CC BY
17
2007
Доклады БГУИР
апрель-июнь
№ 2 (18)
УДК 621.391.832.42 + 517.968.22-74:621
МГНОВЕННАЯ КВАДРАТУРНАЯ МОДЕЛЬ УСТРОЙСТВ С АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ КОНВЕРСИЕЙ: ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕБЫШЕВА ВТОРОГО РОДА
Е В. СИНЬКЕВИЧ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 22 ноября 2006
Найдено общее аналитическое решение задачи синтеза квадратурного канала мгновенной квадратурной модели — обратное преобразование Чебышева второго рода. Исследованы свойства преобразования Чебышева второго рода, в т.ч. взаимосвязь амплитудных характеристик различных порядков для квадратурного канала мгновенной квадратурной модели. Получены формулы взаимосвязи преобразований Чебышева первого и второго рода.
Ключевые слова: амплитудно-фазовая конверсия, мгновенная квадратурная модель, преобразования Чебышева, интегральные уравнения Вольтерра.
Введение
В [1] предложена мгновенная квадратурная модель (МКМ) устройств с амплитудно-фазовой конверсией (АФК) — рис. 1. Она предназначена для моделирования указанных устройств по внешним характеристикам — амплитудным (АХ) и фазоамплитудным (ФАХ). Способ моделирования устройств по их внешним характеристикам называется также поведенческим (англ. behavioral simulation) и широко используется при составлении моделей уровня радиосистемы [2-4]. Согласно приведенной в [5] классификации, метод моделирования устройств с АФК по односигнальным АХ и ФАХ называется квазистатическим, а условия его применимости изложены, например, в [2, 6-8].
Термин "мгновенная" в названии МКМ подчеркивает, что в качестве входного воздействия для МКМ используется модель радиосигнала, а не его комплексной огибающей. Такое широкополосное моделирование радиотехнических устройств оправдано, например, в задачах анализа и прогнозирования электромагнитной совместимости радиосистем [9].
Преимущество представленной разновидности МКМ (рис. 1) перед предложенным ранее вариантом ее структуры [10, 11] (рис. 2) — возможность воспроизведения ФАХ четных порядков.
Конкретизируем понятия задач анализа и синтеза применительно к МКМ. Задача анализа МКМ состоит в определении ее АХ и ФАХ всех порядков по мгновенным передаточным характеристикам (МПХ) безынерционных нелинейных преобразователей (БНП) в синфазном и квадратурном каналах (y(x) и g(x) соответственно — см. рис. 1). Задача синтеза МКМ: найти МПХ y(x) и g(x) по известным АХ и ФАХ; последние обычно получают экспериментально или в результате схемотехнического моделирования, существенно реже — теоретически (например, в [6]).
В работе [1] предложены численные методы синтеза МКМ по АХ и ФАХ первого и второго порядков. Аналитические решения задач анализа и синтеза синфазного канала МКМ (фактически — БНП, см. рис. 1) получены в [12]. Цель настоящей работы — разработать соответствующие аналитические методы для квадратурного канала МКМ.
Рис. 1. Мгновенная квадратурная модель Рис. 2. Мгновенная квадратурная модель
(МКМ-Л) [1]. Н — преобразование Гильберта (МКМ-К) [10, 11]
Анализ и синтез синфазного канала мгновенной квадратурной модели:
преобразования Чебышева
Комплексной амплитудной характеристикой порядка i называется зависимость комплексной амплитуды Yi i-й гармоники сигнала на выходе устройства от амплитуды Xy входного гармонического сигнала [7, 6, 13]:
Y(Xy) = Yi (Xy) ej^(Xl), Xy > 0, Yi (Xy) = \Y (Xi)|> 0, i (Xy) = arg[Y (Xy)], j = V_I, i = 0,1,2... ,
где Yi (Xi) и ^ (Xi) - АХ 1 и ФАХ i-го порядка соответственно.
