Многомерная модель коллективного риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

7. БлагодатскихВ.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.

8. ГригоренкоН.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990.

9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

10. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.

11. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 2. М.: ОНТИ, 1933.

Поступила в редакцию 01.03.05

УДК 519.248:[33+301]

H. Л. Иванова, Ю. С. Хохлов

МНОГОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА1

(кафедра математической статистики факультета ВМиК)

I. Мотивация и постановка проблемы. Целью данной работы является обобщение на многомерный случай известной одномерной модели коллективного риска Андерсена-Крамера, в которой полный иск на момент времени t может быть записан в следующем виде:

N(t)

s(t) = '£xj, (i)

3 = 1

где

1) {N(t), t ^ 0} — случайный процесс, описывающий динамику поступивших исков;

2) {Xj} — последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин (с.в.), которые описывают величины поступивших исков;

3) случайный процесс {N(t), t ^ 0} и последовательность {Xj} независимы.

В классической модели коллективного риска предполагается, что N(t) есть однородный процесс Пуассона с параметром Л.

Существенной чертой этой модели является то, что мы рассматриваем так называемый однородный портфель исков, т.е. портфель, содержащий иски только одного типа. Более точно это означает, что {Xj} имеют одно и то же распределение. На самом деле страховая компания заключает договоры страхования, имеющие отношение к различным типам страхования.

Существуют различные варианты классификаций отраслей страхования, например пожаров, кредитов, автомобилей, недвижимости, ответственности третьих лиц, путешествий, перевозок, техники, жизни, рабочих компенсаций, морских перевозок и т.д. Обычно при продаже полисов страхования, относящихся к разным типам, возможная зависимость между ними игнорируется, т.е. используются отдельные одномерные модели для каждого из типов контрактов, которые предполагаются независимыми. В результате мы приходим к следующему вырожденному варианту многомерной модели, где отдельные компоненты независимы:

,iVi(t) Nm(t) ,

S(i) = (Sl(i)1...1Sm(i))=[Y,X}1...1 Y.X?)- (2)

V 3=1 3=1 7

Здесь

1) m есть число различных типов страховых договоров;

1 Работа поддержана РФФИ, проекты 04-01-00671, 05-01-00535 и MON, ММ-1103.

2) к = 1,... ,т, есть процессы поступления исков к-го типа;

3) {Х^}, г = 1,..., то, есть последовательность н.о.р.с.в., описывающих величины исков к-то типа;

4) (А^), £ ^ 0) и (Х*) независимы;

5) все величины с разными к являются независимыми.

Фактически в этой схеме рассматривается то независимых одномерных процессов риска и многомерная структура никак не учитывается. Однако реальная ситуация такова, что существует много примеров зависимых по той или иной причине контрактов, и игнорирование этой зависимости может привести к появлению грубых ошибок. Ниже мы приводим несколько таких примеров.

1. Рассматриваются два типа полисов: страхование пожаров и морское страхование. Эти типы страхования имеют "пересечения", т.е. бывают страховые случаи, когда одновременно появляются иски по обоим типам контрактов. Однако страховщики избегают таких ситуаций, и в реальных контрактах морского страхования отдельно оговорен случай пожара при морской аварии. В силу этого страхователь не станет одновременно подписывать оба контракта независимым образом.

2. Рассматриваются два типа полисов: страхование от лесных пожаров и медицинское страхование, причем то и другое — в июле месяце. В условиях повышения температуры воздуха возрастают риски страховых случаев как первого, так и второго типов одновременно, т.е. имеет место зависимость различных типов контрактов.

3. При страховании жилых строений отдельно оговаривается пункт повреждений в результате пожара для того, чтобы избежать возможных случаев пересечений, т. е. оплаты страховки и по одному, и по другому типам контрактов.

4. При страховании жизни супружеской пары зависимости проявляются в результате коррелиро-ванности характеристик дожития супругов. Например, смерть одного из супругов меняет вероятностные характеристики жизни оставшегося в живых.

5. При страховании здоровья членов супружеской пары зависимость проявляется по причине общего образа жизни, например использование общей машины и т.п.

6. Пусть источник № 1 вызывает повреждение объекта № 1 в случайный момент времени 11\, источник № 2 вызывает повреждение объекта № 2 в случайный момент времени С/2, источник № 3 вызывает повреждение обоих объектов (№ 1 и № 2) в случайный момент времени II. Тогда моменты возможных повреждений объектов № 1 и № 2 есть т\ = тт([/1, II) и Т"2 = тт([/2, и) соответственно. Очевидно, что это зависимые случайные величины. Если величины исков есть функции Х\ = Х^Г!), Хч = Хг(г2) от моментов повреждения, то они также являются зависимыми.

