Многократное рассеяние волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах с точки зрения радиолокации самоподобных множественных групповых целей Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ ВОЛН ВО ФРАКТАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ РАДИОЛОКАЦИИ САМОПОДОБНЫХ МНОЖЕСТВЕННЫХ ГРУППОВЫХ ЦЕЛЕЙ

Потапов А.А.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, http://www.cplire.ru Москва 125009, Российская Федерация

Поступила в редакцию 25.12.2017

Рассмотрены базовые элементы классической теории распространения и рассеяния электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах. Приведена модификация классической теории Фолди-Тверского для случая многократного рассеяния во фрактальных дискретных средах. Такая модификация теории позволила включить в рассмотрение значения фрактальной размерности D и фрактальной сигнатуры D(r, ^ неупорядоченной большой системы. Исследованы процессы обратного рассеяния, характерные для радиолокации. Аналитически рассмотрено уравнение радиолокации для сугубо фрактальной среды. Показано, что фрактальная сигнатура может быть использована для исследования зависимости объемного рассеяния от расстояния. Настоящее исследование продолжает авторский цикл работ по обоснованию применения теории фракталов, физического скейлинга и дробных операторов в вопросах радиофизики и радиолокации, начатых автором впервые в СССР в ИРЭ им. В.А. Котельникова АН СССР в конце 70-х годов XX века.

Ключевые слова: рассеяние электромагнитных волн, фрактальные случайно-неоднородные среды, фрактальная размерность, фрактальная сигнатура, радиолокация, фрактальные цели

УДК 537.876.23, 530.1, 621.396.96_

Содержание

1. Введение (3)

2. Волны в неупорядоченных фрактальных системах (4)

2.1. многократное рассеяние волн ансамблем неподвижных и движущихся рассеивателей: классическое решение (4)

2.2. Статистическое усреднение для случая дискретных рассеивателей (7)

2.3. основное интегральное уравнение фолди-Гверского для когерентного поля (8)

2.4. интегральное уравнение Тверского для корреляционной функции (9)

2.5. Когерентное поле (10)

2.6. Фрактальные дискретные случайно-неоднородные среды (11)

2.7. Модификация классической теории Фолди-Тверского для фрактальных дискретных случайно-неоднородных сред (12)

3. радиолокация фрактальных целей (13)

3.1. Уравнение радиолокации в двух идеальных случаях зондирования (14)

3.2. Фракталы как модели иерархии

пространственно-временных масштабов (15)

3.3. рассеяние волн во фрактальной среде: первое численное моделирование (16)

3.4. рассеяние волн во фрактальной среде: результаты численного моделирования (17)

3.5. рассеяние волн во фрактальной среде и уравнение радиолокации (18)

4. Заключение (19) Литература (20)

1. ВВЕДЕНИЕ

Распространение и рассеяние волн в неупорядоченных системах считается одним из наиболее трудных предметов теоретической физики. Естественные и искусственные среды дают бесчисленные примеры разнообразного рассеяния волн на дискретных частицах. Хорошо известно, что когда волна распространяется в случайно-неоднородной среде, многократное рассеяние должно быть принято во внимание. Для рассмотрения процессов многократного рассеяния применяются феноменологический и статистический подходы. Содержание

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

феноменологического подхода составляет теория переноса излучения в рассеивающей среде. Ее аппаратом является уравнение переноса, выражающее закон сохранения энергии излучения или условие баланса яркостей световых пучков с учетом их поляризации. В случае статистического рассмотрения многократного рассеяния волн исходят из стохастического волнового уравнения или из системы таких уравнений, для которых ставится и исследуется задача дифракции волн на статистическом ансамбле частиц.

Теория многократного рассеяния для волн в средах, содержащих случайные рассеиватели, была изучена многими авторами [1-9]. Со времени опубликования работы [10], фракталы неизменно находятся в фокусе интересов различных физических и технических дисциплин, являясь подходящими моделями для различных физических явлений [1117]. Распространение и рассеяние волн во фрактальных случайно-неоднородных средах имеет большой физический интерес для радиофизики, радиолокации, дистанционного зондирования, оптики, акустики, техники связи, биологии, медицины, нанотехнологий т.п. Одно из оригинальных теоретических и экспериментальных исследований рассеяния и дифракции на фракталах было проведено в [11] (см., также книги [12, 13]). Хотя все эти исследования привели к открытию некоторых из основополагающих физических принципов, многие проблемы, связанные с многократным рассеянием во фрактальных средах, все еще остаются.

Теоретическая основа для описания однократного и многократного рассеяния волн частицами формируется классической электродинамикой. В данной работе подробно рассмотрены вопросы общей теории многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальных случайно-неоднородных средах на основе модификаций теории Фолди-Тверского (Foldy-Twersky) [1-3]. Введены основные концепции фрактальной среды и дается формулировка математики многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальной среде одновременно с физикой процесса рассеяния. Представлены

модификации интегрального уравнения Фолди-Тверского для когерентного поля и интегрального уравнения Тверского для второго момента поля.

Можно также рассмотреть многократное рассеяние в сплошных средах со случайными флуктуациями показателя преломления. Этот класс проблем требует специальных подходов к решению, которые выходят за рамки данной работы [6-8].

Необходимо отметить, что данные вопросы находились в сфере интересов автора еще при подготовке монографий [12, 13], но не были включены в общий текст книг из-за превышения заданных объемов. Одновременно эти материалы были включены в отчеты по НИР, которые проводились автором в 90-е гг. XX в. Время показало актуальность данной тематики для вопросов физики конденсированных сред, радиофизики и радиолокации (см. цикл наших недавних работ по динамике растущей фрактальной поверхности в нанотехнологиях и в дистанционном зондировании; в частности, для радиолокации, например, динамики профиля снежного покрова и т.п.) [18-27].

Данная работа преследует цель обобщающего исследования того, как решается проблема многократного рассеяния волн на ансамбле частиц и в какой мере удается получить решение этой проблемы для современной теории многократного рассеяния волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах.

2. ВОЛНЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 2.1. многократное рассеяние волн ансамблем неподвижных и движущихся рассеивателей: классическое решение

Существуют два основных подхода к проблеме распространения волн в случайном облаке рассеивателей — строгая (аналитическая) теория и теория переноса [6, 7, 9]. Строгая теория или теория многократного рассеяния имеет в своей основе фундаментальные дифференциальные уравнения для полей, а затем привлекаются статистические соображения. Результаты предыдущих работ были обобщены Тверским, который получил замкнутую систему интегральных уравнений [2, 3]. В случае

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

движущихся рассеивателеи, поле становится функцией времени, поэтому корреляции поля наблюдаются не только в пространстве, но и во времени. Перед рассмотрением фрактальной среды приведем достаточно подробно основные результаты классической теории Тверского, опираясь, в основном, на работы [2, 3, 7, 9].

Рассмотрим облако из N случайно распределенных в объеме V частиц с координатами r r ..., rN. Частицы могут различаться как по форме, так и по размеру. Скалярное поле у"в точке ra пространства, не занятого частицами, удовлетворяет волновому уравнению (V2 + к 2)у = 0, (1)

где k = 2n/X - волновое число в окружающей частицы среде, X - длина волны.

В уравнении (1) величина у может описывать одну из компонент электрического или магнитного поля. Обозначим через фф падающую волну в точке r при отсутствии частиц. Для полей вида фф верхний индекс обозначает точку, в которой рассматривается поле, а нижний индекс — происхождение этого поля. Тогда поле у/а в точке Г" (рис. 1) представляет сумму падающей волны фф и вкладов Ua от каждой из N частиц, расположенных в точках r, s = 1, 2, ..., N:

N

уа=фф+zua, (2)

S=1

ua=ua ф s. (3)

В выражении (2) US, - волна в точке r рассеянная расположенным в точке rs рассеивателем. В соответствии с (3) U, определяется воздействием оператора рассеяния иф для частицы в точке rs и точки наблюдения r на падающую волну Ф"" на частицу в точке r — рис. 2. Выражение

а^ч s

us Ф является операторной записью поля в

Рис. 2. Вклад от s-й частицы в общее поле. точке г обусловленного падением волны Фг на рассеиватель, находящийся в точке г.

В случае плоской волны , распространяющейся в направлении орта 1, с использованием приближения дальней зоны (расстояние между точками г и г велико)

г а '

Фг = е1кг, к = И, (4)

для оператора пф можно записать пф = /6,1)-ехр(к)/г (5)

где 6 — единичный вектор в направлении га — г, г = | га — г. |,/6,1) — амплитуда рассеяния.

