CC BY
2
УДК 37.031.17 DOI: 10.21122/2309-4923-2024-4-21-27
НАПРАСНИКОВ В.В., БОРОДУЛЯ А.В., ПОЛОЗКОВ Ю.В., КУНКЕВИЧ Д.П., ЖУЙ ВАН ЦЗЫ
МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЛАСТИНЧАТЫХ ЯЧЕИСТЫХ ОБЪЕКТОВ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Белорусский национальный технический университет г. Минск, Республика Беларусь
Описывается используемый метод расчета собственных частот и форм колебаний. Представлены фрагменты кода для построения для некоторых типов заполнителя. Приводятся полученные частоты и формы собственных колебаний для трех видов ячеек.
Ключевые слова: ячеистые объекты, распределение энергии при собственных колебаниях
Введение
Одной из важнейших задач проектирования современных конструкций является снижение их материалоемкости [1-7]. Избыточный вес конструкции приводит, например для летательных аппаратов, к существенному завышению расхода топлива (заряда батарей при использовании электрической тяги), а значит снижает такие важные эксплуатационные характеристики как дальность полета и маневренность.
С другой стороны, конструкция летательного аппарата должна обладать необходимой жесткостью и прочностью, обеспечивающими целостность его конструкции.
Расчет собственных частот и форм колебаний, или модальный анализ, предназначен для предварительной оценки динамического поведения механической системы при переменных нагрузках. В ходе модального анализа можно определить собственные частоты и формы колебаний системы, а также некоторые другие параметры, характеризующие динамические свойства конструкции.
Материалы, представленные в статье, описывают варианты решения подобных задач на основе конечно-элементных моделей для трех вариантов заполнителя одной из конструкций.
Методика анализа собственных форм колебаний
Уравнение динамического равновесия (1) с начальными условиями (2) в конечно-элементной формулировке выглядит следующим образом:
MÜ + CÜ + KU = P(t),
(1) (2)
Колебания называются собственными, если происходят при отсутствии внешней нагрузки. Если при этом затухание в системе отсутствует (С=0),
то эти колебания продолжаются бесконечно долго. Уравнения (1) принимают вид (3):
(3)
ми + ки = о.
Конечно, в действительности такая ситуация невозможна, однако теоретическое ее рассмотрение позволяет выявить некоторые особенные характеристики конструкции, несущие в себе скрытую информацию об этой конструкции, использование которой позволяет значительно упростить решение многих задач.
л Будем искать решение системы (3) в виде и = ¿/51п (о)£),где и~ неизменный во времени вектор.
Так как V = и(-ь>2 81п(ш0) подставим в (3), получим (Я" - С02М)У 5£п(и»0 = о.
Поскольку бш(со/) Ф 0, не равен нулю тождественно, значит (к - ш2М)и = 0.
Для того, чтобы существовало нетривиальное решение этой однородной системы линейных алгебраических уравнений, необходимо, чтобы:
^(К-ю2 М) = 0, (4)
уравнение (4) называют частотным уравнением.
Можно показать, что для вещественных положительно определенных матриц (какими и являются К и М) уравнение (4) имеет п различных положительных корней: ю12, ю22, ..., юп2, а числа ю1, ю2, ..., юп будут называться собственными частотами исходной конструкции. Упорядоченные по возрастанию со1 < со2< ... < <ю„, они образуют вектор собственных частот с5Т = ■■■^п)-
Внешние силовые факторы и нелинейности в ходе модального анализа не учитываем.
После того, как из частотного уравнения (4) определены соответствующие частоты:
Si)
>Т
= (й)л0)7 ...6V),
уравнения (К -ü)2M)-Ü = 0 выглядят так:где /гО). f/n = оу
г
(5)
(6) (7)
где £00 = к -ы„2М.
» -11 ■
(14)
То есть каждое из (7) получается последовательной подстановкой в (6) очередной собственной частоты.
Как видно, матрица Ё(п) своя для каждого юп и для нее (6) удовлетворяются тождественно, то есть существует бесконечное множество векторов ип, являющихся решением (6). Это означает, что амплитуды собственных колебаний получить невозможно. Однако форму колебаний получить можно. Для этого достаточно зафиксировать равной какому-то числу одну из компонент вектора т* , а остальные
71 /пч
компоненты получатся из решения системы (7) вычисленными по отношению к фиксированной.
Выберем, например, первую компоненту ¡)п равной 1: / 1 \
Е/„ =
(9)
Здесь N - общее количество степеней свободы; п - номер собственной частоты, для которой будем определять собственный вектор.
