CC BY
32
1УДК 378
ББК 74.58+74.262.21
МОДУЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ» ДЛЯ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Л. В. Котова
Аннотация. В статье рассмотрены вопросы реализации модульного подхода к конструированию содержания дисциплины «Методы и средства защиты информации» в условиях профессиональной направленности подготовки будущих учителей информатики. Проанализированы особенности модульного подхода к обучению. Даны определения дидактического, структурного и тематического модулей. Приведены описания базисных, вариативных и дополнительных тематических модулей дисциплины «Методы и средства защиты информации». Рассмотрены их теоретические, прикладные и общепрофессиональные аспекты. Построены различные траектории изучения дисциплины на базе использования возможностей дополнительных профилей обучения.
Ключевые слова: модульный подход, вариативность, защита информации, профессиональная направленность, математическая подготовка учителя информатики.
MODULAR CONSTRUCTION OF THE DISCIPLINE "METHODS AND MEANS OF INFORMATION PROTECTION" FOR BACHELORS OF PEDAGOGICAL EDUCATION
L. V. Kotova
Abstract. The article considers the issues of implementing a modular approach to building the content of the discipline „Methods and means of information protection" in the conditions of professional directivity of teaching future teachers of informatics. Features of modular approach to training are analyzed. Definitions of didactic, structural and subject modules are given. Descriptions of basic, variable and additional subject modules of the discipline „Methods and means of information protection" are provided. Their theoretical, application-oriented and all-professional aspects are considered. Various trajectories of studying the discipline are constructed on the basis of the use of the possibilities of additional learning profiles.
Keywords: modular approach, variability, information protection, professional orientation, mathematical training of the computer science teacher.
В конце ХХ в. важное значение в разных областях математики и информатики приобрели вопросы, связанные с сохранением и передачей информации. Появление системы RSA (1976) и обоснование ее крипто-стойкости (1994) привели к тому, что изучение теоретико-числовых основ защиты информации стало необходимым для студентов различных направлений подготовки, связанных с информационно-коммуникационными технологиями, включая педагогические.
На математическом факультете МПГУ изучение этих вопросов началось с 1993 г. С 2011 г., в
связи с переходом высшей школы к уровневой структуре образования, изучение дисциплины «Методы и средства защиты информации» (МСЗИ) на завершающей стадии обучения было предусмотрено для студентов направления подготовки «Педагогическое образование», профили «Информатика», «Математика и Информатика», «Информатика и Математика», «Информатика и Экономика».
Цель курса - познакомить студентов с историческими аспектами криптографии - науки о защите информации, рассмотреть современные математические задачи, которые ставит
криптография перед теорией чисел, пути их решения и развития, показать возможности использования элементов криптографии при обучении математике и информатике в общеобразовательной школе.
Прикладной характер дисциплины способствует осознанию студентами значимости изученного ранее математического материала, дает хорошую междисциплинарную базу для продолжения обучения в магистратуре, а главное, знакомит будущих учителей с современными приложениями математики и информатики, которые они смогут продемонстрировать школьникам в рамках своей профессиональной деятельности при разработке курсов по выбору, подготовке школьников к олимпиадам, руководстве проектной деятельностью и т. д.
Таким образом, данный курс может способствовать усилению профессиональной направленности обучения математике будущих учителей информатики при выполнении ряда необходимых условий:
• реализация ключевых положений компе-тентностного подхода при постановке целей обучения математике будущих учителей информатики;
• усиление фундаментальной математической подготовки будущего учителя информатики на основе принципов практической значимости и прикладной направленности;
• интегративность обучения, реализация межпредметных связей;
• вариативность обучения с учетом уровня подготовки студентов и дополнительных профилей обучения;
• использование в организации учебной деятельности методов и форм проблемного обучения [1].