Эффективное поле Ф. состоит из падающей волны фф и поля рассеяния от всех частиц, за исключением рассеивателя в точке г.. Тогда, как показано на рис. 3, имеем

ф' = фф + 2 us.

t=1,t Ф s

Уравнения (2) и (6) фундаментальную пару уравнений.

N

уа=фф+2 иа ф s,

s=1

N

Фs=фф + 2 и'Фt.

(6)

образуют

(7а) (7б)

t=1,t Ф s

Подставляя (7б) в (7а) и повторяя этот процесс, мы исключаем из этих уравнений величину Ф. Тогда имеем:

Рис. 1. Поле в точке r .

Рис. 3. Эффективное поле Фs для s-й частицы.

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

N N

N N

=ФФ +S<ФФ+S S «а«Ф)+

(8)

s=1

NN N

s=1 t=1,t#s

I с+...

5=1 г^ т=1, шфь

Теперь рассмотрим каждый член уравнения (8). Первый член — это падающая волна фф. Следующий член данного ряда

S <ФФ

(8a)

учитывает все акты однократного рассеяния (рис. 4,а), Следующая за ним двойная сумма

S S иУфф

s=1 t=1,t* s

описывает все процессы двукратного рассеяния (рис. 4,б).

Третья сумма является тройной. В ней отсутствуют слагаемые с t = ^ и т = t, тогда как член с ^ = т в ней присутствует. Эту сумму можно разложить так, чтобы выделить слагаемые с разными s, t и т и с s = т:

N N N

II I ФГ =

Рис. 4. Схемы однократного рассеяния (а), двукратного рассеяния (б), трехкратного рассеяния (в) на различных частицах и процесс трехкратного рассеяния при прохождении волной одной и той же частицы более одного раза (г).

N f N \

г=фф+S < фф + S us ф

s=1 у t=1,t* s

s=1 t=1,t^s m=1,m^t N N N

=S S S u»mфф1+

(8 в)

s=1 t=1,t^ sm=1,m#t, фф s

+S S «а«МФФ.

s=1 t=1,t#s

Первая тройная сумма из (8а) изображена на рис. 4,в. Во второй сумме из (8а) имеются только рассеиватели в точках r и r ее график приведен на рис. 4,г.

В общем случае полное поле у/а в точке r являющееся суперпозицией падающей волны и всех многократно рассеянных волн, можно разбить на две части:

1. Первая часть, которая описывается первой суммой в выражении (8а), содержит все многократно рассеянные волны, учитывающие последовательные рассеяния на разных рассеивателях. Данная часть иллюстрируется схемой на рис. 5,а. Отметим, что s — текущий индекс для всех рассеивателей, так что имеется

Рис. 5. Схема путей рассеянных волн, п

п

через различные рассеиватели (а), и схема путей рассеянных волн, и тот жерассеиватель более одного раза (б).

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

N членов с разными s; индекс / отмечает все рассеиватели, за исключением s, т.е., имеется N — 1) член с разными I. Аналогично, имеется N — 2) члена с разными т.

2. Вторая часть, которая описывается второй суммой в выражении (8а) и отвечает всем тем траекториям волны, которые проходят через какую-либо частицу больше одного раза. Эта ситуация представлена на рис. 5, б.

В теории Тверского учитываются все члены, принадлежащие к первой группе (рис. 5,а) и пренебрегают членами, относящимися ко второй группе (рис. 5,б). Очевидно, что первая группа описывает практически все многократно рассеянные волны, и теория Тверского должна давать прекрасные результаты, если обратное рассеяние мало по сравнению с рассеянием в других направлениях.

Исходя из вышесказанного, с математической точки зрения теория Тверского основана на представлении поля в следующем виде:

N N N

Г = ФФ +Т <ф.

$=1 х=1 г=1,г*х

пуф ) +

N

N

N

Т

х=1 г=1,г ф $ т=1, тФг, шф $

В табл. 1

(9)

+и

„ я* г 1т ,

иПгитф + •• •

(на основе данных [7]) дано сравнение числа членов, учитываемых при точном описании процесса многократного рассеяния (8) и при описании по Тверскому (9). Видно, что при больших N различие между точным описанием и описанием по Тверскому пренебрежимо мало.

Уравнение (9), которое называют разложение по Тверскому, полезно при понимании физики процессов рассеяния, но неудобно при

Таблица 1.

Погрешности при точном описании многократного рассеяния и по Тверскому.

Процесс рассеяния Точное решение [(8)] - Е Уоавнение Тверского [(9)] - Т (Е - Т)/Е

Фа ^ падающее 1 1 0

Однократное рассеяние N N 0

Двукратное рассеяние N(N-1) N(N-1) 0

Трехкратное рассеяние N(N-1)2 N(N-^(N-2) 1/(N-1)

Четырехкратное рассеяние N(N-1)= (3N-5)/(N-1)2

вычислении искомых величин. Для этого случая Фолди и Тверским были получены замкнутые интегральные уравнения.

2.2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДИСКРЕТНЫХ РАССЕИВАТЕЛЕй

Рассмотрим, следуя [7, 9], случайную функцию / (поле у/а или произведение полей), которая зависит от параметров всех рассеивателей. Далее рассмотрим усреднение этой функции по ансамблю. Применяя функцию плотности вероятности Ж(1, 2,3, •••, N), среднее значение функции f можно записать в виде:

/ = Ц,,, | /Ж (1,2,3,,,,, х,,,,, N У Ы 2й 3 , (10)

= = , (11)

где (к = (Ихйуй%^ — элементарный объем, (д — учитывает все остальные характеристики рассеивателя, т.е. (д = ( (форма s-го рассеивателя) х( (его ориентация в пространстве) х( (его размер).

Для малой концентрации частиц и малости их размеров по сравнению с расстоянием между ними, можно рассматривать все частицы как точечные, а влияние их размеров сказывается только на характеристиках рассеяния. При этом предположении имеем

Ж (1,2,3, • • • , ^ = ^(1М2) w(3) • • • w( ^ • (12) В случае одинаковых статистических

характеристик частиц

) = ^ ,дя), (13)

осуществляя интегрирование по всем д, получаем (/) = Ц- • -{[/]^( rl)w(r2) • • ^(г,) • • .w(rN ^Г^ •• drN, (14)

где [ / ] — среднее значение f, отвечающее средним характеристикам рассеивателя (форма, ориентация и т.д.).

Функцию плотности вероятности можно интерпретировать следующим образом: w(rs )с1г = вероятность нахождения я-го рассеивателя в элементарном объеме Л; =

число рассеивателей внутри Л; = (15)

полное число рассеивателей в V

= Р(г,

N '

где р(г$ ) — локальная концентрация частиц, т.е. число рассеивателей в единичном объеме. Таким образом

^ (16) N

^ г) = -

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

При постоянной концентрации частиц в объеме Vимеем р = N/ V и w(r) = 1/^ В этом случае среднее значение (14) дается выражением

/ = Я4[/],-PрNрl ^^. (17)

Если [ f ] зависит только от положения г-го рассеивателя и не зависит от положения других рассеивателей, то [ f ] = /г), и можно проинтегрировать (17) по всем г, ..., г., за исключением г . Так как

| Мг^(г) = 1^ = 1,

получаем

(/(г)> = { / (г)

РГ)

N

Лг.

(18)

/ (г,, г, )> = Ц / (г,, г, .

(19)

не является реальным физическим полем, а скорее это чисто математическое построение. Действительно, если мы восстановим временный гармонический фактор ехр(-гш!), который мы до сих пор опускаем ради краткости, мы должны заключить, что среднее фактического

электрического поля равно нулю

í+т

1

— | Л' ехр(-/0,')

т >>2п/®

= 0.

Пространственные интегрирования

выполняются по всему объему V.

Если [ f ] зависит от положения двух различных рассеивателей (г-го и /-го), то, записав

и] = Aг,, получаем

р(г Мг X

Соотношения (18) и (19) легко обобщаются на любое число рассеивателей. При больших концентрациях рассеивателей необходимо вводить двухточечную функцию распределения вероятностей [2, 22-24].

2.3. основное интегральное уравнение Фолди-Тверского для когерентного поля

Предположим теперь, что частицы, заполняющие объем V, случайным образом перемещаются, и рассмотрим поле во внутренней точке г ^ V. В общем случае поле у/а изменяется во времени из-за случайных временных вариаций координат частиц, хотя и гораздо медленнее, чем из-за временного фактора ехр(-ш/). Типичное измерение занимает значительное количество времени, в течение которого электромагнитный сигнал усредняется по репрезентативному набору положений и состояний частиц. Следовательно, часто удобно разложить поле уа на среднее (или когерентное) поле и флуктуационное

(или некогерентное) поле у/" .

