CC BY
46
УДК 517.977:519.876.2
DOI: 10.18698/0236-3933-2016-6-126-139
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ПРОСТРАНСТВЕННОГО НАВЕДЕНИЯ
Е.М. Воронов1 А.М. Савчук1,2 И.А. Спокойный1 С.И. Сычев2
sp okoiniy@gmail. com
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
2 АО «Корпорация «Тактическое ракетное вооружение», г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация
Аннотация
Предложен метод получения многокритериально-оптимального пространственного (двухканального) закона управления в задаче наведения массовых авиационных средств поражения на цель. Основу метода составляет разработанный подход синтеза многопрограммного позиционного управления, в котором для получения стабилизирующих компонент, обеспечивающих асимптотическую устойчивость программным траекториям, применяется синергетический подход А.А. Колесникова к аналитическому конструированию агрегированных регуляторов
Ключевые слова
Многокритериальная оптимизация, позиционное управление, нелинейный синтез, метод наведения, агрегированные регуляторы
Поступила в редакцию 04.05.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Введение. Задача построения оптимального управления в режиме реального времени сложными нелинейными динамическими объектами такими, например, как авиационные средства поражения, является чрезвычайно сложной, и до сих пор нет каких-либо общих подходов, позволяющих без линеаризации системы и использования только одного квадратичного критерия, обычно характеризующего точность наведения, синтезировать управление [1, 2].
Рассмотрим метод формирования многокритериально-оптимального нелинейного закона пространственного наведения на примере образца массового авиационного средства поражения (МАСП) с конкретными характеристиками. Теоретические и алгоритмические положения способа синтеза многопрограммного позиционного управления (МПУ) наиболее полно представлены в работах [3-6]. С синергетическим подходом управления, являющимся неотъемлемой частью методики, можно ознакомиться, например, в работах [7-12]. Основными этапами формирования закона управления на основе МПУ являются следующие.
1. Получение стабилизирующих компонент (СК) МПУ, т. е. определение аналитических зависимостей от текущего состояния объекта управления (ОУ), придающих притягивающие (асимптотические) свойства многокритериально-оптимальным программным траекториям. Выбор конкретных значений параметров сходимости.
2. Многокритериальная оптимизация программных управлений и траекторий, т. е. получение минимально-необходимого набора программных траекторий, обеспечивающего эффективность работы системы для предполагаемого диапазона начальных условий.
3. Определение правил выбора опорных траекторий и формирование условий применимости для полученного набора программных траекторий.
В настоящей работе наиболее полно описан первый этап метода — получение СК МПУ. Подробное описание второго этапа и новый перспективный подход к получению многокритериально-оптимальных траекторий на основе МПУ планируется представить в следующей работе.
Постановка задачи. Для получения закона оптимального наведения берется описание пространственного движения центра масс ракеты, не включающее вращательное движение вокруг него и имеющее вид системы дифференциальных уравнений:
dV
m-= P - XA - G sin ©;
dt
mV-= Ya - Gcos©;
dt
dW
mV cos ©-= ZA;
dt
dH = V sin ©; dt dXg
* = V cos © cos W;
(1)
dt dZg
dt dm
dt
= -V cos ©sin
= fm (t, «тип двигателя»).
Здесь V — скорость объекта управления; P = ^ (t) — тяга двигателя; © — угол наклона траектории; у — угол пути (угол поворота траектории); H — высота полета; Xg — горизонтальная дальность ОУ до цели; Zg — продольная координата ОУ; m — масса ОУ; ^ — функция изменения массы ОУ для конкретного типа двигателя; XA = CxaqS, YA = CyaqS, ZA = CZaqS — аэродинамические силы;
C = f (C \ C = nymg C = nzmg C = C
— J Cx \ ^Ea J у ^ya — >^za~ > ^Ea _ V
'2 + C 2
ya '^za
(2)
qS qS
— аэродинамические коэффициенты, где Пу и п — продольная и боковая перегрузки, формируемые при наведении ОУ в точку назначения; g — ускорение свободного падения; q = pV2/2 — скоростной напор (р = р(Н) — плотность атмосферы в зависимости от высоты Н); S — площадь поверхности крыльев ОУ.