Перечень приоритетных задач в сфере профессионального образования, определенный в государственной программе Российской Федерации «Развитие образования» на 2013-2020 гг., включает в себя: формирование системы непрерывного образования, позволяющей выстраивать гибкие (модульные) траектории освоения новых компетенций; модернизацию структуры программ профессионального образования для обеспечения их гибкости и эффективности; переход на уровневые программы подготовки специалистов с учетом кредитно-модульных
принципов построения образовательных программ [2]. В Федеральном государственном образовательном стандарте высшего образования основными элементами конструирования программ выступают базовые и вариативные дисциплины (модули), которые обеспечивают возможность реализации программ, имеющих различную направленность (профиль) образования в рамках одного направления подготовки [3]. Таким образом, нормативные документы в сфере образования предусматривают использование модульного подхода при построении современных обучающих курсов.
Модульное обучение представляет собой способ организации учебного процесса на основе блочно-модульного представления учебного содержания. При реализации модульного обучения содержание структурируется в автономные организационно-методические блоки - модули, содержание и объем которых можно варьировать в зависимости от дидактических целей, профильной и уровневой дифференциации обучающихся [4].
Существуют различные подходы к определению модульного обучения, которые мы условно разделяем на содержательно-дидактические, компетентностные и междисциплинарные.
Так, Дж. Расселл - один из основателей модульного обучения - определяет модуль как «учебный пакет, охватывающий концептуальную единицу учебного материала и предписанных учащимся действий» [5]. П. А. Юцявичене уточняет, что «учебный модуль - блок информации, включающий в себя логически завершенную единицу учебного материала, целевую программу действий и методическое руководство, обеспечивающее достижение поставленных дидактических целей» [6]. В. М. Гареева, С. И. Куликова и Е. М. Дурко отмечают, что «обучающий модуль представляет собой интеграцию различных видов и форм обучения, подчиненных общей теме учебного курса или актуальной научно-технической проблеме» [7].
С другой стороны, Е. Н. Ковтун и С. Е. Родионова характеризуют модуль как особую, относительно самостоятельную единицу образовательной программы, формирующую одну или несколько определенных профессиональных компетенций, сопровождаемых контролем знаний и умений обучаемых на выходе. В соответствии с
таким пониманием модульная образовательная программа представляет собой совокупность и последовательность модулей, направленную на овладение определенными компетенциями, необходимыми для присвоения квалификации [8].
Наконец, В. В. Карпов и М. И. Катханов определяют модуль как «организационно-методическую междисциплинарную структуру учебного материала, предусматривающую выделение семантических понятий в соответствии со структурой научного знания, структурирование информации с позиции логики познавательной деятельности будущего инженера». При междисциплинарном подходе учебные дисциплины и даже отдельные разделы и темы в них рассматриваются как части определенных ступеней иерархии профессиональной подготовки. Каждая ступень иерархии может содержать ряд междисциплинарных модулей, которые носят индивидуальный характер с точки зрения учебно-научного знания по специальности и объединены единым требованием к уровню сформированного результата подготовки в соответствии с трехуровневой психолого-профессиональной иерархией [9].
Независимо от подхода к определению самого модуля мы выделяем следующие основные цели модульного обучения:
• обеспечение вариативности обучения, адаптация учебного процесса к индивидуальным возможностям и запросам обучающихся;
• создание гибких образовательных структур как по содержанию, так и по организации обучения, «гарантирующих удовлетворение потребности, имеющейся в данный момент у человека, и определяющих вектор нового, возникающего интереса» [10].
Реализуя данный подход при подготовке учителей информатики, мы рассматриваем понятие модуля на трех уровнях: во-первых, мы называем дидактическими модулями различные содержательные линии, как правило, состоящие из нескольких дисциплин, имеющие логическую завершенность по своей теоретической и прикладной направленности; во-вторых, мы рассматриваем математические дисциплины как структурные модули той или иной единой содержательной линии. Наконец, дисциплины формируются из различных тематических модулей, которые можно варьиро-
вать в соответствии с целями обучения, профильной направленностью и уровнем предварительный подготовки студентов.