Для БНП комплексные АХ Yji(Xy) являются действительными 2, и их можно вычислить по МПХ y(x) с помощью формулы [12]
Yji (Xy) = Yji (Xy) = П f y (Xy cos e)cos(i-e) de =-j y(x) T (X/Xi ) dx = ChTt [y(x)], (2)
n0 n-sgn(X0 _Xy ^X2 -x2
где e — полная фаза входного гармонического сигнала (e = 2пfyt + ф); sgn(Xy) — знаковая функция с неопределенностью в нуле: sgn(Xy) = Xi/\Xy \; Ti (x) — полином Чебышева первого рода порядка i [14, Is]: Ti(cose) = cos(i-e); ChT[• ] — оператор преобразования Чебышева порядка i (см. ниже).
Выражение (2) совпадает с формулой для расчета i-го коэффициента разложения МПХ БНП y(x) в ряд Фурье по полиномам Чебышева Ti (x) на интервале x е [_XXy] (см. [14, 16])
1 ^
y(x) = -Yi,0(Xi) + XYji(Xy) Ti (x/Xy) (3)
2 i=1
и названо в [12] (прямым) преобразованием Чебышева порядка i для МПХ y(x) .
1 Здесь и далее через У0 (Х1) обозначена удвоенная АХ нулевого порядка. Условимся считать То(X0 е{0; -п}.
2 Действительная АХ У] {(Х1), в отличие от физической АХ ^ (Х1), может принимать отрицательные значения, что соответствует (Х1) = -п (см. формулу (1)).
46
В работе [12] получены формулы обратного преобразования Чебышева, позволяющие:
1) вычислить четную часть уеуеп (х) МПХ БНП у(х) по АХ У1г (Х1) четного порядка г;
2) вычислить нечетную часть уоМ (х) МПХ БНП у(х) по АХ У1 г (Хх) нечетного порядка г.
Обратное преобразование Чебышева г -го порядка имеет вид 1 [12]
п2 Г Г 1 11 (°У21 г
yeven (x) I
,1 f
Jodd (x) J 2 0
YI i (x cos ф) n¿ (sec ф) + xYj i (x cos ф) \
а«ф
о | i luA.j' (4)
где Yj i (Xj) = dYJ i (X^/dX1 ; ni (x) — полиномы, определяемые по правилу
По(x) = 0; nj(x) = 1; п (x) = 2(i -1)Ti-1 (x) + n¿_2(x), i > 2. (5)
При i > 2 левую часть (4) можно вычислить лишь с точностью до полинома порядка i - 2 (см. [12]). Кроме того, из (26) следует необходимое условие сходимости интеграла в (4): Yj i (0) = 0 для i > 2. Поэтому рассматривать постоянное слагаемое YIi (0)/2 в (4) имеет смысл
только для i = 0 .
Обратное преобразование Чебышева (4) можно представить в операторной форме
y(x) = С-[w, ], y(x) = {•££}, i . (6)
Поскольку синфазный канал МКМ представляет собой БНП (см. рис. 1), то для его анализа следует воспользоваться формулой (2), а для синтеза — формулой (4).
Анализ квадратурного канала мгновенной квадратурной модели: преобразование Чебышева второго рода
Для определения комплексных АХ квадратурного канала МКМ рассмотрим его реакцию
gQ (t) = x(t) g(t) (7)
(см. рис. 1) на гармонический входной сигнал
x(t) = X1cos(2n f1t + ф) = X1 cos 0 . (8)
В этом случае [2, 17]
x(t) = X1 sin(2n f1t + ф) = X1 sin 0 , (9)
а выходной сигнал g (t) БНП g (x) можно разложить в ряд Фурье по косинусам [12, 17] 1 ^
g(t) = -Gj,0(X1) + £Gj, (X1) cos(i 0), 0 = 2n ft + ф, (10)
2 i=1
где Gj i (X1) — действительная АХ порядка i БНП g(x), определяемая по формуле (2). Подставив (9) и (10) в (7) и учтя равенство
sin(a) cos(P) = [ sin(P + а) - sin(P - а) ] /2 , (11)
получим
1 Формула (4) представляет собой сокращенную запись двух формул: для получения первой формулы следует взять верхние выражения в фигурных скобках, а для второй формулы - нижние.