Тогда система (7) перепишется в следующем
виде:
(10)
Обозначим
тогда
(11)
(12)
(13)
Матрица Ё00(п) имеет определитель отличный от нуля, тогда систему (10) можно разрешить относительно и„
Условие (12) является хорошим контролем точности проведенных вычислений.
Амплитуды перемещений полученные из (14), вместе с единичной первой компонентой образуют собственный вектор, соответствующий п-той собственной частоте.
Для удобства собственные векторы представляются в безразмерной форме. Для этого выбирается обычно максимальная из компонент и-вектора и на нее делятся все компоненты собственного вектора
Здесь и. = тах|1, и2п, ..., и^ |, фп - вектор формы колебаний по п-ому тону колебаний.
Аналогично вычисляются и другие собственные формы.
Матрица, составленная из собственных форм колебаний, представляет собой матрицу собственных форм колебаний.
Второй индекс указывает на номер собственной частоты, а первый - на компоненту в векторе.
Заметим, что вычисленные частоты и формы используются и при решении задачи динамики методом разложения по собственным формам колебания. В этом методе на основе определения собственных частот и собственных форм колебаний вводятся новые координаты взамен геометрических, для которых уравнения (1) преобразуются так, что система становится несвязанной, то есть каждое уравнение такой несвязанной (расщепляющейся) системы можно будет решать отдельно от остальных.
Пример построения модели одной из конструкций с ячеистым заполнителем на встроенном языке в среде ANSYS
Исходный объект представляет кольцо над границами которого имеются две стенки заданной высоты. Верхние границы стенок подвержены сжимающим нагрузкам.
На рисунке 1 приведена часть кода для создания геометрической составляющей модели.
PREP7
Setka_kol=10 !Кол-бо линий сетхн R=2
Teta=12 'Угол сектора б градусах
R=2
Rb=10
Ri=6
Dlina=10
del=Dlma 10
delR=5*R'10
delR_FINISH=(DIma-5 *R)/20 nSEC=l
Pi=3.141592 'Число секции
al=Pi 10
! Определяем постоянные параметры для: LENGTH = 100.0 ! дтнны стороны квадрата THICKNESS = 0.1*R ! толщины пластаны ! значения длины вектора сосредоточенной силы FORCE = 100.0
DENSITY = 8.0е-6 ! плотности материала Num=2000
! Определяем постоянные параметры для: LENGTH =100.0 ! дтнны стороны КБадрата YOUNG = 210000.0 ! модуля Юнга материала THICKNESS = 0.1 *R! толщины пластины ! значения дтнны вектора сосредоточенной силы FORCE = 100.0
DENSITY = 8.0е-б ! плотности материала
! Задаем толщину равною h2 для стенок OUT h2=THtCKNESS '
! Задаем толщину равную h5 для стенок IN
h3=THICKNESS^
'PREP7
Хс=0 $ Yc=0 S Zc=0 !Центр окружности К 1, Хс: Yc, Zc
¡переходим в цитицдрическую CK CS YS Л Setka_al£a=10 $ Setka_RAD=i RAD={RB-Ri) Setka_RÄD S alfa=360. Setka_alfe K_Mashtab_RB=1.2 $ KJviashtab_Ri=0.8 ! Переменной KMax присвоить max номер точки *GET; KMax Кр:: NUM, МАХ
*DO, j. l.SetLa_alfa !Цикл по радиусам
NUMCMP,ÄLL Ах=0 S Ау=0 $ Bx=RB*K_\iailitab_RB $ By=alfa*(j-1) Xbeg=Ax $ Ybeg=Ay $ Zbeg=0 К KMaxf2*j-l, Xbeg, Ybeg, Zbeg Xend=Bx $ Yend=By S Zeod=0 К KMax-2*j. Xeüd. Yead. 2eiid L .KMax-2 *j -1 .KMax+2 *j *ENDDO
*DO, j. l.Setka_RAD !Циклпо окружностям Ax=tt*K_Mashtab_Ri+RAD*(j -1) " circle. 1. Ах *ENDDO
Рисунок 1. Часть кода для создания геометрической составляющей модели
Результаты моделирования для трех вариантов ячеек
Пример такого изделия с радиальными ячейками представлен на рисунке 2.
Результат расчета собственных форм представлен на рисунке 3.
Пример изделия с заполнителем в виде шестиугольных сот представлен на рисунке 4.
Результат расчета собственных форм представлен на рисунке 5.
Пример изделия с заполнителем в виде квадратных ячеек представлен на рисунке 6.