7. В медицинском страховании, если используется схема последовательных вложений, существует пакет минимального объема страховых услуг, принадлежащий первому типу контрактов. Если клиент хочет застраховать ситуации, не принадлежащие этому пакету, то ему предлагаются расширенные варианты, которые включают в себя весь предыдущий пакет услуг и, кроме того, некоторые дополнительные услуги. Подобная схема исключает одновременные выплаты по двум таким типам договоров, так как страхователю не имеет смысла два раза оплачивать одни и те же страховые услуги.

Приведенные выше примеры показывают, что страховщики пытаются избежать пересекающихся вариантов. Возможно, это объясняется сложностью описания и трудоемкости оценивания параметров зависимости.

Далее мы предлагаем некоторую многомерную коллективную модель риска, в которой отдельные компоненты будут зависимы. При построении такой модели мы должны дать описание трех объектов:

1) модель процесса поступления зависимых исков;

2) модель величины зависимых исков;

3) механизм распределения величины иска между контрактами разного типа.

2. Система обозначений. Анализ приведенных выше примеров показывает, что полезно разделить ситуации с заданной структурой выплат по контрактам разного типа. При построении наших моделей мы будем использовать следующую систему обозначений. Допустим, что существуют контракты то типов. Каждый страховой полис может объединять в себе несколько контрактов разных типов. Поэтому оговоренный в нем страховой случай, вообще говоря, может приводить к выплатам (искам) по разным типам контрактов. Для описания такой ситуации мы будем использовать многомерный индекс г = (¿1,...,гт), каждая координата которого принимает значение 1, если были выплаты по контракту к-то типа, и равна 0 в противном случае. Обозначим через I множество всех

возможных значений индекса г, а через — подмножество /, содержащее те индексы, у которых к-я компонента равна 1: = {г £ / : Ч = !}•

Таким образом, каждый из страховых случаев мы можем отнести к некоторому классу в зависимости от того, по каким из типов контрактов он вызвал иск. Например, в двумерном случае страховое событие может вызывать иск только по первому типу (г = (10)), только по второму типу (г = (01)), по обоим типам одновременно (г = (11)). Тем самым мы разбиваем всевозможные страховые случаи на непересекающиеся классы, характеризующие зависимость различных типов контрактов.

В соответствии с существующей практикой раздельного страхования различных страховых ситуаций мы будем предполагать, что величины, соответствующие различным индексам г, являются независимыми. Для унификации обозначений мы будем считать, что для фиксированного г выплаты задаются то-мерным вектором X= (Х'®'^), у которого к-я координата = 0 с вероятностью 1,

если = 0. При этом различные координаты вектора Xмогут быть зависимыми.

3. Модель считающего процесса поступления исков. Мы начинаем описание нашей модели с определения процесса А(£), который дает описание динамики поступления исков разного типа.

Пусть для каждого индекса г задан случайный процесс А'г' (£), £ ^ 0, равный числу страховых случаев до момента t, в которых выплаты по контрактам имели структуру, соответствующую индексу г. Для различных г величины А'г'(£) предполагаются независимыми. Тогда (векторный) считающий процесс определяется по правилу:

Здесь каждая координата А&(£) показывает количество исков типа к, появившихся до момента времени t. Координаты вектора А(£) являются зависимыми. Например, для двумерного случая (то = 2) мы имеем

А(£) = (А'10' (£) + А'11' (£), А'01' (£) + А'11' (£)).

Таким образом, мы видим, что процессы и являются зависимыми в силу того, что в

каждом из них присутствует в качестве слагаемого один и тот же (вызывающий пересечение) процесс А'11' (£).

Аналогичная модель для А(£), совпадающая с нашей для то = 2, была предложена Р. Верник в работе [1]. Там же был приведен практический пример, который оправдывает разумность такого определения. Но для то > 2 наша модель является более общей.

Для удобства работы с такой моделью разумно предположить, что законы распределения величин А'г'(£) обладают свойством замкнутости относительно операции свертки, т.е. сумма двух независимых величин имеет распределение из того же класса, что и оба слагаемых. Примерами таких распределений являются (классическое) распределение Пуассона, обобщенное распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение (в частности, геометрическое).

