CC BY
34
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС 77 - 305&9. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-040S
Методы решения задачи идентификации моделей движения центра масс ракет космического назначения
77-30569/345425
# 03, март 2012 Пролетарский А. В.
УДК 681.5
Одной из задач, решаемых интеллектуализированной системой управления [1-3], является идентификация модели движения центра масс. Для сокращения объема необходимой памяти бортовой вычислительной машины и сокращения затрат машинного времени необходима унификация методов решения различных задач.
Под идентификацией модели движения центра масс ракет космического назначения (РКН) понимается оценка ее параметров по информации о характере полета РКН и некоторых ее характеристиках, получаемых с помощью бортовых измерительных средств.
Представим систему уравнений движения центра масс РКН в следующем виде:
МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]
х =
f (t, х, p ),
(1)
где х - вектор фазовых координат, t - время,
х =
(V, г )т; p = (c, d )т,
(2)
V - вектор скорости,
г - радиус-вектор,
с - вектор параметров, характеризующих РКН и условия ее полета;
f = Y + n(t, х, d); Y = (y,0)T; r, = (gradU ,V )T,
(3)
d - вектор параметров потенциала поля земного тяготения и; у - вектор кажущихся ускорений центра масс РКН,
(4)
Модель движения центра масс РКН будет полностью определена, если задан составной вектор в ее параметров с, ё и начальных х0, либо конечных хк значений фазовых координат. Задача определения вектора в параметров модели движения центра масс РКН относится к разряду задач параметрической идентификации систем.
Задача идентификации модели движения РКН сводится к задаче оценки вектора параметров р модели и вектора х фазового состояния РКН в начальный или конечный
момент времени по результатам измерений г - выхода системы (1)-(4), искаженного шумами и различного рода возмущающими факторами, действующими на исходную систему. Оценка р их (либо хк) заключается в отыскании таких значений этих
параметров, при которых выход и модели (1)-(4) наилучшим в некотором смысле образом приближался бы к выходу г реальной системы.
В качестве выхода и рассматриваемой системы (1)-(4) может использоваться либо вектор у кажущихся ускорений, либо вектор х фазовых координат, либо оба этих вектора. В случае и = у идентификация системы (1)-(4) осуществляется по измерениям
вектора кажущихся ускорений, в случае и = х - по результатам решения навигационной задачи. При этом задача навигации может рассматриваться как частный случай идентификации системы (1) при и = у и заданном значении параметров системы.
Для оценки массово-энергетических характеристик РКН наряду с информацией о векторе кажущихся ускорений, получаемой с соответствующих измерителей (в частности, с акселерометров), может также использоваться информация о количестве топлива, получаемая с датчиков системы управления расходом топлива, и информация о давлении в камерах сгорания. В этом случае уравнение (1) дополнится соответствующими уравнениями связи
3 = 3^, с), ркс =(г, с), (5)
где 3 - измеренное количество топлива в баках; рс -измеренное значение давления в камере сгорания.
С помощью датчиков системы управления расходом топлива могут измеряться либо расходы топлива из баков, либо объемы компонентов топлива в баках Информация о давлении в камере сгорания может быть связана с расходом топлива с помощью дроссельной характеристики двигательной установки.
Пусть критерий ошибки приближения выхода модели к выходу реальной системы характеризуется функционалом
L
I = J H (u, z )dt, (6)
где H - скалярная положительно определенная мера ошибки.
Задача идентификации модели движения центра масс РКН заключается в определении таких векторов c,d и x0 , либо xk, которые минимизируют функционал (6) при условиях (1)-(4), т.е. в решении системы дифференциальных и функциональных уравнений
х = f (t, х, p), (7)
J = min I (p, х0). (8)
p, х0
Если в уравнении (7) не учитываются аэродинамические члены, то уравнение (4) принимает вид
У = J>(t, c ), (9)
в этом случае при и = y для определения вектора С достаточно рассматривать уравнение (9), т.е. вектор С будет определяться уравнениями:
y = ф(}, c); J = min I (с ). (10)
С
Если вектор c характеристик РКН известен или определен в результате решения задачи (7), (8), то при и = х для определения вектора d параметров потенциала поля тяготения и вектора х00 фазового положения РКН может быть использована система уравнений
х = Y + n(t, х, d); J = min I (d, х0), (11)
d ,х0
где вектор Y считается известным либо на основании измерений, либо на основании вычислений по формуле (4). В случае заданного значения вектора параметров d приходим к задаче оценки х00 фазового состояния РКН в момент времени t0:
х = Y + n(t, х); J = min I (х0). (12)
х0
Если вектор Y считается известным в результате измерений, то при и = y задача
определения вектора фазового положения центра масс РКН сводится к задаче интегрирования уравнения
х = Y + n(t, х), (13)
которая представляет собой задачу навигации РКН. Интегрирование уравнения (13) на упрежденном отрезке времени при известном законе изменения вектора У представляет собой задачу прогнозирования фазового положения центра масс РКН.
