Задача уклонения от столкновения для линейной управляемой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

Л. Н. Лукьянова

ЗАДАЧА УКЛОНЕНИЯ ОТ СТОЛКНОВЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ1

(кафедра математической физики факультета ВМиК)

Рассматривается задача уклонения от столкновения с препятствием для линейной динамической системы с геометрическими ограничениями на управления, при движении системы к терминальному множеству. Получены достаточные условия разрешимости задачи и предложен способ построения управления, решающего задачу уклонения от столкновения. Приведен расчет модельного примера.

1. Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением:

х(£) = Ах (г) + Ви(г), х(0) = х°, (1)

где £ 6 [0,0], х 6 Еп, и 6 Р С Ер, Е" — га-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт, МР ф 0, и — параметр управления, А, В — постоянные матрицы размерности га X га, га X р соответственно. Под допустимым управлением будем понимать измеримые по Лебегу функции с значениями в множестве Р. В пространстве Е" заданы целевое множество М\ и препятствие М2. Предполагается, что они имеют вид М{ = М1 + М?, г = 1,2, где М1 — линейное подпространство из Еп, М? — выпуклые компакты из Ь1, Ь1 — ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с препятствием для линейной динамической системы (1), если найдется допустимое управление и конечный момент времени Т такие, что х(Т) Е М\, Т ^ в и ^ М2, £ Е [О, Т]. Рассматривается задача [1-8] о нахождении достаточных условий на параметры системы (1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с множеством М2 при движении к множеству М\.

2. Вспомогательные построения. Пусть 7Г — оператор ортогонального проектирования из Е" на подпространство Ь1, сЦт Ь1 = д, д ^ 1.

Предположение 1. Существует такое целое число к ^ 0, что ранг матрицы ттАкВ равен д, а матрицы 7ГАгВ = 0 при I = 0,..., к — 1, если к ^ 1 [1-3].

Отметим, что в силу предположения 1

тг е*АВ = гктгА(г)В, (2)

оо

где А(Ь) = ^ Аг, причем ряд сходится для любого действительного числа Ь в смысле произвольной

фиксированной матричной нормы.

Положим Р = Р1 + Р2, Int.Pi ф 0, IШР2 Ф 0, рх 6 МРЬ и = щ + и2 + р\, щ £ (Р1 - рг), и2 6 Р2,

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ 04-01-08085.

а(4, 5,7ГТО1, ж0) = <

Р1, Р2 — выпуклые компакты. Определим для 4 > 0, 5 Е [0,4], т\ Е М\ функции [8]:

тах|а : а ^ 0, -а^тгемх° + / Врг г1з - пт,^ Е В{Рг - рг) |,

(

если тгемх° + / Врх ¿в ф тттх,

о

(

1/4, если тгемх° + / Врх ¿в = 7ГТО1;

о

(3)

(

ЯМ«, = (4)

Предположение 2. Для позиции ж0 системы (1) существуют вектор 6 М1 и множество Р1 С Р, для которых функция /3(4, ж0) имеет положительный корень Т.

Замечание. Отметим, что Г = Г(Р1,Ш1). Множество Р1 и вектор далее считаются параметрами способа управления.

(

Пусть £(4) = ттемх° + f тгеА^~^ Вр\ ¿з — ттгпх ф 0 для всех 4 6 [О, Г]. Выберем управление

о

^1(4) 6 (А — Р1) для 4 6 [О, Г] как решение уравнения

т

(5)

Если при некотором 41 справедливо равенство тгеМ1х° + J тгеА^~^ Вр\ ¿з = 7гто1, то из определения

о

функции /3(4, ж0) следует, что 41 ^ Г. В этом случае управление ^(4) = £>1 Е Р\,Ь Е [О, Г].

В силу предположения 2 существует одно или много решений уравнения (5). Функция а(Т, 4,7гто1, ж0) — измеримая функция 4 при фиксированных Г, ттгпх, ж0. Следовательно, в силу теоремы Филиппова уравнение (5) разрешимо в классе измеримых функций. Траектория системы (1) при управлении, являющемся решением уравнения (5), или при ^(4) = р\ может быть представлена в следующем виде:

(

тгж(4) = у(4)+ J тгеА{г~8) Ви2(з) ¿в, (6)

о

где

( ( у(1)= тгемх° + I пе^-^В^з) -Р1)йз+ J тгел^ Врх йз = (7)

о о

( (

= Z(T)(l-J (^{Т^з^тг^х0)^^ + J тг(еА* - еАТ)е~АвВ(и1 (в) - Р1) с1з + £(*) - £(Г) + жтх. (8) о о

Из (8) следует, что функция у(4) обладает следующими свойствами: у(4) Е Ь1, 4 Е [О, Г]; у(0) = 7гжо, у(Т) = игах Е М1. Далее траекторию у(4), 4 Е [О, Г], назовем опорной траекторией.