gQ (t) = Z Gq,i (X) sin('' 0)' 9 = 2n fit + Ф,
i=i
%i(*i) = [G/>i-i(Xi) - GIt+i(Xi)] • Xi/2, i = 1,2,3..., Gq,o(Xi) - 0, (13)
где Gq i (Xi) — действительная АХ порядка i квадратурного канала МКМ.
Поскольку sin(i 9) = cos(i 9-я/2), то комплексные АХ квадратурного канала МКМ Gq i (Xi) являются мнимыми:
Gq i(Xi) = - jGQi(Xi), i = 0,1,2..., j = л/-1, (14)
а комплексные АХ МКМ в целом определяются формулой (см. рис. 1)
Zt (Xi) = i, i (Xi) - Gq, i (Xi) = 7i, i (Xi) + j • Gq, i (Xi), i = 0,1,2... (15)
Из разложения сигнала gQ (t) в ряд Фурье по синусам (12) следует формула для расчета действительных АХ квадратурного канала Gq.( Xi) по МПХ БНП g (x)
Gq, (Xi) = П f[ g (( cos 9) Xisin 9] sin(i 9) d 9 = X- / g (x)J X2 - x2 (x /X )dx =
п о 1 Xi!n- x1 (16)
= X! СИим [ (х)] = сии г [ (х)], / = 1,2,3... Овго(Х1) - 0,
где иг_1(х) — полином Чебышева второго рода порядка г -1 [14, 15]: иг_1(оо89) = 81п(? 9)Дт(9); СИи1 [• ] — оператор преобразования Чебышева второго рода порядка г (см. ниже); СИиг[• ] — модифицированное преобразование Чебышева второго рода (см. ниже).
Формула (16) обобщает известные выражения для Од 1(Х1) и Од 2(Х1) [1].
Как следует из (16), значение коэффициента передачи квадратурного канала МКМ по амплитуде в г -й гармонической зоне Кд г (Х1) = Од г (Х1)/Х1 совпадает с коэффициентом Сг _1
разложения МПХ БНП g(х) в ряд Фурье по полиномам Чебышева второго рода на интервале
х е [-Х1; Х1] (см. [14, 16]):
x x
g (х) = Х Сгиг (х/Х1 ) = Х Кд,г+1 (Х1) и (х/Х1) . (17)
г=0 г=0
Поэтому отображение CИUi : g(х) ^ Кдг+1(Х1) назовем преобразованием Чебышева второго рода порядка г для МПХ g (х). Вместе с тем для практики (анализа и синтеза МКМ)
непосредственный интерес представляет отображение СИиг : g(х) ^ Од г (Х1), которое назовем модифицированным преобразованием Чебышева второго рода порядка г для МПХ
g (х).
В таблице представлены основные свойства преобразования СИиг; для сравнения приведены также аналогичные свойства преобразования первого рода СИТ1 [12]. Свойство линейности (Т2) и теорема о масштабировании аргумента (Т4) следуют непосредственно из определения (16). Свойства (Т6) ("четная часть geven (х) МПХ g(х) формирует АХ Од г (Х1)
нечетных порядков г") и (Т8) ("нечетная часть godd (х) МПХ g(х) формирует АХ Од г (Х1)
четных порядков") можно получить также на базе определения (16), если разложить МПХ g (х) на четную и нечетную составляющие
g(x) = geven (х) + godd (x), geven (х) = [g(x) + £(-х)]/2 , godd (х) = [g(x) - £(-х)]/2 (18)
и учесть свойство полиномов Чебышева ип (-х) = (-1)п ип (х). Для доказательства теоремы об аналитическом продолжении АХ на область отрицательных аргументов (Т10) следует воспользоваться (16) и свойством ип (-х) = (- 1)п ип (х). И хотя физически Х1> 0, теоремы (Т9), (Т10) полезны при выборе аппроксимирующих функций для АХ Ои (Х1) и Од1 (Х1). Свойство (Т12) следует из тригонометрического представления в (16) и формулы (11).
