Модель орбитальной системы мониторинга космической обстановки, построенной на круговых орбитах равного радиуса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.783

МОДЕЛЬ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА КОСМИЧЕСКОЙ ОБСТАНОВКИ, ПОСТРОЕННОЙ НА КРУГОВЫХ

ОРБИТАХ РАВНОГО РАДИУСА

И. А. Фадин, В.И. Горбулин, А. А. Матвеев

Предложена модель, позволяющая на основе исходных данных о параметрах движения космических аппаратов-измерителей определить пространственные и временные параметры зон двойного обзора орбитальной системы мониторинга космической обстановки в частном случае при движении всех космических аппаратов-измерителей по круговым орбитам равного радиуса и наклонения.

Ключевые слова: мониторинг космической обстановки, модель, динамический метод космической триангуляции.

Результатом активного использования околоземного космического пространства (ОКП) является его засорение объектами искусственного происхождения [1]. Для исключения возможности столкновения действующих космических аппаратов (КА) с космическим мусором применяется система контроля космического пространства (СККП) [2, 3]. Особенно велика концентрация космического мусора в области ОКП, соответствующей низким околоземным орбитам [4], что предъявляет высокие требования по оперативности контроля космической обстановки в указанной области [5]. В ряде работ [5-8] показано, что данные требования могут быть обеспечены путём комплексирования существующей СККП и орбитальной системы мониторинга космической обстановки (ОСМКО).

Результаты анализа научно-методического аппарата (НМА) в области обоснования способа функционирования и баллистической структуры перспективной ОСМКО [5-8] показывают, что совокупность полученных к настоящему времени результатов направлена на обоснование характеристик системы, функционирующей на основе метода космической триангуляции, когда определение параметров движения космического объекта (КО) происходит в зонах двойного обзора бортовых оптикоэлектронных приборов (БОЭП) КА-измерителей (КАИ). При этом предполагается формирование зон двойного обзора лишь между соседними КАИ, движущимися в одной орбитальной плоскости. Между тем, результаты моделирования показывают возможность повышения качества функционирования ОСМКО при создании зон двойного обзора между аппаратами, движущимися в разных плоскостях, т.е. при использовании динамического метода космической триангуляции [5].

В [5] выявлена научная проблема, состоящая в отсутствии НМА обоснования баллистической структуры, способа применения и характеристик ОСМКО на полном множестве альтернатив. Вместе с тем, мощность

290

множества всех вариантов построения системы равна мощности множества С (континуум) [5]. В связи с невозможностью аналитического выражения показателей эффективности функционирования ОСМКО через входные данные (что обусловлено сложностью расчёта этих показателей), задачу обоснования структуры перспективной ОСМКО предлагается решать с помощью методов математического моделирования. При этом задача поиска оптимального решения на множестве С имеет бесконечную временную сложность.

Для уменьшения временной сложности задачи принято непрерывное множество вариантов баллистического построения системы задавать в виде дискретного, ограничившись определённым набором входных параметров с конечным шагом изменения.

С учётом того, что основу метода космической триангуляции составляет определение координатных и некоординатных параметров КО при его нахождении в зонах двойного обзора БОЭП КАИ, орбиты последних целесообразно делать солнечно-синхронными с одинаковым радиусом, что позволит упростить решение проблемы засветки целевой аппаратуры со стороны Солнца.

Для обоснования конструктивного облика космического аппарата-измерителя необходимо определить параметры областей пространства, в пределах которых может вестись обнаружение КО, а именно размеры и положение этих областей относительно КАИ. Данные параметры определяются на основе характеристик БОЭА, а именно предельной дальности обнаружения КО ^сопр, и относительного положения КАИ, образующих зоны двойного обзора (рис. 1).

В

Рис. 1. К задаче определения условий функционирования БОЭП КАИ

На рис. 1 ^сопр - максимальная дальность обнаружения КО БОЭП, й - расстояние между двумя КАИ, атах - предельное значение угла между линией визирования КАИ - КАИ и КО, находящимся в зоне двойного обзора.

