CC BY
38
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ *
Э.Г. Альбрехт
Описывается итерационный алгоритм идентификации нелинейных динамических моделей, опирающийся на свойства решения динамической маршрутной задачи с подвижными границами.
Ключевые слова: идентификация, обратная задача динамики, маршрутная задача, итерационная процедура.
1. Введение
Целью статьи является построение итерационного алгоритма идентификации нелинейных динамических моделей, когда известен аналитический вид обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию изучаемого процесса, но неизвестны некоторые силы или параметры, которые требуется восстановить по результатам измерений фазовых координат. Такие задачи апостериорного оценивания неизвестных сил (помех или параметров) в динамических системах по результатам измерения фазовых координат в заданные дискретные моменты времени относятся к обратным задачам динамики. Теория обратных задач динамики составляет активно развивающуюся область современной математики, различным ее направлениям посвящена обширная литература, например, [6; 10; 11; 13; 15].
В настоящей работе для вычисления решения обратных задач динамики предлагается использовать методы решения динамической маршрутной задачи [5 — 9]. В ней изучаются свойства решений линейно-квадратичной маршрутной задачи оптимального управления, которые затем используются для построения итерационной процедуры вычисления допустимого решения маршрутной задачи для нелинейных управляемых систем. Эти результаты составляют основу для разработки корректного по отношению к малым изменениям результатов наблюдения итерационного алгоритма идентификации математических моделей нелинейных динамических систем.
2. Постановка динамических маршрутных задач
На заданном конечном отрезке времени Т = [£о, tl} будем рассматривать управляемую систему
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 034)14)0599 и № 014)1-96450-Урал).
— = Р(і)и + Х(і, х, и).
(1)
Здесь х = {х\,... ,хп} £ Еп "" фазовый вектор, описывающий состояние рассматриваемого процесса в произвольный момент времени I £ Т, и = {щ,..., ит} € Ищ — управляющее воздействие, Р(1) € Пред-
положим, что вектор-функция Х(1,,х,и) € Нп определена и непрерывна по совокупности переменных при {£, х, и} € Т х х и удовлетворяет глобальному условию Липшица:
Условие 1. Неравенство
Ит, где символ || г || означает, евклидову норму вектора, г, Ь положительная постоянная.
Примем, что выполняется
Условие 2. При любых значениях {і, х,и} Є Т х ії„ х іїто выполняется неравенство
|| Х(і,х,и) ||< к(1+ || х ||), где к — положительная постоянная.
Вектор-функция и = и(і) Є Нт, определенная на отрезке времени і Є Т, называется допустимой [12, с. 18-36; 16, с. 5-23], если ее компоненты щ{Ь), (і = 1,..., т) являются кусочно - непрерывными функциями с разрывами первого рода в конечном числе точек і = т® Є Т, (в = 1,..., №) и непрерывными на концах отрезка Т. Для определенности будем полагать, что в точках разрыва функции щ{Ь) непрерывны справа.
При любом допустимом управлении и = и(і) условия 1 и 2 обеспечивают существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1) на произвольном конечном промежутке времени Т для любого начального условия х{і,о) = Ж(°) Є і?„.
Для управляемой системы (1) будем рассматривать следующие задачи:
Задача 1. Задана последоват,ельност,ь моментов времени то = £о < Т\ < • • • < таг = іі и последовательность точек х^\\] = 0,1,..., Ж). Среди допуст,им,ых управлений требуется найти оптимальное управление
u°(t, а), минимизирующее на движениях системы (1) при начальном условии x(to) = ®(°) функционал
I[u] = u'(t, a)u(t, a) dt + — (x(Tji а) — х^^)' (x(tj, а) — х^). (2)
Jto j=i ai
Задача 2. Задана последоват,ельност,ь моментов времени tq = to < т\ < ■ ■ ■ < таг = ti и последовательность точек xM\{j = 0,1,..., iV). Среди допустимых управлений требуется найти оптимальное управление u°(t), минимизирующее на движениях системы (1), удовлетворяющих условиям x(rj) = х^\ (j = 0,1,..., N), функционал
rh
h[u] = / u'(t)u(t)dt. (3)
Jto
Здесь и в дальнейшем штрих означает транспонирование, а = «аг} € Rn — вектор, компонентами которого являются неотрицательные параметры точности ау.