Основные свойства преобразований Чебышева
g (х) О,,г (Х1) = СНГ1 [g(х)], I = 0,1,2... Ош (Х1) = Скиг ^(х)], I = 1,2,3...
аlg1( х) + а2 g 2( х) а О1/ I (Х1) + а2 О 2 ,, I (Х1) (Т1) а1 О1д, г (Х1) + а2 О 2д, г (Х1) (Т2)
g (Ьх) О,, г (ЬХ1) (Т3) Од,г (ЬХ1)/Ь (Т4)
geven (х) = geven (-х) О/,I(Х1)[1 + (-1) ]/2 (Т5) Од,ДХ1)[1 - (-1)г ]/2 (Т6)
godd (х) = -godd (-х) О,,г (Х1)[1 - (-1) ]/2 (Т7) Од,ДХ1)[1 + (-1)г ]/2 (Т8)
V g (х) О/ (-Х1) = (-1)г О/ (Х1) (Т9) Од, I (-Х1) = (-1)г Од, I (Х1) (Т10)
х • g (х) Х- [-ц( Х1)+О/, I+1( Х1) ] (Т11) Х- [ Од, I-1(Х1) + Од, I+1(Х1) ] (Т12)
Синтез квадратурного канала мгновенной квадратурной модели: обратное преобразование Чебышева второго рода
Модифицированное преобразование Чебышева второго рода (16) позволяет выполнить анализ квадратурного канала МКМ, а для решения задачи синтеза следует рассматривать (16) как интегральное уравнение относительно неизвестной МПХ g(х) при заданных АХ Од 1 (Х1).
Воспользуемся свойствами (Т6), (Т8) и приведем уравнение (16) к каноническому виду (считаем Х1 > 0)
]*(х)4Х2-х2 и-^х/хМ = ПЦа/(Х1), £(х) = * = ^2,34 56..'}. (19)
Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра первого рода. С помощью формулы
иг (х) = (I + 1)Тп72 (|х2 -1| )-1/4 • р-1^ х), х >-1, х * 1, (20)
которая следует из [18, формулы 3.15(4), 10.11(6) и 3.4(5)], уравнение (19) можно свести к более общему уравнению с присоединенной функцией Лежандра первого рода Р^(х) в ядре:
х
/( - х2 М2 РДх/Х1)(х) dx = /(Х1), а < Х1 <<х> , (21)
а
где
а = 0; ц = -1/2; у = I -1/2; /(Х1) = Х1/2 Од,1(Х1)/(21). (22)
Решение уравнения (21) имеет вид [19, с.510]
да = -п К - X2 )-(2-й"'")/2 Ру2-"~^(х/Х1 -Хи ¡< 1, V > -1/2, п > 1 -¡. (23)
ах
а
Основываясь на ограничении п > 1 - ¡и, примем в (23) п = 2 . Тогда, используя соотношение
т(х) = л/л/2 (|х2-1| )1/4 • Р1^/2(х), х >-1, х Ф 1, (24)
которое можно получить из [15, формулы (8.6.12), (22.3.15), (8.6.8)] и [14, формула (1.49)], представим (23) в виде
1 а2 х X, Од,(X,) , , ч --1Г 1 а = 0,
т = --г I 1 5 2 т (х/Х1 )аХ1 - СИи- [, (Х1) ], ' (25)
2/ах2 а Vх2-х2 х>а.