Статистическое усреднение выполняется по тем координатам и состояниям всех частиц, которые физически реализуемы в течение времени измерения. Очень важно признать, что определяемое таким образом когерентное поле

Напротив, когерентное поле не исчезает, поскольку оно определяется как среднее по времени части электрического поля, которое не включает множитель ехр(-г'&«). Единственная причина введения когерентного поля состоит в том, что оно в конечном итоге появится в формулах для величин, которые описывают многократно рассеянное излучение и может быть фактически измерено с помощью подходящего устройства. Эти величины определяются таким образом, что фактор ехр(-гш!) естественно исчезает при умножении на его комплексно-сопряженный аналог.

Квадрат амплитуды среднего поля есть

когерентная интенсивность . Средний

квадрат амплитуды флуктуационного поля есть

некогерентная интенсивность /|у/| \ • Полная интенсивность представляет собой средний

квадрат амплитуды полного поля ^||а| ^ и равна сумме когерентной и некогерентной интенсивностей

¥"\2) = (||а) + 112) = 112 +|;|2). (20) Кратко на качественном уровне рассмотрим, следуя [2, 7, 9], нормальное падение плоской волны на полубесконечную область со случайными рассеивателями. Когерентная интенсивность уменьшается из-за рассеяния и поглощения по закону

С = когерентная интенсивность = ехр(-рог1), (21) где о^ - сумма сечений рассеяния и поглощения.

С другой стороны, рассеянная мощность — это некогерентная мощность, она дает вклад в полную интенсивность. В результате полная интенсивность Т по существу зависит только от поглощения, так что

Т = полная интенсивность ~ ехр(-ро а1). (22) Поэтому некогерентную интенсивность I можно аппроксимировать выражением

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

I « ехр(-р°аг) - ехр(-,). (23)

В теории переноса когерентная и некогерентная интенсивности отвечают ослабленной падающей и диффузной интенсивностям соответственно.

Рассмотрим когерентное поле, используя теорию Тверского и уравнение (9). Тогда

N N

(24)

¥а)=фф+2\<фф)+2 2 (пуф)+

,=1 ,=1 ,=1,, ^ ,

NN N

+2 2 2 {пууж)+...

,=1 I=1,, т=\,тФ1, тФ,

или с использованием уравнений (17)-(19):

1 = ФФ +2\ <ФХг ж +

N N

+2 2 Я"ХФ>(г мг +

,=1 г=1,,

+2 2 2 ¡ЦпУХфтЧ1;М^М^+ ...

,=1 г=1,г т =1,т ф, ,т

С учетом (16), получим 1 = фф + \ пфрг )Лг, +

+ N^2 1) ЦпУф!Р(г, )Р(г, )dГJdГг + (26)

N(N -1)(N - 2) ,

(25)

N3

-¡¡¡пХп'тфтр^ )Рг )р(гт )ЛГ,Лг,Лг т + .

,=1 ,=1 N N N N

, Р(Г )Р(г)

N2

Лг,Лг( = (28)

¥а) = фф + \п; У )Лг,, (29)

так как интегрирование (29) приводит к (27).

Интегральное уравнение (29) есть основное уравнение для когерентного поля в теории Тверского. Фолди получил его как некоторую аппроксимацию, а Тверской установил

его физический смысл. Величина (у"^ , определяемая интегральным уравнением (29), по существу совпадает со средним значением поля уа , изображенного на рис. 5,а. 2.4. интегральное уравнение Тверского для корреляционной функции

Рассмотрим физическое содержание

интегрального уравнения Тверского для интенсивности, согласующееся с интегральным уравнением Фолди-Тверского (29) для когерентного поля [7, 9]. Интегральное уравнение Тверского можно записать в виде

У*|2)Р(г,, (30)

ь*

У У = {У

¥ь*)+\ууъ:

В пределе N ^ ® имеем

у) = фф +\пффр^ )Лг, + +ЦпХф Р(г, )р(г, )ЛгА + (27)

+\\\п»т фтр(г, Р )Р(гт ^А^т + ...

При выводе (27) были использованы соотношения

2<ф;} = 2 \ (пф) РТ ^ = \ пф Р(Г )Лг,,

2 2 «хф; =2 2 \\«ф!,

= \\паУЖР(г* )Р(г, )ЛгА, что в пределе N ^ ® дает

{{«ф/ р(г, )р(г, )ЛГА.

Заметим, что индексы г, ... больше не являются индексами суммирования и используются только для обозначения разных переменных интегрирования. Уравнение (27) является полной векторной версией решения, полученного Тверским (1964) для скалярных волн.

Разложение (27) эквивалентно интегральному уравнению Фолди-Тверского

где Vs удовлетворяет интегральному уравнению

V = п;+\ пур(г , (31)

звездочка указывает на переход к комплексно-сопряженной величине.

Второй момент поля (уауь*^ определяется парой интегральных уравнений (30) и (31). Для пояснения физического смысла этих уравнений необходимо взять итерации этих уравнений. Для уравнения (31) имеем

Vа = П;+\ п»^ )Лг, + г (32)

«О^)Р(гт)ЛАт + ...

В (32) первый член п; описывает рассеяние на рассеивателе г, который находится в точке га (рис. 6).

Рис. 6. Процессы рассеяния для Vas .

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Второй член в (32) в пределе N ^ ® имеет вид

N

| пх рг № = т , (зз)

г=1,г ф:

где угловые скобки ( ): означают усреднение по характеристикам рассеивателя / в предположении, что параметры частицы s фиксированы.

Выражение (33) описывает волну, рассеянную сначала частицей s, а затем частицей t и достигающую точки гу Третий член в (32) описывает распространение волны от частицы ^ к частице т, затем к частице / и, наконец, в точку гу Таким образом, V описывает все процессы многократного рассеяния от частицы s к точке а с участием различных рассеивателей, как показано на рис. 6.

Аналогично [7, 9] проинтегрируем интегральное уравнение (30):

у у)=у {^')+\у>ь: |и |2 р(г: )ск, + +\у»:< у )г р(г:)р(гса + (34)

\ут)\2 р(г: р )р(гш ^гсг^+• • •

Первый член (34), имеющий вид ^у(уъ, есть произведение когерентного поля в точке а на комплексно-сопряженное когерентное поле в точке Ь. Поскольку представляет собой

среднее значение поля у а , которое соответствует сумме всех многократных рассеяний, показанных на рис. 5,а, этот член можно изобразить, как показано на рис. 7,а.

Следующий член

|2 Р(Г: )СГ:

представляет волну в точке а, порожденную процессом рассеяния (рис. 6) когерентного поля в точке s, и волну в точке Ь, обусловленную рассеянием комплексно-сопряженного поля ух . Этот член показан на рис. 7,б. Аналогичное изображение третьего члена приведено на рис. 7,в.

При продолжении этого процесса, мы приходим к выводу, что интегральное уравнение Тверского можно получить, усредняя произведение полей

а / Ъ*\

у и у >, даваемых основными процессами рассеяния (9), проиллюстрированными на рис. 5,а. Таким образом, как интегральное уравнение Фолди-Тверского для когерентного поля, так и интегральное уравнение Тверского для интенсивности учитывают одни и те же процессы рассеяния, описываемые выражением (9), и поэтому эти уравнения согласуются друг с другом.

Заметим, что эти уравнения соответствуют первому сглаженному приближению в более строгих уравнениях Дайсона и Бете-Солпитера, которые можно вывести с помощью диаграммных методов [6, 7, 9]. 2.5. Когерентное поле

Рассмотрим случай нормального падения плоской волны на слой толщиной ( , содержащий большое число рассеивателей [7, 9]. Падающая волна, распространяющаяся вдоль оси дается выражением

Ф (г) = ^ (35)

Необходимо определить когерентное поле (у) внутри слоя, которое удовлетворяет интегральному уравнению Фолди-Тверского (29). Когерентное поле (у}, также, как и

- И Л V * ЧГ^гй; *

&У ¿¡У ----- *

а & в

Рис. 7. Процессы рассеяния, соответствующие первому (а), второму (б) и третьему (в) членам уравнения (34).

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

геометрия слоя, не зависит от координат х и у, поэтому УУ должно соответствовать плоской волне, распространяющейся в направлении +£ В случае расположения точки га в дальней зоне по отношению к рассеивателю в точке га приближенно

< И = f (0,i)

exp (ik \ra - rj)

Г

(36)

Jkz

1

А = 1, K = k + -

k

(41)

(V2 + K2) (y(r)) = 0 v b + 2nf i )P

где K = k +--.

(42)

г - г

I а : I

где 1 — единичный вектор в направлении

распространения (уУ^, 0 — единичный вектор в направлении г — г.