Лемма 1. Функция у(4) к + 1 раз дифференцируема по 4 при 4 Е [О, Г].

Доказательство. В силу предположения 1 для матрицы ттсправедливо представление (2), откуда из соотношения (7) следует дифференцируемость к + 1 раз функции у(4).

Введем множество

ф = { и }■

(е[о,т]

Отметим, что характеристики движения точки у{£) по множеству Ф задаются управлением щ(1;). Выбор множества Р\ позволяет выбирать величину Т в некотором диапазоне. Для параметрически заданной вектор-функции у{£) может выполняться один из двух случаев. Случай 1. ФП М| = 0. Случай 2. Ф П М$ ф 0.

В случае 1 можно положить и2(Ь) = 0 и управление щ(1;) решает задачу уклонения от столкновения с множеством М2 при движении системы (1) к множеству М\.

Рассмотрим случай 2. Введем множество М2 £ Ь1: М2 = М| + 5|(0), 5*1(0) — д-мерная сфера в Ь1 радиуса е.

Характер пересечения "опорной" траектории и множества М2 может быть разным. Введем понятие кратности пересечения параметрической кривой ?/(£), £ £ [О, Г], множества М2.

Определение. Для параметрической кривой ?/(£), £ £ [О, Г], и множества М2 имеет место /-кратное пересечение, если существуют моменты времени 0 < ¿ц ^ ¿12 < ¿21 ^ ¿22 < • • • < ¿¿1 ^ ¿¿2 < ■ ■ ■ < Т

I _ I

такие, что для £ £ и [£¿1,^2] справедливо включение у{£) £ М2, для t ^ [£¿1,^2] выполнено условие ¿=1 ¿=1

У(*) £ м2.

Предположение 3. Для кривой Ф и множества М2 имеет место однократное пересечение.

Для построения маневра обхода используем функцию Минковского выпуклого множества, содержащего начало координат.

Пусть А £ Int Mi, А £ Ф, //(£,М2 - А) — функция Минковского множества (М2 — А) [9-10], £ £ L1. Приведем некоторые свойства функции Минковского, которые используются в дальнейшем изложении.

1. Поскольку множество М2 — А ограничено, замкнуто и 0 £ М2 — А, то //(£, М2 — А) > 0 для всех

о, д(о,м2 — А) = о.

2. ц{А£, М2 - А) = А/х(£, М2 - А), VA > 0, £ £ L1.

3. М2 - А = {е £ L1 : М2-А)<: 1}.

4. £ <£ М2 - А, если //(£, М2 - А) > 1, £ £ М2 - А, если //(£, М2 - А) ^ 1.

Определим функцию А(t) = , t £ [ii,i2]- Поскольку А £ Ф, то fi(y(t) - А, М2 - А) ф О,

t £ [О, Г]. Отметим, что из определения функции Минковского следует неравенство A(i) ^ 1, t £ [t\,t2]. Положим

. ГО, если t <£ [ti,t2],

Л[Т> ~ \\{t) - 1, если t £ [ii,i2]; l j

y(t)=y(t) + \(t)(y(t)-A), t £ [О, Т].

Лемма 2. Кривая у{£) удовлетворяет условию у{£) = 0, £ £ [0,Т].

Доказательство. Пусть А ^ Ф, А £ М2, £ £ [0,Г]. Воспользуемся эквивалентностью утверждений у(г) П М2 = 0 и (?/(£) - А) П(^2 - А) = 0 и покажем, что //(?/(£) - А, М2 - А) ^ 1 для £ £ [0, Г]. Имеем:

/х(у(*) - А, М2 - А) = - А + ЩШ - А), М2 - А) = + 1)(у(*) - А), М2 - А) =

= {Щ + 1)^{уЦ)- А,М2- А).

Если t £ [0, ¿1) и(^2, Г], то, согласно (9), А(£) = 0, и так как //(?/(£) - А, М2 - А) ^ 1, то /х(у(*) - А, М2-А) > 1, т.е. у(*) ^ ММ2.