Решение (23) получено в [19] для случая а > 0. Если же а = 0, то подынтегральная функция в (25) может иметь разрыв второго рода в точке Х1 = а = 0, так как Т (х/Х1) ^ да при
Х1 ^ 0+ . Поэтому на АХ Од г (Х1) необходимо наложить дополнительное ограничение
Нш
Х1^ 0
Х12 ' (Х1)
= 0, (26)
обеспечивающее сходимость интеграла в (25). Как следует из [19, с. 543, теорема 37.9], ограничение (26) накладывается и на АХ У1 г (Х1) синфазного канала МКМ (2).
В известных автору практических ситуациях АХ порядка / в окрестности точки Х1 = 0 возрастает как степенная функция с показателем не меньше /:
Нш Нш
Х;^ 0
¥и(Х^/Х^] = С1, 0 < |С! | < да, т} > 0;
, (27)
О^(Х1)1 Х/+т ] = Сд , 0 <|Сд | <да, тд > 0,
поэтому условие (26) выполняется с запасом. Например, для модели 8а1еЬ [20] в (27) следует принять / = 1, т1 = 0, тд = 2. Если поведенческие модели АХ и ФАХ [4, формулы (4.4) и
(4.14)] выразить через амплитуды напряжений и перевести в квадратурную форму с помощью (44), то формула (27) справедлива при следующих значениях параметров: / = 1, т1 = 0, тд = 20/К (где К — параметр модели ФАХ, определяющий "остроту колена", см. [4],
0 < К < да). С результатами экспериментальных исследований АХ и ФАХ можно ознакомиться, например, в [21, 22] для транзисторных усилителей, в [20, 23] — для усилителей на лампе бегущей волны, в [24] — для умножителей частоты. Ссылки на другие источники можно найти в [2, 25, 26].
Модифицированное обратное преобразование Чебышева второго рода в форме (25) справедливо при х > 0 . Для х < 0 необходимо доопределить (25), основываясь на четности
§еуеп(х) и нечетности £оаа (х), следующим образом: £(-х) = (-1)/-1 х) , где / — порядок преобразования (25). МПХ £(х) в точке х = 0 можно найти как правосторонний предел
(х ^ 0+) от (25), а можно воспользоваться тригонометрическим представлением из (16) и получить
Кд/(0) = [(Х1)/Х]] = {(0), / = 1; 0, / = 2,3,4... }. (28)
Поскольку для любой реализуемой на практике МПХ (| g(x) | <да, | x | <да) из тригонометрического представления (16) следует Gq i (0) - 0, то, применив к (28) правило Лопиталя, найдем
g(0) = [dGQ^/dXi ]] =о - GQ,i(0) . (29)
Принимая во внимание рассмотренные особенности, представим (25) в тригонометрической форме (Xi = x cos ф):
__1 1 d 2 п2
g(x) = ChUi I GQi(X1) 1=--- Г Gq i(xcosф) xcosф T(secф) dф. (30)
L J 2i dx2 0
Формула (30) справедлива при _ да < x < да , если учесть свойство (T10). Еще одну форму записи модифицированного обратного преобразования Чебышева второго рода можно получить, выполнив дифференцирование под интегралом в (30)
jgewn ( )J = г г 2GQj (xcosф) + GQli (xcosф)• xcosф| cos2ф• T(secф) dф, i = { ' ' 1, (31) [g^ (x) J 2i J г q,A ^ ^J YAW 4" [2,4,6... J
где GQ,(X1) = dGQ,X)/dX1 ; GQ,, (X1) = d2Gq,, (X^/dX^ .
Некоторые поведенческие модели ФАХ [27, 28] постулируют отсутствие АФК в малосигнальном режиме, т.е. принимают (X1) - 0 для 0 < X1 < A 0 (где A 0- параметр модели
ФАХ). В соответствии с (44) это означает Gq i (X1) - 0 для 0 < X1 < A0 . Тогда из (19) следует,
что МПХ g(x) - 0 при | x | < A0, а для расчета g(x) при x > A0 следует воспользоваться
формулой (25) с параметром a = A0 или формулой (30) с верхним пределом интегрирования
фир(x) = arccos(A0 / x). В данном случае ограничение (26) на АХ Gq,i(X1) не накладывается.
