Модель экономических ситуаций с дискретными платежами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

7

МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ С ДИСКРЕТНЫМИ ПЛАТЕЖАМИ

ЗИНЧЕНКО А.Б.,

кандидат физико-математических наук, доцент,, Южный федеральный университет, е-mail: [email protected];

МЕРМЕЛЬШТЕЙН Г.Г.,

кандидат технических наук, доцент,, Южный федеральный университет, е-mail: [email protected]

Рассматривается дискретная кооперативная игра, т.е. математическая модель экономических ситуаций, участники которых, объединяясь, могут получить дополнительную прибыль и векторы распределения этой прибыли — целочисленные. Описаны свойства решений Неймана-Моргенштерна, а также соотношения между ними и ядрами игры.

Ключевые слова: кооперативная ТП-игра; дискретная кооперативная игра; С-ядро; D-ядро; решение Неймана-Моргенштерна.

We consider a discrete cooperative game, i.e. the mathematical model of situation in which the participants can obtain additional profit by cooperation and the payoff vectors must be integer. The properties of von Neumann-Morgenstern stable sets as well as the relations between them and core-liked solutions are described.

Keywords: cooperative TU-game; discrete cooperative game; core; D-core; von Neumann-Morgenstern stable set.

Коды классификатора JEL: C71.

Кооперативные игры моделируют ситуации, участники которых, объединяясь и действуя совместно, могут получить дополнительную прибыль. Цель игры — определение наиболее выгодных коалиций (объединений) и такого распределения прибыли между партнерами, чтобы сформированные коалиции были устойчивыми, т.е. при дележе имеющейся суммы внутри коалиции необходимо учитывать влияние других возможных коалиций. Если кооперация сокращает расходы, то модель аналогична игре дележа прибыли. Кооперативные игры используются при управлении организационными системами для согласования интересов субъектов управления и центра с учетом коалиционного взаимодействия между ними.

Объединения возникают при формировании картелей, холдингов, политических альянсов, при инвестировании, совместном лицензировании патентов. Эти ситуации определяют подклассы кооперативных игр: картель-игры (cartel formation games); холдинговые игры (holding games); инвестиционные игры (investments games); рыночные игры (market games); производственные игры (production games); игры голосования (voting games); игры банкротства (bankruptcy games); инфраструктурные игры (infrastructure cost games) и многие другие. Существуют кооперативные игры, обобщающие задачи исследования операций: игры на сетях (network flow games); игры, связанные с упаковкой (packing games); игры составления расписаний (scheduling games); игры, соответствующие задаче о назначениях (permutation games). Кооперативные модели возникают при совместном использовании природных ресурсов (см., например, [7]). В [5] кооперативная игра применялась для анализа влияния структуры сети газопровода на "распределение власти" в цепочке поставщиков российского газа, а также сравнения возможных вариантов реконструкции и расширения сети.

1. Основные понятия. Классическая кооперативная игра имеет вид GT = (N, v), где N = {1,..., n} - множество участников моделируемой ситуации (игроков; экономических агентов; лиц, принимающих решение), v : 2NR — характеристическая функция. Значение v(S) интерпретируется как максимальная полезность, достижимая для коалиции S. Допускается перераспределение полезности между игроками (побочные платежи). Платежи осуществляются в виде денежных выплат или как передача материальных ценностей. Предполагается, что индивидуальные полезности измеримы по единой шкале. Игра GT называется также игрой с трансферабельной полезностью или ТП-игрой.

Многие практические ситуации порождают кооперативные игры, удовлетворяющие условию супераддитивности, означающему, что при объединении двух непересекающихся коалиций возможности образованного союза не меньше суммы возможностей этих коалиций. В супераддитивных и некоторых других играх выгодно объединение

© А.Б. Зинченко, Г.Г. Мермельштейн, 2011

TERRA ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

всех участников. Исходом игры GTявляется вектор x = xn), где х - платеж игроку i. Если S - непустая коалиция

и x - исход игры, то x(S) = - суммарный выигрыш участников коалиции S. Исход х, удовлетворяющий условиям

индивидуальной рациональности xt > v(i), i е N, и эффективности x(N) = v(N), называется дележом. Дележ содержательно понимается как договор между партнерами о таком распределении v(N), чтобы доля каждого была не меньше дохода, который он может получить самостоятельно.

Исход кооперативной игры, реализующий некоторый принцип "справедливого" распределения полезности, называется решением. Понятие решения связано с идеей устойчивости - отсутствием у партнеров мотивов или возможностей нарушить соглашение. При анализе кооперативной модели возникают следующие проблемы:

1. Каждая коалиция стремится увеличить свою долю распределяемой полезности, т.е. задача является многоцелевой.

