростях ВС, параметрах КЫР и точностях радиолокатора с будут представлять собой искомые минимумы эшелонирования. Результаты расчетов для КЫР = 1; 4; 10; 20 , у = 450;70°;950;120°, г = 0.3;0.6;0.9;1.2 и рху(т) = (1 +127.2884-г2)_1, где т [ч] представлены в табл. 2 и на рис.3.

Таблица 2 Минимумы продольного радиолокационного эшелонирования при движении ВС по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте

Минимумы эшелонирования [км] Навигационное обеспечение полетов КМР [п.т.]

Точность ^^наблюдения Угол [км] пересечениях, у [град] 0,3 0,6 0,9 1,2

45 4,6 8,9 12,9 17 КМР1

70 4,9 9,4 13,6 18

95 5,7 10,9 15,9 21

120 8,2 15,7 22,9 30

45 4,9 9,1 13,1 17,4 ЯМР4

70 5,1 9,5 13,7 18

95 5,9 11 16 21

120 8,5 16 23 30,1

45 6,5 6,8 7,9 11,6 ЯМРШ

70 9,6 10,1 12 17

95 13,5 14,2 16,5 24

120 17,6 18,5 21,5 30,6

45 10,5 11 13 18,5 КМР20

70 12,4 13 15,6 22

95 15 16 19 29

120 18,5 19,5 23 33

Рис. 3. Зависимость минимумов продольного радиолокационного эшелонирования при полетах по пересекающимся воздушным трассам на одной высоте (8Х), от точности подсистемы наблюдения с , углов пересечения маршрутов (у) и навигационного обеспечения полетов ВС (ЯМР)

ЛИТЕРАТУРА

1. Федеральные правила использования воздушного пространства Российской Федерации. Утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 22.09.99 №1084. - М., ФСВТ, 1999.

2. Спрысков В.Б., Исаакян К.Л. Моделирование риска столкновения ВС в системах организации воздушного движения // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов, №52, 2002.

3. Руководство по методике планирования воздушного пространства для определения минимумов эшелонирования. ICAO Doc 9689, изд. 1-ое. - Монреаль, 1998.

THE MODEL OF RISK ESTIMATING OF A/C ACCIDENT WHILE MOVING ON INTERSECTION

ROUTES AT THE SAME ALTITUDE

Gribkov I.M., Spryskov V.B., S^erbakov L.K.

In article is described the models of estimation to probability of collision A/C when moving on crossing routes on one height both in conditions of procedural management motion, and under unceasing radar checking. Developed models allow to solve the problems of management safety flights under ATC on criterion of risk of catastrophes of AC. In given production a problem dares for the first time.

Сведения об авторах

Грибков Игорь Михайлович, 1979 г.р., окончил МАИ (2003), аспирант МАИ, инженер первой категории Гос НИИ «Аэронавигация», автор более 7 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при УВД.

Спрысков Владимир Борисович, 1951 г.р., окончил МАИ (1975), доктор технических наук, главный научный сотрудник Гос НИИ «Аэронавигация», автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при УВД.

Щербаков Леонид Константинович, 1952 г.р., окончил КИИ ГА (1974), кандидат технических наук, главный инспектор ЦПДУ ГА «Аэротранс», автор более 80 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при ОрВД.