Таким образом, модифицированное обратное преобразование Чебышева второго рода порядка i (25), (30), (31) позволяет решить задачу синтеза квадратурного канала МКМ:
1) вычислить четную часть geven(x) МПХ БНП g(x) по АХ Gq i (X1) нечетного порядка i;
2) вычислить нечетную часть godd(x) МПХ БНП g(x) по АХ Gq i (X1) четного порядка i.
Взаимосвязь преобразований Чебышева первого и второго рода
Между модифицированным преобразованием Чебышева второго рода порядка i, i > 1, и преобразованием Чебышева первого рода порядка i _ 1 существует взаимно однозначное соответствие. Поскольку для БНП АХ высших порядков однозначно определяются амплитудными характеристиками низших порядков [12]
G/,m+2 (X1) = G/,т (X1) _ 2(m + 1) JG/,m (X, t) tm+1 dt + { ^-2 }, m = { Ш " 1 B = const, G/ _m (•) = G/ m (•),
[ BXm_2 J' [_2, -3...J' (32)
то, подставив (32) в (13) (при m = i _ 1), получим 1
Gq,t(X1) = iX1 JGI,i_1(X1 • t) t'dt, i = 1,2,3... (33)
0
Или, в каноническом виде (£ = X11),
J Gj,,.-!(#) = Gq,tX), Gj,i-1(X1) = ChTi-i[g(x)], Gq,i(X1) = ChU,[g(x)]. (34)
о i
Относительно АХ Gj i-1(X1) БНП g(x) формула (34) представляет собой интегральное
уравнение Вольтерра первого рода с вырожденным ядром, которое можно решить, дифференцируя обе части (34) по переменной Xi. Решение имеет вид
Gj,,-i(Xi) = ^ +, , = 1,2,3... (35)
X1 i d X1
Во взаимной однозначности преобразований (33) и (35) можно убедиться, подставив (35) в (34), разбив интеграл на 2 слагаемых и применив во втором слагаемом формулу интегрирования по частям.
Найденная взаимосвязь позволяет представить модифицированное обратное преобразование Чебышева второго рода порядка i (25), (30), (31) в форме обратного преобразования Чебышева первого рода порядка i -1 от АХ (35) БНП g (x):
jg™£)} = ChU;1 [ Gq,,(X1) ] = ChU- [ Gq,i(X1vX1 ] = ChT-11 [ Gj, 1 -1(X1) ] =
, ^ (36) V2[ Г 1 , - - - -
Gj i-1 (x cos ф) ni-1 (sec ф) + xG} i-1 (x cos ф) j ;
[cos ф|
П2
1J
^ 0
¡Gj,¿-1(0)2^1 . = J1, 3, 5...} I 0 ], i = j 2,4,6... I
где О1,г-1(Х1) определяется по формуле (35), а О',/-1(Х1) = ,/-1(Х1^аХх .
Поскольку вычислить МПХ £(х) по АХ Одг (Х1) при / > 3 можно лишь с точностью до полинома порядка / - 3, то учитывать последнее слагаемое в (36) необходимо только для / = 1. Кроме того, на практике 0д,1(0) = 0, поэтому из (35) следует 0/0(0)/2 = Од,1(0), что
совпадает с (29).
