CC BY
62
тия в различных режимах финансирования. Получены различные рекомендации по улучшению таких показателей ЭБП как: продолжительность цикла, увеличение рентабельности, снижение начальных затрат.
Литература: 1. Вендров А.М. Методы и средства моделирования бизнес-процессов // Информационный бюллетень «Jet Info». 2004. № 10(137). С. 1-32. 2Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: Инфра-М, 1997. 160 с. 3. Минко Е.П., Слипченко Е.В. Математические модели
финансовых потоков, возникающих в процессе деятельности многоуровневых бизнес-структур // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №1. С. 140-143.
Поступила в редколлегию 11.06.2008
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Герасин С.Н.
Слипченко Елена Викторовна, канд. техн. наук, с.н.с. ПНИЛ АСУ ХНУРЭ. Научные интересы: математические методы в экономике и финансах. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.
УДК577.4:517.9
МЕТОДЫ СТАБИЛИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ
ГЕРАСИН С.Н., БАЛАКИРЕВА А.Г._____________
Изучается динамика сложных многовидовых популяций с помощью матричных моделей типа Лесли. Показывается возможность эквивалентного перехода от детерминированной модели Лесли к стохастической марковской модели. Приводятся условия, при которых предельные распределения указанных моделей можно стабилизировать в окрестности эргодического распределения.
1. Введение
Проблема математического прогноза изменения численности народонаселения имеет более чем двухвековую историю и начинается с работы Мальтуса, в которой было получено уравнение экспоненциального роста человечества в условиях неограниченности ресурса при постоянных коэффициентах рождаемости и смертности. Уточнение этой модели сделал в 1907г. Лотка, введя в нее параметр, отвечающий конкурентной борьбе за жизненные ресурсы. Однако то обстоятельство, что модель Лотка достаточно хорошо описывает биоценозы в квазиравновесном состоянии, но плохо согласуется с данными о человеческом обществе, привело к разработке более детального подхода к описанию эволюции людской численности с учетом распределения по возрастам для женской части населения NF(x,t). В 1911г. Лотка и Шарп получили интегральное уравнение воспроизводства населения в терминах N (x, t) при постоянных возрастных коэффициентах рождаемости и смертности (так называемая линейная модель стабильного населения) [1].
Позднее с разной степенью строгости исследовались частные решения этого уравнения. В дальнейшем этот подход развивался во многих работах по математической демографии [2-4]. Подробный обзор математических моделей, применяющихся в демографии, содержится в книге [2]. Эти модели носят непрерывный характер и используют методы дифференциальных или интегральных уравнений [5 -9].
Обычно популяционные экологические модели опирались на теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Однако при переходе к практическим расчётам, по данным демографических таблиц, приходится иметь дело с дискретными величинами. Например, в демографии человека, как правило, используются пятилетние временные интервалы. Кроме того, развитие многих популяций (как животных, так и растительных) имеет ярко выраженный сезонный характер. Поэтому для правильного описания популяции и для практических расчётов скорее применимы не методы дифференциального и интегрального исчисления, а методы дискретной математики (в частно -сти, матричные модели).
Модели динамики популяций с дискретной возрастной структурой и дискретным временем исторически связаны с именем П. Лесли, изучавшего простейшие варианты подобных моделей [10]. Формализм Лесли опирается на допущение, что популяция разбита на конечное число последовательных возрастных классов одинаковой длительности, а численность всех классов регулируется в дискретном времени с равномерным шагом, длина которого совпадает с длительностью класса (например, 1 год).
Целью работы является показать возможность управления параметрами модели с дальнейшей стабилизацией ее финального распределения.
2. Матричная модель Лесли и различные ее модификации
Лесли предложил для описания сложной многовозрастной популяции использовать так называемую пе-
реходную матрицу:
"а 0 а,1 а k_1 а k ^
L = Р 0 0 0 0 , (1)
, 0 0 Р k-1 0 )
которая при умножении на вектор-столбец численностей особей разных возрастных классов (от нулевого - новорожденных особей, до k-го - самых старых особей) даёт численность особей в возрастных группах через определённую единицу времени (чаще всего год). Таким образом, в переходной матрице Лесли Pi - это выживаемость (т.е. вероятность того, что осо бь i-го класса перейдёт на следующий год в (i +1)-й), a i - средняя плодовитость особей i -й возрастной группы.
