Применение модели Лефковича к анализу демографической динамики (на примере Еврейской автономной области) Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.248:574.3

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ЛЕФКОВИЧА К АНАЛИЗУ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ (НА ПРИМЕРЕ ЕВРЕЙСКОЙ АВТОНОМНОЙ ОБЛАСТИ)

Г.П. Неверова

Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН, г. Биробиджан

В данной работе проведен модельный анализ демографической ситуации в Еврейской автономной области. Показано, что происходит общая убыль численности населения области. Найдены равновесные значения демографических параметров. В случае сохранения существующих характеристик процесса воспроизводства снижение численности населения области продолжится. Показано, что при демографической политике, направленной на рост естественного прироста, стабилизация численности населения вполне возможна через 13—15 лет.

Существует множество математических моделей, описывающих общую демографическую ситуацию [1,2,5,6]. Построение моделей связано с максимальной схематизацией демографических процессов и большим количеством ограничений и допущений. Такой подход позволяет проанализировать факторы, наиболее существенно влияющие на изучаемое явление, и сконцентрировать внимание на основных тенденциях, существующих в демографической динамике.

В данной работе приводятся и обсуждаются некоторые результаты анализа модели динамики численности населения региона, когда в краткосрочной перспективе характеристики процесса воспроизводства остаются неизменными. Выбор этого случая связан с тем, что длительный процесс преобразования типа воспроизводства населения не зависит от сравнительно краткосрочных изменений социально-экономических факторов развития [1].

Анализ демографической ситуации с учетом описанного предположения реализуется посредством популяционной модели с дискретной возрастной структурой и дискретным временем (матричная модель) на примере одного из регионов России - Еврейской автономной области.

Исторически популяционные матричные модели связаны с именем П. Лесли. В ходе многочисленных исследований шло расширение постулатов классического формализма Лесли. Одно из них связано с именем Л. Лефко-вича, который предложил классифицировать особей популяции не по их хронологическому возрасту, а по стадии развития [3, 5].

В жизненном цикле любого организма можно выделить либо несколько стадий развития, либо несколько возрастных ступеней, определяемых в некоторых единицах времени, например в годах. Тогда популяция естественно распадается на некоторое число возрастных групп. Способ разделения популяции на возрастные группы, как правило, определяется биологическими особенностями организмов, а также спецификой рассматриваемой задачи. В данной работе в основу разделения населения на классы легла репродуктивная функция [6].

Формализм Лефковича для населения

В соответствии с репродуктивным поведением общую численность населения можно разбить на 3 возрастные группы: 0-15 (младше репродуктивного возраста), 16-44 (репродуктивного возраста) и 45+ (постреп-родукгивнош возраста). Последняя группа включает всех людей старше 45. Основными факторами, влияющими на численность, будем считать рождаемость и смертность, обусловливающие возрастное «движение» и динамику выделенных классов. Мы не учитываем изменчивость демографических параметров в зависимости от экономических условий и пренебрегаем влиянием общей численности населения на рождаемость и смертность [6].

Предполагается, что динамика возрастных групп определяется переходом части особей из младших возрастных групп в старшие и выживаемостью оставшейся части группы. Динамика численности выделенных возрастных классов описывается следующей системой линейных разностных уравнений с матрицей Лефковича: х /п+1)=в2х2(п)+Ь р; /п) х2(п+1)=а]х1(п)+Ь2х2(п)

х3(п+1)=а2х2(п)+Ь3х3(п) (1)

где х2(п+1) - численность /-той группы в /? 1 году, / -порядковый номер группы, л, -коэффициент рождаемости репродуктивной группы. Коэффициент а - ЭТО ДОЛЯ численности группы /, перешедшая в следующую группу за 1 шаг по времени. При переходе из одной группы в другую отсутствует строгая привязка ко времени: за 1 шаг часть группы взрослеет, но остается в той же группе. Коэффициент задержки Ь описывает ту часть / группы, которая, повзрослев, остается в ней же. По смыслу коэффициентов модели выполняются следующие неравенства а Ь <а X). Ъ >0 Г41.

1 г — г ’ ; Л

Оценка параметров модели Лефковича

Оценка параметров модели проводилась на основе статистических данных о распределении численности населения ЕАО по возрастным группам за 1995-2007 гг. [7, 8]. Каждое уравнение модели фактически является множественной регрессией величины х.+1(п+1) как функции от х (п) и х.+1(п). Таким образом, оценка парамет-

ров уравнений сводится к вычислению коэффициентов соответствующих регрессионных уравнений и может быть осуществлена с помощью любого доступного статистического пакета.