Наибольшее практическое значение имеют преобразования (16) первого и второго порядков [1]. Получим формулы их обращения с помощью (36):
,(x) = ChU 1-1 [ Gq,1 (X1) ] = x J Gj,0(x cosф) dф + d°Q,1 (X1)
2 0 dX,
(37)
1 П2 3 dG X d2G
godd (x) = ChU21 [ Gq,2(x1) ] = - J Fq,2(x cosф) dф, Fq,2(X1 ) = 2 df +~f . (38)
Другую форму взаимосвязи преобразований Чебышева первого и второго рода можно получить, если свести (2) к уравнению (21) с помощью (T5), (T7) и (24). Тогда, приняв в решении (23) n = 1, снова воспользовавшись (24) и перейдя к тригонометрической форме записи, получим обратное преобразование Чебышева (4), (6) в виде
1 d П 2
y(x) = ChT 1 [ YIl (X1) ]=--f YIl (xcosф) xcosф T (secф) dф. (39)
L ' J 2 dx 0
Сравнив (39) с (30), найдем
л i 1 dy( г)
, i = 1,2,3... (40)
g(x) = ChU~[i(X1) ] = 1 d ChT_1[Gq,,(X1) ] = 1 d
^ i dx * i dx
Gqj (x1) ^Yjj (x1)
X, =0
Соотношению (40) можно дать следующую интерпретацию. Пусть БНП с МПХ у(х) в синфазном канале МКМ формирует АХ /-го порядка Уп(Хх) = СкТ1 [у(х)]. Чтобы получить такую же АХ в квадратурном канале МКМ Gg, / (Х1) = У1,/ (Хг), БНП в квадратурном канале должен иметь МПХ £ (х) = (1/ /) ёу (х)/ёх .
Справедливо и обратное к (40) соотношение
\yodd (x) ]
beven ( x)j
= i
d^ + J l, -да< B <<х>, i = . (41)
J1 godd G) J 1B Г 12,4,6 4
1, 3,5...
7„.(Х1)^ав,.(Х1) 0
Для / = 1,3,5... постоянная интегрирования в (41) принята равной нулю, чтобы вычисленная по формуле (41) МПХ уосм(х) была нечетной. В случае / = 2,4,6... постоянная интегрирования В может принимать любые значения, поскольку ее выбор влияет только на АХ нулевого порядка У1 0(Х1).
Взаимосвязь комплексных амплитудных характеристик различных порядков для мгновенной квадратурной модели
В результате ряда преобразований (рис. 3) можно получить формулу взаимосвязи АХ различных порядков квадратурного канала МКМ
GQ, 1+2 (X1) = —
^ i
Gqii(Xi)-2(1+1) jGqi(Xi t) ti+1dt
0
\BX,
| i |—2
i =
1,2,3...
—3, — 4.1'
(42)
B = const,
Gq,— (•) = —G0, i (•)
Q, i'
которая отличается от аналогичной формулы (32) для БНП (синфазного канала МКМ) только коэффициентом (i + 2)/i .
Следовательно, как и для БНП, комплексная АХ МКМ порядка i (15) полностью определяет комплексные АХ высших порядков Zi+2n(X1), n = 1,2,3... и частично (с точностью до полинома
PUn (X1) = ¿ Bi—2mX1—2m, Bi—2m = Bj t—2m + jBQ¡ t—2m = COnst, Bq, o = 0, j = V—1 (43)
m=1
порядка i — 2) определяет комплексные АХ низших порядков Z¡—2n(X1), n = 1,2,3..., i — 2n > 0 . Gq,1 (X1) - GJ i.AX) - Gq,i+2(X1)
(35)
Gj ,i_1( X1)
(13) gj , i+1( X1) (33)
->
g (x)
(36) (16)
GQ, i+2( X1)
Рис. 3. Алгоритм вывода формулы (42)
Заключение
Объединение аналитических решений из [12] для синфазного канала МКМ с полученными в настоящей работе решениями для квадратурного канала позволило разработать общие теоретические методы анализа и синтеза МКМ в целом.
Для анализа МКМ следует применить к МПХ у(х) и £(х) прямые преобразования Чебышева первого (2) и второго (16) рода соответственно, затем по формуле (15) найти
комплексные АХ МКМ 2i (X1), которые можно разложить на физические АХ и ФАХ с помощью (1).
Задача синтеза МКМ решается в обратном порядке: сначала по физическим АХ 2i (X1) и ФАХ ^ (X1) моделируемого устройства необходимо вычислить действительные АХ синфазного и квадратурного каналов МКМ:
Yj,i (X1) = Re 2i (X1) = 2i (X1) cos У г (X1); Gq. (X1) = Im 2i (X) = 2i (X) sin Уt (X1), (44)
а затем применить к АХ (44) обратные преобразования Чебышева первого (4) и второго (36) рода.