Оптимальное управление, разрешающее задачу 1, порождает при начальном условии x(ta) = Ж(°) движение системы (1), проходящее в заданные моменты времени t = Tj, (j = 1,..., N) через некоторые окрестности П(ж^) заданных точек х^\ (j = 1,, N), размеры этих окрестностей зависят от выбранных значений параметров = 1,..., N). Поэтому задачу 1 будем
называть маршрутной задачей с подвижными границами.
Оптимальное управление, разрешающее задачу 2, порождает при начальном условии x(ta) = Ж(°) движение системы (1), проходящее в заданные моменты времени t = Tj,(j = 1 через заданные точки
x^\(j = 1 Поэтому задачу 2 об обходе заданной системы точек
в заданные моменты времени будем называть маршрутной задачей с неподвижными границами.
При исследовании задач 1 и 2 будем предполагать, что выполнено следующее
Условие 3 (см. [12, с. 148]). Матрица P(t) непрерывно дифференцируема на отрезке Т. При любом значении (j = 1,..., N) найдется точка € в которой ранг матрицы
{L^t) = P(t), Lk(t) = -dLkdf\ (k = 2,..., n)}
равен п.
3. Принцип максимума
В этом параграфе для полноты изложения приводится формулировка необходимых условий экстремума [5; 7-9] в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина для маршрутной задачи 1. В указанных работах принцип максимума доказан при наличии компактных геометрических ограничений на управляющие воздействия. В нашем случае такие ограничения отсутствуют, однако, поскольку минимизируемые функционалы квадратичны по управлению, максимум функции Понтрягина достигается при конечных значениях управляющих сил. Поэтому можно ввести в рассмотрение фиктивную компактную область управления, в которой достигается максимум функции Понтрягина, и убедиться в справедливости необходимых условий экстремума [7-9] для задач 1 и 2.
Введем в рассмотрение функцию Понтрягина
Н(1, х, ф, и) = ф'Р(1)и + ф'Х(1, х, и) — и'и. (4)
Здесь ф = {фг,..., фп} £ Ип — вектор сопряженных переменных. Пусть {ж°(£, а), и°(£, а)} — оптимальный процесс в смысле задачи 1. Рассмотрим N краевых задач для канонической системы
ёх дН(1,х,ф,и°(1,а)) ёф дН(1,х,ф,и°(1,а)) . .
сИ дф ’ сИ дх
при краевых условиях
ж(г0) = ж(0), ф{т,•) = —~(х(т^ - х^), Ц = 1,..., Ж). (6)
ау
Обозначим через ф*^(11а), I € (] = 1, ...,Ж) решения системы
краевых задач (5), (6). Положим
ф(з)и а) _ / , t € [*0,7,-] т
Наконец, вычислим функцию
АГ
Ф°(*,а) = ^ф^Цг.а). (8)
з=1
Теорема 1. Пусть {х°(1,а),и°(1,а)} — оптимальный процесс в смысле задачи 1 в управляемой системе (1), когда качество процесса управления оценивается функционалом, (2), тогда Н(1, х°(1, а), ф°(1, а), и) как функция
переменной и в каждой точке £ непрерывности управления «°(£, а) имеет максимум при и = и°(1, а), т.е.
Н^, ж°(£, а), ■г/’°(£, а), «°(£, а)) = тах !£(£, ж°(£, а), ■г/’°(£, а), и). (9)
иеЯт
Таким образом, для вычисления решения задачи 1 необходимо найти решения системы N краевых задач (5) - (9).
4. Линейная маршрутная задача
Рассмотрим линейную управляемую систему
— = Р(*)„+ /(*), (10)
где х € Нп — вектор фазовых координат системы, и € Кт — вектор управляющих сил, Р{Ь) € Ипт — заданная непрерывная матрица, € Кп — некоторая интегрируемая функция.