а .г

Используя (35) и (36), приведем интегральное уравнение (29) к виду

У( г)) = +

+{оЧ £ Сх, £ Су:/(0,1 )еХР ^ Г:| ^ Р(г) У(г, )>• (37

При нахождении когерентного поля внутри слоя 0 < ^ < ( интегрирование в (37) по переменным х^ и у выполним методом стационарной фазы. Тогда, пренебрегая в итоговом выражении интегралом с множителем / (—1,1) — амплитуда рассеяния назад, интегральное уравнение (37) принимает вид У( г)) = е'кк +

+ еХР[/к(г — г: )]/(1, 1)Р(г: ) (У(г: )) • ^ ^

Предполагая далее плотность частиц постоянной, имеем

У( г)) =

Отметим [7], что амплитуда рассеяния / (1,1) — комплексная величина, даже в случае непоглощающих рассеивателей. Поэтому в процессе распространения когерентное поле У(г)^ ослабляется. Данный вид ослабления обусловлен рассеянием и связан с сечением рассеяния. Для пояснения, рассмотрим когерентную интенсивность плоской падающей волны. В этом случае имеем

\{v( z = exP j-

4np

Im f (i, i)

(43)

Согласно оптической теореме, следующей из закона сохранения энергии, при рассеянии волн

4п ~ ~

— Im f (i, i) = &s+&a , k

(44)

где о^ — сечение рассеяния, оа — сечение поглощения, т.е. изымаемая из падающей волны энергия идет на рассеяние и поглощение.

Поэтому формула (43) принимает вид

|(у(г))|2 = ехр[—р(^ +аа)г], 0 < г < С• (45)

Для области вне слоя ^ > ( необходимо подставить (40) в (39) и заменить верхний предел интеграла на ( . В результате получим

{у( г)) = ехр[КС +1к (г — С)], (46)

^n~f([,[)p\0> exP(-ikzs)] W(zs ^dzs • ( ^

Интегральное уравнение (39) решается точно при использовании подстановки

z)) = AeiKz • (40)

В результате получим

2nf (i ,i )p

Решение (40) и (41) означает, что при падении плоской волны на слой среднее поле распространяется в нем с постоянной распространения К.

В общем случае произвольной падающей на слой волны среднее поле (у) можно описать, считая, что оно удовлетворяет волновому уравнению

У(г))| = ехр[—р(а, + ^а)С], г > С• (47)

Таким образом, когерентная интенсивность ослабляется экспоненциально, причем постоянная ослабления пропорциональна плотности рассеивателей и полному сечению (о, + Оа).

Хотя проведенный анализ относится к случаю падения на слой плоской волны, обобщение такого подхода с помощью уравнения (42) оказывается хорошим приближением для многих практических ситуаций.

2.6. ФРАКТАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ

Сначала дадим краткий обзор существующих теоретических методов определения

электродинамических характеристик одной частицы. Эти величины также необходимы для описания рассеяния волн на отдельной

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

случайной частице, а также на небольшой группе случайных частиц.

Рассеяние света одной частицей в основном зависит от трех ключевых факторов: размера рассеивателя (по сравнению с длиной волны), его формы и показателя преломления. Неограниченная изменчивость частиц в естественных и антропогенных средах является непреодолимой проблемой при теоретическом описании процессов распространения и рассеяния волн на таких частицах или в кластерах из таких рассеивателей.

Случай сферически-симметричных частиц является исключением, поскольку с ним можно легко справиться с использованием классической теории Лоренца-Ми (очень эффективной и численно точной) или одного из ее расширений. Большинство существующих точных теоретических подходов относятся к одной из двух широких категорий.

Методы дифференциальных уравнений дают рассеянное поле через решение уравнений Максвелла или векторное волновое уравнение в частотной или во временной области, тогда как методы интегральных уравнений основаны на объемных или поверхностных интегральных аналогах уравнений Максвелла.

Любая приближенная теория рассеяния волн основана на упрощающем предположении, что существенно ограничивает ее диапазон применимости. Практическая значимость приближенных теорий уменьшается по мере того, как различные точные методы созревают и становятся применимыми к более широкому кругу проблем, в то время как компьютеры становятся все более мощными.

Однако приближенные теории все еще остаются ценным источником физического понимания процессов рассеяния и поглощения несферическими частицами. Кроме того, вполне вероятно, что по крайней мере одно приближение геометрической оптики никогда не устареет, поскольку его точность улучшается по мере роста параметра размера частиц, тогда как все точные теоретические методы для несферических частиц перестают быть практически пригодными, когда параметр размера превышает определенный порог. Однако этот метод является приблизительным по определению, и его диапазон применимости в

условиях параметра наименьшего размера должен быть проверен путем сравнения полученных результатов с точными численными решениями уравнений Максвелла.

Обзор существующих теоретических и экспериментальных методов определения одночастичных характеристик и дальнейшие ссылки можно найти в книге [28].

В данной работе мы рассматриваем проблему многократного рассеяния только для радиолокационных задач, речь не идет о высокоразрешающей оптике и лидарных системах.

Поэтому фрактальность должна сказываться в первую очередь на пространственном распределении рассеивающих частиц, т.е. речь идет о больших пространственно-временных фрактальных кластерах [12, 13]. Слой снега может быть примером такой фрактальной рассеивающей среды.

Относительно фрактальной формы отдельной частицы (кристаллы льда в облаках и в снежном покрове) можно заметить, что современные теоретические и экспериментальные исследования в оптике и ИК диапазоне показали [9, 12, 13, 28] преобладание достаточно равномерной амплитуды рассеяния f (0,i ) по сравнению с другими формами частиц во всем интервале углов рассеяния 0.180°. 1.7. Модификация классической теории

ФОЛДИ-ТВЕРСКОГО ДЛЯ ФРАКТАЛЬНЫХ

дискретных СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Как хорошо известно, идея фрактальности базируется на отсутствии характеристической длины, т.е. на самоподобии [10, 12-14]. По сути, фрактальная размерность D показывает, как плотно конфигурация среды или объекта заполняет метрическое пространство, в котором они находятся. Для задач рассеяния и дифракции волн применение идей фрактальности широко представлено в книгах [12, 13].

Остановимся далее на некоторых деталях модификации классической теории Фолди-Тверского для фрактальных дискретных случайно-неоднородных сред, учитывая результаты [37].

Предположим, имеется фрактальный объект размером lQ. Из определения фрактальной

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

размерности О следует, что при изменении длины или масштаба от ¿0 до I (I < /0), получается N объектов, содержащих часть фрактала

№

(48)

'к

я

Если все фракталы подобны, то имеем однородный фрактал. Обозначим через Е евклидову размерность, и перепишем (48) в виде

1е . (49)

I

м>(1) =

тЕ 1е

е 0

г1ле - -

V10 J

+1

4 V

+ 1 уауь\*у**у! V*

^ 1 у, у, утут

УК ЖГ МГт )dГsdГгdГm

где

V: = п;+\ пумг, Лг.

Вычислим когерентное поле при нормальном падении плоской волны на фрактальный слой толщиной й, содержащий большое число рассеивателей. Падающее поле имеет вид плоской волны (35), распространяющейся вдоль оси Тогда: |( г)) = е'к +

гл ~ ~ ехр(/'к|г - г I) , . (54)

£ йх, £ )/ (0, 1) ^ , Л) |(2, )). V '

г - Г

Ме =

Функцию плотности вероятности и> (15) для фрактальной среды можно оценить следующим образом. Вероятность занятия фракталом части пространства есть его объем М1Б, разделенный на общий объем 1е . Тогда

(50)

(52)

(53)

Используя вышеприведенную процедуру (см. п. 2.5 данной работы), можно получить, что среднее поле Ц во фрактальной рассеивающей среде удовлетворяет волновому уравнению

(V2 + К2) |(г)) = 0, (55)

где

К = к +

2п/ (¡, 1 Мг) к

(56)

При модификации теории Фолди-Тверского для фрактальной рассеивающей среды в первом приближении необходимо учитывать в интегральных уравнениях для когерентного поля (26) и (27) выражение (50). Тогда

| = фф +\<ф>(г, )йг, + Ц «ф>(г, М г, )йг,йг, + (51)

Й\пУУт ф>(г, Г, )^(Гт + ...

Аналогично можно выполнить такие же математические операции для каскада фракталов, вложенных друг в друга, или для цепочки фракталов. Данные виды сложных фрактальных и мультифрактальных кластеров широко распространены в природе и нанотехнологиях [12-15].