2. Количество непустых коалиций, равное 2N - 1, намного больше числа участников игры (например, при п = 10 существует 1023 коалиций, при п = 20 получаем 1048575 коалиций), т.е. задача имеет большую размерность.

3. Существует несколько принципов "справедливого" распределения благ, поэтому в кооперативной теории нет единой концепции решения.

4. Для некоторых решений нет эффективных вычислительных алгоритмов.

Исход кооперативной игры возникает как результат соглашений агентов, поэтому, в отличие от бескоалиционных игр, при нахождении решения кооперативной модели сравниваются не ситуации, а дележи. На множестве дележей вводится отношение доминирования. Дележ x доминирует дележ у по непустой коалиции S (обозначается x ^ SУ ), если x. > у. , i е S, и x(S) < v(S). Первое условие означает, что распределение прибыли x предпочтительнее у для всех участников коалиции S. Второе условие отражает реализуемость распределения x коалицией S. Дележ x доминирует дележ у, если x >■ s У для некоторой коалиции S с N.

Множество D(GT) всех недоминируемых дележей игры GTназывается D-ядром (dominance core). С-ядром (core) игры GT называется подмножество дележей C(GT), для которых суммарный выигрыш участников каждой коалиции S не меньше v(S). Любой дележ x е C(GT) устойчив в том смысле, что ни одна из коалиций не может без помощи остальных игроков получить больше, чем x(S). Решение, предложенное Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном ( NM-решение), соответствует представлению о "норме поведения" экономических субъектов [3]. NM-решение NM(GT) игры GT определяется условиями:

• из x, у е NM(GT) следует, что x не доминирует у и у не доминирует x, т.е. для любой коалиции S ни один из дележей множества NM(GT) не является предпочтительней другого (внутренняя устойчивость);

• для каждого x t NM(GT) существует дележ у е NM(GT), который доминирует x по некоторой коалиции S (внешняя устойчивость).

2. Дискретная модель. Основные определения теории кооперативных игр (дележ, доминирование, решение) опираются на понятие полезности. Предположение о трансферабельности является упрощающим, т.к. существуют экономические ситуации, в которых полезность состоит из неделимых единиц. Например, количества товаров могут выражаться лишь целыми числами. Если вы торгуете на товарном рынке и единица равна 1 контракту или работаете на фондовом рынке и единица равна 1 акции, то торговать дробными единицами невозможно. Если обанкротившееся предприятие прекратило производство дефицитной продукции неделимого типа и кредиторы предпочитают получить готовую продукцию (которой не хватает на всех), а не денежную компенсацию, то классическая игра банкротства становится дискретной.

В [3] кооперативные игры с целочисленными платежами были названы играми с ограниченной трансфе-рабельностью. На примере рынка с одним продавцом, двумя покупателями и одной неделимой единицей товара Дж.фон Нейман и О.Моргенштерн проиллюстрировали, как влияет условие целочисленности дележей на решение игры, а также отметили, что модификация понятия полезности делает кооперативную теорию более реалистической и "позволит построить более адекватную математическую модель для таких явлений как торговое соглашение" [3, с.608], но для этого "придется преодолеть определенные трудности". Игры с целочисленными платежами исследовались в [4] и других работах этого же автора, а также в [1-2], [8]. Термин "дискретная игра" был введен в [4].

Кооперативная игра с множеством агентов N, целочисленной характеристической функцией vZ: 2N ^Z и целочисленными платежами называется дискретной (обозначается GZ). Соответствующую классическую игру (N, vZ) обозначим через GTZ. Дискретная игра сводится к игре с нетрансферабельной полезностью (НТП-игре) (N, VZ) , где VZ(S) - допустимое множество для коалиции 0 ф S с N. Однако результаты, полученные для НТП-игр, предполагают специальную структуру мн ожеств VZ(S). В частности, если x е RSl- допустимое распределение прибыли для коалиции S и все компонент вектора у е RSl не больше соответствующих компонент вектора x, то у должен принадлежать VZ(S). Для дискретной игры это условие не выполняется, следовательно, ее нельзя решить методами, разработанными для НТП-игр. Получить решение дискретной игры GZ округлением решений соответствующей классической игры GTZ в большинстве случаев также невозможно. Вариантов округления бывает много, кроме того, при округлении исхода игры могут измениться его свойства.

Несмотря на то, что ТП-игры называют играми с побочными платежами, а НТП-игры называют играми без побочных платежей, эти предположения логически независимы. Трансферабельность есть свойство функций полезности экономических субъектов, а побочные платежи - часть правил игры. Присутствие в экономической ситуации

одного из предположений делают модель проще, чем общая НТП-игра. В связи с этим, в [1-2], [8] дискретная игра О2 исследовалась без перехода к НТП-игре, а с помощью соответствующей классической игры ОТ2 .