Определение угловой динамика линии визирования (ЛБ) позволит задать исходные данные для решения следующих задач: управления БОЭП;

обоснования количества и расположения БОЭП; обоснования параметров ориентации КА в целом. Таким образом, предлагаемая модель ОСМКО предназначена для определения временных параметров существования зон двойного обзора и угловых параметров линии визирования между двумя КАИ при образовании указанных зон в случае, когда все КАИ движутся по круговым орбитам одинакового наклонения и радиуса.

При решении научной задачи разработки модели ОСМКО на множестве круговых орбит одинакового радиуса в центральном поле Земли может быть использован методический подход, позволяющий получить аналитические зависимости для угловых параметров ориентации линии визирования КАИ - КАИ, движущихся в разных орбитальных плоскостях, при образовании зон двойного обзора. Суть обозначенного подхода заключается в использовании того факта, что линия визирования двух заданных КАИ всегда перемещается в пространстве параллельно некоторой плоскости - псевдоэкватору [9]. В представленной на рис. 2 системе координат (СК) вектор нормали к псевдоэкватору

Г Лт

П = |1,-1в^^1] , ^ 2 2 2)

где и02 - аргумент широты второго КА (точка В) момент времени ? = 0, когда первый КА (точка А) находился в точке С - точке пересечения орбит двух КА.

г

Рис. 2. К задаче определения положения псевдоэкватора: О - центр

Земли

292

Представленная СК (СК, соответствующая двум КАИ (1 и 2), движущимся по некомпланарным орбитам - СК12) введена следующим образом. Начало координат совпадает с центром Земли, ось ОХ направлена через точку пересечения орбит на восходящем витке, ось OZ - по вектору орбитального момента первого КА, OY дополняет систему координат до правой тройки.

В сферическом AEDC

ED = W2 -W1 = AW 12, где Q1 и Q2 - долготы восходящих узлов первого и второго КА соответственно, тогда

cosi12 = cos^cos^ + sinz1sinz2cosAQ12. (1)

Из соотношения для пяти элементов сферического треугольника с учётом i1 = i2

sin iicos AW12 - sin iicos i12 cos i12 - cos AW12i .

cosDC =-1-—-1-— =-—-12 tgi1. (2)

- cos ¿¡sin ¿!2 sin ¿!2

По теореме косинусов

cosEC = cosDCcosAWj2 - sinDCsinAQ^cosi^. (3)

Выбранная СК позволяет применить аппарат орбитальных карт [10] для определения временных параметров формирования зон двойного обзора. При этом время существования зоны двойного обзора между 7-ым и k-ым КАИ определяется как совокупность интервалов времени j на которых для каждого момента времени справедливо неравенство

djk(t) < 2Аопр, (4)

Ljk

tl tl - н/k' vjk

= и

/=1

где - расстояние между двумя КАИ; / - условный номер зоны двойного обзора в пределах рассматриваемой пары КАИ; - суммарное количество событий образования зон двойного обзора с участием рассматриваемых

КАИ; /н^ - время начала существования /-ой зоны двойного обзора между

7-ым и к-ым КАИ; - время окончания существования /-ой зоны двойного обзора между 7-ым и к-ым КАИ.

В сферическом ААВС в момент образования и прекращения существования зоны двойного обзора между рассматриваемыми КА (/д)

АВ = ^опр, (5)

г

где г - радиус орбиты КАИ. С другой стороны, по теореме косинусов

собАВ = СОБСАСОБСВ + втСАвтСВсов1. (6)

293

Принимая во внимание, что

CA = u 01 + wt,

CB = u + wt, уравнение (6) с учётом (5) преобразуется к виду

/ \ 2 cos сопр - (l + cos i k )cos(u°J - u)

cosfe- + Jk + 2wj )=-- 11 - J' U * ]. (7)

где u - значение аргумента широты j-го КАИ в СКд в начальный момент

времени; u j. - значение аргумента широты k-го КАИ в СКд в начальный

момент времени; ю - угловая скорость движения КАИ (одинакова для всех КАИ). Из (7)

-сопр

- (1 +cosijk)cos(u jk - u j)

2cos--(1 + cosijk)cos\u.k -j

ujj + u jk + 2wt дв =± arccos-r---+ 2P:

j Jk jk 1 - cosijk

2cos сопр - (1 + cos ijk )cos(u jk - ujk )

Jk Jk' jj Ok

__1/ J _J/ .1

1 • ik~ujk j =-^-j_j-, (8)

± arccos-r----ujj - ujk + 2pl

l = 1 - cos j

2w

где t ljk - времена образования и исчезновения зон двойного обзора между

КАИ, движущимися в разных орбитальных плоскостях.