Таким образом, могут быть сформулированы следующие типы задач по определению параметров моделей движения центра масс РКН: 1 .Идентификация динамической системы
ГУЛ
= У + х, ё), У = ; у = ф(г, х, с)
V 0 у
(14)
по информации о векторе х , либо о векторе у или о векторах х и у. При этом информация о векторе х может быть получена в результате решения задачи навигации, а о векторе у - в результате измерения вектора кажущегося ускорения. В случае использования лишь информации о векторе х уравнение (14) эквивалентно системе уравнений
V = ф(г,У, г, с) + g (г, г, ё); г = V.
(15)
Если используется информация о векторах х и у, то можно ввести в рассмотрение расширенный вектор £ и соответствующее векторное уравнение
где
£ =
£ = ^ ($,£, с, ё),
С У + х, ё)
фдфУ + П, х, ё)] дх
С х ^
, ^ =
V у у
(16)
(17)
В этом случае задача формально сведена к типу задачи идентификации системы (15) по информации о векторе х.
2. Идентификация динамической системы
х = У + п(х); У =
с у ^
V 0 у
у
= ф(, х, с)
(18)
по информации о векторе х, либо о векторе у, или о векторах х и у.
При использовании информации лишь о векторе х уравнение (18) эквивалентно системе уравнений
V = ф^,У, г, с) + g (г); г = V. (19)
По аналогии с предыдущим случаем задача идентификации модели (18) по информации о векторах х и у может быть сведена к типу задачи идентификации системы (19) по информации о векторе х.
77-30569/345425, №03 март 2012 г. http://technomag.edu.ru 4
3. Идентификация статической модели
У = ф(и с)
(20)
по информации о векторе у.
Идентификация динамической системы
X = У + х, У = |У
(21)
по информации о векторе х , где у - заданная вектор-функция.
При этом вектор у определяется либо в результате измерений кажущихся ускорений, либо с помощью функции (20) при известном векторе параметров с .
5.Определение значения вектора х в результате интегрирования уравнения
где у - заданная вектор-функция, определяемая либо в результате измерения вектора кажущихся ускорений (при решении задачи навигации РКН), либо с помощью заданных аналитических зависимостей (при решении задачи прогноза фазового состояния РКН).
В условиях высокой точности измерения параметров движения РКН и влияния стабильных по характеру изменения возмущений и погрешностей измерения от алгоритма идентификации требуется лишь выполнение роли алгоритма аппроксимации реального движения центра масс РКН некоторой его моделью и не требуется одновременного выполнения роли фильтра. В связи с этим ограничимся рассмотрением лишь детерминированных моделей движения центра масс РКН.
Основными составляющими правых частей уравнений движения центра масс на участке выведения КА являются тяга двигателей и гравитационное ускорение. При этом потери скорости на преодоление сопротивления воздуха и за счет донного сопротивления двигателей составляют порядка 10-15 % от скорости на выходе из плотных слоев атмосферы (примерно на высоте 100 км). В связи с этим аппроксимирующая модель реального движения РКН может не учитывать влияние атмосферы на движение его центра масс и для идентификации параметров модели достаточно использовать системы (20) и
При идентификации моделей движения РКН может быть использована достаточно обширная априорная информация, полученная на этапах создания и отработки РКН. В частности, известно, что пределы разброса массово-энергетических и аэродинамических характеристик РКН не превосходят соответственно 1-3 % и 10-15 % от их номинальных
XX = У + п(х); У = | У|,
(22)
(21).
значений. Поэтому для уточнения такого рода характеристик могут использоваться линейные аппроксимации рассмотренных выше динамических и статических систем.
В качестве меры ошибки аппроксимации вектор-функции г^) измерений кривой и^) может быть выбрана квадратичная форма
Н(и, г) = 1 (и-г)т Я(и —г), (23)
где Я - матрица весовых коэффициентов.
В принципе мерой ошибки (и — г) может служить также норма ||и — г|| вектора
(и — г), либо скалярное произведение (и — г, и — г). Если квадрат нормы и скалярное произведение определены через сумму квадратов компонент вектора, то мера ошибки эквивалентна записи (23) при Я=Е.
Для решения сформулированных задач идентификации детерминированных моделей движения центра масс РКН могут быть использованы разнообразные методы поиска минимума функции (6), как аналитические, так и численные. Аналитические методы базируются на теории оптимального управления системами, и, как правило, сводят задачу идентификации к проблеме двухточечной краевой задачи. Численные методы базируются на теории нелинейного программирования и зачастую сводятся к различного рода градиентным процедурам.
Переход к двухточечной краевой задаче.
