Модель оценки риска катастроф ВС при движении по одной трассе на одной высоте Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА №90(8)

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники.

Безопасность полетов

УДК 629.735

МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ РИСКА КАТАСТРОФ ВС ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ОДНОЙ ТРАССЕ НА ОДНОЙ ВЫСОТЕ

И.М. ГРИБКОВ, В.Б. СПРЫСКОВ, Л.К. ЩЕРБАКОВ

В задачах управления безопасностью полетов при УВД основной методологией исследований является аналитическое моделирование риска катастроф ВС. Важнейшим этапом при создании системы управления безопасностью является построение адекватных и обоснованных моделей риска катастроф для различных типов относительных движений ВС. Темой данной статьи является обоснование аналитического выражения для оценки риска катастроф при движении ВС по одному маршруту на одной высоте в условиях как процедурного управления движением, так и при непрерывном радиолокационном контроле. В данной постановке задача решена впервые.

Особенность продольного эшелонирования заключается в том, что при движении ВС по одной трассе на одной высоте расстояния между центрами ВС являются случайными величинами и задача управления движением сводится к тому, чтобы минимальные интервалы между ВС сделать не меньшими соответствующего продольного минимума эшелонирования 8Х.

Традиционно эта задача решалась эмпирически и при обосновании величины 8Х руководствовались средней скоростью движения потоков ВС на маршруте, возможными значениями относительных скоростей пары ВС, частотой обновления информации о номинальном положении ВС.

Для научного обоснования минимума эшелонирования 8Х необходимо формализовать риск столкновения ВС при полетах по одной трассе на одной высоте. По традиции, восходящей к Брукеру и Ллойду (1978 г. [1]), уравнение риска записывают в виде

Nax =п P (0)PZ (0)

X y z

------1--------1-----

2lx 2ly 21 z

(1)

где: Ыах - ожидаемое число катастроф вследствие потери продольного эшелонирования за один час полетного времени;

Рис.1. Номинальные положения и оси рассеивания фактических положений ВС от номинальных при

движении по одному маршруту на одной высоте

Пх - вероятность продольного перекрытия соседних ВС, следующих по одной трассе на одной высоте вследствие нарушения минимума эшелонирования £х;

Ру(0), Р2(0) - соответственно вероятности бокового и вертикального перекрытия ВС, движущихся по одному маршруту на одной высоте;

|х|, |у|, |і| - абсолютные средние относительные скорости сближения ВС в момент

перекрытия соответственно в продольном, боковом и вертикальном направлениях;

1х , 1у , к - размеры параллелепипеда, аппроксимирующего средний ВС в продольном, поперечном и вертикальных направлениях.

Основные трудности, связанные с расчетом риска по выражению (1), вызывает оценка вероятности Пх. Будем оценивать эту вероятность отношением времени, которое ВС проведут в ситуации продольного перекрытия за интервал времени (і0, і0 + Г) , где Т= і+т , к

продолжительности этого интервала Т.

Для формального определения ситуации продольного перекрытия ВС рассмотрим рис.1. Не снижая общности рассуждений, будем ВС, имеющий большую наблюдаемую координату £, в неподвижной системе координат О^пС в момент времени ї0 , называть ВС2. Тогда другой ВС

обозначим ВС1. Центры подвижных систем O1 x1 у1 21 и O2x2у2г2 совпадают с наблюдаемыми координатами X и Х2 ВС в неподвижной системе в момент времени ї0 , а фактические

положения ВС1 и ВС2 распределены в пространстве О^пС в соответствии с законами, описывающими ошибки определения координат ВС.

Если в момент времени ї0 наблюдаемое расстояние между ВС равно a = %2 — X

фактическое Sf удовлетворяет неравенству

где Sf = x2 - x, то ВС находятся в состоянии продольного перекрытия. Здесь x1 -

фактическая координата центра ВС1; x2- координата центра критического объема столкновения, представляющего собой параллелепипед с размерами 2/х х 2/у х 2Ь, совпадающая с фактической координатой центра ВС2. Продольным перекрытием ВС при этом считается попадание точки х1 в критический объем столкновения 2/хх 2/у х 2Ь .

Под интервалом времени , t0 + Т) понимают интервал, в течение которого не могут

быть приняты решения, направленные на предотвращение столкновения ВС. Продолжительность интервала состоит из времени ^ равного периоду обновления информации

о взаимном расположении ВС, и времени т, представляющим некий буфер или задержку, в течение которого система ОрВД принимает и исполняет решение об изменении режима полета ВС рассматриваемой пары.