Если КАИ движутся в одной орбитальной плоскости, то выражение (8) нельзя применять для определения временных интервалов существования зон двойного обзора между рассматриваемыми КАИ, т.к. в этом случае производится деление на ноль (cosj = 1). В этом случае при невозмущённом движении расстояние между двумя КА остаётся неизменным (на рис. 3 ZАОВ = |u0j - u0k| = const), и зона двойного обзора с участием рассматриваемых КАИ либо существует постоянно, если выполняется условие

. . ZАОВ

2r sin-2-< 2-сопр ,

либо никогда, если данное условие не выполняется.

Правая часть уравнения (7) может быть использована для анализа

временных параметров зон двойного обзора. Если выполняется условие

jk jk

2 cos сопр - (1 + cos ijk )cos(u jk - u0k )

1 - cos ijk

> 1

то зона двойного обзора между 7-ым и к-ым КАИ существует постоянно,

294

если

2 cos С0пр - (l + cos ijk )cos(u- U Jk )

1 - cos ijk

<-1.

то рассматриваемые КАИ никогда не образуют зону двойного обзора.

КАИ

А

КАИ

В

О

Рис. 3. К задаче определения расстояния между двумя КАИ, движущимися в одной орбитальной плоскости

При заданном значении l момент времени

jk jk ' 0 j Ok

0 Dсопр / . \ / 0j Ok)

2 cos-— - + cos i jk jcos U jk - u jk j

arccos

tl = н/k

1 - cos i 1

jk

ují - ujk + 2p

2w

соответствует началу образования зоны двойного обзора,

0 ^сопр / . \ / о 7 0к)

2с08-— - 11 + С08 I 7к /С08 и •, - и

г К 1к> \]к Д/ о 7 0к

arccos

tl = Kjk

1 - cos ijk

- "k - ujk + 2p

2w

окончанию.

С учётом допущения, что рассматриваемые КАИ движутся по круговым орбитам одинакового наклонения, формула (1) преобразуется к виду

cosijk = cos2i\ + sin2i1cosAQjk,

где

AQjk = Qk - Qj.

295

В СКд, соответствующей движению k-го КАИ относительно j-го, координаты j-го КАИ

j (t )=

А о i h

cosш ■{ + wt

lJk

sin ш 0J + wt 0

(9)

и j = ш 0 - Ё С jk,

где и 0 - аргумент широты j-го КАИ в АГЭСК в начальный момент времени. В соответствии с рис. 1 и уравнением (3)

ЁС jk = arccos(cosDC jk cosAQ jk + sinDC jk sinAQ jk cosijk).

Здесь

(cos ijk - cos AQ jk )tgii

DC jk

arccos-

sin ijk

ijk = arccos(cos2i\ + sin2i1cosAQjk). Координаты k-го КАИ в СКд

0k

j (t)

cos Ujk +wt

0k

sin \и jk +wt jcos ijk

V

0k

sin и + wt Isin i

0k

u 0k = uk

jk

0

ijk

(10)

DC jk.

Угловая ориентация линии визирования _/-го КАИ при образовании зоны двойного обзора с к-ым КАИ в СКд

с учётом условия (4). При этом

djk(t):

r отн rjk

(t)

(12)

Для определения динамики линии визирования вводится сферическая СК (ССКд), начало которой совпадает с точкой нахождения j-го КАИ на орбите, фундаментальная плоскость совпадает с плоскостью орбиты ^го КАИ, начало отсчёта азимутального угла - прямая, параллельная ОХ СКд - АХССК (рис. 4). На рис. 4 оси АХССК, АУССК и А7ССК получены параллельным переносом соответствующих осей СК из точки О в точку А. Положительное направление отсчёта азимутального угла - от АХССК к АУССК. Положительное направление отсчёта широты - в направлении А7ССК.