Понятие С-ядра дискретной игры определено в литературе не однозначно. В [4] С-ядром названо множество всех недоминируемых дележей. Но эти множества, как правило, не совпадают [1]. Множеством дележей 1(О2) и С-ядром С(О2) дискретной игры назовем пересечения соответствующих множеств классической игры ОТ2 и целочисленной решетки. Отказ от трансферабельности полезности, не меняет понятие доминирования и определения решений, основанных на доминировании.

Пример 1. Классическая кооперативная игра ОТ2 = N у2) распределения прибыли между тремя экономическими агентами, где

N = {1, 2, 3}, у2 (1, 3) = у2 (2, 3) = 1, у2 (1, 2) = у£Ы) = 2, у2 (I) = 0, I е Л, имеет С-ядро, состоящее из единственного дележа С(О2) = {Xе}, Xе = (1, 1, 0), т.е. только Xе удовлетворяет минимальным требованиям всех коалиций. Игра ОТ2 супераддитивна, поэтому множество недоминируемых дележей (-О-ядро) совпадает с С-ядром. Так как Xе - целочисленный вектор, то С-ядра классической и дискретной игр совпадают С(О2) = С(О12). Однако О-ядро дискретной игры кроме Xе включает еще четыре дележа О(О2) = С(О2) и {(2, 0, 0) (0, 2, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)}.

Прежде чем определить обоснованное распределение прибыли, получаемой в результате кооперации, экономическим агентам нужно выбрать концепцию решения, наиболее подходящую для их ситуации. Например, если руководствоваться дотационным принципом, то следует выбрать решение, не удовлетворяющее аксиоме нулевого игрока. При выборе типа решения важно знать существует ли оно для кооперативной игры, моделирующей рассматриваемую проблему. Условия существования С-ядра (и практически всегда совпадающего с ним О-ядра) классической игры записываются в виде линейной системы. При переходе к игре с целочисленными платежами выполнение этих условий необходимо, но уже не достаточно для существования ядер. Достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры получены в [1], [8].

3. ЛМ-решения дискретной модели. Классическая игра может иметь бесконечно много NM-решений и каждое их них - содержать бесконечное множество дележей. Это свойство ограничивает применимость ЛМ-решений к практическим задачам. Из конечности множества дележей дискретной игры непосредственно следует, что количество ее ЛМ-решений и количество дележей в каждом ЛМ-решении конечно. Исследователи долгое время не могли ни доказать существование ЛМ-решения в любой ТП-игре, ни построить игру, не имеющую ЛМ-решения. Первая игра без ЛМ-решений была опубликована в [6]. Таким образом, ЛМ-решение ТП-игры не существует в исключительных случаях. Приведенный ниже пример показывает, что даже в супераддитивной дискретной игре трех лиц может не быть ЛМ-решения.

Введем ориентированный граф Q = (1(О2), Е), вершины которого соответствуют дележам дискретной игры. Дуга (х, у) существует в графе Q тогда и только тогда, когда х доминирует у. Орграф Q назовем графом доминирования. ЛМ-решения дискретной игры О2 взаимно однозначно соответствуют ядрам графа, а О-ядро игры - множеству вершин, имеющих нулевую полустепень захода. Несмотря на специальную структуру графа Q, у него может не быть ядра.

Пример 2. Рассмотрим дискретную игру, в которой Л = {1, 2, 3}, у2(Я) = 0, если | < 1, у^Я) = 3 в остальных случаях. У соответствующей классической игры существует ЛМ-решение

{(3/2, 3/2, 0) (3/2, 0, 3/2) (0, 3/2, 3/2)}, состоящее из трех дележей. Граф Q приведен на рисунке 1. Только один дележ (1, 1, 1), являющийся равномерным распределения дохода, не доминируется другими дележами - это О-ядро игры О . Граф Q содержит два цикла нечетной длины, он не имеет ядра, а данная дискретная игра не имеет ни одного ЛМ-решения.

Рис. 1. Граф доминирования дележей для примера 2.

ЛМ -решение классической игры N у2), состоящее только из целочисленных дележей, очевидно, является ЛМ-решением соответствующей дискретной игры. Если У2(Я) е {0, 1}, Я С Л, у2(Л) = 1, то ЛМ-решение дискретной игры

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3

единственно и совпадает с множеством всех дележей. Условия существования ЛМ-решений в произвольной дискретной игре можно получить из условий существования ядер графа. Например, если в графе 2:

❖ все контуры - нечетной длины, то дискретная игра или не имеет ЛМ-решений или ЛМ-решение единственное:

❖ все контуры - четной длины, то дискретная игра имеет одно или несколько ЛМ-решений;

❖ нет контуров, то дискретная игра имеет единственное ЛМ-решение.