В соответствии с найденными оценками параметров методом наименьших квадратов модель (1) в векторноматричной форме принимает вид

х{п + 1) =

0,909 0,0216 0

0,09 0,95 0

0 0,04 0,947

х(п)

(2)

В табл. 1 для каждого уравнения модели (2) представлены следующие статистические характеристики: коэффициент корреляции между фактическими и модельными данными, средняя ошибка аппроксимации, обобщенный коэффициент корреляции во множественной регрессии, множественный коэффициент детерминации, критерий Фишера.

Средняя ошибка аппроксимации характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Обобщенный коэффициент корреляции во множественной модели характеризует тесноту связи. Множественный коэффициент детерминации можно рассматривать как меру качества уравнения регрессии, характеристику прогностической силы анализируемой регрессионной модели, чем ближе он к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между переменными. Б - критерий оценивает надежность результатов уравнения регрессии (критерий Фишера).

На основе полученных характеристик оценим уравнение регрессии, описывающее динамику численности населения в возрасте 0-15 (табл. 1). Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как ошибка аппроксимации (1,4 %) не превышает 8-10 %.

Коэффициент детерминации 0,99 свидетельствует о том, что вариация численности первой группы на 99 % объясняется изменчивостью включенных в модель переменных, а именно численностью населения в репродуктивном возрасте и численностью населения первой группы в предыдущем году.

Фактическое значение критерия Фишера больше табличного, определенного на уровне значимости а=0,05,

то есть уравнение регрессии значимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная х2(п+1) достаточно хорошо описывается включенными в регрессионную модель переменными х2(п) и х (п). Остальные уравнения модели (2) также являются значимыми (табл. 1).

Определение равновесных демографических параметров

Найденные оценки демографических параметров позволяют вычислить значение репродуктивного потенциала Н(. \) для матрицы Лефковича, которое находится по формуле:

п п п+1

Я(Л) = 1-11(1-6/)+2/^- П (1-6,0 (3)

] ■> /=1 ;=1+г v ’

где Ь =0, 1=1,1.=а,а.... а., Г41.

п+1 г ’ ; 12 г-1 л

Согласно [4] под репродуктивным потенциалом понимается такая математическая величина, которая позволяет, не прибегая к вычислению максимального собственного числа матрицы, по заданным значениям демографических параметров установить асимптотику траекторий системы при п > оо .

Значение репродуктивного потенциала по найденным оценкам демографических параметров модели составило 0,99. ЩА)< 1, следовательно, численность населения ЕАО экспоненциально убывает.

Найдем такие значения параметров модели (1), которые в перспективе приводят численность населения к равновесному состоянию. В равновесном состоянии в любой момент времени рождается столько же людей, сколько и погибает [2], поэтому численность населения остается неизменной.

В силу того, что численность пострепродуктивной группы не оказывает влияния на динамику возрастного состава младших групп [6], при оценке равновесных значений параметров будем учитывать возрастные группы 0-15 и 16-44. Следует отметить, что стабилизация численности репродуктивного населения автоматически повлечет за собой стабилизацию численности населения пострепродуктивного возраста, поскольку коэффициенты модели постоянны.

В соответствии с уравнениями (1) численность населения ЕАО стабилизируется, если для параметров мо-

Таблица 1

Проверка значимости уравнений множественной регрессии

Статистический показатель Х[(п +1) = 0,02х2(п) + 0,9 Хг(п) Х2(п +1) = 0,09x1 (п)+ 0,95 Х2(п) Хз(п+ 1) = 0,04х2(п) +0,947 хз(п)

Коэффициент корреляции между фактическими и модельными данными 0,998 0,116 0,97

Критическое значение корреляции для уровневой значимости 0,05 0,664 0,57 0,63

Средняя ошибка аппроксимации 1,42 1,678 1,23

Обобщенный коэффициент корреляции во множественной регрессии 0,998 0,79 0,82

Множественный коэффициент детерминации 0,997 0,62 0,667

Критерий Фишера 333 7,35 6,02

Табличное значение критерия Фишера при уровне значимости а=0,05 5,79 4,26 5,14

дели выполняется равенство:

Следовательно, множество значений параметров а , Ъ , Ъ , при которых численность населения ЕАО стабилизируется, принадлежит поверхности:

^2(.а1,Ь1,Ь2) = —{\-Ь1){\-Ь2), (5)

На основе (5) и полученных оценок демографических параметров (Ь° = 0.909,Ь2° =0.957,52° =0.0216,

о, = 0,09) определим такие значения параметров ,\уЬ гЬу которые приводят численность населения ЕАО к равновесному состоянию. Для решения этой задачи в трехмерном пространстве, (Л;,Л,,\,) необходимо найти наименьшее расстояние между точкой с координатами

ф° = 0.909,й2° = 0.957,52° =0.0216) и поверхностью

^ (Я] = 0.09./>|./>2), при условии, что />; < 1-ар Ь> 0.