296

r

r

Рис. 4. Введение сферической системы координат

В соответствии с введённым понятием псевдоэкватора линия визирования с 7-го КАИ на к-ый всегда перпендикулярна

п

7к

и0к и0к и 7к и 7к 17к

1,-Хг, Хг сХе— 2 2 2

V

(координаты заданы в СКд). Так как ко-

ординаты данного вектора сохранятся при параллельном переносе СК7к в ССК7к, то траектория линии визирования в ССКд будет лежать в пределах большого круга, плоскость которого перпендикулярна п7к. Наклонение

указанной плоскости к плоскости ХОУ ССКд

ПЭ

г к = агссоБ-

0к

+ и7к + г7к

СХёТ

0к 0к 2 7 2 7 2 7

1 + ХБ2 + ХБ2 -^СХБ2

2 2 2

= агссоБ-

0к

и 7к г 7к

2 7 2

0к

= агссоБ-

0к

и 7к г 7к

Хё7 СХВТ

1 + Хв

1 + СХВ

агссоБ-

21к 2

0к

* и7к г7к Х2——соб— 2 2

1

и 0к 2 ]к

1 + о

2 г 7к 2

Б1П

2

и 0к

• 2 г]к 2 и]к Б1П + Хв

(13)

2

2

X

Угол между осью Х ССК;к и линией пересечения плоскости большого круга, в пределах которого движется линия визирования с ;-го КАИ на к-ый, (аналог долготы восходящего угла в кеплеровских элементах орбиты) определяется из соотношения

0к

и

tg

^ jk = агссоБ

]к_ 2

1 + tg

0к

и 2

2

агссоБ

и

Б1П-

0к 2

р 2

и

0к 2

(14)

Вторая точка диаметрально противоположна указанной.

При переходе из СК в ССК также сохраняются координаты вектора

г?™ (11). Широта ф;к и долгота ; линии визирования в ССК;к определятся

из соотношений

отн

Г

ф jk

соБ1 jk =■

агоБт

djk

г отн jkx

; ?+(готн ?

б1П 1

Г

отн

jk

г отн I2 г;ку )

(15)

(16)

(17)

где гох

отн

отн

г]ку , г]кг' - проекции ; на оси Х, У и Ъ ССК;к соответственно.

Начало и конец дуги, соответствующей динамике линии визирования КАИ; - КАИк в ССК;к за время существования зоны двойного обзора, определяется по соотношениям (15)-(17) на моменты времени ¿н;к и Причём, в соответствии с уравнениями (9)—(11), ориентация линии визирования будет повторяться с периодом, равным периоду обращения КАИ по орбите, а через половину оборота линия визирования развернётся на 180о.

При определении угловых параметров движения линии визирования между текущим ;-ым КАИ и всеми остальными по формулам (13), (14) используются различные ССК (ССК;к и ССК;р), образованные от соответствующих СК;к. Все эти системы повёрнуты друг относительно друга по оси ОЪ СК;к на угол

( Ё С

Л1кр = ЁС ;Р

<;к,

где в соответствии с выражениями (2), (3) и рис. 1

ЁС р = агссоБ^овбС РсобЛ^ Р - БтБС ^тЛ^ РСОБ/р),

БС ;р = агссоБ

СоБ /;р - соБ Л^ ;р

Б1П I

;р

(18)

(19)

(20)

Динамику линии визирования у-го КАИ на другие КАИ удобнее рассматривать в одной системе отсчёта - ССК79, где q - номер любого КАИ, движущегося в той же орбитальной плоскости, что и у-ый КАИ. В этом случае ось ОХ СК^ направлена через восходящий узел орбиты у-го КАИ (ЕСjq = 0, бСjq = 0). Переход из всех остальных ССКук в ССК^

осуществляется в соответствии с соотношениями (18)-(20). Данный переход эквивалентен повороту плоскости, в пределах которой движется линия

визирования, по долготе на угол .

Структурная схема разработанной модели представлена на рис. 5. Входными данными для модели являются: радиус орбит КАИ - г; наклонения орбит КАИ - г;

максимальная дальность обнаружения КО БОЭП - Лсопр; значения аргументов широт и долгот восходящих узлов каждого КАИ в начальный момент времени Я = {и0у,^у,7 = 1../}, где 3 - количество КАИ;

интервал моделирования;

шаг моделирования.