Оценим вероятность Пх следующим образом. Пусть в некоторый момент времени to получено сообщение, из которого следует, что относительное расстояние между ВС равно а. Оценим вероятность того, что за время ^0, to + Т) фактическое расстояние между ВС |б/] станет не больше 2/хпри условии, что начальный момент времени измеренное расстояние между ВС равно а.

Существует две физические причины продольного перекрытия ВС в течение интервала времени ^0, t0 + Т) при условии того, что в момент t0 наблюдаемое относительное расстояние равно а:

— измерения положений ВС в t0 происходят с ошибками. Обозначим плотности вероятности этих ошибок соответственно f¡ (х) и f2(x)^;

— воздушные суда выдерживают различные путевые скорости, в результате чего любой паре ВС, следующей по одному маршруту на одной высоте, может быть

поставлено в соответствие некоторое распределение ф х (у) относительной скорости V вдоль линии пути.

Итак, для рассматриваемой пары ВС вероятность перекрытия по продольной координате за интервал времени и + Т) будет равна

^(а) = р{х2 - < 21х / 5 = а} (3)

Для корректной записи вероятности ^ (а) поступим следующим образом.

Пусть номинально (по АОБ, по радиолокатору, по докладам экипажей) расстояние между ВС для ^ равно 5. Фактические координаты ВС вдоль оси ох х1 и х2 при этом могут быть любыми (из-за ошибок определения местоположения ВС при условии, что законы их распределений нефинитны).

Тогда

сх (э)= |/2 (х)• /1(х — э№ (4)

представляет собой плотность вероятности ситуации, когда фактические координаты х1 и х2 ВС1 и ВС2 одинаковые при номинальном относительном расстоянии, равном 5 Е (-¥,+¥) . Вероятность ситуации, когда при наблюдаемом расстоянии а, ВС перекрыты, т.е. имеют практически одинаковые координаты по оси ох, равна

В формуле (4) /2 (х) и /(х — э) представляют собой плотности вероятностей отклонений фактических положений ВС от номинальных, записанные в системе координат, совпадающей с

0х2 У2 ¿2 .

Нас интересует не только ситуация продольного перекрытия в момент времени їо, но и ситуация продольного перекрытия в любой момент времени ї є (ї0, ї0 + Т). Очевидно, для некоторого времени ї наблюдаемое расстояние может отличаться от а, например, стать а + А х. Вероятность продольного перекрытия в этом случае будет равна

В пределе А х ® ¥ . Тогда

и-Т£Лх

Г (а) = | сх (э № .

представляет собой вероятность появления события, которое заключается в том, что несмотря на номинальное расстояние а в момент времени ВС были в продольном перекрытии в течение интервала времени (ї0, ї0+Т).

Пусть за время Т ВС дрейфуют друг относительно друга со скоростью V. Если в момент ї0 номинальное расстояние между ВС равно б, то с учетом фактора относительной скорости вероятность их перекрытия в конце интервала (ї0, ї0+Т) будет не Г(э), а

: +

а-1х

а-1х

а—1х

При этом предполагается, что относительная скорость V постоянна в интервале

Оо, Ь+Т).

Если в начале интервала ^0, 10+Т) номинальное расстояние между ВС равно 5 > 0, то в конце интервала номинальное расстояние 5 + уТ может быть равно - ¥ < 5 + уТ < ¥ при

нефинитной функции фх (V). Поэтому, при вычислении Г (а) = | сх (5для а надо

а-1Г

предусматривать 2 области : - ¥ < а - ¡х < 0 и а - 1Х > 0.

Пусть а(5; Чх, X) - плотность вероятности линейных интервалов между плановыми положениями центров ВС, следующих по одной воздушной трассе на одном эшелоне. Тогда

интеграл |«(5, Чх ,Х)Ц(5; Т,фх У))ф представляет среднее значение функции и(5;Т,фх (у))

5

случайного аргумента 5 на рассматриваемом эшелоне воздушной трассы или другими словами -среднее значение вероятности ситуации догона или обгона для соседних ВС на момент времени + Т) при условии, что в момент времени to они номинально были разделены дистанцией равной 5.

Итак, за рассматриваемый интервал ^о, ^ + Т) времени полета пары ВС по одной трассе на одной высоте, среднее время, когда пара находилась в состоянии продольного перекрытия будет равно

8хЛ)и(5; ТфМуъ. (7)

Тогда вероятность продольного перекрытия пары ВС за время Т будет равна

Пх = Хъ!«**; Ч,, 1)и(5, Т, фх (у )**, (8)

П ^ 5

что и требовалось оценить.