Наиболее часто используется распределение Пуассона. В этом случае наша модель допускает другое, более удобное для актуарных приложений представление. Пусть

А«

(£), £ ^ 0, г £ /, есть независимые для разных г процессы Пуассона с параметрами А'г' ^ 0. Обозначим А = ^ А'г' и предположим,

¿е/

что А > 0. Рассмотрим последовательность {е^, j ^ 1} независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в множестве индексов /, распределение которых задается по правилу

Р{е3 = г) = А(*)/А. (4)

Пусть

ЛГ(0 = 5>(°(0 (5)

ш

есть полное число исков до момента времени t. Ясно, что А(£), £ ^ 0, есть однородный процесс Пуассона с параметром А. Тогда справедлива следующая

Теорема 1. При сформулированных выше условиях модель (векторного) считающего процесса N(t) может быть записана в следующем виде:

N(t)

N(t)=J2£r (6)

3 = 1

Эта теорема была впервые сформулирована нами в работе [2]. Доказательство легко получается методом производящих функций моментов. Основным моментом является свойство просеивания процесса Пуассона (см. [3, с. 320-321]).

Эта модель является достаточно гибкой. Выбирая множество параметров (А'г', г £ I) соответствующим образом, мы получаем достаточно богатое множество моделей с различной структурой зависимости. В частности, если А'г' > 0 для i = (1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 1) и (1,..., 1) и А'г' =0 — в противном случае мы получаем модель Р. Верник.

Другим аргументом в пользу этой модели является следующий результат, доказанный в нашей работе [4].

Теорема 2. Пусть случайный вектор N = (iVi,..., Nm) и каждый его подвектор имеют распределения из класса натуральных экспонентных семейств распределений. Если каждая компонента N), имеет распределение Пуассона с параметром ^ 0, то существует семейство г £ I) не-

зависимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами (А'г', i £ I) такое, что

k = l,...,m. (7)

Обратно, имея представление (7), легко найти совместное распределение случайного вектора N: для заданных целых неотрицательных ki,..., кт

P(N1 = k1,...,Nm = km)= nSfc(ir-e~A(,)- (8)

fc(0 =k, iel ieii,

Более того, можно показать, что для заданного совместного распределения случайного вектора N разложение вида (7) является единственным. Так как представление (7) однозначно определяется набором параметров (А'г', г £ /), то достаточно показать, что по совместному распределению N можно найти эти параметры. Действительно, используя (8), мы получаем

P{Nl = 0,...,Nm = 0) = e"\

где А = А'г'. Отсюда мы находим А. Далее, если ц есть индекс г, для которого только 1-я координата

i

равна 1, то

P(N1=0,...,Nl = l,...,Nm = 0) = Х^е~х.

Отсюда мы находим А'гг'. Далее последовательно мы находим все остальные А'г', зная предыдущие. Например, если ц^ есть индекс г, для которого только 1-я и к-я компоненты равны 1, то

P{Ni = 0,.. .,Ni = 1,.. .,Nk = 1,.. .,Nm = 0) = А^'е-А + А^'А^'е"*.

Отсюда, зная

Л(»г)5 л(^) и А, мы находим А Отметим еще одно важное свойство нашей модели. Определим случайный вектор Т = (Т\,..., Тт), где есть время до первого скачка процесса Nk(t). Этот случайный вектор имеет многомерное распределение Маршалла-Олкина, которое является одним из наиболее естественных обобщений показательного распределения.

Другим примером класса распределений, который в последнее время преобретает все большую популярность, является обобщенное распределение Пуассона. Одномерная случайная величина N, принимающая значения 0,1,2,..., имеет обобщенное распределение Пуассона с параметрами А > 0 и

в > 0, если для любого к = 0,1, 2,...

т = »)=А<л +*•'>'"

(см., например, [5]).

Если N\ и N2 есть независимые случайные величины, имеющие обобщенные распределения Пуассона с параметрами Ai, в и А2, в соответственно, то N1+N2 имеет обобщенное распределение Пуассона с параметрами Ai + А2, в. Отсюда легко следует, что обобщенное распределение Пуассона является безгранично делимым и можно определить процесс Леви (см. [6]) (N(t), t ^ 0), для которого iV(l) имеет обобщенное распределение Пуассона с параметрами А, в. Мы будем называть (N(t), t ^ 0) однородным обобщенным процессом Пуассона с параметрами А, в.