Опишем процедуру решения задач 1 и 2 в случае системы (10). Из теории линейно-квадратичных задач оптимального управления вытекает (см. [12; 14]), что при любом а ^ 0 оптимальное управление и°(£, а) существует, а из принципа максимума следует, что оно является кусочнонепрерывной функцией и определяется равенствами
1 АГ
и°(^а) = -Р'ге[т5_ьт5], (« = 1,... ,АГ). (11)
3=з
Сопряженные переменные ф^ € Яп, (,? = 1, • • •, N) постоянны и удовлетворяют условиям трансверсальности
ж(т7-, а) — х^ = —щф^/2, и = 1,..., Ж). (12)
Проведя необходимые вычисления и преобразования, можно показать, что
для определения решения маршрутной задачи 1 необходимо найти решение системы векторных линейных неоднородных уравнений
(£>1 + «1 Е)ф^ + ад® + ЗД® + • • • + ад(Л° = 2 с(1),
£>1 ф{1)+{Б2 + а2Е)ф{2) + 1)2^(3) + • • • + В2ф(Ю = 2 с(2), £»1^(1)+1)2^(2) + (£>3 + а3Е)ф{3) + • • • + £>3^(Л° = 2с(3),
........................................ (13)
ад(1)+£>2^(2> + Д#(3) + • • • + (£>лг + амЕ)ф(лг) = 2с(лг).
Здесь Е € Япп — единичная матрица и
с(з) = х(з) _ ж(0) _ / (^ = 1,..., ЛГ). (14)
При выполнении условия 1 определенно положительны матрицы
= Г Р(1)Р'(1) <Й, и = 1,..., Ж). (15)
•>1о
Нетрудно проверить, что при любых неотрицательных значениях параметров точности матрица системы (13) является неособой и, следовательно, задача 1 имеет единственное решение. Решения ф^\хМю\ а) системы (13), (14) являются линейными функциями координат точек маршрута х(и!) _ ^ = 1,...,ЛГ)} и аналитическими функциями параметра а,
вообще говоря, при достаточно малых а > 0.
Из теории линейно-квадратичных задач оптимального управления и непосредственно из соотношений (11), (12), (13), (14) вытекает справедливость утверждения.
Теорема 2. Пусть линейная система (10) удовлетворяет условию 1, тогда задача 1 имеет единственное решение при любых неотрицательных значениях парам,етров точности.
Пусть {х°(1, а),и°(I, а)} — оптимальный процесс в смысле задачи 1, тогда равномерно относительно I € Т выполняются предельные равенства
Нт ж°(£, а) = ж°(£), Нт и0и, а) = и0и), (16)
а—5-+0 а—5-+0
где {х°(1), и°(1)} — оптимальный процесс в смысле задачи 2, причем
Нт ж°(т7-, а) = х^\ (^ = 1,..., Ж), Нт 1[иР(-,а)} = 11[иР(-)}. (17)
а-4+0 а-4+0
Оптимальный процесс {ж°(£, а), «°(£, а)} является корректным по отношению к малым изменениям маршрута хМ1^ при а ^ 0.
При достаточно больших N определение решения системы (13), состоящей из геЖ уравнений, доставляет большие вычислительные затруднения. Ниже, в итерационной процедуре идентификации моделей, мы будем использовать решения системы (13) при достаточно малых значениях параметров точности а = {«1,..., адг} и поэтому будем опираться на метод последовательной линеаризации, т.е. вести вычисления с точностью до членов первого порядка малости относительно {«1,..., адг} и полагать
ф^(а) = ф(°^ + «1 ф(1^ + • • • + «лгф(мз\ и = 1,... , Ж). (18)
Для вычисления N + 1 векторов ф^ = {ф^1\ ... ф^^}, (* = 0,1,... , Ж) получим систему линейных неоднородных уравнений с одинаковой однородной частью и различными правыми частями:
£>1 ф{а) + ЗД(Й) + ад(й) + • • • + Бгф^ = ё{а\
£>1 Ф{г1) + ад(г2) + ад(г3) + • • • + 02ф(ш) = ё(г2),
£>1 ф{г1) + Д2^(й) + А? Фт + • • • + Д#(гЛ° = сг(г3),
........................................ (19)
+ Д^г3) + • • • + Омф^ = сРм\,
(* = 0,1,... ЛГ),
в которых п^-мерные векторы ... ё^^}, (* = 0,1,... , Ж) опре-
деляются равенствами
^°)=2{с(1),...,с^}, сг(1) = {-•г/)(01),0,0,... ,0},
<г(2) = {о,^02\о,...,о},
^3) = {0,0, -^(03),...,о},
........................................ (20)
^) = {0,0,0,...,-^ОЛГ)}.