Уравнения (30) и (34) второго момента поля

(у"У ^ для фрактальной рассеивающей среды принимают вид соответственно

ууь*)=у {!*)+! уу; у2) м>(Г, )йг,, у=у уь-)+\ у>ь: \у) |2 ^(г, л, +

\у»Х* Ц|2 "(г,)м>(г,)йг,йг, +

Интегральное уравнение (29) в соответствии с (37) для фрактального слоя имеет вид

У( 2)) = ек +

+\0йй2,£йх,£йу/(0, 1)ехр(^к-Гг- ^) ^(2,) 1(2,)). (57)

Из решения волнового уравнения (55) когерентная интенсивность плоской падающей волны равна

|( 2 ))|2 = ехр ^[П^1т / (1,1)]^. (58)

Для фрактального слоя толщиной d когерентная интенсивность плоской падающей волны с учетом оптической теоремы (44) и уравнений (45) и (47) имеет вид

|(2= ехр[-^(Г )(0 +0а )й], для Ъ > (59)

|( 2 ))|2 = ехр[-^(г )г (о +оа) 2 ], для 0 < г < с1. (60)

Таким образом, на основе модификации классической теории Фолди-Тверского получена развитая общая теория для многократного рассеяния волн во фрактальных случайно-неоднородных средах.

3. РАДИОЛОКАЦИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ЦЕЛЕЙ

Модифицированный метод Фолди-Тверского для многократного рассеяния волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

имеет весьма общий характер и позволяет единым образом рассматривать большое число волновых явлений, порождаемых теорией фракталов и практикой их применения. Построенная модификация теории многократного рассеяния позволила включить в рассмотрение значения фрактальной размерности О и фрактальной сигнатуры О(г, ¿) неупорядоченной большой системы, что позволяет обосновать решения для анизотропных неупорядоченных больших фрактальных систем.

В настоящей работе исследованы процессы обратного рассеяния, характерные для радиолокации. При радиолокационном зондировании цели в атмосфере зависимость мощности принимаемого сигнала от дальности г хорошо известна, по меньшей мере, в двух идеальных случаях. Мощность сигнала от точечной цели падает как обратная четвертая степень от дальности наблюдения и как обратный квадрат от дальности для однородной среды. Неоднородные природные среды, такие как средняя атмосфера, имеют прерывистые или неоднородные структуры, которые не соответствуют ни одному из этих случаев. Тонкие, вертикально стратифицированные волнистые слои турбулентности часто наблюдаются во всей средней атмосфере. Поэтому справедливость

точной зависимости мощности сигнала от г или

-2 " г в радиолокационных экспериментах средней

атмосферы остается сомнительной [29].

Многие природные объекты, имеющие структурные элементы в иерархии пространственно-временных масштабов,

бросают вызов плавным функциям. Их структура может убедительно представлена с помощью фракталов [12, 13]. Поэтому при фрактальном моделировании интерес представляют промежуточные случаи неоднородных или случайно-неоднородных сред. Такие реальные фрактальные модели, которые включают и эффекты стратификации, могут быть полезны в радиофизических и радиолокационных исследованиях.

В работе исследована для радиолокационного случая зависимость принимаемой мощности от фрактальной сигнатуры лоцируемого объема или цели. Показано, что фрактальная сигнатура может быть использована для исследования

зависимости объемного рассеяния от расстояния. Теоретические исследования согласуются с ранее опубликованными результатами зарубежных авторов.

3.1. Уравнение радиолокации в двух

ИДЕАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ ЗОНДИРОВАНИЯ

Изменение мощности рассеянного сигнала Р в двух идеальных случаях дается уравнением радиолокации. Рассмотрим моностатический радиолокационный эксперимент на длине волны (частота£), размер апертуры антенны (, коэффициент усиления антенны О = 4пА/^2, где А — эффективная площадь антенны. Ширина диаграммы направленности антенны 0а = а^0/(, коэффициент а ~ 1. Считаем, что цель находится в дальней зоне.

Вначале рассмотрим точечную цель с эффективным сечением о, расположенную на дальности /.Принятая мощность сигнала определяется уравнением радиолокации

л = РО

А г РА2 Ьа

-х Ь = ■

2 хах--хЬ = г , (61)

4жг2 4пг 4П02 г

где - мощность передатчика, Ь—коэффициент, учитывающий все потери. Видно, что падает с

-4

дальностью г как г .

Далее рассмотрим однородный ансамбль множества случайно распределенных

в пространстве точечных целей. Если предположить, что точечные цели являются статистически независимыми, то мощность принятого сигнала Р получается суммированием энергетических вкладов от всех точечных целей в ансамбле. Эффективность рассеяния ансамблем электромагнитных волн определяется сечением о^, на единицу объема. Область среды, которая вносит вклад в Р находится на расстоянии г и определяется шириной луча 0а и радиальным разрешением Аг. Таким образом, эффективный объем, дающий вклад в Р равен V = /280Аг, где = 62а / 4 - телесный угол луча. Тогда уравнение радиолокации принимает вид

РО „ А г РАа2 Ь

Р =

- х Уа х -

-хЬ = ■

-хАгсту • (62)

4п 4пг2 64г

Зависимость Р как обратный квадрат от дальности г определяется тем, что объем V увеличивается как г2, а из уравнения (1) следует, что энергетический вклад каждой точечной цели в объем Vубывает как г"4. Кроме того, Р не

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

зависит от длины волны радиолокатора А кроме как через о.

Еще один случай возникает при зондировании земной поверхности под малыми углами скольжения 3. В этом случае площадь наземной распределенной цели, освещенной лучом антенны, линейно возрастает с дальностью г. Предполагая статистическую независимость элементарных рассеивателей распределенной цели, получаем, что мощность Р с увеличением дальности падает как г.

Предположение о статистической

независимости точечных целей в плоской области или объеме обычно требует осторожности. Так в [29, с. 192] есть утверждение, что "... проблемы, связанные с влиянием местных предметов, достаточно сложны и пока полностью не решены. Лишь сравнительно недавно специалисты по метеорологической радиолокации стали уделять внимание этой области исследований". Точная степенная зависимость Р от дальности г является функцией от того, как эти неоднородности или неровности заполнят область рассеяния. Эта

-4 "

зависимость варьируется от г для точечной цели до г для однородной среды, которая полностью заполняет всю область рассеяния V.

Промежуточные случаи очень важны при зондировании реальных случайно-неоднородных сред, но не поддаются анализу. Автору известна лишь одна работа по компьютерному моделированию рассеяния волн средами с частичным заполнением пространства зондирования на основе фрактального приближения [30] (см. также [12, 13]). В разделах 3.3 и 3.4 мы представим основные результаты этой работы для проведения дальнейшего исследования. 3.2. ФРАКТАЛЫ КАК МОДЕЛИ ИЕРАРХИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБОВ Теория фракталов впервые разработана и представлена миру великим математиком Б. Мандельбротом (1924-2010 гг.). Это произошло в 1975 году. Глобальное внедрение математики и физики фракталов в радиофизику, радиолокацию и в широкий спектр других научных направлений проводится автором данной работы, начиная с 1979 года [12, 13]. На рис. 8 показаны избранные примеры фрактальных множеств.

В работе [30] проведено цифровое моделирование планарных фрактальных целей. Область пространства последовательно делится

на ячейки меньшего размера, в конечном итоге сводящиеся к изотропным точечным целям. Процесс начинается с единичного квадрата

(Евклидова размерность Е = 2). Затем квадрат

2 " -1 делится на п равных подъячеек со стороной п1,

и этот процесс повторяется. Размерность Е = 2

евклидова пространства сохраняется, т.к. Е = 2 =

log(n2)/log(n).

Предположим теперь, что на этапе деления

заполняется только р > п1 подъячеек, и процесс

рекурсивно продолжается для этих заполненных

«а «я ■« «я

-- я» ря

■я яр ря

<Л . " ri

> ■ ■ ■ ■ ■ и ■

АЛЛ ИИ II И III II' HB II ■■ ■■ ■■ ■■

Г™ о 1Я «1 PI IH ив гч к» г ■

. Ч с л " " №Ш м •• •>

лГ1л> 1лГ 1л ИМ пи III ■: "" "" "" "

Рис. 8.1. Примеры фракталов: кривая Коха и ее построение (слева), острова Коха (вверху в центре), пыль Кантора (внизу и справа 2D в увеличенном масштабе).

Рис. 8.2. Фрактал Чезаро представляет собой вариант кривой Коха с углом между 60° и 90° (здесь 85°), 1D.

Рис. 8.3. Варианты: Поверхность Коха (продление кривой Коха на 20).

Рис. 8.4. Варианты: Кривая Коха — 30. Трехмерный фрактал из кривых Коха. Форму можно рассматривать как трехмерное расширение кривой в том же смысле, что пирамиду Серпинского и губку Менгера можно рассматривать как расширение треугольника Серпинского и салфетки Серпинского.