Выше мы предложили два эквивалентных способа определения многомерного распределения Пуассона. Это соотношения (3) и (6). Если в (6) случайная величина N(t) имеет обобщенное распределение Пуассона с параметрами At и в, то координаты случайного вектора N(t) будут иметь распределения, которые отличаются от обобщенного распределения Пуассона. Причина этого в том, что для однородного обобщенного процесса Пуассона не выполняется свойство просеивания. Напротив, если мы рассмотрим семейство (N^(t), i £ I) независимых обобщенных процессов Пуассона с параметрами А'г', i £ I, и в и определим векторный процесс N(t) по формуле (3), то компоненты Nk(t), к = 1,..., то, этого процесса также будут обобщенными процессами Пуассона с параметрами А& = ^ А'г' и в. По-

г

этому для наших целей более удобным является определение по формуле (3). Аналогично тому, как это сделано выше для многомерного распределения Пуассона, можно показать, что по совместному распределению N(t) можно однозначно восстановить параметры А'г', i £ I, и в.

4. Модель величины исков. Теперь мы должны предложить модели величины исков и схему образования агрегированного иска. Для каждого индекса г определим последовательность {xj*'} независимых одинаково распределенных то-мерных векторов. Эти величины описывают случайные величины исков по полисам, выплаты по которым имеют структуру, соответствующую индексу г. Это означает, что если координата i& индекса i равна 0, то соответствующая координата случайного

(г) . (г к) (г)

вектора X ■ равна нулю п.н. Если i= 1, то к-я координата X ■ ' вектора X ■ описывает выплаты

по контракту к-vo типа для полисов со структурой выплат г. В общем случае координаты вектора X величины выплат являются зависимыми. Последовательности, соответствующие разным значениям индекса г, предполагаются независимыми.

Например, в двумерном случае у нас есть три типа двумерных случайных векторов xj10', xj01' и xj11'. Первые два из них являются вырожденными, т.е. представляют собой случайные величины

исков только по одному типу контракта (в условиях отсутствия другого). Вектор Х^11' задает возможные величины двумерных исков, т.е. иски по страховым событиям, когда есть выплаты по обоим типам контрактов одновременно. При этом величины Xj и Xj показывают, как распределяется общая выплата Х^11' между первым и вторым контрактами соответственно.

5. Модель агрегированного иска. Теперь мы можем определить модель агрегированного иска. При этом нужно соблюдать некоторую осторожность, чтобы не суммировать одни и те же выплаты несколько раз. Пусть для фиксированного i £ I определены случайный процесс (t),t ^ О, последовательность j ^ 1) и последовательность (sj, j ^ 1) (см. выше). Определим векторный процесс агрегированного иска по формуле

N(t) iV(i)(i)

§(t) = (S1(t),...,Sm(t)) = '£'£l(ej = i)-X^='£ I(ej = i)-X?\ (9)

j=1 iei iei j=1

где 1(A) обозначает индикатор события А. Легко видеть, что отдельная компонента 5&(i) этого процесса может быть представлена в виде

Nk(t)

Е £^i = o-*ji,fc)> (10)

j=i ieik

где

Если обозначить

то

Хз = Е Пч = О ■ х\

.(г,к)

зд = Е •

3 = 1

Это формально совпадает с формулой (2). Но теперь и процессы А^^) и величины Xпри фиксированном к = 1,... ,т, являются зависимыми в общем случае.

Когда мы используем процессы N(1;) и 5(4), то полезно знать их производящие функции. Пусть г = (гь .. .,гт). Тогда

т , ЛГ(*') (¿) N^(1) т х (Ь)

«5(0):=£"•*<«> = Е-'-(Е Е *Г) = £(Е Е''-^"ч)=Е( Е

&=1 &=1 ^¿£1 .7 = 1 У ¿£1 4 .7 = 1 &=1 У ¿£1 4 .7 = 1

Отсюда мы получаем

(О-

M§{r) = Е [ехр [Е rk-Sk(t))) =Е iexp i]T Е ^ 4=1 '' ^ Че/ 7=1

¿ei j=i

N{i)(t)

(г),

= П^(ехр( Е (?>ХП) ) =Цмт<Ч1)(1пМх,)(г-)), (11)

¿е/ ^ ^ i=l ' ' ъе1

где Мдг(>)(() и МХ(<) есть производящие функции моментов (п.ф.м.) случайных величин Аг'г'(4) и X соответственно. В частности, для случая процесса Пуассона мы получаем

М§(г) = ехр^Е^ • А(г) (Мх(0 (г) - 1)) . (12)