Опираясь на структуру матрицы однородной части, легко показать, что вычисление векторов ф^\(г1 = 0,1,... , Ж) сводится к следующим рекуррентным соотношениям:
фт = (£>„ - я*.!)-1^) - Ж*”-1»),
фт-1)) = (£>ЛГ_1 _ £>лг_2)-1(^(^-1)) _ ат-2))} _ ^
........................................ (21)
^(‘3) = (£)3 _ Дг)-1^*3) - й(й)) - ^(й) - ^(й) - ... - ^(*ЛГ),
^(‘2) = (£)2 - 01)-1((]^2) - (]М1)) - ф^] - ф{Н) - ф{Ш\
Ф&) = О^ё^ - ф№ - ф<й> ф«м\
(* = 0,1,... ,ЛГ)-
Таким образом, при использовании метода последовательной линеаризации (18) - (21) на каждом шаге необходимо обращать N определенно положительных матриц размерности пхп, что существенно снижает объем вычислений.
5. Нелинейная маршрутная задача
Рассмотрим маршрутную задачу 1 в случае системы (1), когда матрица Р(Ь) удовлетворяет условию 1, а нелинейная функция Х(1,х,и) — условиям 1 и 2. В такой ситуации получается достаточно сложная нелинейная краевая задача принципа максимума, для которой не разработаны численные методы вычисления решения. Опишем итерационную процедуру вычисления допустимого решения такой задачи. Воспользуемся тем, что в линейном случае решение задачи 1 получено в явном аналитическом виде, и будем опираться на метод последовательной линеаризации, предложенный в работе [2]. Введем в рассмотрение произвольную открытую и ограниченную область Г = {а € Яш : 0 ^ а < ? < оо. Выберем и зафиксируем произвольное аёГив качестве начального приближения возьмем оптимальное решение {ж®(£, а), (£, а)} для системы (10) первого приближения, отве-
чающей уравнению (1). Рассмотрим последовательность линейных систем
^ = Р(1)и + (1,а)), (5 = 1,2,...). (22)
Для систем (22) построим последовательность оптимальных процессов {жМ(г, а), г*М(£, а)}, (« = 1,2,...). Для этого надлежит найти решение системы линейных алгебраических уравнений (13), левая часть которой постоянна, не зависит от шага итераций, а правая часть на 5-м шаге процесса итераций определяется равенствами
с(*8>(а) =®(*> -®(°> - Г Хи,х^-1Нг,а),и^-1Нг,а))А,
Л, (23)
и = 1, - - -, АГ; 5 = 1,2,...).
Аналогично тому, как это сделано в работе [2], можно провести оценки и показать, что последовательность функций {ж^(£, а), иМ 1,2,...,) равномерно по I € Т и сходится при в сю к некоторому управляемому процессу {ж*(£, а), и*(1,а)} в исходной нелинейной системе (1), если только постоянная Липшица достаточно мала. Предельное управление и*(1,а) не является оптимальным в смысле задачи 1 для системы (1). Это — некоторое допустимое управление в нелинейной системе (1), которое порождает движение ж*(£, а), проходящее в заданные моменты времени I = т^, ^ = 1,, Ж) в любой сколь угодно малой окрестности заданных точек х^\ {] = 1,...,Ж) при подходящем выборе параметров точности ау, (^' = 1,...,Ы). Если а = 0, то предельное управление и*(1) порождает движение х*{Ь) системы (1), которое удовлетворяет условиям х*(тэ) = х^\ и = 0,1,..., Ж). Однако управление и*(1, а) не минимизирует функционал (2) при любом а ^ 0. Для вычисления управления
оптимального в смысле задачи 1 в нелинейной системе (1), следует усложнить [12] описанную выше итерационную процедуру, что значительно увеличит объем вычислений. Однако для решения задачи об идентификации математических моделей этого делать не следует, поскольку задача 1 позволяет выбрать одно из возможных решений. Чтобы получить однозначное решение проблемы идентификации моделей, необходимы дополнительные требования, учитывающие содержательные свойства изучаемого процесса.