Л с

16 ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

подъячеек. После цикла итераций единичный квадрат заполняется случайным паттерном точек конечных размеров. Фрактальная размерность D этого паттерна не более Е, но может быть близка к 0. На каждой итерации число подъячеек, охватываемых паттерном, равно рп2, а их сторона уменьшается множителем п. Фрактальную размерность О теперь можно определить, как {2 + 1og(p)/1og(n)}. Добавочный фактор фактически отрицателен или равен нулю, так какр < 1.

Фракцию р можно также рассматривать как вероятность. Полученный паттерн действительно случаен и статистически самоподобен при увеличении. Степень, в которой случайный паттерн точек заполняет единичный квадрат, можно контролировать, выбирая значение р.

Когда р = п1, величина О становится равной нулю. Расширение на Е = 3 очевидно с О = 1og(pn3)/1og(n). Примеры реализаций случайных точек на плоскости показаны на рис. 9.

Эти точки можно рассматривать как случайные точечные радиолокационные цели. Такие примеры служат основой для численных экспериментов, описанных ниже. 3.3. Рассеяние волн во фрактальной среде: первое численное моделирование В работе [30] численно моделировался процесс радиолокационного рассеяния для изучения вариаций мощности принимаемого сигнала

при изменении дальности до цели, длины зондирующей волны и непосредственно характера пространственной цели.

Каждой точечной цели присваивается значение эффективного сечения рассеяния. Точечная цель г. в точке г освещается равномерным по 0 пучком. Поле рассеяния Е на приемной антенне в предположении дальней зоны изменяется с расстоянием г до точечной цели как (г)-2, а его фаза -4лгД0. Комплексный сигнал V на выходе приемника линейно

связан с Е.. Мощность сигнала Р от ансамбля

г

точечных целей определяется из накопленного комплексного напряжения V = V, как Р. = т*.

Следует отметить, что этот метод определения Р дает "истинную" мощность сигнала для любой произвольной структуры цели. Он не предполагает статистической независимости точечных целей, и все фазовые факторы неотъемлемо включены в вычисления.

В реальном моделировании для снятия вычислительных ограничений были рассмотрены только планарные цели, которые представляют собой двумерные ансамбли точечных целей (Рис. 9). Это ограничивает нас значениями О < 2 внутри евклидова пространства размерности Е = 3.

Ориентация планарной мишени

относительно луча радиолокатора показана на

Рис. 9. Случайные паттерны точек на сетке 256^256. На каждом этапе деления ячейка делится на 4^4 = 16 подъячеек, которые затем выбираются с вероятностью р > 4'2. Этапы повторяются четыре раза из-за конечного размера пикселей. Параметры р и D увеличиваются слева направо. Для каждого случая показаны две разные реализации. Такие паттерны моделируют конкретные реализации точечных целей в распределенной случайной среде. Фрактальная размерность D, контролируемая вероятностьюр, определяет степень, в которой среда заполняет плоскость [30].

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

рис. 10. Луч радиолокатора направлен под углом в от зенита. Плоская мишень ориентирована вертикально, в плоскости, определяемой зенитом и осью луча радиолокатора. Только эта часть планарной цели (выделенная штриховкой на рис. 10), которая пересекается с радиолокационным объемом на расстоянии г, образует сигнал, полученный с этого диапазона дальности. Плоская цель образуется фрактальной реализацией точек, таких как показанные на рис. 9.

Фрактальные реализации планарных целей с О < 2 генерируются путем первого разбиения области 4096^4096 точек на 16 клеток размером 4^4. Каждая подъячейка затем аналогично подразделяется итеративно.

Общее число итераций в этом разделении составляет шесть (40 96 = 46). В каждой итерации подъячейка включается с вероятностью р. Типичные реализации случайных точек на плоскости показаны на рис. 9. Следует отметить, что подъячейки имеют различные горизонтальные и вертикальные границы, как артефакт простой фрактальной модели, используемой здесь. Полное моделирование объемной цели с 40963 или ~69 миллиардами точек явно нецелесообразно по вычислительным причинам.

С физической точки зрения линейный размер 0.1 м связан с каждой точечной целью. Линейный размер области рассеяния составляет ~0.4 км. Для упрощения вычислений ширина луча и радиальное разрешение поддерживаются

Radar X

Рис. 10. Геометрия зондирования фрактальной цели.

постоянными, а именно, в = 0.9° и Аг = 0.32

3 3 а

км. Использовались пять значений для каждого из следующих параметров: номинальный диапазон г от 5 до 20 км, зенитный угол в от 0 до 20° и длина волны от 3 до 1 м. Параметр вероятности р, который контролирует фрактальную размерность О, изменялся от 0.3 до 0.7 с шагом 0.1. Для каждого из 625 отдельных случаев значение Рг усреднялось по 20 различным реализациям. Скейлинг или закон масштабирования для зависимости Рг от любого параметра, например, дальности, затем получается путем регрессионного анализа. Далее обсуждается только зависимость мощности

сигнала Р от диапазона г.

г

Значения параметров характерны для типичных экспериментальных радиолокаторов средней атмосферы [29]. На некоторых радарах, которые используют большие антенны, эффекты ближнего поля значительны. Они просты во включении и будут представлять интерес для нашей будущей работы, поскольку радиолокационные уравнения, приведенные выше, действительны только для дальней зоны. 3.4. Рассеяние волн во фрактальной среде: результаты численного моделирования Для зависимости мощности рассеянного сигнала от диапазона дальности определяем это отношение в форме степенного закона [12, 13, 30]: Р, = г~р. (63)

Показатель в равен 4.0 для точечной цели и 2.0 для цели, которая пространственно заполняет луч, то есть О = 3.

Показатель в был получен в [30] линейной регрессией 1og(Ps) на 1og(r) в описанном выше численном эксперименте для пяти различных значений О между 1.13 и 1.74 при длине волны = 2.5 м и угле зондирования в = 10°. На рис. 11 показано изменение параметра в от величины О для пяти значений фрактальной размерности О.

Экстремальные случаи для О = 0 и О = 3 на рис. 11 также идентифицированы. Изображены линейные регрессии по методу наименьших квадратов, соответствующие пяти рассчитанным точкам, и кубический сплайн, соответствующий всем семи точкам. Для планарных целей с О~1.9 получено в ~2.22. Следовательно, объемный

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Р

Рис. 11. Изменение параметра в в зависимости от фрактальной размерности О рассеивающей среды. Экстремальные случаи точечной мишени (О = 0) и объемного рассеяния однородной случайной средой (О = 3) показаны светлыми кружками. Черные кружки -средние значения более чем по 20 реализациям в численном эксперименте. Пунктирная линия — метод наименьших квадратов. Сплошная линия - кубический сплайн, проходящий через все семь точек Параметр в сначала падает линейно с увеличением О, но замедляется вблизи О ~ 2 в случае

объемного рассеяния: Х0 = 2.5 м, в = 10°. случай (в = 2) достаточно высок для целей, которые только стремятся заполнить плоскость.

Подгонка сплайнов показывает, что для О ~ 2.2 предел объемного рассеяния при в = 2.0 держится с точностью до 5% и этот предел хорошо достигается, если О > 2.4.

Как отмечено в [30], вышеприведенный результат не обязательно выполняется для всех ориентаций планарной мишени. Для планарной цели, ориентированной перпендикулярно оси пучка и для всех целей вблизи вертикального падения, сигналы от точечных мишеней в зоне Френеля формируются когерентно. Эти когерентные отражения, наблюдаемые во многих радиолокационных экспериментах [31-33], также были замечены в численных экспериментах и рассматриваются далее. Когерентные отражения производятся границами подъячейки при почти перпендикулярном падении.

Интересно подумать, как результаты, показанные на рис. 11, относятся к диапазонной зависимости (г3) мощности наземных помех (Р) для радиолокаторов, что кратко обсуждалось в разделе 2.1. Эта ситуация соответствует

почти горизонтальному лучу антенны (в ~ 90°) и горизонтальной плоской цели, которая содержит статистически независимые элементы. Ориентация этой планарной цели, однако, ортогональна тому, что показано на рис. 10. Ее можно рассматривать как совокупность многих статистически независимых линейных целей, которые все параллельны лучу. Каждая из этих линейных целей соответствует фрактальной размерности О = 1 на рис. 11. Из предполагаемой статистической независимости этих линейных целей показатель степенной зависимости Р^ должен быть таким же, как для О = 1. Фактическое значение этого показателя в составляет ~3.07 на рис. 11. Несоответствие 0.07 в показателе может быть связано с некоторыми двухточечными корреляциями внутри подъячейки, вопреки предполагаемой статистической независимости между точечными целями, и возможной угловой (0) зависимостью в численных экспериментах [30].