Задача сводится к нахождению минимума следующей функции:

ЩЬ\,Ь2^2) = ^(¿1 -6^)^ + -Ь®)^ + (*2(а1 = 0-09,61,62)-*2^ (^)

Значения параметров функции оценивались численно методом Левенберг-Маркварда и составили Ь =0.9099, Ъ=0.966, 5=0.034. Данные значения представляют собой минимальные изменения параметров

модели (2) ь° =0.909,й2° = 0.957,52° = 0.0216 ч»

Ьх = 0.9099,Ь2 = 0.966,52 = 0.034 .

Как видим, равновесное состояние достигается не только увеличением показателя рождаемости, но и уменьшением интенсивности процессов смертности и миграции в возрастной группе 16-44 (коэффициент Ь2 увеличился). Следует отметить, что в соответствии с полученными оценками для достижения равновесного состояния населением ЕАО достаточно повысить значение показателя рождаемости на 57 %, и уменьшить убыль численности населения в возрасте 16—44 на 0,9 %. Анализ и прогноз демографической динамики Обсудим полученные результаты оценки параметров модели параллельно с анализом закономерностей демог-

рафической динамики ЕАО.

Если предположить, что в репродуктивной группе количество женщин и мужчин равное, то рожает всего 4 % женщин (для сравнения, в 1990 г. рожало 3,7 % всей репродуктивной группы). Параметр 1-Ь2, характеризующий убыль населения в /-той группе, включает в себя как процессы смертности, так и миграцию. По найденным оценкам демографических параметров (2) численность возрастной группы 0-15 ежегодно убывает на 0,1 %, в группе 16-44 убыль населения составляет 1,2 %, в группе 45+ около 4 %. Чем старше группа, тем выше процент убыли численности населения из нее, на наш взгляд, это объясняется увеличением интенсивности процессов смертности. Сумма а.+Ь для всех уравнений модели (2) меньше единицы - это позволяет говорить о слабой интенсивности миграционных процессов в области, а именно иммиграции.

На основе модели (2) построим прогноз динамики численности населения ЕАО. Поскольку модель (2) линейная, то она отражает существующие особенности процесса воспроизводства в перспективе. Так как в настоящем численность умерших превышает численность новорожденных, то в будущем численность населения будет продолжать уменьшаться (рис. 1).

Следовательно, в случае сохранения существующих тенденций процесса воспроизводства, общая численность населения ЕАО к 2020 г. уменьшится на 16 %.

Если существующие тенденции процессов миграции и смертности считать постоянными во времени

(Ь° = 0.909,й2° =0.957,0] =0.09) , то для выхода численности населения ЕАО на стационарный уровень, показатель рождаемости должен увеличиться в два раза (с 0,021 до 0,043).

Пусть в перспективе процессы смертности и миграции остаются неизменными, а коэффициент рождаемости изменяется следующим образом:

52(и) + 0,001 5"2 (п) + 0,001 < 0,043 ^(О) = 0,0216

0,043 52(и) + 0.001 > 0,°43 (7)

В соответствии с соотношением (4) при значении параметра рождаемости 0,043 численность населения Еврейской автономной области стабилизируется. Ежегодное увеличение коэффициента рождаемости на 0,001

с 36-® 34 - 90 | 88 63.5 - § 63

§ 32 -ю' 30 - ¡2 84 а 82 2 £ 62.5 - Ю

численность 1 0 ГО ГО ГО 1> 0 ГО О) с £ 78 ё 76 Ї 74 5 72 5 70 гО г й 62 ■ 0 1 І 61.5-с Ї 61

<5^ п? <5^ ^ ^ ^ ^ «Vі «Vі «Vі «Vі «Vі «Vі «Vі 0 <5^ С\^ сР ф5 ф5 ф5 ф5 ф5 ф5 1 ^ ^ ^ ^ г# ф5 ф5 ф5 ф5 ф5 ф5 ф5

Прогноз динамики численности Прогноз динамики численности Прогноз динамики численности

населения в возрасте 0-15 населения в возрасте 16-44 населения в возрасте 45+

Рис. 1. Прогноз динамики численности возрастной структуры населения ЕАО в соответствии с моделью (2)

Рис. 2. Прогноз динамики численности возрастной структуры населения ЕАО по модели (1) в соответствии с (7)

соответствует тому что ежегодно численность новорожденных становится на три ребенка больше, чем в предыдущем году.