Теорема 3. Пусть нелинейная управляемая система (1) удовлетворяет условиям 1, 2, 1 и постоянная Липшица Ь достаточно мала, тогда при любом а > 0 последовательность оптимальных процессов
{жМ(г, а), а)}, (« = 1,2,...), разрешающих зада ч у 1 для, линейной
системы (22), равномерно относительно I £ Т сходится, при г оо к управляемому процессу {х*(1, а), и*(1, а)} в исходной, нелинейной, системе (1), последовательность оптимальных процессов {жМ(£), >(*)}, разрешающих задачу 2 при произвольном з для линейной системы (22), равномерно относительно ^ 6 Т сходится при з ^ ос к допустимому управ-
ляемому процессу {х*(1), и*(1)} в исходной, нелинейной, системе (1). При, любом (« = 1,2,...) равномерно относительно ^ £ Т выполняются предельные равенства
Нт х(з)и,а) = ж(5)(г), Нт и(в)(*,а) =«(в)Ш. (24)
а—5-+0 а—5-+0
Предельные управления и*(1, а) и и*(1) не являются оптимальными, соответственно, в смысле задач, 1 и 2 для исходной, нелинейной, системы (1), причем равномерно относительно I € Т выполняются равенства
Нт х*и, а) = х*и), Нт и*и, а) = и*и), (25)
а—5-+0 а—5-+0
при, этом, ж*(т7-) = х^\ = 0,1,..., Ж).
Из теоремы 3 вытекает следующий критерий остановки вычислений по предлагаемой итерационной процедуре на 5-м шаге при произвольном фиксированном а ^ 0:
АГ
23 II си"*-1)(а) -см(а) || < С,
5=1
где С — заданное положительное число.
Рассмотрим нелинейную управляемую систему специального вида, которая возникает при моделировании макроэкономических процессов
[4; 3]:
с!т
— = Р(1,х)и, Р(1,0) = 0, (26)
где х € Нп — вектор фазовых координат системы, и € Кт — вектор управляющих сил, Р(£, х) € Ипт — заданная матрица, непрерывная по I и удовлетворяющая условиям 1, 2.
Особенность состоит в том, что члены наинизшего порядка в правой части уравнений (26) являются билинейными относительно фазовых координат и управлений. Изменим итерационную процедуру вычисления допустимого управления. Для этого введем в рассмотрение следующую последовательность линейных управляемых систем:
^ = Р(1, х^^1'1(1, а))и = Р^(£, а)и, (5 = 1,2,...). (27)
Последовательность систем (27) строится следующим образом. Выбираем произвольную функцию ж®(£), удовлетворяющую при £ = Т-у, (^’ =
0,1,..., Ж) условиям х^(т^) = х^\ и в правой части уравнений (26) положим х = ж®(£), т.е. рассмотрим линейную управляемую систему
^ = Р(£, ж®(£))« = Р®(£)«.
Для этой системы решаем маршрутную задачу 1 и находим оптимальное управление и^(1, а) и порождаемое им оптимальное движение х^(1,а).
Затем снова в правой части уравнений (26) полагаем х = ж®(£, а), для
полученной системы решаем маршрутную задачу 1, а также находим оптимальное управление и® (£, а) и оптимальное движение х® (£, а) и т.д. Таким образом получим последовательность оптимальных процессов {ж^(£, а), г*М(£, а)}, (« = 1,2,...) в линейной системе (27). Можно показать [2], что теорема 3 остается справедливой в случае итерационного процесса (27), т.е. последовательность функций {ж^(£, а), и^(1, а)}, (« = 1,2,...) равномерно по I € Т сходится при в ею к некоторому управляемому процессу {ж*(£, а), и*(1, а)} в исходной нелинейной системе (26), если только постоянная Липшица функции Р(£, х) достаточно мала и система (27) удовлетворяет условию 1 равномерно относительно 5 при любом а £ Г. К сожалению, в общем случае трудно указать эффективно проверяемые условия, при которых последнее предположение имеет место.