Двигатель ОУ — двухступенчатый, зависимость Сха от С^а и значения числа Маха имеют полиномиальный характер. В расчетах необходимо учитывать
ограничение |Сея | < С^Яотр, подставляя выражение (2), можно получить условие, которому должны удовлетворять значения перегрузок Пу и пг:
4
-nl mg
< C
Е«о
цБ (3)
Для отражения в модели изделия динамики контура стабилизации (инерционности) вводят апериодические звенья с постоянной времени Т = 0,3 с. Таким образом, в систему (1) добавятся еще два уравнения:
dn у dt
dn z dt
nz - nz
LS Ul 1S
Общие требования к оптимизации алгоритма наведения ОУ формулируются следующим образом:
• максимизация скорости подхода Ут к точке интереса;
• минимизация промаха ЛХт = Хр — Хц;
• минимизация времени полета Tf;
• обеспечение заданного угла подхода ©т к точке интереса;
• минимизация на конечном участке избыточной перегрузки (заданная перегрузка должна удовлетворять выражению Пу - cos0 < 0,1).
Чтобы полностью определить решаемую задачу, необходимо задать диапазон начальных условий, для которых планируется применение МАСП.
Диапазон начальных условий пуска ракеты
Скорость пуска ракеты..................................................................V = 10...100 м/с
Угол наклона траектории ракеты................................................0 = -л/6...л/4
Угол пути...........................................................................................-у = -л/4...л/4
Высота пуска.....................................................................................Н = 50.3000 м
Максимальная дальность применения......................................Dmax = 15 000 м
Закон наведения. Для получения стабилизирующих компонент МПУ представим систему дифференциальных уравнений (1) в следующем виде:
Х1 = — (Pg — CxaqS — Х7 g sin X2);
Х7
x2 = g (ny — cos x2);
Х1
• = nzg
x3 =-;
x1 cos x2 x 4 = Х1 sin Х2; x5 = x1 cos x2 cos x3; Х6 = —x1 cos x2 sin x3;
^x7 = fm (t),
где x1 = V; x2 =©; x3 =y; x4 = H; x5 = Xg; x6 = Zg; x7 = m.
(4)
Для получения стабилизирующей компоненты, обеспечивающей сходимость по высоте к к-й опорной траектории, из системы (4) возьмем второе и четвертое уравнения:
x2 = — (ny - cos х2);
Xi
sin x2 =-
XX 4 xi
(5)
Отклонение по высоте от k-й программной траектории определяется как
y4k = X4k - Х4 ; У4k = X4k - Х4 '
(6)
Выражая из (6) Х4 и подставляя во второе уравнение (5), получаем выраже-
ние
sin x2 =
у4к + X4k
(7)
В соответствии с методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов введем внутреннюю макропеременную у4к и соответствующее ей функциональное уравнение
У4к (t) = У4к, 24кУ4к (t) + ^4к ) = 0. (8)
Подставляя в функциональное уравнение (8) макропеременную у4к = у4к, получаем значение производной отклонения
У 4к =-
Til T:
(9)
4к
Подставив (9) в (7), получим желаемое значение х2, необходимое для сходимости у4к к нулю:
х2к = arcsin
У 4 к
T4 к
-XX
4к
х1
V
= arcsin
У4 к
T
+ х1к • sin х.
2к
4к
(10)
По аналогии с первым уравнением (5) запишем уравнение для x2k
x2k = — («У - cos x2k )•
Xi
(11)
Теперь введем макропеременную у2к, равную разности текущего угла наклона траектории х2 и желаемого значения х2к, и функциональное уравнение, аналогичное уравнению (8):
х
W2k(t) = X2k -, T2k<V2k(t) + Wik(t) = 0.