РИ, 2008, № 2
55
Таким образом, матрица перехода представляет собой квадратную матрицу размером (k +1)х (k +1), а вектор-столбец численностей возрастных групп -
матрицу (k +1) х 1. Если элементы матрицы постоянны, т.е. не меняются со временем, то из их неотрицательности следует, что максимальное по модулю собственное число матрицы действительно и положительно.
При популяционно-динамическом описании обычно выделяют три группы: прегенеративных (молодых, ещё не способных к размножению), генеративных (способных к размножению, но не обязательно размножающихся в данный момент) и постгенеративных (старческих, уже утерявших способность к размножению). В зависимости от особенностей жизненного цикла конкретного вида и при наличии надёжных диагностических признаков каждая из этих больших групп разбивается на более мелкие возрастные категории. Необходимо отметить, что деление популяции на возрастные группы оправдано с практической точки зрения в тех случаях, когда организмы данного вида обладают признаками, позволяющими точно определить возраст особи.
Рассмотрим классическую постановку задачи:
- пусть ресурсы питания не ограничены;
- размножение происходит в определенные моменты времени t1,t2,...,tn ;
- пусть популяция содержит n возрастных групп.
Тогда в каждый фиксированный момент времени (например, to) популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом
X(t0)
x1(t0)
x2(t0)
xn1 (t0 )
где x; (tj) - численность i -й возрастной группы в момент времени t j .
Вектор X (t1), характеризующий популяцию в следующий момент времени, например, через год, связан с вектором X (to) через матрицу перехода L :
X(t1) = L X(to).
Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут k,k + 1,...,k + p . Предположим, что за единичный промежуток времени особи i-й группы переходят в группу i+1,от групп k,k + 1,...,k + p появляется потомство, а часть особей от каждой группы погибает. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех групп, поступает в группу 1:
k+p
X(t1) = Za i
i=k
Xi(t0) “a kXk(t0) +
+ak+1Xk+1 (t0 ) +...+ ak+pXk+p (t0 )-
Вторая компонента получается с учетом двух процессов. Первый - переход особей, находившихся в момент to в первой группе, во вторую. Второй процесс - возможная гибель части из этих особей. Поэтому вторая компонента X2(t1) равна не всей численности X1(to), а только некоторой ее части: Р1Х1 (to), 0 <Рn < 1. Аналогично получается третья компонента: р2Х2(to), 0 <рn < 1 и все остальные. Предположим, что все особи, находившиеся в момент to в последней возрастной группе, к моменту t1 погибнут. Поэтому последняя компонента вектора
X(t1) составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы
xn(t) _ Р n—1xn—1(to), o ^P n ^ 1.
В момент времени t1 популяция имеет возрастную структуру, которая описывается вектором:
L =
' o a1,2 ... o o ... o
o o ••• ak -1,k o ... o
o o ... o ak,k+1 ... o
o o ... o o .. an —1,n
o V o ... an,k an,k+1 ... o
(2)
Элемент ak,k+1 показывает отношение выживания возрастной группы (k +1) к группе k, причем если an,k > o , то возрастная группа репродуктивна.
Динамика населения может быть описана следующим разностным уравнением: X(t +1) = L X(t) с начальным состоянием X (o ) є R" , где X (t) є R” является вектором распределения населения среди возрастных групп в период t .
К сожалению, постулаты классической модели Лесли [1 o] не всегда точно выполнимы, что в некоторых случаях ограничивает сферу ее применения. На практике наблюдению и регистрации поддается часто не возраст особи, а лишь стадия развития организма, (например, когда измерения проводятся несколько раз в год), причем длительность стадии может варьироваться во времени. При построении математической модели популяции с дискретной стадийной структурой используют модель Лефковича [12], обобщающую матрицу Лесли с уравнением
X(t +1) = L X(t) и матрицей Лефковича:
(3)
56
РИ, 2oo8, № 2
' b1 + r1 b2 . . bn-1 bn ^
S1 r2 0 0
L = 0 S2 0 0 , (4)
, 0 0 Sn-1 rn V
где b; > 0 - коэффициенты рождаемости, i =
0<Si + ri,...,sn_i + rn_i,rn < 1,S; - коэффициенты дожития в соответствующих стадийных группах; г; -коэффициенты, показывающие, какая доля особей не перешла в (i +1) - ю стадию за один шаг по времени.