Аналитическое выражение риска катастроф при движении потока ВС по одной трассе на одной высоте с учетом приведенных ранее рассуждений следует записать в виде

На, = Ру (0)Р (0)| «(5, ^ , 1)и(5, Т, фх У)№

х у и

-------1---------1-----

2/ 21 21,

(9)

который отличается от представленного в «Методологии планирования воздушного пространства для определения минимумов эшелонирования» [2, 1998]. Можно показать, что значение рисков, полученные на модели (9), всегда больше, чем значения рисков, полученные в соответствии с Методологией.

Для того, чтобы оценить риск при продольном относительном движении необходимо записать модель (9) в элементарных функциях. Для этого необходимо вычислить интеграл

| ф; Чх, Х)и(5;Т, фху у)Ж.

5

Будем считать, что отклонения фактических положений ВС от номинальных описаны плотностями ББ распределения.

|х|

/1,(2) (х) = 1-е . (10)

21х1,(2)

5

Тогда сх (5), определяемая формулой (4), будет при условии 1 х = 1 = 1 х равна

с іи

(и ) =

Ах

4 А

г И ^ 1

V Ах у

(11)

Вероятность Р(а) следует записать в виде:

Р(а ) = <

а^к+2

Ах у

• е А , если а - 1Х > 0;

1 а -1 +-

Л , а-1х

(12)

2 4Ах У

• е Ах , если а -1 < 0.

Для записи и(5; Т,фх (V)) в элементарных функциях необходимо в общую формулу (6)

подставить выражение Р(а), заданное формулой (12), и плотность вероятности фх (V). Однако в

настоящее время сведений о распределении относительной продольной скорости V при движении ВС по одному маршруту на одной высоте недостаточно. Известно только значение

модуля средней относительной скорости |х|. Поэтому в рамках написания данной статьи было

исследовано влияние четырех типов плотностей фх (V) (нормальной, ББ, Симпсона и

равномерной) на величину и(5; Т, фх (V)) и выбрана равномерная плотность фх (V), т.к. по

сравнению с другими при одинаковом значении |х| ее влияние на величину и(5; Т, фх (V))

оказалось наиболее реалистичным.

Выполненные преобразования показывают, что при Г (а), заданной формулой (12) и

плотности <Ф IV

4 • Х

0, V < -2 Х;

■ 2 Х < V < 2 Х;

0, V > 2 Х\.

функция и (и; Т ,фХ (V)) будет равна:

и (и; Т, Фх (V)):

1

1б| х| • Т 1

и-/х-2| :х| 'Т и-/х+2 ^¿|Т

к1^ е Ах - к 2 • е Ах

и - 1х ^ при--------->

16 Х\• Т

к 0 + е

Ах

• (к 3 • е Ах - к 4 • е Ах )

при

Т

и - 1х

> 2 Х;

Т

< 2 Х,

где:

к0 = 4(2]х| • Т - (и -/х)}, к1 = и - /х + 3Ах - 2|.х| • Т; к2 = и -/х + 3Ах + 2|.х| • Т; к 3 = - и + /х + 3Ах + ^ х| • Т; к4 = и -/х + 3Ах + 2ІХІ • Т;

И

е

а

1

4

1

1

21 .ХІ ■!

И

И

Тогда для пары ВС, номинально разделенной дистанцией $, риск катастрофы Ысх будет

равен

/х

Нх ($) х Ру (0) •Р (0)-

(х| • Т) у

У

У

Т

1х

Нх($) = ^^2хРу(0)• Р(0)• 8( х •Т)

$ - 1х _|-|

при ——— < 2|х |.

21х 21у 2/г

Л + ]у. + _й_

2/х 2/у 2/г

$—/х—2 х |'Т $-/х+2 х |'Т

к1^е 1 —к 2 • е 1

2 х|Т $—1х $—/х

к 0 +е 1 (к3 • е 11 — к 4 • е 1 )

(14)

(15)

В формулах (14) и (15) значение вероятности Ру(0) следует вычислять по формуле

А

/у Лу

Ру (0) = 2 — (2 + 1) • е .

1 (16)

Модели (14) и (15) позволяют связать точность навигации, точность подсистемы радиолокационного наблюдения, размеры ВС, номинальное расстояние между ними и время обновления информации о координатах положения пары ВС с риском столкновения ВС

Ксх ($).