INSTANTANEOUS QUADRATURE MODEL OF NONLINEAR DEVICES EXHIBITING AMPLITUDE-DEPENDENT PHASE SHIFT: INVERSION OF THE SECOND-KIND CHEBYSHEV TRANSFORM
E.V. SINKEVICH Abstract
A general analytical solution (inverse Chebyshev transform of the second kind) of the synthesis problem is found for the quadrature channel of the instantaneous quadrature model. Properties of the second-kind Chebyshev transform are investigated - including the interrelationship between envelope (amplitude-to-amplitude) transfer characteristics of different orders for the quadrature channel of the instantaneous quadrature model. Interrelationships between Chebyshev transforms of the first and second kinds are established.
Литература
1. Loyka S.L., Mosig J.R. // Int. J. RF and Microwave CAE. 2000. Vol. 10, No. 4. P. 221-237.
2. Jeruchim M.C., Balaban P., Shanmugan K.S. Simulation of communication systems: modeling, methodology and techniques. 2nd ed. New York, 2000.
3. Tranter W.H. et al. Principles of communication systems simulation with wireless applications. Upper Saddle River, 2004.
4. Turlington T.R. Behavioral modeling of nonlinear RF and microwave devices. Norwood, 2000.
5. Касымов А.Ш., Касымов Ш.И. // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 6. С. 42-57.
6. Амплитудно-фазовая конверсия / Под ред. Г.М. Крылова. М., 1979.
7. Гольдин С.М. // Радиотехника. 1971. Т. 26, № 11. С. 42-51.
8. Репинский В.Н. // Радиотехника. 1977. Т. 32, № 10. С. 87-89.
9. Мордачев В.И. // Докл. БГУИР. 2004. № 2. С. 154-163.
10. Kaye A.R., George D.A., Eric M.J. // IEEE Trans. on Communications. 1972. Vol. 20, No. 5. P. 965-972.
11. Сидоров В.М., Кудашов В.Н. // Радиотехника. 1976. Т. 31, № 4. С. 10-17.
12. Blachman N.M. // IEEE Trans. on Information Theory. 1971. Vol. 17, No. 4. P. 398-404.
13. Blachman N.M. // IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Proc. 1981. Vol. 29, No. 6. P. 1202-1205.
14. Mason J.C., Handscomb D.C. Chebyshev polynomials. Boca Raton, 2003.
15. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М., 1979.
16. ХеммингР.В. Численные методы для научных работников и инженеров. 2-е изд. М., 1972.
17. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е изд. М., 2000.
18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 3 т. М., 1973, 1974, 1967. Т. 1, 2.
19. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987.
20. Saleh A.A.M. // IEEE Trans. on Communications. 1981. Vol. 29, No. 11. P. 1715-1720.
21. KatzA. // Microwave J. 1999. Vol. 42, No. 4. P. 22-44.
22. AsbeckP.M. et al. // 2002 IEEE MTT-S Int. Microwave Symposium Digest. 2002. Vol. 1, P. 135-138.
23. Clark C.J. et al. // IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech. 1998. Vol. 46, No. 12. P. 2531-2540.
24. Park Y, Kenney J.S. // IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech. 2003. Vol. 51, No. 12. P. 2516-2522.
25. Pedro J.C., Maas S.A. // IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech. 2005. Vol. 53, No. 4. P. 1150-1163.
26. Isaksson M., WisellD, Ronnow D. // IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech. 2006. Vol. 54, No. 1. P. 348-359.
27. Тепляков И.М. // Радиотехника. 1997. № 12. С. 84-87.
28. Ichikawa M. et al. // 2005 IEEE Int. Conference on Personal Wireless Communications. 2005. P. 533-536.