(12)
Определим из (12) разность х2к -Х2к, и вычтем из (11) первое уравнение (5), тогда получим уравнение
(X2 - X2k ) g / * * ч
xx 2 k - Х2 =--- = (y - cos X2k - Пу + cos X2 ).
T
(13)
2k
Xi
Понятие стабилизирующей компоненты вводится как некая добавка к программному (необходимому) управлению, которое обеспечит асимптотическую устойчивость текущего движения относительно к-го программного:
Пу = Пу +SH _ k .
(14)
Подставляя в (13) ny - ny из (14), получаем аналитическое выражение для стабилизирующей компоненты по высоте:
Xi
H _ k
arcsin
ж
T
+ x1k sin X
2k
4k
- X,
gT
+ cos x2 - cos x2k.
(15)
2k
Таким образом, многопрограммное позиционное управление в продольном канале имеет вид [1, 3]
N
(X) = Еиу_k (t) п
N (X4 (t)-X4s (t)) N
k=1
s=1
, s^k (X4k (t)-X4s (t)) k
H_ k.
(16)
Аналогичным образом можно получить аналитические выражения для стабилизирующей компоненты (17) и МПУ в боковом канале (18):
X1 cos X2
®Z k ="
arcsin
- y6k T
+ X1k cos X2k sin X3k
6k
X1 cos X2
- X3
gT3
3k
( ) N () N (X6 (t)-X6s (t)) N _
(X) = S«z_k (t) п >л .. + k.
k=1
s=1
, s^k (X6k (t)-X6s (t)) k=
(17)
(18)
Для повышения точности и возможности попадания при наличии ветровых возмущений в подвижную цель предлагается использовать комбинированный метод наведения: на первом этапе полета используется МПУ, на втором — любой из известных методов самонаведения. Поэтому на первом этапе в зависимости от типа цели и решаемой задачи выбирается метод самонаведения и условия переключения.
Параметры сходимости. Следующий шаг при формировании закона управления — это определение сначала параметров сходимости Т2к и Т4к в продольном канале, а затем Т3к и Т6к в боковом канале. Физический смысл этих параметров можно описать следующим образом: значение параметра Т2к пропорционально времени, за которое отклонение по углу наклона траектории от опорного значения должно стать нулевым, а параметр Т4к пропорционален времени, за которое разность по высоте от опорной траектории должна принять нулевое значение. Похожим образом определяются Т3к и Т6к, связанные с отклонениями по углу пути и продольной координате. Для решаемой задачи параметры сходимости были выбраны следующим образом:
Т2к = 7, Тзк = 1, т = |У4к| т = |Убк|
Т4к = „„ , Т6к =-
20 20
Опорные траектории и условия применимости. Далее получаем минимально-необходимый набор опорных траекторий, позволяющий синтезировать МПУ для всего выбранного диапазона начальных условий, например, с использованием генетических алгоритмов [13-15] или других подходов многокритериальной оптимизации [16-17].
На последнем этапе формирования закона позиционного управления остается определиться с правилами выбора опорных траекторий и их числом. Как один из вариантов, предлагается использовать четыре опорные траектории, наиболее близкие по значениям высоты, дальности, скорости и углу пуска.
Условия применимости разработанного закона наведения — это такие начальные условия, которые могут обеспечить требуемые терминальные условия (промах, угол подхода, минимальная скорость подлета). Циклический перебор выполняют по разным начальным условиям пуска, в процессе которого формируется матрица допустимых комбинаций начальных условий.
Результаты. Получены следующие значения времени полета, скорости подхода и промаха:
Tf = 53,3 с, Vт = 238,58 м/с и ДХт = 0,04 м (при V0 = 100 м/с, е0 = 20°, у0 = 45°, Н0 = 3000 м, Б0 = 15000 м);
Tf = 24,5 с; V- = 266,53 м/с и ДХт = 0,045 м
(при V) = 800 м/с, е0 = 10°, у0 = 35°, Н0 = 2500 м, Б0 = 8000 м).