Покажем, как можно использовать разработанную математическую модель для обоснования минимумов продольного эшелонирования 8х при процедурном управлении и непрерывном радиолокационном контроле. Для этой цели воспользуемся моделью (14) продольного риска Ых ($). Будем считать, что искомые минимумы эшелонирования являются корнями уравнения

ТЫХ — Ксх ($) = 0.

Для обоих типов управления положим:

(17)

ТЬЯ = 2.5 х10

—9

1

л .час

1-1 т км |-| км |х| = 91---------------------; у = 37------

2.8

км

час час час

Р2 (0) = 0.39;

/х х /у х /г = 50 х 50 х15[ м];

Для обоснования величины 8х при процедурном методе УВД будем решать уравнение (17) по аргументу $ при следующих значениях параметра модели (14):

Т = 1; 5; 10; 20 [мин];

ШР = 1; 4; 10; 20 [п.ш.];

Параметр 1х в (10) связан со значением КЫР соотношением 1х = 0.618547хЯЫР[2]. Результаты вычислений корня 8х уравнения (17) сведены в табл. 1 и показаны на рис.2.

Таблица 1

Минимумы продольного процедурного эшелонирования при движении ВС по одному маршруту на одной высоте

Рис. 2. Зависимость минимумов продольного процедурного эшелонирования (Б,) при полетах по одному маршруту на одной высоте от периода обновления информации о взаимном положении ВС (Т) и

навигационного обеспечения полетов (КЫР)

Для обоснования величины 8Х при непрерывном радиолокационном контроле за положениями ВС на трассе будем решать уравнение (17) при следующих значениях параметров модели (14):

Т = 10; 20 [сек];

ss = 0.3; 0.6; 0.9; 1.2 [км];

КЫР = 1; 4; 10; 20 [мор.миль];

Параметр 1Х в (10) связан с КЫР и среднеквадратической погрешностью определения истинного положения ВС по локатору (&х) соотношением

і 1 їх = V? (°* + (0.874758• КЫР)2 • (1 - рЦх)))-

Для рх(г) = (1 +127.2884хг), где х [ч], результаты вычислений корня $Х уравнения (17) сведены в табл. 2 и показаны на рис.3.

Таблица 2

Минимумы продольного радиолокационного эшелонирования при движении ВС по

одному маршруту на одной высоте

5Х [км]

Тл = 10 [сек] Тл = 20 [сек]

Хх\КЫР [м.м] от [км] 1 4 10 20 1 4 10 20

0,3 6 6,5 9,5 14,5 6,5 9,5 15 28

0,6 11,5 12 13,5 18 11,5 13 18 29

0,9 17 17,5 18 22 17 17 21 31

1,2 22 22,5 23 26 22 22 25 33,5

Рис. 3. Зависимость минимумов продольного радиолокационного эшелонирования (5) от точности измерений координат ВС и навигационного обеспечения полетов (КЫР)

Резюме. Разработанные модели риска Nax позволяют либо обосновать минимум эшелонирования при движении по одному маршруту на одной высоте в конкретных условиях управления, либо предъявлять требования к системе с целью обеспечения приемлемого риска, то есть решать задачи управления безопасностью полетов ВС при УВД.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brooker P. Aircraft Separation Assurance: System Design. Journal of the Institute of Navigation, Vol.36, №1, 1983.

2. Руководство по методике планирования воздушного пространства для определения минимумов эшелонирования. ICAO Doc 9689, издание 1-ое.-Монреаль, 1998.

THE MODEL OF RISK ESTIMATING OF A/C ACCIDENT WHILE MOVING ON SAME ROUTE AT THE

SAME ALTITUDE

Gribkov I.M., Spryskov V.B., S^erbakov L.K.

In article is described the models of estimation to probability of collision A/C when moving on the same routes at the same altitude both in conditions of procedural management motion, and under unceasing radar checking. Developed models allow to solve the problems of management safety flights under ATC on criterion of risk of catastrophes of AC. In given production a problem dares for the first time.

Сведения об авторах

Грибков Игорь Михайлович, 1979 г.р., окончил МАИ (2003), аспирант МАИ, инженер первой категории Гос НИИ «Аэронавигация», автор более 7 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при УВД.

Спрысков Владимир Борисович, 1951 г.р., окончил МАИ (1975), доктор технических наук, главный научный сотрудник Гос НИИ «Аэронавигация», автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при УВД.

Щербаков Леонид Константинович, 1952 г.р., окончил КИИ ГА (1974), кандидат технических наук, главный инспектор ЦПДУ ГА «Аэротранс», автор более 80 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов при ОрВД.