Простая фрактальная модель случайной среды, представленная в [30], еще далека от реалистичной, поскольку она не включает пространственную неоднородность, проявляющуюся в

стратифицированных слоях турбулентности, обычно наблюдаемых в атмосфере [34, 35]. Улучшенные фрактальные модели, например, те, которые используют анизотропный каскад [12, 13, 36, 37], успешно представляют такие слои и могут быть использованы в будущем. 3.5. Рассеяние волн во фрактальной среде и УРАВНЕНИЕ радиолокации

Теория многократного рассеяния

электромагнитных волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах представлена автором в [12, 13]. Здесь мы покажем, как можно использовать полученные результаты при анализе радиолокационных сигналов, когда объем рассеяния зависит от фрактальной размерности О или фрактальной сигнатуры О(г, /). В соответствии с теорией рассеяния волн можно определить поперечный профиль рассеяния ^ и поперечный профиль поглощения (которые можно измерить

экспериментально) в виде

Е=' Е=' (64)

5 а

где — введенный формулой (50) относительный объем фрактала.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Соответственно, моменты поля для фрактальной среды равны (51-53).

Рассчитаем значение обратно рассеянного сигнала от фрактальной среды (рис. 10) с использованием классического уравнения радиолокации. Мощность принятого сигнала определяется уравнением радиолокации

Р.=и

Р

1

4пг1 4пг2

Р=

С учетом (64)

Р Т

4п * * 4пг1 г2

Р =

лр Т,

"И гV

4п2 -1 -1 г12 г22

Г 1 Л»-^

V 1оу

е"2л(г2 - ^ СгЖ =

/Р Т,

4п2

- [г1ёг1сСв1 [г2Сг2Св2 —^

2

( I ^-*

V10 J

е

-2Й (,2 - )

Р=

где

4п

Я г 2 г

/ \°-2 (|%Л

2 Ы 2 2 Ч 2

е"2л-Сг.ёг,

—11 / 2

(69)

= [Г12 + - 2^008^-в2)]

1 - С08(в -в2). Следовательно, мощность рассеянного сигнала с учетом результатов [37]:

ЛР т

в01 вП2

Р =

4п

| | [1 - С08(в -в2)(»-2)/2]^в2 X

г + (Дг/2) г+(Дг/2) 2(»-2)/2^О-2

< / Сг1 / —ГЗ^БГГ

г-(Дг/2) г-(Дг/2) 0

е-2Л( г-г) ^ =

2(О-2)/2 ^ Т

4п2г4-°/п°-2 ~1у1в'

г-(Дг/2) г-(Дг/2) в01 в02

1в = | Св1 | [1 - С0Б(в1 - в2)(О-2)/2]С1в2,

01 02

Следовательно, на основании (70) можно заключить, что для фрактальной среды выполняется соотношение 1

Р х-

(73)

(65)

{{—^-^СгА. (66)

Д.ТГГ Г №

Используя формулу (50) для относительного объема фрактала и результаты [37], имеем

(67)

где 10 — размер фрактальной цели, I — сравнима с длиной волны, I < 10.

Для дальней зоны г. ~ г2 ~ г и плоской цели Е = 2. Тогда

/Р т

(68)

(70)

В выражении (70) интегралы I и 1д имеют вид соответственно

г+(Дг/2) г+(Дг/2) . . ч

^ = | Сг | е-(-С, = ^, (71)

(72)

Полученный результат (73) совпадает с экспериментальными данными на рис. 11 (прямолинейная часть графика) из работы [30].

Для 3О-среды легко получить с учетом того, что в этом случае Е = 3, следующее соотношение [37]:

Р, х ^. (74)

Данный результат (74) согласуется с экспериментальными данными на рис. 11 (криволинейная часть графика) из работы [30].

Как отмечено в работе [37], приведенные результаты показывают, что по отраженному радиолокационному сигналу можно оценить фрактальную размерность О зондируемой фрактальной среды или фрактальной цели (такой, как динамический слой снега и т.д., см. также работы [12, 13, 26, 27, 37-40]).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ранее построенная модификация теории многократного рассеяния позволила включить в рассмотрение значение фрактальной размерности О или фрактальной сигнатуры О(г, /) неупорядоченной системы.

На основе модифицированного метода Фолди-Тверского для многократного рассеяния волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах [12, 13] аналитически рассмотрено уравнение радиолокации для сугубо фрактальной среды. Показано, что фрактальная сигнатура может быть использована для исследования зависимости объемного рассеяния от расстояния. Теоретические исследования согласуются с ранее опубликованными результатами зарубежных авторов.

Аналогично можно обосновать решение для анизотропных неупорядоченных больших фрактальных систем: каскады фракталов, вложенные друг в друга, графы из цепочек фракталов, перколяционные системы, космический мусор, скопления беспилотников или малоразмерных космических аппаратов (МКА), в том числе мини- и микроклассов, динамические синтезированные космические антенные группировки (кластерные апертуры),

4-О

г

20 ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

малозаметные высотные псевдоспутники (HAPS) и их группировки, пространственно-распределенные космические системы (кластеры) из небольших МКА для решения задач мониторинга чрезвычайных ситуаций и т.д. [12, 13, 38-41].

Настоящее исследование продолжает авторский цикл работ по обоснованию применения теории фракталов, физического скейлинга и дробных операторов в вопросах радиофизики и радиолокации, начатых автором впервые в СССР в ИРЭ АН СССР в конце 70-х годов XX века.

ЛИТЕРАТУРА

1. Foldy LL. The multiple scattering of waves. Phys. Rev., 1945, 67:107-119.

2. Twersky Victor. On propagation in random media of discrete scatterers. Proc. Sympos. Appl. Math. (Am. Math. Soc., Providence, Rhode Island). 1964, 16:84-116.

3. Twersky V. Theory and Microwave Measurements of Higher Statistical Moments of Randomly Scattered Fields. In: Electromagnetic Scattering Proc. of the Interdisciplinary Conference held in June, 1965, at the University of Massachusetts at Amherst, Amherst, MA USA. Eds. R.L. Rowell, R.S. Stein. N.Y., Gordon and Breach, 1967, p. 579-696.

4. Розенберг ГВ. Вектор-параметр Стокса (Матричные методы учёта поляризации излучения в приближении лучевой оптики). УФН, 1955, 56(1):77-110.

5. Барабаненков Ю.Н. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса излучения. УФН, 1975, 117(1):49-78.

6. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть II. Случайные поля.. Под ред. С.М. Рытова. М., Наука, 1978, 464 с.

7. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. В 2-х тт. М., Мир, 1981, т. 1, 280 с.; т. 2б 320 с.

8. Кравцов ЮА, Фейзулин ЗИ, Виноградов АГ. Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. М., Радио и связь, 1983, 224 с.

9. Mishchenko Michael I, Travis Larry D, Lacis Andrew A. Multiple Scattering of Light by Particles:

Radiative Transfer and Coherent Backscattering. N.Y., Cambridge University Press, 2006, 507 p.

10. Mandelbrot B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco, Freeman&Co, 1977, 352 р.

11. Berry M.V. Diffractals. J. Phys. A: Math. Gen, 1979, 12(6):781-797.

12. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.

13. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М., Университетская книга, 2005, 848 с.

14. Потапов А.А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в современных радиосистемах. Дополнение к кн.: Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. Пер. с англ., под ред. Т.Э. Кренкеля. М., Техносфера, 2006, с. 374-479.

15. Alexander A. Potapov. Chaos Theory, Fractals and Scaling in the Radar: A Look from 2015. В кн.: The Foundations of Chaos Revisited: From Poincare to Recent Advancements. Switzerland, Basel, Springer Int. Publ., 2016, p. 195-218.

16. Potapov Alexander A. On the Indicatrixes of Waves Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface. In: Fractal Analysis - Applications in Physics, Engineering and Technology. Ed. Fernando Brambila. Rijeka, InTech, 2017, p. 187-248.

17. Potapov Alexander A. Postulate "The Topology Maximum at the Energy Minimum" for Textural and Fractal-and-Scaling Processing of Multidimensional Super Weak Signals against a Background of Noises. In: Nonineariy: Problems, Solutions and Applications, vol. 2. Ed. Ludmila A. Uvarova, Alexey B. Nadykto, and Anatoly V Latyshev. New York, Nova Science Publ., 2017, p. 35-94.

18. Китаев АЕ, Потапов АА, Рассадин АЭ. Временная эволюция фрактального начального условия при росте поверхности. Труды II Российско-белорусской науч.-техн. конф.