Опираясь на общие критерии отбора содержания, представленные в работах В. С. Лед-нева, Б. М. Бим-Бада, И. Я. Лернера, М. Н. Скат-кина, И. М. Смирновой, Е. И. Деза, уточняя и корректируя их в соответствии с целью обучения дисциплине МСЗИ, учитывая ее прикладной, интегрированный и межпредметный характер, мы выделяем следующие критерии отбора содержания тематических модулей дисциплины МСЗИ:
• научности и фундаментальности;
• проблемности и перспективности;
• практической значимости и прикладной направленности;
• непрерывности и преемственности;
• интегративности и реализации междисциплинарных связей;
• единства инвариантной и вариативной составляющих;
• соответствия целям обучения;
• единства гуманитарного и естественнонаучного знания.
Разработанные нами на основе выделенных критериев тематические модули, базисные, вариативные и дополнительные, позволяют организовать профессионально-ориентированное изучение дисциплины МСЗИ, конструируя и реализуя для различных профилей различные схемы обучения.
Мы выделяем в каждом модуле теоретические (Т), прикладные (П) и общепрофессиональные (ОП) содержательные аспекты. Для студентов, совмещающих с информатикой другие профили подготовки, эти аспекты имеют различные дидактические (целевые, содержательные, методические) акценты. Примеры реализации такого подхода приведены в табл. 1.
Дисциплина МСЗИ содержит пять базисных модулей.
М1. ИЗ ИСТОРИИ КРИПТОГРАФИИ. История возникновения основных терминов. Изучение исторических аспектов возникновения различных видов шифров, методов их вскрытия и усовершенствований. Задачи, возникающие в процессе развития шифровального искусства.
М2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ КРИПТОСИСТЕМЫ. Основные элементы криптосистемы. Аф-
Таблица 1
Содержательные аспекты изучения модулей для различных профилей подготовки
Профили направления подготовки «Педагогическое образование» Предварительный уровень математической подготовки Аспекты при изучении модулей
теоретический (^ Прикладной (П) Общепрофессиональный (ОП)
Информатика Средний Математические основы программирования Решение задач, использующих математические теории, анализ их эффективности Философские, естественнонаучные, исторические, эстетические, педагогические аспекты
Информатика и математика, математика и информатика (в целом — технический и естественнонаучный профили) Высокий Взаимосвязь теории математики и информатики, современные достижения в междисциплинарных областях Решение задач с сильной математической составляющей, поиск оптимальных их решений
Информатика и экономика (в целом — информатика и социально-экономические профили) Низкий Вычислительные методы Совершенствование вычислительных алгоритмов
финные отображения. Частные случаи. Дешифрование аффинных криптосистем. Условие однозначности. Принцип Керкгоффса. Криптоанализ аффинных криптосистем.
М3. ШИФРУЮЩИЕ МАТРИЦЫ. Представление биграмм в виде векторов. Линейная алгебра по модулю N. Существование обратной матрицы по модулю N. Матричные аффинные преобразования. Условия существования криптосистемы. Криптоанализ системы.
М4. НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ. СИСТЕМА RSA. Односторонние функции и функции с секретом. Криптосистема без передачи ключей. Криптосистема с открытым ключом и оценка ее надежности. Электронная подпись. Однозначность применения ключей абонентами при пользовании электронной подписью. Основные современные правовые акты и стандарты защиты информации. Криптографические средства для удостоверения абонента и защиты информации при передаче через не доверенную среду. Дискретный логарифм. Алгоритм согласования. Алгоритм Сильвестра - Полига - Хеллмана. Алгоритм исчисления порядка.
М7. ФАКТОРИЗАЦИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Классические методы факторизации. Современные методы факторизации. Вскрытие системы RSA.
Схема содержательных связей между базисными модулями представлена на рис. 1.
Первый модуль М1 не требует специальной математической подготовки и может выступать как самостоятельный раздел в рамках дисциплины по выбору; он может быть интересен студентам любого профиля направления подготовки «Педагогическое образование», как естественнонаучного, так и гуманитарного. Математическое содержание модуля прекрасно адаптируется для школы. Богатейшая история вопроса, многообразие простейших шифров, примеры из художественной литературы - обширный материал для использования в практике работы учителя математики, информатики и экономики при организации урочной, внеурочной и проектной деятельности обучаю-
Исторические предпосылки и этапы становления современной системы защиты информации
Математические основы построения симметричных криптосистем
Классические
современные
методы
криптоанализа
Современные системы защиты информации
Рис. 1. Содержательные связи между базисными модулями
щихся. Основу предлагаемых заданий по данному модулю составляют олимпиадные задачи для школьников по математике и криптографии (олимпиады проводятся с 1991 [11]). Это может помочь будущему учителю в работе со школьниками, направленной на развитие их познавательного интереса, расширение кругозора, открытие новых возможностей.
Основные характеристики модуля представлены на рис. 2.
Модули М2 и М3 условно можно назвать внутренними или вспомогательными. Они формируют математическую базу, необходимую для построения простейших криптосистем. Для изучения этих модулей студентам необходимы теоретические сведения из теории чисел и линейной алгебры.
В случае недостаточной теоретической готовности студентов им может быть предложен дополнительный модуль М0, содержащий необходимые теоретические сведения.
М0. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ. Элементы теории сравнений, функция Эйлера, решение сравнений и систем сравнений. Элементы линейной алгебры, алгебра матриц.
Модули М2 и М3 связаны между собой общим подходом к построению криптосистем и при необходимости сокращения временных затрат на проведение дисциплины могут быть объединены в один. Решение задач и выполнение лабораторных работ по материалу этих модулей позволит:
• изучить принцип работы симметричных криптосистем (теоретический аспект, Т);
• продемонстрировать приложения изученных в теории чисел и алгебре разделов (прикладной аспект, П);
• использовать полученные сведения для организации проектной деятельности школьников, для их подготовки к тематическим олимпиадам (общепрофессиональный аспект, ОП).
В теоретических заданиях уточняются возможные параметры системы шифрования. В прикладных заданиях требуется применение теоретических знаний к решению конкретных задач. В качестве заданий общепрофессионального направления могут использоваться задачи школьных олимпиад по криптографии и математике. При этом в решении таких задач школьникам (как и студентам) могли бы очень помочь начала теории сравнений. Таким образом, перед
Требования к подготовке Школьный курс, начала теории чисел
М1
ОП
Познакомить с постановкой задачи защиты информации с историческими и эволюционными аспектами становления современных криптосистем
Т
Изучить теорию построения классических криптосистем,
методы криптоанализа
Т
Рассмотреть теоретические
задачи, возникающие в
связи с потребностью усовершенствования существующих криптосистем
П П
Продемонстри- Показать
ровать возможные
практическое применения разделов, изученных в курсах теории чисел и алгебры направления для разработки школьных факультативных и внеклассных занятий по математике и
ин форматике
ВКР
Профессиональная деятельность
Рис. 2. Место модуля М1 в схеме обучения дисциплине МСЗИ Наука и Школа № 1'2018
будущими учителями возникает возможность проанализировать дополнительный материал, который может быть предложен школьникам для помощи в подготовке к олимпиадам.
Примеры Т-заданий.
Сколько существует различных линейных преобразований для ^-буквенного алфавита?
Говорят, что элемент Р открытого текста неподвижен при данном шифрующем преобразовании, если ДР) = Р. Пусть имеется линейное шифрующее преобразование ^-буквенного алфавита. Докажите, что для четного N существует, по крайней мере, две неподвижные буквы.
Найдите обратное аффинное преобразование для преобразования А(Р) = А • Р + b(mod N при N = 30, А = 17, Ь = 2.
Примеры П-заданий.
Вы анализируете аффинное шифрующее преобразование букв 41-буквенного алфавита, включающего в себя буквы А-Я, имеющие числовые эквиваленты 0-32 соответственно, пробел = 33, далее « . , - ; : ; ! ; ?». Перехвачено сообщение «ЬХЗЭБЗКОХЖУА.ЩНЛК,Щ,Щ». Вам известно, что открытый текст заканчивается подписью «МАМА». Прочитайте сообщение. Определите ключ шифрования и ответьте «ПРИЕДУ ЗАВТРА».
Примеры ОП-заданий.
Каждую букву исходного сообщения заменили двузначным номером в русском алфавите таким образом, что А = 01, Б = 02,..., Я = 33. Полученную числовую последовательность разбили на трехзначные цифровые группы без пересечений и пропусков. Каждое из полученных трехзначных чисел умножили на 77 и оставили только 3 последние цифры произведения. В результате получилась последовательность «3175 64404970017677550547850355». Восстановите сообщение.
Модуль М4 знакомит студентов с современными криптосистемами и их модификациями, разработанными в конце прошлого столетия, с правовыми актами, действующими в сфере защиты информации.
Изучение теоретических основ этих проблем требует серьезной математической подготовки в области теории чисел и способствует реализации внутрипредметных и межпредметных связей, углублению знаний базовых курсов алгебры и теории чисел, их прикладной составляющей. Так как система RSA уже вошла в школьные учебники по информатике [11], то изучение модуля М4 реализует и профессиональную направленность курса МСЗИ. Современные правовые и технологические вопросы защиты информации, рассмотренные на занятиях данного модуля, помогут повысить общекультурный и общепрофессиональный уровень обучающихся, расширяя возможности их последующего обучения и выбора профессионального приложения своим знаниям. (Для студентов, имеющих второй социально-экономический профиль, по завершении изучения модуля М4 может быть предложен дополнительный модуль МЭ.
МЭ ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ. Защита информации в банковском деле. Электронные подписи. Защита электронного денежного оборота.)
На примере модуля М4 мы можем продемонстрировать вариативные целевые аспекты (выраженные в терминах освоения одной из предметно-профессиональных компетенций (ППК) [12]) изучения материала студентами различных профилей (табл. 2).
Модуль М7 знакомит с теоретико-числовыми проблемами, возникшими в связи с задачей вскрытия системы RSA. Для изучения требуется
Таблица 2
Вариативные целевые аспекты изучения модуля М4
ППК дисциплины «Методы и средства защиты информации»: понимает задачи, которые ставит защита информации перед математическими науками
ППК модуля М4 «Система RSA»: знает современные криптографические системы
защиты информации
В том числе для профиля «Информатика»: способен строить алгоритмы построения криптографических систем
В том числе для профиля «Математика и информатика»: способен решать задачи математического обеспечения криптографических систем
В том чисел для профиля «Информатика и экономика»: способен понимать принцип действия электронной подписи
предварительное знакомство с такими разделами теории чисел, как теория сравнений, теорема Ферма, цепные дроби, необходимы навыки программирования.
Решение задач и выполнение лабораторных работ по материалу этого модуля позволит, с точки зрения различных содержательных аспектов:
• изучить классические и современные алгоритмы разложения натуральных чисел на множители (Т);
• продемонстрировать то, как использование классических идей наряду с развитием новых теорий помогает создавать алгоритмы, позволяющие решать задачи, возникающие с развитием новых технологий (П);
• использовать полученные сведения для демонстрации школьникам на доступных их пониманию задачах важности получения новых знаний и развития новых теорий в математике для технологического прогресса (ОП).
Модуль М7 может дополнить изучение разделов теории чисел теоретическими и прикладными задачами, а в сочетании с вариативными модулями быть предметом отдельного изучения в рамках дисциплины по выбору.
Для будущей профессиональной деятельности полезными в рамках изучения данного модуля будут лабораторные работы по выбору оптимального метода разложения на множители и составлению задач с ожидаемыми результатами такого выбора. Например: сформулируйте доступные школьникам методы разложения натуральных чисел на множители (последовательного деления, комбинированный с поиском наибольшего общего делителя, метод Ферма), найдите четырехзначные числа, такие, что оптимальным для них будет только один метод. Укажите составное четырехзначное число, «неудобное» для каждого из методов.
Для дисциплины МСЗИ разработано 3 вариативных модуля.
М5 ВРЕМЕННЫЕ ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ. Задача вскрытия системы RSA и необходимость разработки «быстрых» алгоритмов. Натуральные числа в различных системах счисления. Длина числа. Сравнение трудоемкости арифметических операций, используемых в криптосистемах. Полиномиальные алгоритмы. Экспоненциальные алгоритмы. Вероятностные алгоритмы.
М6 ПРОСТЫЕ И ПСЕВДОПРОСТЫЕ ЧИСЛА. Простые числа. Тесты на простоту. Псевдопростые числа. Числа Ферма, Эйлера, Кармайкла, сильные псевдопростые. Генерация больших простых больших псевдопростых чисел.
М8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В КРИПТОГРАФИИ. Конечные поля. Многочлены над конечным полем. Порядок многочлена над конечным полем. Последовательности над конечным полем. Линейные рекуррентные последовательности и линейные рекуррентные уравнения (ЛРУ) над конечным полем. Периодичность решений ЛРУ. Построение псевдослучайной последовательности заданного периода.
Вариативные модули позволяют существенно обогатить дисциплину МСЗИ историческими, теоретическими и прикладными темами. Они могут выступать и как отдельные дисциплины по выбору, и как элементы дисциплин по смежной тематике.
Модуль М5 имеет исключительно теоретическое значение и дает представление об основных требованиях к современным алгоритмам и задачах по их оптимизации. Материал опирается на базовые разделы математического анализа (асимптотические приближения, бесконечно большие величины), теории алгоритмов (асимптотический анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов по сложности, критерии сравнительной оценки качества алгоритмов), теории чисел (теория сравнений).
Лабораторные работы, разработанные нами для данного модуля, на простейших арифметических алгоритмах позволяют убедиться в необходимости быстрых алгоритмов для решения современных задач. При этом на различных модификациях алгоритмов, таких как вычисление наибольшего общего делителя натуральных чисел и решение неопределенных уравнений, можно даже школьнику продемонстрировать, как отличаются различные алгоритмы решения одних и тех же задач с точки зрения их эффективности и быстродействия. Модуль может быть реализован в рамках раздела дисциплины по выбору «Математические методы обработки информации».
Модуль М6 является междисциплинарным. Материал сочетает в себе хорошую математическую составляющую, требует от студентов
владения навыками программирования. Лабораторные работы на ЭВМ направлены не столько на отработку теоретических знаний, сколько на исследовательскую деятельность в области оценки эффективности различных алгоритмов для решения одних и тех же задач, анализ условий их эффективного применения, поиск методов оптимизации этих алгоритмов.
Модуль М6 является логическим продолжением модулей М4 и М5. Совместно с модулем М7 он может полностью содержательно обеспечить междисциплинарную дисциплину по выбору «Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии». Тема простых чисел и их уникальных свойств дает широкие возможности по организации внеурочной деятельности учителя как математики, так и информатики.
Нагляднее возможности реализации данного модуля показаны на рис. 3.
Модуль М8 дает представление о задачах, стоящих перед криптографией при передаче сообщений на дальние расстояния средствами радиолокации.
Для изучения линейных рекуррентных последовательностей необходим серьезный математический аппарат конечных полей. Он базируется, в первую очередь, на алгебре (теория конечных циклических групп, теория многочленов) и дискретной математике (теория кодирования, комбинаторный анализ, рекурсивные функции). Временные рамки курса не позволя-
ют в полной мере дать теоретический материал, поэтому многие факты и теоремы приходится изучать без доказательств. Однако это не означает, что практический материал недоступен для изучения студентами со слабой математической подготовкой. При определенной выборке прикладных фактов демонстрация возможностей псевдослучайных последовательностей доступна, на наш взгляд, даже заинтересованным школьникам.
Вариативные модули М5, М6 и М8 имеют серьезную математическую составляющую и могут существенно расширить теоретические представления студентов о методах защиты информации, а также выступать в роле отдельных дисциплин по выбору. При этом, с точки зрения профессиональной направленности подготовки будущих учителей информатики и математики, задачи с простейшими арифметическими алгоритмами (М5), простыми числами (М6) и рекуррентными последовательностями (М8) могут быть адоптированы для школьников и послужить прекрасной базой для проведения урочной и внеурочной работы. Приведем примеры таких задач.
• Найдите НОД{1547, 560), используя разложение чисел на множители и алгоритм Евклида. Сравните трудоемкость этих способов (количество выполненных делений).
• Какие остатки при делении на 12 могут давать квадраты простых чисел, больших 3?
Рис. 3. Возможности реализации вариативного модуля М6
_Проблемы педагогического образования
Таблица 3
Реализация содержательной линии МСЗИ для различных профилей
Профиль Математика и Информатика (Информатика и Математика)
I, II Математическая подготовка Программирование Д/в «Математические методы обработки информации» М5
III, IV Теория чисел Д/в «Специальные числа натурального ряда» М6
V Методы и средства защиты информации
М1 М2 М3 М4 М7 М8
Профиль Информатика и Экономика
I, II Математическая подготовка Программирование
III, IV Теория чисел Д/в «Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии» М5, М6
V Методы и средства защиты информации Д/в «Прикладные вопросы математики» М8
М1 М2 М3 М4 М7 МЭ
• Решите в простых числах уравнение
у2 = х2 + 7.
• Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
• Для каждого простого p найдите наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (р2)!.
• Найдите первые 10 членов рекуррентной последовательности ап+1 = 2ап + 1, если ад = 1.
• Найдите наибольшее число членов конечной арифметической прогрессии с разностью 4, если сумма квадрата первого члена и всех остальных ее членов меньше 80.
Существенная доля этих задач соответствует олимпиадным задачам для школьников и задаче 19 вариантов ЕГЭ по математике.
В табл. 3 приведены примеры траекторий обучения, позволяющих в полном объеме охватить содержательную линию дисциплины для студентов разных профилей.
Практическая реализация модульного подхода к изучению методов и средств защиты информации позволила повысить уровень математической подготовки студентов-инфор-матиков, стала одной из причин увеличения числа математических и методических курсовых проектов и выпускных квалификационных работ по данной тематике. Это свидетельствует о повышении интереса студентов к вопросам защиты информации, в частности, о формировании их готовности к использованию элементов криптографии в своей профессиональной деятельности в качестве школьных учителей.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котова Л. В. Условия реализации профессиональной направленности обучения математике при подготовке учителей информатики // Наука и школа. - 2014. - № 6. -С. 57-63.
2. Государственная Программа Российской Федерации «Развитие образования» на 20132020 годы. - URL: http:// минобрнауки.рф/ документы/3409/файл/2228/13.05.15-Госпро грамма-Развитие_образования_2013-2020. pdf (дата обращения: 17.01.2017).
3. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата) (Приказ Минобрнауки России от 4.12.2015 № 1426).
- URL: http://fgosvo.ru/uploadfiles/fgosvob /440301.pdf (дата обращения: 17.01.2017).
4. Матросов В. Л., Артамонов Г. А., Пустовой-тов В. В. Современные проблемы проектирования программ подготовки магистров педагогического образования на основе модульной структуры // Преподаватель XXI век. - 2009. - № 2. - С. 7-19.
5. Беспалько В. П., Татур Ю. Г. Системно-методическое обеспечение учебно-воспитательного процесса подготовки специалистов.
- М., 1989.
6. Юцявичене П. А. Теоретические основы модульного обучения: дис. ... д-ра пед. наук. -Вильнюс, 1990; М., 2005.
7. Гараев В. М., Куликов С. И., Дурко Е. М. Принципы модульного обучения // Вестник высшей школы. - 1997. - № 8. - С. 30-33.
8. Ковтун Е. Н., Родионова С. Е. Научные подходы к созданию образовательно-профессиональных программ на модульной основе в сфере гуманитарного образования // Информационный бюллетень Совета по филологии УМО по классическому университетскому образованию. - Тверь, 2007. - № 10. - С. 30-63.