Если 4 6 [¿1,42]) то согласно (9) А(4) + 1 = А(4), и

д(у(4) - А, М2 - А) = д(у(4) - А + А(4)(у(4) - А), М2 - А) = А(4)д(у(4) - А, М2 - А) = 1 в силу выбора А(4). Таким образом, /¿(у(4) — А, М2 — А) ^ 1, т.е. у(4) ^ ¡г^Мг-

Предположение 4. Существуют положительные параметры к, V такие, что

= >*(*)> *е(о,т). (ю)

Положим у(4) = у(4) + ¥>(*)(у(*) - А), 4 £ [О, Г].

Лемма 3. Кривая у(4) удовлетворяет условию у(4) Р|М2 = 0, 4 6 [О, Г], у(0) = у(0), у(Т) £ М|. Доказательство. Покажем, что /¿(у (4) — А, М2 — А) ^ 1 для 4 6 [О, Г]. Имеем:

ц(у(4) - А, М2 - А) = ц(у(4) - А + ^(4) (у(4) - А), М2 - А) =

= д(И4) + 1)(у(4) - А), М2 - А) = И4) + 1)д(у(4) - А, М2 - А).

Если 4 [0,41) и(^2,Г], то согласно (9), (10) <¿>(4) + 1 ^ 1, и так как д(у(4) - А, М2 - А) ^ 1, то ц(у(Ь)-А,М2-А) > 1, т.е. у(4) ^ М2.

Если 4 6 [4ь42], то согласно (9), (10) <¿>(4) + 1 ^ А(4) + 1 = А(4), и

/X(у(4) - А, М2 - А) = /х(у(¿) - А + ^(4) (у(4) - А), М2 - А) = + 1)/х(у(4) - А, М2 - А) ^ 1 в силу выбора А(4). Таким образом, /х(у(4) — А, М2 — А) ^ 1, т.е. у(4) ^ М2.

Функция </?(4)(у(4) — А) /г + 1 раз дифференцируема на отрезке [0,Т]. Ее значение и значения ее к + 1 производных обращаются в 0 при 4 = 0. Рассмотрим на отрезке [0,Т] следующее интегральное уравнение 1-го рода типа Вольтерра относительно и2(-) 6 II:

£

J тге^"5' Ви2 (в) ¿з = <р(Ь) (у(4) - А) (11)

о

в классе измеримых функций и2(4) 6 С/, где II — класс р-мерных измеримых по Лебегу векторных функций, ограниченных по модулю на [0,Т] [3, 4, 11].

Лемма 4. Для функции </?(4)(у(4) — А) уравнение (11) разрешимо на [0,Т] в классе II. Доказательство. Продифференцируем обе части равенства (11) к +1 раз по 4. В силу условий

ОО к

леммы 1 и формулы 7Ге*АВ = ^ АкВ получим эквивалентное (11) интегральное уравнение

к=о

г

тгАкВи2 (4) + I тгАк+1е^-^АВи2{з)йз={^(1){у(1)-А))^1^. (12)

о

Из условий предположения 1 вытекает неравенство р ^ д и то, что в матрице кАКВ можно выделить невырожденную квадратную подматрицу С порядка д. Обозначим через N множество номеров столбцов матрицы 7ГАкВ, не вошедших в подматрицу С. Для I £ N положим компоненты ^¿(4) искомой функции и(4) в (12) равными нулю при 4 6/. Далее, используя невырожденность матрицы С, легко построить эквивалентное векторное линейное интегральное уравнение 2-го рода типа Вольтерра для остальных компонент искомой функции и(4). Полученное уравнение можно решить методом последовательных приближений при произвольной измеримой, ограниченной по модулю (</?(4)(у(4) — А))'с+1. Так, построенное решение уравнения (12) будет принадлежать классу С/. Лемма 4 доказана.

Для решения Cu2(t) уравнения (12) имеет место соотношение [11]:

t

Cu2(i) = f(i) +j T(t,s)f(s)ds, (13)

о

где

f(t) = Mi) (y(t) - A))'fc+1', T(t, s) = K(t, s) + K™ (t,s) + ... + K^ (t,s) + ..., (14)

t

K(t,s) = irAk+1e^ABDC-1, K(2]{t,y) = J K(t,s)K(s,y)ds, ...,

у

t

K^ (t, y) = J K(t, s)Kn~l (s, y)ds, n = 2,3,....