-iei

6. Формальное определение многомерного страхового контракта. Обозначим, как и ранее, через Аг'г'(4), г £ /, независимые процессы поступления исков, имеющие структуру г, а через г 6 /, случайный вектор, описывающий величину соответствующего иска. Обычно Аг'г'(4), есть случайный процесс с независимыми и однородными приращениями, например процесс Пуассона. Тогда мы можем определить параметр А'г', который характеризует среднюю скорость поступления соответствующих исков в единицу времени. Рассмотрим также случайный вектор е, принимающий значения в множестве I и имеющий распределение

Рг = Р(е = г) := А^/А,

где А = ^ А'г', е^, к = 1,... ,т, есть к-я компонента вектора е, распределение которой можно вычи-

г

слить по следующей формуле:

рт = Р[£{к) =1к) = ^Рг.

Определение 1. Назовем то-мерным контрактом вектор

С(™) = (£,{хЩге1,{М^^)}ге1). (13)

Определенный выше то-мерный контракт дает описание структуры полисов, которые предлагает некая страховая компания.

Нас могут интересовать также и отдельные стороны бизнеса этой компании. Тогда будет полезным следующее

Определение 2. Одномерным контрактом к-го типа назовем вектор

Ск = (в^1{Х^}ге1к1{Х^тге1к)- (14)

Многомерную модель (вместо множества одномерных) имеет смысл рассматривать только в том случае, когда есть зависимость между одномерными компонентами. Ниже мы предлагаем некоторое новое понятие зависимости между одномерными контрактами.

Определение 3. Два одномерных контракта С/ и С к ¿-го и к-то типов в то-мерном контракте С'"1' называются зависимыми по пересечению, если существует г £ I такое, что ц = = 1 и р^ > 0.

Определение 4. Одномерные контракты с номерами А^,..., к81 8 тп, в тп-мерном контракте С'"1' называются зависимыми по пересечению, если для любого kj, ] = 1,..., в, существует к{, I ф такое, что одномерные контракты с номерами к^ и к[ зависимы по пересечению.

Сумму всех > 0 из определения 3 можно рассматривать как меру зависимости по пересечению одномерных контрактов с номерами I ж к.

Замечания. 1. В практических задачах вместо случайного вектора е иногда бывает удобнее использовать другое эквивалентное описание, рассматривая множество случайных событий А= = (г = г), г £ /.

2. Описанная выше модель в качестве причины зависимости рассматривает "пересекающиеся" страховые события, т.е. события, вызывающие иски по разным типам контрактов.

7. Оценивание модели. Для того чтобы использовать нашу модель в реальных задачах, мы должны уметь настраивать ее на конкретную ситуацию, т.е. оценивать ее параметры. Обычно считающий процесс N(1;) поступления исков определяется как некоторый процесс восстановления. Этот процесс задается с помощью последовательности независимых одинаково распределенных величин, которые описывают времена между поступлениями последовательных исков. Важной характеристикой в этом случае является интенсивность поступления исков А, равная 1/д, где ¡1 есть среднее время между поступлениями исков. Существует несколько известных методов оценки А, пригодных для любых процессов восстановления с разумными свойствами. Но если модель имеет некоторые специфические особенности, то можно найти более простые процедуры. Например, если мы рассматриваем многомерную пуассоновскую модель поступления исков, описанную выше, то она однозначно определяется набором параметров А'г', г £ I. Далее, как это отмечалось в разделе 3, эти параметры можно найти рекуррентным образом, зная вероятности Р(Х(1) = г), I £ I. Для оценки этих вероятностей разобьем интервал длины Ь, где Ь есть некоторое целое положительное число, на Ь интервалов длины 1. Далее подсчитаем величины равные числам появлений событий A¿ = (Х(1) = 1) во всех интервалах. Тогда относительные частоты /^¿/Х дают нам оценки вероятностей Р(М(1) = г) и, следовательно, оценки А'г' для параметров А'г'.

Аналогичная процедура может быть описана и для случая многомерного обобщенного процесса Пуассона, описанного выше. Частный случай подобной ситуации и соответствующая процедура оценки рассмотрены в работе [1].

Более подробно задача оценки нашей модели будет рассмотрена в отдельной работе.

8. Когда полный резерв достигает заданной величины? В классической модели риска обычно рассматривают резерв (surplus) страховой компании

R(t) =u + c-t- S(t),

где

1) и — начальный капитал,

2) с — скорость поступления исков,

3) S(t) — процесс выплат.