Скорость сходимости существенно зависит от выбора стартового процесса ж(°) (£). Если измерения производятся с достаточно большой частотой, когда длины отрезков {] = 0,1,..., И) и разности \\х^+1^ — х^Ц\
достаточно малы, то в качестве функции ж®(£) целесообразно выбирать
ломанную линию, соединяющую точки маршрута х^К
В отличие от предыдущего, для вычисления последовательности оптимальных процессов {жМ(£, а), «М(£, а)}, (« = 1, 2,...) при любом 5 надлежит найти решение системы линейных алгебраических уравнений (13), правая часть которой постоянна, не зависит от шага итераций и определяется равенствами
с«) = ЖУ) - ж(°), (</ = 1,..., Ж), (28)
а в левой части на 5-м шаге процесса итераций необходимо полагать
Гтз
1)5. = 1)(5)=/ рМ(г,а)Р'(5)(г,а)(Й, {] = 1,...,ЛГ). (29)
Ло
Пусть ф^>’в\а), ^ = 1,...,Ж) — решение системы (13), (28), (29) на 5-м шаге. Из изложенного вытекает следующий критерий остановки вычислений по предлагаемой итерационной процедуре на 5-м шаге при произвольном фиксированном а ^ 0:
АГ
УЗ || ф^'8~1\а) — ф^,3Ца) ||< £ъ
5=1
где (д — заданное положительное число.
6. Итерационная процедура идентификации
Пусть задана последовательность моментов времени то = £о < т\ < ••• < тдг = 11, в которые производятся измерения фазовых координат системы (1), подверженной действию неизвестной силы и = и(Ь). Известна
ошибка измерительных приборов, и измеренные значения фазовых координат ж(т?-), = 0,1,..., И) удовлетворяют условию
II х(^) - х**{т]) 1К ^ 0' = 0,1,, ЛГ), (30)
где х**{ту) — неизвестные истинные значения фазовых координат.
Задачу об идентификации модели (1) сформулируем следующим образом [15].
Задача 3. Задано начальное условие х(1о) = х^о)- Требуется найти такую допустимую функцию и(1), ^ 6 Т, которая порождает, решение х*(1) уравнений (1), удовлетворяющее неравенствам
II х(Тз) ~ х**{^) 1К ФК {з = (31)
где е(6) —> 0 при 6^0.
В постановке задачи 3 фигурируют измеренные значения ж(т7-) фазовых координат. Если ошибка измерений 6 достаточно велика, то в необходимых случаях сначала следует выполнить каким-либо стандартным методом фильтрацию измеренного сигнала и использовать полученные значения вместо измеренных.
Для системы (1) будем рассматривать маршрутную задачу 1 при произвольном значении а € Г и при х^ = х{т^), (_?’ = 1,..., Ж). Производя вычисления допустимого управления г*М(£, а), (я = 1,2,...) в соответствии с описанной выше итерационной процедурой, на каждом шаге итераций 5 будем корректировать управление, чтобы свести к возможному минимуму ошибки вычислений за счет выбора параметров точности. Квадратичная ошибка решения маршрутной задачи зависит от параметров точности и определяется при (5 = 1,2,...) равенствами
АГ
J^sЦa) = II х^\т^,а) — х(т^ ||2 . (32)
5=1
Искомые значения параметров О = 1,..., -/V; в = 1,2,...} являются решением следующих экстремальных задач:
тт{«/М(а) при а ^ 0}, (в = 1, 2,...). (33)
а
Решения задач (33) окончательно определяют искомый оптимальный процесс {жМ^^иМ^)} на шаге 5, т.е.