отечественной

оники:

импортозамещение и применение" им. О. В. Лосева (Нижний Новгород, 17-19.11.2015). Н.Новгород, Изд. ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2015, с. 294-297. 19. Китаев АЕ, Потапов АА, Рассадин АЭ. Численно-аналитическая теория возмущений для моделирования роста фрактальной поверхности. Сб. материалов IX Всеросс. науч. конф. "Математическое моделирование

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

развивающейся экономики, экологии и технологий", ЭКОМОД, 2016 (Киров, 04-09.07.2016). Под ред. И.Г. Поспелова и А.В. Шатрова. Киров, Изд. ВятГУ, 2016, с. 262-271.

20. Китаев АЕ, Потапов АА, Рассадин АЭ. Конкуренция гладкого и фрактального профилей при росте поверхности твёрдого тела. Тез. докл. VI Всеросс. конф. и школы молодых ученых и специалистов "Физические и физико-химические основы ионной имплантации" (Нижний Новгород, 24-27.10.2016). Н.Новгород, Изд. ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2016, с. 85-86.

21. Китаев АЕ, Потапов АА, Рассадин АЭ. Точное решение для первого приближения теории возмущений уравнения Кардара-Паризи-Цванга. Тез. докл. Межд. конф.-шк. «Семинар Шильникова 2016.» (Н.Новгород, Россия, 16-17.12.2016). Н.Новгород, ННГУ им. Лобачевского, 2016, с. 22.

22. Куликов ДА, Потапов АА, Рассадин АЭ. Моделирование роста фрактальных структур на поверхности твердых тел с гексагональной и кубической симметрией. Сб. трудов XНауч.-практ. семинара "Актуальные проблемы физики конденсированных сред" и выездной сессии Научного Совета РАН по физике конденсированных сред, посв. 110-летию Х.И. Амирханова (Махачкала, Россия, 06-09.06.2017). Махачкала, Институт физики Дагестанского научного центра РАН, 2017, с. 56-57.

23. Куликов ДА, Потапов АА, Рассадин АЭ, Степанов АВ. Моделирование роста фракталов с цилиндрической образующей на поверхности твердого тела. Тез. докл. Межд. конф. "Сканирующая зондовая микроскопия" (Екатеринбург, 28-30.08.2017). Екатеринбург, Урал. федер. ун-т, 2017, с. 281-282.

24. Куликов ДА, Потапов АА, Рассадин АЭ. Перенос фрактальных профилей и уравнение Кардара-Паризи-Цванга. Труды 10 Межд. науч. конф. "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент", посв. 75-летию со днярожд. проф. З. Жанабаева (Казахстан, Алматы, 1618.06.2017). Алматы, Каз. нац. ун-т им. Аль-Фараби, 2017, с. 82-86.

25. Агаларов АМ, Гаджимурадов ТА, Потапов АА, Рассадин АЭ. Эффекты первичной анизотропии при росте поверхности твердого тела с цилиндрической образующей. Матер.ХЛ Межд. конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы

математики и информатики!', посв. 85-летию проф. Алишаева М.Г. (Махачкала, Россия, 19-22.09.2017). Махачкала, Изд. ДГУ, 2017, с. 18-20.

26. Kulikov DA, Potapov AA, Rassadin AE, Stepanov AV. Model for growth of fractal solid state surface and possibility of its verification by means of atomic force microscopy. IOP Conf. Ser.: Mater. Sa. Eng., 2017, vol. 256, № 012026. doi: 10.1088/1757-899X.256.1.012026.

27. Potapov АА, Rassadin AE, Stepanov AV, Tronov АА. Nonlinear Dynamics of Fractals with Cylindrical Generatrix on Surface of Solid State. Proc. 14th Sino-Russia Symposium on Advanced Materials and Technologies. Ed. Mingxing Jia (Sanya, Hainan Province, China, 28.11-01.12.2017). Beijing, Metallurgical Industry Press, China, 2017, p. 491-493, http://www.cnmip.com.cn.

28. Mishchenko MI, Hovenier JW, Travis LD (eds.) Light Scattering by Nonspherical Particles: Theory, Measurements, and Applications. San Diego, Academic Press, 2000.

29. Довиак Р, Зрнич Д. Доплеровскиерадиолокаторы и метеорологические наблюдения. Л., Гидрометеоиздат, 1988, 512 с.

30. Rastogi PK, Scheucher KF. Range dependence of scattering from a fractal medium: Simulation results. Radio Science, 1990, 25(5):1057-1063.

31. Rottger J, Liu CH. Partial reflection and scattering of VHF radar signals from the clear atmosphere. Geophys. Res. Lett., 1978, 5:357-360.

32. Gage KS, Green JL. Evidence of specular reflections from monostatic VHF radar observations of the stratosphere. Radio Science 1978, 13:991-1001.

33. Woodman RF, Chu Y-H. Aspect sensitivity measurements of VHF backscatter made with the Chung-Li radar: Plausible mechanisms. Radio Saence, 1989, 24:113-125.

34. Fritts DC, Rastogi PK. Convective and dynamical instabilities due to gravity wave motions in the lower and middle atmosphere: Theory and observations. Radio Science, 1985, 20:1247-1277.

35. Rottger J. VHF radar measurements of small-scale and meso-scale dynamical processes in the middle atmosphere. Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A. 1987, 323:611-628.

36. Lovejoy S, Schertzer D. Scale invariance, symmetries and stochastic simulation of atmospheric phenomena. Bull. Am. Meteor. Soc., 1986, 67:21-32.

ПОТАПОВ А.А.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

37. Zhen-song Wang, Bao-wei Lu. The scattering of electromagnetic waves in fractal media. Waves in Random Media, 1994, 4(1):97-l03.

38. Потапов АА. Теория многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах. Часть I. Волны в неупорядоченных фрактальных системах. Сб. докл!. 24 Межд. НТК "Радиолокация, навигация, связЬ' (Воронеж, 18-20.04.2018). Воронеж, 2018.

39. Potapov А.А. Waves in Large Disordered Anisotropic Fractal Systems, in Clusters of Small-Size Space Vehicles, in Synthesized Space Antenna Aggregations - Cluster Apertures, and in Radar. Book of Abstracts Int. Conf.-School "Shilnikov WorkShop 2017' (Nizhni Novgorod, 15-16.12, 2017). N. Novgorod: Lobachevsky State University, 2017, р. 55-56.

40. Potapov A.A. Fractal and topological sustainable methods of overcoming expected uncertainty in the radiolocation of low-contrast targets and in the processing of weak multi-dimensional signals on the background of high-intensity noise: A new direction in the statistical decision theory. Journal of Physics: Conf. Ser., 2017, 918:012015; doi: 10.1088/1742-6596.918.1.012015.

41. Potapov AA, German VA Book of Abstr. 11th Chaotic Modeling and Simulation Intern. Conf. (Rome, Italy: 5-8.06.2018). Rome, ISAST, 2018

Потапов Александр Алексеевич

д.ф.-м.н., действ. член РАЕН

Институт радиотехники и электроники им. В.А.

Котельникова РАН

11/7, ул. Моховая, Москва 125009, Россия

[email protected].

MULTIPLE SCATTERING OF WAVES IN FRACTAL DISCRETE RANDOMLY-INHOMOGENEOUS MEDIA FROM THE POINT OF VIEW OF RADIOLOCATION OF THE SELF-SIMILAR MULTIPLE TARGETS Alexander A. Potapov

Kotel'nikov Institute of Radioengineering and Electronics, Russian Academy of Science, http://cplire.ru

11/7, Mokhovaya str., Moscow 125009, Russian Federation

[email protected]

Abstract: The problems of the general theory of multiple scattering of electromagnetic waves in fractal randomly inhomogeneous media are considered. The modified version of the classical Foldy-Twersky theory, which allowed us to include the values of the fractal dimension D and the fractal signature D(r, t) of a disordered large system, is considered. The backscattering processes characteristic of radiolocation are investigated. The radar equation for a purely fractal medium is analyzed analytically. It is shown that the fractal signature can be used to study the dependence of volume scattering on distance. The present study continues the author's cycle of studies on the justification of the application of the theory of fractals, physical scaling and fractional operators in radiophysics and radiolocation, initiated by the author for the first time in the USSR in the USSR Academy of Sciences in the late 70s of the 20th century.

Keywords: electromagnetic wave scattering, fractal randomly inhomogeneous media, fractal dimension, fractal signature, radiolocation, fractal targets UDC 537.876.23, 530.1, 621.396.96

Bibliography — 41 references Received 25.12.2017 RENSIT, 2018, 10(1):3-22_DOI: 10.17725/rensit.2018.10.003