У

Здесь D — p X g-матрица, строки которой с компонентами i £ N — нулевые, остальные — строки матрицы С.

Пусть Айв — два положительных числа, ограничивающие нормы Ак+1е(г~^л В DC-11| и ||/(i)|| соответственно на отрезке [О, Г]. Пусть ||Г(£, s)|| ^ ii, O^s^i^T.

Л е м м а 5. \\Си2 (t) || iC h = 0eAi; \\Си2 (t) || ^ l2 = 0(1 + Ш).

Доказательство леммы 5 непосредственно следует из (13), (14).

При заданных функциях (p(t), y(t) мы получаем величину ограничения на управление u2(t), t £ [О, Г], при котором можно реализовать маневр обхода, соответствующий этим функциям:

Рг 5 5,(0). (15)

Здесь 5/(0) — сфера радиуса I с центром О, I = min(/i, 12).

Предположение 5. Множество Р2 удовлетворяет включению (15).

3. Основное утверждение. Сформулируем достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения.

Теорема. Если для системы (1) е позиции х° выполнены предположения 1-5, то для позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения.

Доказательство. Пусть для начальной позиции х° существуют вектор т\ £ М\, множества Р\, Р2 и положительные параметры то, v такие, что выполнены предположения 1-5.

Пусть для начальной позиции ж0 справедливо условие £(i) ^ 0, t £ [О, Г]. При управлении u\(t), выбранном как решение уравнения (2), и управлении u2(t), выбранном как решение уравнения (7), согласно (4), (5) и предположению 2, леммам 3, 4, 5, соотношениям (12), (13) для траектории системы (1) выполнены соотношения ж (Г) £ М\, x(t) М2, t £ [О, Г], т.е. разрешима задача уклонения от столкновения.

Пусть для начальной позиции х° справедливо условие: существует момент t\, для которого £(ii) = 0. При управлении u\(t), выбранном в виде u\(t) = р\, и управлении u2(t), выбранном из соотношений (12), (13), согласно (4), (5) и предположению 2, для траектории системы (1) выполнены соотношения ж (Г) £ М\, x(t) ^ М2, t £ [О, Г], т.е. также разрешима задача уклонения от столкновения. Теорема доказана.

4. Пример. Приведем расчет приведенной выше конструкции для конкретного примера управляемой системы. Пусть уравнение движения системы (1) имеет вид [5]

J¿1 = х2, жх(0) = ( — 5,5), ( ,

\i2=u(t), ж2(0) = (1,1),

где Х\, х2 £ R2, ||и(£)|| ^ р. Пусть целевое множество имеет вид М\ = {(xi,x2) : х\ = (5,0)}, а множество-препятствие — вид М2 = {(xi,x2) : 11жi — (0,5)|| ^ 1,5}.

Обозначим через Е квадратную единичную матрицу размерности 2, тттпх = (5,0), Pi = {«i : ||«i|| ^ pi}, Р2 = {и2 : ||и2|| ^ р2}, pi + р2 ^ р, z(t) = ®i(0) + x2(0)t - nmi. Имеем

(О М At _ (Е Et\ _ (Е О О,/' 6 -\0 Е J ' ""-^0 О

тгем = (Е Et) , ттВ = (0 0) , тгАВ = (О Е) .

Следовательно, к = 1. Функции (3) и (4) имеют вид

= = (17)

Уравнение для времени окончания процесса управления Т:

Plt4 = 2(</i + 2g2t + g3t2)1 (18)

где д1 = 11ж 1 (0) — 7ttoi ||2, д2 = {х\ (0) — 7ttoi , х2 (0)), ¿(3 = \\х2 (0) ||2. Управление и\ (i), t G [0, Г], являющееся решением уравнения (5), и опорная траектория y(t), t G [0,Г], имеют вид

Pi^(T) , n ^ Piz(T)t2 , N

Ml(i) = "]Rr)|' = *(*) +~ 2||г(Г)||- (19)

Для заданных параметров £i(0), ж2(0), М|, М\ игры (16) кривая Ф удовлетворяет предположению 2. Положим pi = 1. Тогда из (18) время Т = 4, 7.