Выходными данными модели являются:

временные интервалы существования зон двойного обзора для каждой пары КАИ - Тук;

ориентация линии визирования у-го КАИ на каждый из тех КАИ, с которыми он образует зону двойного обзора.

Проверка разработанной модели проводилась при исходных данных, представленных в таблице.

Результаты моделирования для наглядности представлены в графическом виде. На рис. 6 представлены временные интервалы существования некоторых зон двойного обзора с участием первого КАИ. По оси абсцисс отложено время от начала моделирования, по оси ординат - номер другого КА, образующего вместе с первым зону двойного обзора.

На рис. 7 представлены параметры ориентации линии визирования с первого КАИ на другие при образовании зон двойного обзора.

Разработанная модель может быть использована при обосновании баллистической структуры и тактико-технических требований к перспективной системе ОСМКО, а также для определения конструктивного облика КАИ и программы управления бортовой аппаратурой в части ориентации БОЭП. При этом в качестве оптимизируемых параметров могут быть использованы время существования и размеры зон двойного обзора, определяемые косвенно в соответствии с уравнением (12).

Входные данные

r; Dconp, i, R _ {u0j,Wj, j _ 1..J} ^ -

Координаты линии визированияу-го КАИ на к-ый в СКук

Вектор нормали к плоскости псевдоэкватора для линии визирования междуу-ым и

к-ым КАИ в СК;к и ССКук

njk =

( u0k и 0k 1,-tg -j-, ctg j

Положение линии визирования между у-ым и к-ым КАИ в ССКук

. иД гук р и°к готн

Хй^— СОБ — сл ж 7к „ • 7кг

гП,Э = агссоБ , 2 2 , = 2 - 7, Фк = аГС81П77'

■ 2 г7к , . 2 и7к Б1П + Хг ——

22 готн готн

cos Ik _ и jx< 2 , sin Ijk _ ■ rjky

Выходные данные

Время начала и окончания существования зоны двойного обзора между у-ым и

к-ым КАИ

0 Dconp . . \ 0 j 0k ^

2 COS-— - 1 + COS i ;k cos и -, - и -,

r jk jk jk 0 j 0k

- arccos-'--и .j - u + 2pl

I __1 - cos ijk_jk jk

tj 2w

2 cos ^^ _ (i + cos .jk )cos (u «k - u j ) o ok arccos----и - u Л + 2nl

I __1 - cos ijk_jk jk

tj _ 2w

Ориентация линии визирования у-го КАИ на к-ый в ССК^

Ф 7 = Ф 7к, Ь Г = Ь к + АХ kq, гкП7 = г ПЭ, «7 = " * + АХ к

Рис. 5. Структура модели ОСМКО

300

Исходные данные для проведения моделирования

Наименование параметра Значение

Радиус круговой орбиты, r, км 7021

Наклонение плоскости орбиты, i, 0 99

Долготы восходящих узлов плоскостей орбит КАИ, о

Qi - Qg 0

Q9 — Qi6 45

Qi7 — Q24 90

Q25 — Q32 135

Аргумент широты КАИ в начальный момент времени, о

U01, U017 0

U02, U018 45

U03, U019 90

U04, U020 135

U05, U021 180

U06, U022 225

U07, U023 270

U08, U024 315

U09, U025 22.5

U010, U026 67.5

U011, U027 112.5

U012, U028 157.5

U013, U029 202.5

U014, U030 247.5

U015, U031 292.5

U016, U032 337.5

Разность значений аргументов широты между КАИ из соседних орбитальных плоскостей, о 22.5

Разность долгот восходящих узлов соседних орбитальных плоскостей, о 45

Максимальная дальность обнаружения КО БОЭП, Лсопр, км 3000

Результаты моделирования для наглядности представлены в графическом виде. На рис. 6 представлены временные интервалы существования некоторых зон двойного обзора с участием первого КАИ. По оси абсцисс отложено время от начала моделирования, по оси ординат - номер другого КА, образующего вместе с первым зону двойного обзора.

На рис. 7 представлены параметры ориентации линии визирования с первого КАИ на другие при образовании зон двойного обзора.