При таких тенденциях к 2020 г. численность населения ЕАО уменьшится примерно на 12 %. Однако для стабилизации общей численности населения области потребуется более 20 лет.

Теперь предположим, что коэффициент рождаемости и показатель, характеризующий интенсивность процессов смертности и миграции в репродуктивной группе, будут изменяться следующим образом:

З2(п) + 0,001 0<п<12,пег .52(0) = 0>0216 0,034 п > 13, п е 2 5

Ь2(п) + 0,001 0 <п<9,пег Ь2(0) = 0,957 0,966 и > 10, и е 2 '

Данные соотношения составлены на основе значений демографических параметров модели (2) и их равновесных оценок. Тогда изменение возрастной структуры населения ЕАО будет происходить следующим образом (рис. 2).

Как видим, к 2020 г. при малом ежегодном изменении параметров рождаемости и смертности (я2, />у в соответствии с (8) численность населения ЕАО достигает равновесного состояния. В равновесном состоянии стационарное значение численности населения группы 0-15 составляет 29,5 тысяч человек, репродуктивной группы - 78,5 тыс. человек и в пострепродуктивном возрасте 60 тыс. человек.

К моменту стабилизации численность населения ЕАО уменьшится на 8 %, и общая численность населения будет составлять около 167 тыс. человек.

Заключение

Население Еврейской автономной области характеризуется суженным процессом воспроизводства, в 2007 г. на 100 человек репродуктивного возраста приходилось 38 детей в возрасте от 0 до 15 лет. Следует отметить, что сохранение характеристик процесса воспроизводства приведет к дальнейшему снижению численности населения области, поскольку значение естественного прироста населения отрицательно. Численность группы в возрасте 0-15 лет ежегодно убывает на 0,1 %, в возраст-

ной группе 16-44 убыль населения составляет 1,2 %, в группе 45+ около 4 %.

В соответствии с полученным прогнозом, при сохранении существующих тенденций процесса воспроизводства, общая численность населения ЕАО к 2020 г. уменьшится на 16 %. Однако для выхода численности населения ЕАО на равновесный уровень (при сохранении существующих тенденций процессов смертности и миграции, рождаемость должна увеличиться в два раза).

С другой стороны, для достижения равновесного состояния достаточно повысить рождаемость на 57 % (такой уровень рождаемости наблюдался в 1990 г.) и уменьшить убыль численности группы 16-44 на 0,9 %. Если ежегодно увеличивать на 0,001 коэффициент рождаемости (с 0,0216 до 0,034), а показатель, характеризующий убыль численности населения в возрасте 16-44, уменьшать на 0,001 (с 0,053, до 0,044), то численность населения ЕАО к 2020 г. достигнет своего равновесного уровня. При этом убыль населения составит 8 %, после чего общая численность населения стабилизируется и будет составлять около 167 тыс. человек. Следовательно, при демографической политике, направленной на рост естественного прироста, стабилизация численности населения вполне возможна через 13-15 лет.

Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ проект 08-01-98505-р_восток_а и Фондом содействия отечественной науке.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Баркалов Н. О математических моделях долгосрочного прогнозирования населения. Наше будущее глазами демографа / М-во высш. и сред. спец. образования СССР. Науч-техн. Совет. Секция народонаселения. М.: Статистика, 1979. С. 98-99.

2. Короновский A.A., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 324 с.

3. Логофет Д.О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 12. С. 11-22.

4. Логофет Д.О., Клочкова И.Н. Математика модели Лефковича: репродуктивный потенцицал и асимптотические циклы // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 10. С. 116-126.

5. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 464 с.

6. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Гл. ред. физ.-мат. литры изд-ва «Наука». 1978. 352 с.

7. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. сб. В 2 т., т. 1 / Комстат ЕАО, 2000 г. 191 с.

8. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. сб. В 2 ч., ч. 1 / Еврстат. Биробиджан, 2006.210 с.

In this paper the demographic modeling analysis in the Jewish autonomous region is made. It is shown that the total population number in the region is decreasing. The equilibrium values of demographic parameters are found. In case the present day characteristics of the reproduction process remain at the same level, the population will be decreasing. It is shown that under a reasonable demographic policy aimed at the increment of population process stabilization could be quite possible in some 13—15 years.