Рисунок 2. Слева конечно-элементная сетка на всем изделии, в ценре -ячейки, справа - деформированное состояние
при статическом нагружении
Рисунок 3. Собственные формы колебаний. Слева- форма с частотой 360,4 Гц, в ценре - форма с частотой 407,0 Гц,
справа - форма с частотой 500,5 Гц
Рисунок 4. Изделие с заполнителем в виде шестиугольных сот (слева и в центре). Справа - деформированное состояние
при статическом нагружении
Рисунок 5. Собственные формы колебаний. Слева- форма с частотой 1009,9 Гц, в ценре - форма с частотой 1020,4 Гц,
справа - форма с частотой 1034,0 Гц
Рисунок 6. Слева конечно-элементная сетка на объекте, в ценре - картина деформиромаций, справа -напряжения
по Мизесу
Результат расчета собственных форм представлен на рисунке 7.
Рисунок 7. Собственные формы колебаний. Слева - форма с частотой 974,5 Гц, в ценре - форма с частотой 977,0 Гц,
справа - форма с частотой 981,6 Гц
Заключение
При реализации данного проекта установлено, что:
- при использовании различного вида заполнителей собственные частоты колебаний конструкции существенно отличаются. Для изделия с радиально-концентрическим заполнителем первая частота равна 360,4 Гц, для заполнителя в виде шестиугольных сот первая частота равна 1009,9 Гц, а для квадратных сот первая частота равна 974,5 Гц ;
- для изделия с радиально-концентрическим заполнителем на форме с частотой 360,4 Гц, и форме с частотой 407,0 Гц максиальные амплитуды возникают на цилиндрических частях заполнителя, а на форме с частотой 500,5 Гц - на внешней оболочке конструкции;
- на изделии с заполнителем в виде квадратных сот максиальные амплитуды возникают на внутренних пластинах заполнителя для всех рассмотренных собственных частот 974,5 Гц, 977,0 Гц и 981,6 Гц;
- на изделии с заполнителем в виде шестиугольных сот максиальные амплитуды возникают только на внешней оболочке конструкции для всех рассмотренных собственных частот 1009,9 Гц, 1020,4 Гц и1034,0 Гц;
- таким образом распределение энергии при собственных колебаниях по различным частотам существенно зависит от вида заполнителя и должно учитываться при проектировании конструций при наличии соответствующих ограничений в техническом задании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Красновская С.В., Напрасников В.В. Исследование возможности идентификации прижимных усилий креплений конструкции с использованием нейронных сетей на основе конечно-элементной модели компрессорно-конденсаторной установки. Журнал "Информатика", 2017, № 4, с. 92-99.
2. Красновская С.В., Напрасников В.В. Обзор возможностей оптимизационных алгоритмов при моделировании конструкций компрессорно-конденсаторных агрегатов методом конечных элементов. Весщ нацыянальнай акадэми навук беларуа, 2016, № 2, серыя фiзiка-тэхнiчных навук, с. 92-99.
3. Напрасников В.В., Красновская С.В. Влияние упрощающих предположений в конечно-элементных моделях компрессорно-конденсаторных агрегатов на спектр собственных частот. Журнал "Системный анализ и прикладная математика", 2014, № 1-3, с. 51-55.
4. Бородуля А.В., Кункевич Д.П., Напрасников В.В., Полозков Ю.В. APDL-моделирование ячеистых конструктивных элементов деталей для аддитивного формообразования. Материалы НТК "Аддитивные технологии, материалы и конструкции", Гродно,5-6 октября,2016, с. 146-152.
5. Напрасников В.В., Ковалева И.Л., Полозков Ю.В., Кункевич Д.П., Бородуля А.В. Конечно-элементная модель подошвы с использованием ячеистых объектов. «Системный анализ и прикладная информатика». 2023;(2):24-30. DOI: 10.21122/2309-4923-2023-2-24-30
6. Напрасников В.В., Ван Ц., Ковалева И.Л., Новиков С.Н. Сценарии SpaceClaim в создании учебных моделей. «Системный анализ и прикладная информатика». 2023;(3):60-64. DOI: 10.21122/2309-4923-2023-3-60-64
7. Ковалева И.Л., Кункевич Д.П., Напрасников В.В., Полозков Ю.В., Чваньков А.А. Топологическая оптимизация конструктивной геометрии легковесных деталей. «Системный анализ и прикладная информатика». 2022;(3):50-55. DOI: 10.21122/2309-4923-2022-3-50-55
REFERENCES
1. Krasnovskaja S.V., Naprasnikov V.V. Issledovanie vozmozhnosti identifikacii prizhimnyh usilij kreplenij konstrakcii s ispol'zovaniem nejronnyh setej na osnove konechno-jelementnoj modeli kompressorno-kondensatornoj ustanovki. Zhurnal "Informatika", 2017 № 4, s. 92-99.