Приведем примеры применения полученного пространственного закона наведения для разных начальных условий пуска (рис. 1-8).
Рис. 1. Зависимость траектории (а и б — виды сбоку и сверху), высоты (в) и расстояния (г) от времени полета для начальных условий пуска:
V, = 100 м/с, е0 = 20°, у0 = 45°,Н0 = 3000м, В0 = 15000м
V, м/с
10 20 30 40 50 t, с а
10 20 30 40 50 t, с б
0 -2 -4 -6
10 20 30 40 50 t, с
г
Рис. 2. Зависимость скорости (а), углов наклона траектории (б) и пути (в), коэффициента Сга (г) от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 1)
Рис. 3. Зависимость значений аэродинамических коэффициентов Суа и Сха (а, б) от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 1)
Рис. 4. Зависимость нормальной (а) и боковой (б) перегрузок от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 1)
Рис. 5. Зависимость траектории (а и б — виды сбоку и сверху), высоты (в) и расстояния (г) от времени полета для начальных условий пуска: % = 80 м/с, 00 = 10°, ^0 = 35°, Н = 500м, Д = 8000м
10 15 а 20 t, с 0 Сга 5 10 15 б 20 t, с
0 t [V—
-2
-4 \
—j— -;— -;—
10 15 20 t, с 0 5 10 15 20 t, с
Рис. 6. Зависимость скорости (а), углов наклона траектории (б) и пути (в), коэффициента Сга (г) от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 5)
10
15
20
t, с
Рис. 7. Зависимость значений аэродинамических коэффициентов Суа и Сха (а и б) от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 5)
Рис. 8. Зависимость нормальной и боковой перегрузок (а и б) от времени полета для начальных условий пуска (см. рис. 5)
Заключение. Приведен универсальный подход на основе многопрограммного позиционного управления, позволяющий сформировать нелинейный метод наведения, учитывающий помимо точности попадания и другие важные критерии оптимальности, тем самым в целом обеспечивая повышение эффективности функционирования авиационных средств поражения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аранович Г.П., Михайлин Д.А. Управление и наведение самолетов и ракет. М.: Изд-во МАИ, 2013. 27 с.
2. Лебедев А.А., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1965. 528 с.
3. Соловьева И.В. Синтез многопрограммных систем управления на основе метода позиционной оптимизации. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб.: Изд-во СПб. Гос. университета, 2010. 15 с.
4. Воронов Е.М. Многокритериальный синтез позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации. Ч. 1. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2012. № 2. С. 3-19.
5. Воронов Е.М. Многокритериальный синтез позиционного управления на основе многопрограммной стабилизации. Ч. 2. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2012. № 3. С. 3-11.
6. Воронов Е.М., Серов В.А., Спокойный И.А. Оптимальное нелинейное наведение на основе алгоритма многокритериального синтеза многопрограммного позиционного управления // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2014. № 3. С. 54-72.
7. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. М.: КомКнига, 2006. 240 с.
8. Синергетические методы управления сложными системами: Механические и электромеханические системы / А.А. Колесников, Г.Е. Веселов, А.Н. Попов, А.А. Кузьменко. М.: КомКнига, 2008. 304 с.
9. Колесников А.А., Кобзев В.А., Никитин А.И. Синергетический синтез законов векторного управления системы автоматической посадки самолета // Известия ЮФУ. Технические науки. 2011. № 6. С. 125-139.
10. Веселов Г.Е., Скляров А.А., Скляров С.А. Синергетический подход к управления беспилотным летательным аппаратом // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 5. С. 65-70.
11. Kreerenko О., Kreerenko Е. Combined synthesis of control laws of the aircraft braking on the runway during landing // 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences. 2014. Vol. 1. P. 4110-4116.