ЖМ(£) = ЖМ (£,««), «М(г) = «М(£,аМ). (34)
В случае идентификации системы (1) или (26) критерий остановки вычислений на 5-м шаге в соответствии с неравенством (30) может быть принят в виде
тах II х^ЦтЛ - х^ ||< ё. з, и=1,...,Ю
Отметим, что необходимая точность вычислений достигается при малых значениях параметра а, поэтому при вычислении {ж^(£, а), и^(1, а)}, (5 = 1,2,...) можно ограничиваться членами первого порядка относительно данного параметра. Для этого при любом значении 5 достаточно вычислять решение маршрутной задачи 1 в соответствии с равенствами (18) -(21). В таком случае функционал невязки «/М(а), (« = 1,2,...) из (32) будет квадратичной функцией параметров точности и искомые величины
(^' = 1,..., Ж; в = 1, 2,... } будут решениями задачи на минимум квадратичной функции при неотрицательных ограничениях.
Если ошибка измерений 6 = 0, то измеренные значения ж(т7-) фазовых координат совпадают с истинными, и если при этом допустить, что решение маршрутной задачи можно выполнить идеально точно, то а = 0 и величина е(6) в правой части неравенства (31) будет равна нулю. Если ошибки измерений и ошибки в предлагаемых вычислениях достаточно малы, то в силу корректности решения маршрутной задачи 1 по отношению к изменениям сигнала ж(т7-) ^ = 1,, Ж) величина е(6) будет также достаточно малой.
В результате вычислительных экспериментов [4: 3] по идентификации одной макроэкономической модели установлено, что предположение о том, что нелинейные члены в правой части управляемой системы удовлетворяют глобальному условию Липшица по фазовым переменным и управлениям, является существенным для сходимости. Вычислительные эксперименты показывают, что алгоритм идентификации моделей, опирающийся на свойства решений линейно-квадратичной маршрутной задачи с подвижными границами, является сходящимся за счет регуляризирующей роли параметров точности, несмотря на то, что правая часть уравнений макроэкономической модели не удовлетворяет глобальному условию Липшица. Однако, вообще говоря, при таком способе идентификации не удается добиться необходимой точности, поскольку при вычислении параметров точности, фигурирующих в задаче с подвижными границами, возникает неустранимая и неприемлемая в отдельных случаях погрешность. Последнее обстоятельство вынуждает искать дополнительные пути регуляризации разработанной процедуры идентификации. Нами установлены достаточные условия глобальной управляемости нелинейных систем и показано, что предлагаемая процедура идентификации теоретически может быть осуществлена с любой заданной наперед точностью, если систему уравнений модели предварительно застабилизировать до асимптотической в большом или целом так, чтобы статистические данные лежали в области притяжения начала координат. Изложение этих фактов выходит за рамки данной статьи.
Список литературы
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
2. Альбрехт Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем // Тр. Второго Болгарского национального конгресса по теоретической и прикладной механике. София, 1975. Т. 1. С. 522-526.
3. Альбрехт Э.Г. Методика построения и идентификации математических моделей макроэкономических процессов // Исследовано в России: Электрон, журн. 2002. №5. С. 54-86. http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2002/005.pdf
4. Альбрехт Э.Г., Быстрай Г.П. О динамических моделях эволюции некоторых макроэкономических процессов // Исследование федерализма в России: междисциплинарный подход / Ин-т философии и права УрО РАН. Екатеринбург, 1999. С. 214-232.
5. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.
6. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие числовой информации, приложения / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1999.
7. Бердышев Ю.И. О необходимых условиях оптимальности в одной задаче последовательной оптимизации // Негладкие задачи оптимизации и управление / УрО АН СССР. Свердловск, 1988. С. 12-19.
8. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. О некоторых задачах последовательной оптимизации управляемых систем. Деп. в ВИНИТИ, 1982. № 109 - 83.
9. Бердышев Ю.И., Ченцов А.Г. Оптимизация взвешенного критерия в одной задаче управления // Кибернетика. 1986. Вып. 1. С. 59-64.
10. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1986.
11. Короткий А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Изв. вузов. Математика. 1995. № 11. С. 101 —124.
12. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
13. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.
14. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.
15. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary dyfferential equations: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.
16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.
Уральский государственный университет им. А.М. Горького ernst. albrekht @usu. ru