Была замечена связь между монополистическими экономическими ситуациями и ацикличностью доминирования дележей классической кооперативной игры [3]. Такие игры имеют особенно многочисленные семейства ЛМ -решений. Согласно последнему из перечисленных выше условий, у соответствующих дискретных игр существует только одно ЛМ-решение.

Дележи С-ядра классической игры можно найти методами линейного программирования. ЛП-программы решают задачи с десятками тысяч переменных и ограничений. Для выделения С-ядра дискретной игры применимы комбинаторные методы, но решение систем с целочисленными переменными - сложная задача. Таким образом, требование целочисленности платежей затрудняет нахождение С-ядра. Для вычисления ЛМ-решений классической кооперативной игры общего вида алгоритмы не известны, в то время как ЛМ-решения любой дискретной игры можно найти методами поиска ядер графа.

Пример 3. Дана дискретная игра трех лиц с характеристической функцией vZ(i) = 0, I е Л, vjs1, 2) = 2, vZ(1, 3) --^2, 3) - vZ(Л) - 3. Граф 2 приведен на рисунке 2. Множество недоминируемых дележей 0(0^ = {х1, х2, х3}, где х1 = (1, 0, 2), х2 = (0, 1, 2) х3 = (1, 1, 1) не является ядром графа 2, т. к. не доминирует х4 = (2, 1, 0) и х5 = (1, 2, 0). Единственное ядро графа, а следовательно и ЛМ-решение дискретной игры, имеет вид 0(0^ и х4 и х5.

Следующий пример показывает, что в отличие от С-ядра и других "ядерных" решений игры , определенных линейными системами, пересечение ЛМ-решения классической игры и целочисленной решетки может не быть ЛМ-решением дискретной игры.

Рис. 2. Граф доминирования дележей для примера 3.

Пример 4. Дана дискретная игра 02, в которой Л = {1, 2, 3}, vZ(S) = 0, если |5| = 1, и vZ(S) = 1, если |5| > 1. Она имеет единственное ЛМ-решение ЛМ(02) = {(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)}. Классическая игра (Ы, vZ)) имеет следующие ЛМ -решения:

где с е [0, 1/2). Множество целочисленных точек каждого из этих решений не совпадает с ЛМ(02).

Представляет интерес соотношения между ЛМ-решениями и ядрами игры. Если в дискретной игре существуют С-ядро (О-ядро) и ЛМ-решения, то С-ядро (О-ядро) содержится в любом ЛМ-решении. Если О-ядро дискретной игры совпадает с ЛМ-решением, то ЛМ-решение единственно. Оба утверждения доказываются как для классической игры.

Если С-ядро игры является ЛМ-решением, то получаем внешне и внутренне устойчивое подмножество дележей, удовлетворяющее принципу С-ядра. Поэтому важной и до сих пор нерешенной для классической игры является проблема: каким условиям должна удовлетворять характеристическая функция, чтобы С-ядро совпадало с ЛМ-решением. Используя результаты из [1], можно доказать что С-ядро дискретной игры является ЛМ-решением тогда и только тогда, когда оно совпадает с множеством всех дележей 1(02).

ЛИТЕРАТУРА

1. ЗинченкоА.Б. Свойства ядер дискретной кооперативной игры. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2009. № 2.

2. Зинченко А.Б., Мермельштейн Г.Г. Сбалансированные и двойственно сбалансированные дискретные кооперативные игры // Экономический вестник Ростовского государственного университета. 2007. Т. 5. № 1.

3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

4. Azamkhuzhaev M.Kh. Nonemptiness conditions for cores of discrete cooperative games // Computational Mathematics and Modeling. 1991. Vol. 2. №. 4.

5. Hubert F., Ikonnikova S. Investment Options and Bargaining Power the Eurasian Supply Chain for Natural Gas // The Journal of Industrial Economics. 2011. Vol. 59. №. 1.

6. Lucas W.F. A game with no solution // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 74.

7. Parrachino I., Dinar A., Patrone F. Cooperative game theory and its application to natural, environmental and water resource issues: 3. application to water resources. Word Bank Policy Research Working Paper 4074. Washington, 2006.

8. Zinchenko A.B., Oganjan L.S., Mermelshtejn G.G. Cooperative Side Payments Games with Restricted Transferability // Collected papers of the Third International Conference Game Theory and Management. St. Petersburg. 2010. Vol. III.

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 3 Часть 3