Разработанная модель может быть использована при обосновании баллистической структуры и тактико-технических требований к перспективной системе ОСМКО, а также для определения конструктивного облика

КАИ и программы управления бортовой аппаратурой в части ориентации БОЭП. При этом в качестве оптимизируемых параметров могут быть использованы время существования и размеры зон двойного обзора, определяемые косвенно в соответствии с уравнением (12).

к _

О1-;-;-;-;-

О МО3 4* 10" б*103 8я103 1к104

t, С

Рис. 6. Временные интервалы существования зон двойного обзора

с участием первого КАИ

Рис. 7. Параметры ориентации линии визирования

Параметры ориентации линии визирования могут быть использованы при решении задачи обоснования количества и расположения БОЭП, а также параметров углового движения КАИ. При этом последняя задача может ставиться в виде нахождения угловой скорости вращения КАИ, при которой дуги, соответствующие угловой ориентации линии визирования (рис. 7), имеют наименьший размер.

Список литературы

1. Orbital Debris Quarterly News. NASA, Vol. 21, I. 1, Feb. 2017.

P. 12.

2. СККП России: вчера, сегодня, завтра. [Электронный ресурс]. Режим доступа URL: www.army.lv/ru/SKKP-Rossii-vchera-segonya-zavtra. /2615/2489 (дата обращения 07.02.2018).

3. United States Space Surveillance Network. [Электронный ресурс]. Режим доступа URL: https://en.wikipedia.org/wiki/United States Space Surveliance Network (дата обращения: 07.02.2018).

4. National Aeronautics and Space Administration. [Электронный ресурс]. Режим доступа URL: https://www.nasa.gov/news/debris faq.html (дата обращения: 07.02.2018).

5. Фадин И.А. Постановка задачи обоснования баллистической структуры орбитальной системы контроля космического пространства / И.А. Фадин // Известия Тульского Государственного Университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2018. Вып. 1. С 230-239.

6. Половников В.И., Скутницкий В.М. Теоретические основы проектирования орбитальных систем космической триангуляции. СПб.: ВКА им. А.Ф.Можайского, 2012. 175 с.

7. Половников В.И., Лобков И.А. Орбитальная система контроля космического пространства. Современные проблемы механики и её преподавание в вузе: труды Всероссийской научно-методической конференции. В 2 т. Т.2 / ред. кол.: Ю.В. Кулешов, Л.К. Горшков, В.В. Козлов и др. -СПб.: ВКА им. А.Ф.Можайского, 2015. С. 163-167.

8. Койнаш Б.М. Определение положений космических объектов при наблюдениях с подвижного измерителя на фоне звездного неба: со-общ. № 129. ИПА РАН. 1999. 38 с.

9. Горбулин В.И. Оптимизация орбитального построения глобальных космических систем наблюдения. М.: МО РФ, 2001.

10. Горбулин В.И., Зозуля Л.П., Панченко В.В., Чернявский В.А. Использование орбитальных карт для разработки метода расчёта показателей качества спутниковых систем при обзоре широтных поясов Земли // Информация и космос. 2009. № 4. С. 66-73.

Фадин Илья Алексеевич, канд. техн. наук, начальник лаборатории - старший научный сотрудник, 4ilyala,gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Матвеев Алексей Анатольевич, канд. воен. наук, старший научный сотрудник, sk stifamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,

Гобулин Владимир Иванович, д-р. техн. наук, профессор, v-gorbulinamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского

303

SPECIAL OPERATION MODEL OF SPACE AWARENESS ORBITAL SYSTEM I.A. Fadin, A.A. Matveyev, V.I. Gorbulin

The model allows determining space and time parameters of double service zones of space awareness system in special case when all measuring spacecraft move circle orbit of the same radius.

Key words: space awareness, model, space triangulation dynamic method.

Fadin Ilya Alekseyevich, candidate of technical sciences, 4ilyal@ gmail. com, Russia, Sankt-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Matveyev Alekhsey Anatolyevich, candidate of military sciences, sk stifa mail. ru, Russia, Sankt-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Gorbulin Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, v-gorbulina mail. ru, Russia, Sankt-Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy