Многомерные аналоги операторов Саса-Миракьяна и Баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.837

Е. В. Гудошникова

МНОГОМЕРНЫЕ АНАЛОГИ ОПЕРАТОРОВ САСА-МИРАКЬЯНА И БАСКАКОВА

В теории линейных положительных операторов хорошо известны и часто используются последовательности операторов Саса-Миракьяна [1,2]:

к=0

и Баскакова [3]:

«/„^/«(".'-'^Jo^r.

Обе эти последовательности приближают непрерывную функцию на

[О,«)-

J. Grof [4] построил аналог операторов Мп:

ИМ А--ЪЪУ <-«'/(- dj^g-

Операторы Нп уже не являются положительными, но приближают непрерывную функцию на всей действительной оси.

Ниже будут указаны аналоги операторов М„ и Вп для функции многих переменных, приближающие функцию во всем пространстве Rr. Введем обозначения:

для т е N0 запишем представление в двоичном формате т = т1 + т2 ■ 2 + тъ ■ 22 +... + тг ■ 2Г_), где mk е {0;1}; x = (xu...,xr);

kn,m где kj eN0, neN;

V п п п J

т^л-.....+ тгкг.

Для функции / : Rr —> R введем аналог модуля непрерывности как

со (f,h)= sup_ sup I/O + 8) - f{x)\, 5eQ(h)xeRr

где0(й) = [ОД]><[ОД]х...-х[ОЛ]. Рассмотрим операторы:

к1=0к2=0 кг=0т=0

где^.....^п^ет

и операторы

^л(/;*)= £ £ ••••£ .....л«'

к1=0к2=0 кг=0т=0

где .....^ =

/=1

' п + к - 1V л: к

\ К У

ф„М =

{(1 + |х| + л)" + (1 +- х)" }(1 +1*1)" ТЕОРЕМА 1. Для равномерно непрерывной функции / : —>

(Ах)-Г(х)\ < со (/;ИпXI + + 2Г),

где й„ =

Доказательство. Обозначим

/И» = Л^,-- -+1,.••,*,.) = Л •*('))•

Поскольку Ьп(/;х)= ¿„(/¡^(¡У), доказательство утверждения теоремы сводится к случаю, когда все координаты х положительны. Для таких хобозначим

= + хт =(дг1(-1Г,....,хг(-1Л),

П\..пг о о

где т и тк - то же, что и выше. Тогда

(Ах) - /(Щ < | \ьп (/;х) - ь„ Ц +

00 00 2Г

+ Х—Е И\ё(^п,т)-Е(Хт)\рпЛ,......Л.ОО +

к,--' ■ ' '

О)

*,=0 к.= 0 т=О

2г-1

ехр(«х,.(-1Г)

т=1

',=1 2 с/г(ш:,) Во-первых, очевидно, что

\ё(х)-Г(х)\<&(АИп) и \ьп(АГх)-ьп(?Гх)\< (*№„). Во-вторых, применяя формулу конечных приращений, получаем оценку

|g(0-g(x)|<

/=1 dxi

t, ~ X:

¿с0 (/;/!») Z-, ;=1

В третьих, имеет место соотношение

2r-l| Z

т=1

2 ^d-(-Dffl') П

гт exp(^,(-l)m')

_ у exP(-?DC> ) ^ А,сЛ(иг,) '

,=1 2сА(их,)

доказываемое по индукции. Поэтому, продолжая неравенство (1) и применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

< со (/,/>„) к + 2' + (С -х1)2;х) + <

i=i hjCh(nXj)

<со(/;Л„)(1 + г)(1 + 2'-),

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. Для равномерно непрерывной функции / : Л

|5„ (/;*) - Д*)| < СО (/;ЛЯ XI + >0(1 + 2Г),

где И„ =

Доказательство теоремы 2 во многом аналогично доказательству теоремы 1, хотя специфика функций, образующих ядро оператора Баскакова, вносит ряд трудностей технического характера.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миракъян Г.М. Аппроксимирование непрерывных функций с помощью полиномов //Докл. АН СССР. 1941. Т. 31. С. 201 - 205.

к=0

2. Szasz О. Generalization of S. Bernstein's polinomials to the infinite interval // J.Res.Nat.Bur.Standards, Sect.B. 1950. Vol. 45. P. 239 - 245.

3. Баскаков В. А. Об одной последовательности линейных положительных полиномиальных операторов // Уч. зап. КГПИ. Калинин, 1969. Т. 59. С. 79 - 99.

4. Grof J. Ftiggvenyapproximaco az egesz szameqyensen, sulyozott hatvanysorokkal // Mat. Lapok. 1977 - 1981. Vol. 29. № 1 - 3. C. 161 - 170.