12. Veselov G., Sklyarov А., Sklyarov S. Synergetic approach to quadrotor helicopter control with attractor-repeller strategy of nondeterministic obstacles avoidance // 6th International congress on ultra modern telecommunications and control systems and workshops (ICUMT). 2014. Р. 228-235. DOI: 10.1109/ICUMT.2014.7002107
13. Серов В.А. Генетические алгоритмы оптимизации управления многокритериальными системами в условиях неопределенности на основе конфликтных равновесий // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2007. № 4. С. 70-80.
14. Alfaro-Cid Eva, McGookin Euan W. Genetic programming for the automatic design of controllers for a surface ship // IEEE transactions on intelligent transportaion systems. 2008. Vol. 9. No. 2. P. 311-321. DOI: 10.1109/TITS.2008.922932
15. NithyaRani N., GirirajKumar M., Anantharaman N. Modeling and control of temperature process using genetic // IJAREEIE. 2013. Vol. 2. No. 11. P. 5355-5364.
16. Ehrgott M. Multicriteria optimization. Berlin: Springer, 2005. 323 p.
17. Voronin A.N. A method for multicriteria optimization of dynamic control systems // Artificial intelligence and application. 2014. Vol. 1. No. 3. Р. 1-12. DOI: 10.15764/AIA.2014.03001
Воронов Евгений Михайлович — д-р техн. наук, профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Савчук Алексей Михайлович — инженер НУК ИУ МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, ул. 2-я Бауманская ул., д. 5), начальник отдела АО «Корпорация «Тактическое ракетное вооружение» (Российская Федерация, 141080, Московская обл., г. Королёв, ул. Ильича, д. 7).
Спокойный Иван Александрович — аспирант кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).
Сычев Станислав Игоревич — начальник отдела ОКБ АО «Корпорация «Тактическое ракетное вооружение» (Российская Федерация, 141080, Московская обл., г. Королёв, ул. Ильича, д. 7).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Воронов Е.М., Савчук А.М., Спокойный И.А., Сычев С.И. Многокритериально-оптимальный нелинейный метод пространственного наведения // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 6. C. 126-139. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-6-126-139
MULTICRITERION OPTIMAL SPATIAL NONLINEAR GUIDANCE METHOD
E.M. Voronov1 A.M. Savchuk12 I.A. Spokoinyi1 S.I. Sychev2
1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
2 Tactical Missiles Corporation, Korolev, Moscow Region, Russian Federation
Abstract
This research suggests a method for obtaining multicriteri-on optimal spatial (two-channel) control law in the task of massive aircraft weapons (MAW) guidance on a target. Theoretical foundation of this method involves the developed approach to the synthesis of multi-program position control. In this approach the stabilizing components that provides program trajectories with asymptotic stability, are obtained by applying A.A. Kolesnikov's synergetic approach of analytical design of aggregated regulators (ADAR)
Keywords
Multicriterion optimization, positioning control, nonlinear synthesis, guidance method, aggregated regulators
REFERENCES
[1] Aranovich G.P., Mikhaylin D.A. Upravlenie i navedenie samoletov i raket [Missile and aircraft control and navigation]. Moscow, MAI Publ., 2013. 27 p.
[2] Lebedev A.A., Karabanov V.A. Dinamika sistem upravleniya bespilotnymi letatel'nymi apparatami [Air-drone flight control system dynamics]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1965. 528 p.
[3] Solov'yeva I.V. Sintez mnogoprogrammnykh sistem upravleniya na osnove metoda pozitsionnoy optimizatsii. Avtoref. kand. fiz.-mat. nauk [Synthesis of multiprogram control system based on positional optimization technique. Kand. phys.-math. sci. abstract]. Sankt-Petersburg, SPBU Publ., 2010. 15 p.
[4] Voronov E.M. Multiple-criteria synthesis of positional control based on multiprogram stabilization. Part 1. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Instrument engineering]. 2012, no. 2, pp. 3-19 (in Russ.).