Из (19) находим y(i) f|M22 ф 0 для t G [¿i,i2]; ii = 2,2674; t2 = 3,2181. Положим A = (0,5). Тогда функции

p(Y(t)-A,M2-A) = 2-\\y(t)-A\\, X(t) = 1,5 , если i G ii!' ^

3 L||y(t)-A|| -1' если t t [ii, i2\-

Неравенство (10) выполнено при h = 2,2, v = 0,04. Интегральное уравнение (11) имеет вид t

J(t — s)u2(s) ds = ip(t)(y(t) — А). Его решение u2(t) = {<~p{t) (y (t) —А))" следующее (константы приведены о

с точностью до пятого знака):

и21 (t) = -22 sin(2,9530i1/25) + 13,2 sin(2,9530i1/25)i + 6,3292i2 sin(2,9530i1/25) - 3,95i1/25 cos(2,953i1/25) +

+ l,3097i26/25 cos(2,953i1/25) + 0,43860i51/25 cos(2,9530i1/25) + 0,15348i2/25 sin(2,9530i1/25)-

- 0,030695i27/25 sin(2,9530i1/25) - 0,0073590i52/25 sin(2,9530i1/25);

и22 (i) = 4,4sin(2,9530i°'04) (i - 0,43877i2) + 0,78999i°'04 cos(2,9530i°'04)(t - 0,43877t2) +

+ 8,8i sin(2,9530i°'04)(1 - 0,87755i) - 0,030696i°'°8 sin(2,9530i°'04)(t - 0,43877t2) +

+ 0,51975^0,04 cos(2,9530i°'04)(l - 0,87755i) - l,9306i2 sin(2,9530i°'04).

При используемых параметрах маневра обхода управление u2(t), t G [0,Г], удовлетворяет ограничению -13 ^ «21 (i) ^ 3,2; 2,4 ^ «22 (i) ^ 12,8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин Л. С. Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Диф. ур-ния. 1971. 7. № 3. С. 436-445.

2. Никольский М. С. О линейной задаче осуществления заданного движения / / ДАН СССР. 1992. 322. № 5. С. 193-197.

3. Никольский М.С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы // Докл. РАН. 1996. 350. № 6. С. 739-741.

4. N i к о 1 s к i i М. S. Method of factorization applicable to the solution of convolution equations // Integral Transformation and Special Functions. 1994. 2. N 1. P. 51-64.

5. Понтрягин Л. С., Б о л т я н с к и й В. Г., Г ам к р е л и д зе Р.В.,Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

6. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

7. БлагодатскихВ.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001.

8. ГригоренкоН.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990.

9. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

10. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого анализа. М.: Физматлит, 2004.

11. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 2. М.: ОНТИ, 1933.

Поступила в редакцию 01.03.05

УДК 519.248:[33+301]

H. Л. Иванова, Ю. С. Хохлов

МНОГОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА1

(кафедра математической статистики факультета ВМиК)

I. Мотивация и постановка проблемы. Целью данной работы является обобщение на многомерный случай известной одномерной модели коллективного риска Андерсена-Крамера, в которой полный иск на момент времени t может быть записан в следующем виде:

N(t)

s(t) = '£xj, (i)

3 = 1

где

1) {N(t), t ^ 0} — случайный процесс, описывающий динамику поступивших исков;

2) {Xj} — последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин (с.в.), которые описывают величины поступивших исков;

3) случайный процесс {N(t), t ^ 0} и последовательность {Xj} независимы.

В классической модели коллективного риска предполагается, что N(t) есть однородный процесс Пуассона с параметром Л.

Существенной чертой этой модели является то, что мы рассматриваем так называемый однородный портфель исков, т.е. портфель, содержащий иски только одного типа. Более точно это означает, что {Xj} имеют одно и то же распределение. На самом деле страховая компания заключает договоры страхования, имеющие отношение к различным типам страхования.

Существуют различные варианты классификаций отраслей страхования, например пожаров, кредитов, автомобилей, недвижимости, ответственности третьих лиц, путешествий, перевозок, техники, жизни, рабочих компенсаций, морских перевозок и т.д. Обычно при продаже полисов страхования, относящихся к разным типам, возможная зависимость между ними игнорируется, т.е. используются отдельные одномерные модели для каждого из типов контрактов, которые предполагаются независимыми. В результате мы приходим к следующему вырожденному варианту многомерной модели, где отдельные компоненты независимы:

,iVi(t) Nm(t) ,

S(i) = (Sl(i)1...1Sm(i))=[Y,X}1...1 Y.X?)- (2)

V 3=1 3=1 7

Здесь

1) m есть число различных типов страховых договоров;

1 Работа поддержана РФФИ, проекты 04-01-00671, 05-01-00535 и MON, ММ-1103.