Однако существуют популяции, которые нельзя описать в жестких рамках модели Лесли с возрастной структурой или модели Лефковича со стадийной структурой. У таких популяций появляется необходимость учитывать в описании динамики популяции как возрастную, так и стадийную структуру. Эта особенность послужила основной для разработки так называемой дискретной модели Логофета динамики популяции со стадийно-возрастной структурой, с уравнением (3) и матрицей Логофета [13]:
L =
' b1 + r1 b2 b3 .. bn-1 bn '
a21 r2 0 ... 0 0
a31 a32 r3 .. 0 0
an-1,1 a n-1,2 an-1,3 ... rn-1 0
v an1 an2 an3 - an,n-1 rn ,
bn > 0,0 < r1 + b1,r2, ...,rn,apq < 1
(5)
мографические параметры, индексы p и q таковы, что коэффициенты apq находятся под главной диагональю матрицы (5).
Для положительных матриц справедлива так называемая теорема Перрона.
Теорема 1. Положительная матрица имеет вещественное простое положительное собственное число r, которое превосходит по модулю все другие собственные числа. Ему соответствует собственный вектор z = (z1,z2,...,zn) с положительными координатами z > 0.
Таким образом, матрицы типа (1), (2), (4), (5) имеют одно единственное положительное собственное значение r такое, что для любого другого собственного
числа этой же матрицы выполняется условие |х| < r , и соответствующий ему левый собственный вектор является положительным. Это собственное число называется доминирующим, или главным.
Г лавное со бственное число матрицы Лесли называется коэффициентом Лотки и показывает скорость, с которой размножается популяция, а соответствующий ему левый собственный вектор отражает устойчивую структуру популяции.
Если максимальное собственное число меньше единицы, то популяция обречена на вымирание, если больше - происходит неограниченный рост популяции. У примитивных матриц Лесли максимальное собственное число равно единице. Это означает, что популяция будет со временем стремиться к некоторо -му устойчивому возрастному распределению, задаваемому собственным вектором, соответствующим максимальному собственному числу, а скорость роста популяции будет определяться этим собственным числом.
Индикатором этого свойства для неразложимой матрицы Лесли вида (1) служит величина
n
R = 0.1 + £о.; Р1...Р ;_1 , i=2
которая может интерпретироваться как репродуктивный потенциал популяции (т.е. обобщенный параметр скорости воспроизводства), поскольку если R > 1, то r = Хmax > 1 (популяция экспоненциально растет), если R < 1, то r < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то r = 1 (стремится к предельному распределению).
Репродуктивный потенциал для неразложимой матрицы Лефковича имеет вид [14]:
n n n+1
R = 1 -П (1 -rj) + Zl;b; П (!-rj), j=1 ;=1 j=;+1
где формально rn+1 = 0,І1 = 1,l; = S1S2---S;_1, и доказа-
но, что если R > 1, то максимальное собственное число матрицы (4) больше единицы (популяция экспоненциально растет), если R < 1, то максимальное собственное число матрицы (4) меньше единицы (экспоненциально убывает), если R = 1, то максимальное собственное число матрицы (4) равно единице (популяция стремится к предельному распределению).
Для матрицы Логофета доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть L - неразложимая обобщенная матрица Логофета порядка n. Тогда если R > 1, то X max > 1, если R < 1, то X max < 1, если R = 1, то Xmax = 1, где Xmax - максимальное собственное число матрицы (5):
n
R = 1-(1 -b1 -r1) П (1-rh) +
h-2
+ E bjSj1 _1_j П
Sli2 h * *° (1 - r„).
a
Здесь S^ - произведение apq таких, что количество
множителей в произведении равно k, первый индекс у первого множителя равен d, последний индекс у
РИ, 2008, № 2
57
последнего множителя равен единице; все индексы произведения представляют собой невозрастающую перестановку ст от d до единицы; если таких перестановок несколько, то следует перебрать все, на что указывает символ ст под знаком суммирования.