[5] Voronov E.M. Multiple-criteria synthesis of positional control based on multiprogram stabilization. Part 2. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Instrument engineering], 2012, no. 3, pp. 3-11 (in Russ.).
[6] Voronov E.M., Serov V.A., Spokoynyy I.A. Optimal nonlinear guidance based on the algorithm of multi-criteria synthesis of multi-program position control. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Instrument engineering], 2014, no. 3, pp. 54-72 (in Russ.).
[7] Kolesnikov A.A. Sinergeticheskie metody upravleniya slozhnymi sistemami: Teoriya sis-temnogo sinteza [Synergetic control methods for complex systems: system synthesis theory]. Moscow, KomKniga Publ., 2006. 240 p.
[8] Kolesnikov A.A., Veselov G.E., Popov A.N., Kuz'menko A.A. Sinergeticheskie metody upravleniya slozhnymi sistemami: Mekhanicheskie i elektromekhanicheskie sistemy [Synergetic control methods for complex systems: mechanical and electromechanical systems]. Moscow, KomKniga Publ., 2008. 304 p.
[9] Kolesnikov A.A., Kobzev V.A., Nikitin A.I. Synergetics synthesis of vector control laws for aircraft automatic landing system. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering sciences], 2011, no. 6. pp. 125-139 (in Russ.).
[10] Veselov G.E., Sklyarov A. A., Sklyarov S.A. Synergistic approach to the control of unmanned aerial vehicle. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering sciences], 2013, no. 5, pp. 65-70 (in Russ.).
[11] Kreerenko O., Kreerenko E. Combined synthesis of control laws of the aircraft braking on the runway during landing. 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences. 2014, vol. 1, pp. 4110-4116.
[12] Veselov G., Sklyarov A., Sklyarov S. Synergetic approach to quadrotor helicopter control with attractor-repeller strategy of nondeterministic obstacles avoidance. 6th International congress on ultra modern telecommunications and control systems and workshops (ICUMT), 2014, pp. 228-235. DOI: 10.1109/ICUMT.2014.7002107
[13] Serov V.A. Genetic algorithms of optimizing control of multi-objective systems under condition of uncertainty based on conflict equilibrium. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Instrument engineering], 2007, no. 4, pp. 70-80 (in Russ.).
[14] Alfaro-Cid Eva, McGookin Euan W. Genetic programming for the automatic design of controllers for a surface ship. IEEE transactions on intelligent transportation systems, 2008, vol. 9, no. 2, pp. 311-321. DOI: 10.1109/TITS.2008.922932
[15] NithyaRani N., GirirajKumar M., Anantharaman. Modeling and control of temperature process using genetic. IJAREEIE, 2013, vol. 2, no. 11, pp. 5355-5364.
[16] Ehrgott M. Multicriteria optimization. Berlin, Springer, 2005. 323 p.
[17] Voronin A.N. A method for multicriteria optimization of dynamic control systems. Artificial intelligence and application, 2014, vol. 1, no. 3, pp. 1-12. DOI: 10.15764/AIA.2014.03001
Voronov E.M. — Dr. Sci. (Eng.), Professor of Automatic Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Savchuk A.M. — engineer at the Education and Research Complex of Informatics and Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation); Division Director of Tactical Missiles Corporation (Ilyicha ul. 7, Korolev, Moscow Region, 141080 Russian Federation).
Spokoinyi I.A. — post-graduate student of Automatic Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).
Sychev S.I. — Division Director of Experimental Design Bureau of Tactical Missiles Corporation (Ilyicha ul. 7, Korolev, Moscow Region, 141080 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Voronov E.M., Savchuk A.M., Spokoinyi I.A., Sychev S.I. Multicriterion Optimal Spatial Nonlinear Guidance Method. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2016, no. 6, pp. 126-139. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-6-126-139