2. Krasnovskaja S. V., Naprasnikov V. V. Obzor vozmozhnostej optimizacionnyh algoritmov pri modelirovanii konstrukcij kompressorno-kondensatornyh agregatov metodom konechnyh jelementov. Vesci nacyjanal'naj akadjemp navuk belarusi, 2016 № 2, seryja fizika-tjehnichnyh navuk, s.92-99.
3. Naprasnikov V.V., Krasnovskaja S.V. Vlijanie uproshhajushhih predpolozhenij v konechno-jelementnyh modeljah kompressorno-kondensatornyh agregatov na spektr sobstvennyh chastot. Zhurnal "Sistemnyj analiz i prikladnaja matematika", 2014,№ 1-3, s.51-55.
4. Borodulja A.V., Kunkevich D.P., Naprasnikov V.V., Polozkov Ju.V. APDL-modelirovanie jacheistyh konstruktivnyh jelementov detalej dlja additivnogo formoobrazovanija. Materialy NTK "Additivnye tehnologii, materialy i konstrukcii", Grodno,5-6 oktjabrja,2016, s.146-152.
5. Naprasnikov V.V., Kovaleva I.L., Polozkov Y.V., Kunkevich D.P., Borodulya A.V. Finite-element model of a sole with the using of cellular objects. «System analysis and applied information science». 2023;(2):24-30. (In Russ.) DOI: 10.21122/2309-4923-2023-2-24-30
6. Naprasnikov V.V., Wang Z., Kovaleva I.L., Novikov S.N. Using SpaceClaim scripts to create training models. «System analysis and applied information science». 2023;(3):60-64. (In Russ.). DOI: 10.21122/2309-4923-2023-3-60-64
7. Kovaleva I.L., Kunkevich D.P., Naprasnikov V.V., Polozkov Y.V., Chvankov A.A. Topological optimization of constructive solid geometry of lightweight structures. «System analysis and applied information science». 2022;(3):50-55. (In Russ.). DOI: 10.21122/2309-4923-2022-3-50-55
NAPRASNIKOV V.V., BORODULYA A.V., POLOZKOV J.V., KUNKEVICH D.P., WAN TZU ZHUI
MODAL ANALYSIS OF PLATE-LIKE CELLULAR OBJECTS WITH PERIODIC
STRUCTURE
Belarusian National Technical University Minsk, Republic of Belarus
The method used to calculate natural frequencies and vibration shapes is described. Code fragments for construction for some types of filler are presented. The obtained frequencies and shapes of natural vibrations for three types offiller on the example of one construction are given.
Keywords: cellular objects, energy distribution at natural vibrations
Напрасников Владимир Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечения информационных систем и технологий» БНТУ. Научные интересы - конечно-элементное моделирование, компьютерные средства инженерного анализа технических систем.
Naprasnikov Vladimir Vladimirovich, PhD, associate Professor of the Software Department of the Belarusian National Technical University. His research interest focus on finit-element computer aided engineering.
E-mail: [email protected]
Бородуля Алексей Валентинович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечения информационных систем и технологий» БНТУ. Научные интересы -CALS - технологии.
Borodulya Aleksei, PhD, associate Professor of the Software for Information technologies and systems Department of the Belarusian National Technical University. His research interest focus on CALS-technologies.
E-mail: [email protected]
Полозков Юрий Владимирович, доцент, кандидат технических наук, заведующий кафедрой «Программное обеспечения информационных систем и технологий» БНТУ Научные интересы - автоматизация проектирования объектов и процессов аддитивного производства, оцифровка описаний поверхностей объектов, информационные технологии в образовании.
PolozkovYury Vladimirovich, PhD, head of the Department of Software for Information technologies and systems of the Belarusian National Technical University. His research interest focus on computer aided design and engineering of the objects of additive production, surfaces digitization, information technologies in the education.
E-mail: [email protected]
Кункевич Дмитрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечения информационных систем и технологий» БНТУ Научные интересы -автоматизация конструкторско-технологического проектирования и инженерного анализа механических систем.
Kunkevich Dmitry, PhD, associate Professor of the Software Department of the Belarusian National Technical University. His research interest focus on computer aided design and engineering of mechanical systems.
E-mail: [email protected]
Ван Цзы Жуй, аспирант кафедры «Программное обеспечение информационных систем и технологий» БНТУ Научные интересы - конечно-элементное моделирование, компьютерные средства инженерного анализа технических систем.
Wang Zirui, postgraduate student of the department "Software for information systems and technologies" at BNTU. Scientific interests - finite element modeling, computer aids for engineering analysis of technical systems.
E-mail: [email protected]