З.Переход к эквивалентной стохастической модели
Введем некоторые понятия.
Под моделью стабильного населения в демографии понимают теоретическое закрытое население с неизменными во времени возрастными интенсивностями рождаемости, смертности и возрастной структурой населения. Модель стабильного населения является упрощенным изображением процесса воспроизводства населения. Она строится для одного, главным образом для женского пола. Параметры модели для противоположного пола рассчитываются на основе соотношения полов при рождении. В 1911 году в одной из первых своих работ Лотка вместе с другим американским ученым Ф. Шарпом доказал одну из центральных в математической демографии теорему [4]: закрытое население, в котором возрастные интенсивности рождаемости и смертности с определенного момента времени стали постоянными, со временем будет иметь неизменную возрастную структуру, постоянные общие коэффициенты рождаемости, коэффициенты смертности и коэффициент естественного прироста. Подобное население называют асимптотически стабильным, а процесс приближения его первоначальной возрастной структуры и общих демографических коэффициентов к некоторым постоянным (предельным) значениям - стабилизацией населения. Сам Лотка пользовался термином «стабильный» для обозначения именно такого населения.
Известно, что какова бы ни была начальная возрастная структура, модель Лесли с матрицей Лесли вида (1) обладает свойством эргодичности, т.е. модель асимптотически сходится к стандартной возрастной структуре, определяемой только режимом воспроизводства. Население, обладающее асимптотической возрастной структурой, определяемой заданным режимом воспроизводства, получило название стабильного эквивалентного населения.
Для матрицы Лесли вида (2) были доказаны следующие утверждения [15].
Утверждениеі. В нижней строке матрицы l есть, по крайней мере, два положительных элемента, т.е. ank >0 с 1 < k <l< n, и aii+1 >0 для таких i, что 1 <i< (n-1).
Кроме того, мы предполагаем, что an,k > 0 является крайним левым элементом в нижней строке матрицы L . Понятно, что упомянутая матрица является разложимой, если 1 < k . Но когда мы рассматриваем подматрицу Ly младших групп, которая включает все репродуктивные элементы, т.е.
ak—1,k 0. . 0 N
0 ak,k+1 • . 0
Ly " 0 0. . an—1,n
ч an,k an,k+1 . . 0 /
то она неразложима. Это означает, что если есть по крайней мере две возрастные группы, которые являются репродуктивными, то матрица примитивна.
Утверждение 2. Если утверждение 1 выполняется, то х (t)/ ||x(t)|| сходится к единственному устойчивому распределению x .
Главное собственное число матрицы Лесли может быть как меньше, так и больше единицы. При необходимости можно сделать так, чтобы коэффициент Лотки был равен единице. Для этого элементы матрицы Лесли необходимо умножить на обратное число коэффициента Лотки. Полученная новая модель при этом будет также обладать свойством эргодичности.
Если будет известно, что матрица вида (1) несокр ати-мая, то можно из матрицы Лесли после некоторых преобразований получить стохастическую матрицу, чье, как известно, максимальное собственное число равно 1 и соответствующий собственный вектор (1,...,1).
Для преобразования несократимой матрицы L в стохастическую используют преобразование подобия [11]
A = D _1LD, (6)
где A - стохастическая матрица; L - несократимая матрица Лесли, а D - матрица вида
f ~1 0 ... 0 N
D = 0 ~2 ... 0
, 0 0 ~n,
(7)
Вектор х = (xbX2,...,xn )Т - это правый собственный вектор матрицы L, соответствующий корню Перрона r .
Из (6) и (7) следует, что L может быть трансформирована в стохастическую и несократимую матрицу Лесли:
"a1 a2 ... .. an—1 a A an
1 0 ... .. 0 0
A = : 0 0
,0 .. 1 0 ,
а1 = — > 0 и ai = ^1"'^1 1а 1 > 0,i = 2,
r
n,с an > 0 .
Несложно убедиться в том, что сумма элементов первой строки равна единице.