Если правые части динамической системы
х = / х, с), х(0 ) =
модели наблюдения
у = ф(, х, с) и подынтегральная функция функционала
г
I = | Н (у, г ^
(24)
(25)
(26)
являются гладкими функциями своих переменных, а система (24)-(25) являются идентифицируемой, то задача минимизации функционала (26) при условии (24) с помощью коэффициентов Лагранжа может быть сведена к задаче на безусловный экстремум функционала
I = Н Н (у, г ) + Я
/ (, х с )
\ёt,
(27)
0
где Л -вектор множителей Лагранжа.
Интегрируя (27) по частям и приравнивая первую вариацию функционала нулю, с учетом явной зависимости вектора х от вектора с и вектора начальных состояний х0 получим следующие соотношения для оптимальных значений искомых параметров с и х0:
\\Л
тд/ + дН ду
Л
дс ду дс ^
& = 0,
(28)
д/(дН ду 1Т
Л = -\^-\ Л-I дх )
ду дх
; Л( о ) = 0;Л(^ ) = 0.
(29)
Таким образом, задача идентификации системы (24) адекватна двухточечной краевой задаче для системы уравнений (24) и (29) при интегральных связях (28) и нулевых значениях переменной Л на концах. Для определения векторов с размерности т, вектора х0 размерности п и вектор-функции Л размерности п получено 2п+т соотношений (24), (28), (29) и 2п краевых условий (Л0 = 0), (Лк = 0). Интегральные связи (28) при условиях
на концах у0 = 0 и ук = 0 могут быть заменены эквивалентными дифференциальными связями
'=(/ Л+
{ дH ду}Т ду дс
(30)
Если не использовать множители Лагранжа, то оптимальные значения векторов с и х0 определяются из условия равенства нулю вариации функционала (26), т.е. из соотношения
- дH ( ду ду дх ^
- + -
{ ду \дв дх дв
Ж = 0
(31)
при в =
V х0
и условиях (24) и (25).
дх
Производные — могут быть определены с помощью уравнений чувствительности дв
Ж (дх.) = / / дх_
Ж\дв) дв дх дв
(32)
д/
при = дв
(/
дс 0
V J
и условиях
дх
= 0,
дх
дс / t=to Й^ / t=to
= Е.
Интегральное уравнение (31) может быть заменено эквивалентным дифференциальным уравнением
с =
дН | ду + ду дх
(33)
ду Vдв дх дв^ при условиях на концах сс(0) = 0, ) = 0.
Для определения вектора в размерностью п + т имеется всего 2п + т + п(п + т) соотношений. При этом на каждом шаге итерации приходится интегрировать на п(п + т) уравнений больше, чем в методе, использующем множители Лагранжа.
Условия стационарности (24), (29) и (30) можно также получить, если ввести в рассмотрение векторное уравнение
с = р = 0 (34)
и использовать методы теории оптимального управления систем [4].
Если начальные условия х(^0) = х0 заданы, то для уравнения (29) левый конец является свободным и двухточечная краевая задача для системы (24), (29) и (30) решается при условиях х({ 0 )= х0, Л(}к )= 0, у( 0 ) = 0, у(:к )= 0.
Рассмотрим возможности решения краевой задачи для уравнений (24), (29) и (30), которые могут быть записаны в следующем каноническом виде:
дН
Х =
ду'
дН
¥ = ——А )= 0^к ) = 0,
дХ
(35)
(36)
где
Н
г х >
гамильтониан, х =
V с J
УJ
Н = Н (у , г ) + ЛЛ / (, х, с ) + ^т р. Для наиболее важных для практики линейных систем
х = Ах + Вс; у = ах + Ьс
(37)
(38)
(39)
т
и квадратичной меры ошибки приближения
Н (у, 2) = 2 (у - 2)Т я(у - 2) (40)
уравнения (29) и (30) принимают вид
Л = -АТЛ + аТЯ(у - 2), Л^0) = 0, Л((к ) = 0; (41)
г = -В0 )= 0,^ )= 0, (42)
где А, В, а, Ь - матрицы.
Решение краевой задачи (24), (29) и (30) либо (38)-(42) заключается в отыскании таких параметров с и х0, которые обращают в ноль невязки Л^, с, х0) и у(, с, х0) в
момент t = t, .
к
Анализ методов решения двухточечных краевых задач достаточно подробно проведен в ряде работ. В целом, рассмотренные методы решения краевых задач являются достаточно общими и практически не учитывают специфику идентифицируемой системы. Линейные системы обладают характерными особенностями, вытекающими из существования фундаментальных решений, сопряженных переменных и свойств скалярных произведений фазовых и сопряженных переменных, которые могут быть использованы при разработке методов идентификации этих систем.