9. Карпов В. В., КатхановМ. Н. Инвариантная модель интенсивной технологии обучения при многоступенчатой подготовке в вузе. - М., 1992.
10. Вазина К. Я. Саморазвитие человека и модульное обучение. - Н. Новгород, 1991.
11. Введение в криптографию / под общ. ред. В. В. Ященко. - М., 2012.
12. Калинин И. А., Самылкина Н. Н. УМК «Информатика», 10-11 классы. Углубленный уровень. - М., 2014.
13. Деза Е. И. Индивидуальные траектории фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2012.
REFERENCES
1. Kotova L. V. Usloviya realizatsii professionally napravlennosti obucheniya matematike pri podgotovke uchiteley informatiki. Nauka i shkola. 2014, No. 6, pp. 57-63.
2. Gosudarstvennaya Programma Rossiyskoy Fed-eratsii "Razvitie obrazovaniya" na 2013-2020 gody. Available at: http:// минобрнауки.рф/ документы/3409/файл/2228/13.05.15-Госпро грамма-Развитие_образования_2013-2020. pdf (accessed: 17.01.2017).
3. Federalnyy gosudarstvennyy obrazovatelnyy standart vysshego obrazovaniya po napravleni-yu podgotovki 44.03.01 Pedagogicheskoe obra-zovanie (uroven bakalavriata) (Prikaz Mino-brnauki Rossii ot 4.12.2015 No. 1426). Avail-
able at: http://fgosvo.ru/uploadfiles/fgos-vob/440301.pdf (accessed: 17.01.2017).
4. Matrosov V. L., Artamonov G. A., Pustovoytov V. V. Sovremennye problemy proektirovaniya programm podgotovki magistrov pedagogicheskogo obrazovaniya na osnove modulnoy struktury. PrepodavatelXXI vek. 2009, No. 2, pp. 7-19.
5. Bespalko V. P., Tatur Yu. G. Sistemno-metodiches-koe obespechenie uchebno-vospitatelnogo pro-tsessapodgotovki spetsialistov. Moscow, 1989.
6. Yutsyavichene P. A. Teoreticheskie osnovy mo-dulnogo obucheniya. ScD dissertation (Education). Vilnius, 1990; Moscow, 2005.
7. Garaev V. M., Kulikov S. I., Durko E. M. Prin-tsipy modulnogo obucheniya. Vestnik vysshey shkoly. 1997, No. 8, pp. 30-33.
8. Kovtun E. N., Rodionova S. E. Nauchnye pod-khody k sozdaniyu obrazovatelno-professional-nykh programm na modulnoy osnove v sfere gumanitarnogo obrazovaniya. Informatsionnyy byulleten Sovetapo filologii UMOpo klassiche-skomu universitetskomu obrazovaniyu. Tver, 2007, No. 10, pp. 30-63.
9. Karpov V. V., Katkhanov M. N. Invariantnaya model intensivnoy tekhnologii obucheniya pri mnogostupenchatoy podgotovke v vuze. Moscow, 1992.
10. Vazina K. Ya. Samorazvitie cheloveka i modul-noe obuchenie. Nizhny Novgorod, 1991.
11. Yashchenko V. V. (ed.) Vvedenie v kriptografi-yu. Moscow, 2012.
12. Kalinin I. A., Samylkina N. N. UMK „Informa-tika", 10-11 klassy. Uglublennyy uroven. Moscow, 2014.
13. Deza E. I. Individualnye traektorii fundamen-talnoy podgotovki uchitelya matematiki v us-loviyakh variativnogo obrazovaniya. ScD dissertation (Education). Moscow, 2012.
Котова Лидия Владимировна, старший преподаватель кафедры теории чисел математического факультета Московского педагогического государственного университета e-mail: kolv@inbox.ru
Kotova Lidia V., Senior lecturer, Number Theory Department, Mathematics Faculty, Moscow Pedagogical State University
e-mail: kolv@inbox.ru