Наиболее популярной задачей в этом случае является вычисление или оценка вероятности разорения, т.е. вероятности того, что резерв R(t) когда-либо опустится ниже 0. Но, как отметил Гербер в своей работе [7], в некоторых случаях эта вероятность не особенно интересна. Более интересным является вопрос о том, когда резерв достигнет некоторой заданной величины. В работе [7] получено несколько интересных результатов для этой задачи (см. также [8] и [9]).

Ниже мы кратко опишем аналог одного из результатов Гербера для нашей многомерной модели. Всюду далее мы используем обозначения, введенные выше. Определим многомерный резерв (surplus) страховой компании в момент времени t как случайный вектор

U(t) = (U1(t),...,Um(t)) = u + c-t-S(t),

где и = (ui, • • •, ит), с = (ci,..., cm) G Rm, ck > 0, к = 1,..., то, а полный резерв в момент времени t как величину

т

U(t) = J2(uk + ck-t-Sk(t)). (15)

к= 1

Для заданного уровня х мы рассматриваем случайную величину Т, являющуюся моментом времени, когда полный резерв U(t) достигает в первый раз уровня х, и случайный вектор К = (К\,.. ,,Кт), каждая компонента которого равна числу исков определенного типа до момента первого достижения уровня х. Мы хотим изучить некоторые свойства величин Г и К, аналогичные тем, что были получены для одномерной модели риска в работе [7].

Из соотношения (15) мы получаем, что полный резерв U(t) можно записать в следующем виде:

U(t) = u + c-t- S(t),

где

m m

u = y^juk, с = Есь s(t) k= 1 k= 1

Здесь считающий процесс

iV(i) = 5>W(i)

iei

есть однородный процесс Пуассона с параметром А = ^ А'г',

iei

т

iei k=i

образуют последовательность н.о.р. положительных случайных величин.

В нашей работе мы можем предположить без ограничения общности, что и = 0 и с = 1. Как обычно, мы предполагаем также, что выполнено условие устойчивости А • ¡1 < с = 1, где ¡1 = E(Xj). Таким образом, мы приходим к одномерной модели риска и можем использовать следующие результаты, полученные в работе [7].

Пусть г и s есть вещественные числа, для которых имеет место соотношение

s = г — \[М(г) — 1], (16)

где М(г) обозначает порождающую функцию моментов (п.ф.м.) случайных величин Xj. Тогда справедливо следующее равенство:

E(esT) = егх. (17)

iV(t) 3 = 1

а величины исков

Рассмотрим число исков

К1 = ^К(г\ 1=1,...,т, ieii

1-го типа, полученных до момента первого достижения уровня х. Далее обозначим через Kj = i £ I) вектор числа скачков считающих процессов i £ /, произошедших до момента первого

достижения уровня ж. И, наконец, определим полное число скачков как

iei

В работе [7] было показано, что п.ф.м. случайной величины К имеет вид

Е (etK) = егх,

где

t = ln[(r + A)/AM(r)]. (18)

Для нашей многомерной модели можно получить следующий аналог этого результата.

Теорема 3. При сформулированных выше предположениях

Mlb(v)=E(ex pjj^KW ^ iei

где г и v = (и'г') связаны соотношением

г + А = А М(г),

А = = А^'е"*, которое является аналогом соотношения (29) из работы [7].

г

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vernic R. A multivariate generalization of the generalized Poisson distribution // ASTIN BULLETIN. 2000. 30. N 1. P. 57-67.

2. Ivanova N.L., Khokhlov Yu. S. The new variant of multivariate generalization of the generalized Poisson distribution // J. of Inform. Processes. 2002. 2. N 2. P. 193-194.

3. Resnick S. Adventures in stochastic processes. Boston: Birkhauser, 1992.

4. Иванова Н.Л., Хохлов Ю.С. Реконструкция многомерного распределения с пуассоновскими компонентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2001. № 1. С. 33-37.

5. Consul Р. С. Generalized Poisson distribution—properties and applications. N.Y.; Basel: Marcel Dekker, 1989.

6. Sato K. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press, 1999.

7. Gerber H. When does the surplus reach a given target? // Insurance: Math, and Econom. 1990. 9. P. 115-119.

8. Gerber H. Mathematical fun with ruin theory // Insurance: Math, and Econom. 1988. 7. P. 15-23.

9. Dufresne F., Gerber H. The surplus immediately before and at the ruin, and the amount of the claim causing ruin // Insurance: Math, and Econom. 1988. 7. P. 193-199.

Поступила в редакцию 10.02.05