В частности, показано, что при идентификации линейных систем методом сопряженных уравнений двухточечная краевая задача для уравнений (38), (41) и (42) может быть сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений
((, х)0, +и [(( аТ ЯЬ)+((Х, В)Ц с - } ( аТ = 0, (43)
и ] г к
г = 1,2,..., п + т,
где переменные (Л, (х, ( , определяются соответственно уравнениями
(л = А(л+ в(; (44)
Сх =- АТ(Х - аТ Яа(г; (45)
(г= 0. (46)
Уравнения (44) и (45) могут быть проинтегрированы в обратном времени при начальных условиях (х ) = 0 и
V 0
^ Г1 0^
= Е =
0
V YJt=tk
0
1
J
где ¥ - матрица фундаментальных решений, а интегралы в соотношении (43) могут определяться с помощью уравнений
и = Ал, а т ЯЬ)+А , В); (48)
ев = Ал, а т Яг ), (49)
интегрируемых при нулевых начальных условиях.
Если известна матрица фундаментальных решений Х^^о) уравнения (38), то с
учетом того, что матрица фундаментальных решений уравнения (41) равна Л = (хт) 1, а граничные значения переменных Л и у равны нулю, уравнения для определения параметров х0 и с примут вид
\(Хт )—1XтатЯаХёт Iх0 + Л (хт )—1XтатЯа{XX—1 Вё£ёт
к ь
{(X т)—1X т а т Ягёт = 0,
с —
(50)
{(^ — т^т )—1XтатЯ^а^с^т Iх0 + Л (^ — т)^т )—1XтатЯа{XX-1Вё£ёт
>с —
(51)
— {(^ — т)(х т )—1X т а т Ягёт = 0.
Следует отметить, что общее решение уравнения (38) равно
t
х^) = X ^, t0 )х0 + { X (t, т)X 4 (т, t0 )Вёт,
(52)
для которого можно записать эквивалентное уравнение типа уравнения Вольтерра для фундаментальной матрицы, ограничившись рассмотрением лишь первого приближения
X (и to )=
где Е - единичная матрица,
Е — { X 0 (^т^ 0—1 (т, t0 )Вёт
I
X0 t0) = exp {А(т)ёт
X 0 (t, ^ ),
(53)
(54)
\*0
0
При достаточно малом интервале [^0]
Х0 (^ tо)« Е + А( - tо) + 2 А2 ^ - tо )2 +... (55)
Для случая линейной стационарной системы у = Ьс и квадратичной меры
tk
приближения (40) может быть использовано условие | Ь т у - 2= 0,
tо
откуда с учетому=Ьс получаем:
Лк У1
с=
| Ь ТЯЬЖ |Ь т ЕгЖ. (56)
V Н! у %
Для решения уравнения (56) либо краевой задачи для уравнений (24), (29) и (30) могут быть использованы разнообразные численные методы.
Таким образом, задача идентификации сведена к двухточечной краевой задаче, что позволяет унифицировать программно-алгоритмическое обеспечение
интеллектуализированной системы управления при формировании базы знаний.
Литература
1. Пролетарский А.В. Управление полетом ракет космического назначения. М.: Издательство МГОУ, 2006. 140с.
2. Пролетарский А.В., Неусыпин К.А., Цибизова Т.Ю. Системы управления летательными аппаратами и алгоритмы обработки информации. М.: Издательство МГОУ, 2006. 220с.
3. Пролетарский А.В. Интеллектуализированная система управления перспективными ракетами космического назначения. Автоматизация и современные технологии, 2011, №6, с. 30-33
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL № KS 77 - 3Ü56'». .V;II421100025, ISSN 1994-jMOg_
Approaches to identification of center-of-mass motion models in space rockets
77-30569/345425
# 03, March 2012 Proletarskii A.V.
Bauman Moscow State Technical University
The article considers methods of identification of center-of-mass motion models in space rockets. Reducing the task of identification to a two-point boundary-value problem is shown for the purpose of unification of program-algorithmic support in the control system.
Publications with keywords: identification, motion model, launch vehicle Publications with words: identification, motion model, launch vehicle
References
1. Proletarskii A.V. Upravlenie poletom raket kosmicheskogo naznacheniia [Flight control of space rockets]. Moscow, MSOU Publ., 2006. 140 p.
2. Neusypin K.A., Proletarskii A.V., Tsibizova T.Iu. Sistemy upravleniia letatel'nymi apparatami i algoritmy obrabotki informatsii [Aircraft control systems and algorithms for information processing]. Moscow, MSOU Publ., 2006. 220 p.
3. Proletarskii A.V. Intellektualizirovannaia sistema upravleniia perspektivnymi raketami kosmicheskogo naznacheniia [Intellectual control system of the space purpose perspective rockets]. Avtomatizatsiia i sovremennye tekhnologii, 2011, no. 6, pp. 30-33.