58
РИ, 2008, № 2
4. Численный эксперимент
Рассмотрим популяцию, состоящую из 5 возрастных групп женского пола ластоногих. В среднем 60% самок имеют потомство каждый год. Более сильные новорожденные доживают до следующей возрастной группы. Возрастная динамика такой популяции характеризуется матрицей:
x1(t1) " 0 0 0 0 0.3" 100
x2(t1) 0.8 0 0 0 0 800
x3 (t1) = 0 0.9 0 0 0 500
x4(t1) 0 0 0.9 0 0 300
x 5 (t1) 0 0 0 0.9 0.9 200
Так как матрица Лесли является неотрицательной, то максимальное по модулю собственное число матрицы действительно и положительно и равняется 1,046, а соответствующий собственный вектор имеет вид:
r = (0.219314 0.28678 0.188684 0.162332 1)T.
Приведем таблицу для первых двух лет развития популяции:
Год 2006 2007 2008
1-я возрастная группа 100 60 135
2-я возрастная группа 800 80 48
3-я возрастная группа 500 720 72
4-я возрастная группа 300 450 648
5-я возрастная группа 200 450 810
Далее процедуру следует повторять на каждом шаге (рис.1-4).
Рис. 1. Распределение популяции по возрастам через 1 год
Рис. 2. Распределение популяции по возрастам через 5 лет
Рис. 3. Распределение популяции по возрастам через 20
лет
РИ, 2008, № 2
Рис. 4. Распределение популяции по возрастам через 50
лет
Начиная с n = 30, для каждой возрастной группы выполняется соотношение
xi(tj+1) = *• * xi (tj X где i = 1,...,5, а j = 30,....
Видим, что со временем популяция стремится к устойчивому возрастному распределению, т. е. выполняется равенство:
xi(tj)/x5(tj) = rb где i = 1,...,5 а j = 30,....
5.Управление параметрами модели в целях стабилизации ее финального распределения
Рассмотрим теперь вероятностную тр актовку данной задачи. Пусть в каждый момент времени tpt2,...,tn приведенная матрица Лесли l меняется, сохраняя при этом простоту единичного собственного числа. В результате получается неоднородный процесс, управляемый последовательностью стохастических матриц L (tn). Нас будет интересовать вопрос, можно ли в некоторый момент времени t* обеспечить сходи-
мость соответствующего начального распределения популяции к заранее заданному стабильному распределению. Ответ на этот вопрос положителен.
Будем считать, что поведение процесса полностью определяется заданием начального распределения и последовательности { L(k)} (°=1 стохастических матриц, каждая из которых есть матрица переходных вероятностей, соответствующая промежутку[ tk—1, tk ) (L(k) = L (tk-1, tk)). Таким образом, указанный процесс можно рассматривать как цепь Маркова с меняющейся длительностью «единичного» шага [ t k—1, t k). Если t* < да , то интервалы между двумя последовательными переходами |tk - tk-1 будутубывать к нулю при k в силу сходимости последовательности {t (k)} k=1 к t *. При исследовании таких процессов представляет интерес вопрос о существовании для распределения процесса p (t )=( Р1 (t), Р2 (t),..., ps (t)), где s - число состояний процесса, предела
p * = limp(t), t
не зависящего от начального распределения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема [16].
Теорема 3. Пусть выполнены условия:
1) все матрицы L(k) имеют общий левый собственный вектор p*, отвечающий их простому собственному значению 1:
59
p* L(k) = p*, Vk > 0 ,
£p* = 1, p* >0, 1 <j<s;
91 j=1
2) положим:
5 (k) = max min pa(k)
1<i<s1<j<s
Потребуем, чтобы
E 5 (k) = да, 5 (k)>0, Vk>0. k=1
Тогда при любом начальном распределении вероятностей p0 = p (0) распределение процесса p (t) при t ^ t* сходится кр*равномерно по всем состояниям.
Таким образом, показано, что независимо от начальной структуры популяции ее возрастной состав можно стабилизировать в заранее заданное время t* < да в окрестности произвольного заранее заданного распределения.
Поясним суть теоремы на следующем примере. Сгенерируем последовательность стохастических матриц Лесли таким образом, чтобы все матрицы L(k) имели общий левый собственный вектор p* = [0.893 0.446 0.04466 0.017]T, отвечающий их простому собственному значению 1. Это можно осуществить, если в каждой матрице изменять только коэффициенты рождаемости, а коэффициенты выживания оставлять неизменными.
Рассмотрим популяцию, состоящую из 4 возрастных групп, и выберем начальное распределение по возрастам в следующем виде: [1 0 2 1]T.
Начальное распределение может быть любое, так как сходимость к наперед заданному распределению будет также иметь место. Разница только в моменте наступления стабилизации по времени.
Зная структуру матриц L(k) и начальное состояние популяции (вектор-столбец X ( t0 )), можно привести неоднородный процесс к заданному распределению, которое совпадает с собственным вектором матриц L(k) - вектору p* c точностьюідо множетеля, по следующему правилу: X(tn) = ПL X(t0).
В рассматриваемом примере моменту стабилизации соответствует n = 25 :
X(t25) = const* [0.893 0.446 0.04466 0.017]T =
*
= const *p .
6. Выводы
Показано, что возрастная структура популяции и ее численность может изменяться под действием управляющих факторов, добиваясь стабилизации ее распределения по возрастам за боле короткий период времени, чем в случае развития популяции в естественных условиях.
Практическая значимость заключается в том, что .предложенный метод позволяет решать указанную задачу, используя аппарат теории стабилизации распределений марковских цепей.
Литература: 1. Гуц А. К., Коробицын В. В., Лаптев А. А., Паутова Л. А., Фролова Ю. В. Математические модели социальных систем: Учебное пособие. Омск: ОмГУ, 2000. 256 с. 2. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. 167 с. 3. Капица С. П. Общая теория роста человечества: сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. М.: Наука, 1999. 190 с. 4. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии. М.:Статистика, 1971. 296 с. 5. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики. М.: На-ука,1972. Вып.25. С. 100-106. 6.Недорезов Л.В., Назаров И.Н. Непрерывно-дискретные модели динамики изолированной популяции и двух конкурирующих видов // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 1998. Вып. 2. С. 77-91. 7.Нагаев С.В., Недорезов Л.В., Вахтель В.И. Вероятностная непрерывно-дискретная модель динамики численности изолированной популяции // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. T. II. Вып. 2(4). С. 147-152. 8.РодионовАМ. О некоторых дискретных моделях межвидового взаимодействия //Автоматика и телемеханика. 2000. №12. С. 122-129. 9.Доб-рынский В. А. Об условиях устойчивого существования двух популяций одного вида организмов // Дифференциальные уравнения. 2001. T. 37. С. 1680-1685. 10. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183-212. 11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с. 12. Логофет Д.О., Клочкова И.Н. Математика модели Лефковича: репродуктивный потенциал и асимптотические циклы // Математическое моделирование. 2002. 14, №10,116-126 с. 13. Логофет Д.О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной и возрастной структурами // Математическое моделирование. 2002. 14, №12. С. 11-21. 14. Клочкова И.Н. Обобщение теоремы о репродуктивном потенциале для матрицы Логофета // Вестн. Моск.ун-та Сер.1, Математика. Механика. 2004. №3. 15. Kirkland, Neumann Convexity and Concavity of the Perron root and vector of Leslie matrices with applications to a population. 16. Герасин С.Н., Дикарев В.А., Числин Н.И. Существование предельных вероятностей для конечных процессов Маркова с убывающими к нулю временными промежутками перехода // Доповіді НАН України. 1998. № 7. С. 15-19.
Поступила в редколлегию 03.06.2008
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Захаров И.П.
Герасин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, профессор кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, теория процессов Маркова. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина 14, тел: (0572)40-93-72 (раб.), (057)772-12-38 (дом.), email: [email protected].
Балакирева Александра Геннадиевна, стажер-исследователь кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: матричные модели популяционной динамики. Увлечения и хобби: театр и спорт. Адрес: Украина, 61146, Харьков, ул. Ак. Павлова, 140, кв.330, дом. тел. 68-48-32.
60
РИ, 2008, № 2
