0http://www.uchzap.com
ISSN 2658-7114 (Print) ISSN 2542-0070 (Online)
УДК 622.276.5+51-7
DOI: 10.21209/2658-7114-2021-16-3-89-108
Владимир Александрович Толпаев1,
докт,ор физико-математических паук, профессор, Северо-Кавказский научно-исследовательский проектный институт природных газов (355000, Россия, г. Ставрополь, ул. Ленина, 419),
e-mail: v. а. [email protected], https://orcid. org/0000- 0001-5937- 0151
Курбан Сапимсуллаевич Ахмедов2,
кандидат технических паук, Северо-Кавказский научно-исследовательский проектный институт природных газов (355000, Россия, г. Ставрополь, ул. Ленина, 419),
e-mail: [email protected], https://orcid.org/0000-0002-2909-8203
Методы планирования по накопленным геолого-промысловым данным
режимов работы газовых скважин
Рассматриваются математический аппарат и расчётные алгоритмы, позволяющие на основе накопленной геолого-промысловой информации рассчитать долгосрочную динамику дебитов газодобывающих скважин в условиях применения потенциально возможных режимов эксплуатации. Прогнозирование долгосрочной динамики дебитов газодобывающих скважин на практике необходимо для перспективного планирования добычи газа, оптимального распределения производительности между УКПГ в газосборной сети предприятия, формирования предпроектных вариантов разработки газовых залежей. Это позволяет выбрать из множества возможных технологических режимов эксплуатации те, которые обеспечат оптимизацию плана добычи газа в нестабильных условиях экономической среды.
Ключевые слова: скважина, газовое месторождение, дебит, пластовое давление, забойное давление, время, накопленный объём добытого газа
Введение. Данная работа посвящена развитию методик расчёта прогнозных дебитов скважин, которые они будут иметь при условии их эксплуатации с тем или иным технологическим режимом. Расчёт прогнозных дебитов скважин необходим для перспективного планирования и анализа экономической эффективности добычи газа и для принятия стратегических управленческих решений по месторождениям всех газодобывающих регионов России. Коренное отличие предлагаемых в настоящей
1В. А. Толпаев выполнял теоретическую часть исследования, предложил аппроксимационные математические модели и алгоритм расчёта прогнозного объёма, извлекаемого скважиной из пласта газа
9
"К. С. Ахмедов разработал программы и выполнения расчёты параметров аппроксимационных математических моделей для прогнозного пластового давления, индикаторных кривых притока газа к скважине, а также расчёты во времени прогнозных дебитов газовой скважины в тестовых примерах.
© Толпаев В. А., Ахмедов К. С., 2021
89
работе методик расчёта прогнозных дебитов скважин от существующих подходов в следующем,
В существующих подходах расчёт прогнозных дебитов осуществляется статистическими методами теории временных рядов, применяемых к рядам «дебит-время». Такие подходы не учитывают динамику фильтрационных процессов, протекающих в газоносном пласте по мере его разработки, поэтому делать прогнозные расчёты показателей разработки газового месторождения для больших времён упреждения на основе теории временных рядов не получается,
В предлагаемой работе расчёт прогнозных дебитов осуществляется на основе ап-прокеимационных уравнений фильтрации газа к скважинам, которые строятся на основе анализа накопленной за прошлые годы геолого-промысловой информации. Основная рабочая гипотеза в разрабатываемых методах в том, что физические закономерности фильтрации газа в пласте в скрытом виде содержатся в накопленных исходных геолого-промысловых данных. Нужно лишь суметь извлечь эти закономерности из исходных данных, В результате анализа накопленных геолого-промысловых данных находятся параметры аппрокеимационных уравнений фильтрации газа к скважинам месторождения, характеризующие физические закономерности фильтрации, Аппрокеимационные уравнения с такими параметрами позволяют делать долгосрочные расчёты прогнозных дебитов скважин для различных потенциально возможных режимов эксплуатации. Это, в свою очередь, разрешает выбрать те режимы, которые позволят оптимизировать план добычи газа, например, по максимальному коэффициенту извлечения углеводородов или по другим критериям.
Актуальность методов расчёта прогнозных дебитов скважин связана ещё и с тем, что основные месторождения Западной Сибири вышли на завершающую стадию эксплуатации, Поэтому появляются вопросы оценки затрат на ликвидационные работы месторождений и частичных компенсаций затрат за счёт извлечения оставшихся запасов газа ликвидируемых месторождений. Необходимость разработки отсутствующей на данный момент нормативной базы на проведение работ по ликвидации выработавших свои ресурсы месторождений также потребует расчётов прогнозных дебитов скважин.
Таким образом, разработка и совершенствование методик расчёта прогнозных дебитов скважин и сопутствующего программного обеспечения является актуальной и важной для практики задачей,
1. Аппрокеимационные математические модели зависимости пластового давления от накопленного объёма извлечённого газа. В разрабатываемых авторами физико-математических моделях расчёта прогнозных дебитов газовых скважин важную роль играют аппрокеимационные зависимости пластового давления от накопленного объёма добытого газа. Поэтому приведём предложенные авторами работы [1] и применяемые в данном исследовании аппрокеимационные математические модели зависимости пластового давления р от накопленного объёма добытого газа.
Первая модель предлагается для продуктивных пластов, залегающих на глубинах не более 2 ООО м, когда горное давление мало, и можно не учитывать зависимость объема порового пространства от пластового давления, В этом случае зависимость пластового давления р от накопленного объёма, с достаточной точностью описывается линейной моделью
р(Ь) = <р\(Ут) = Рнач - (1)
В уравнении (1) начальное пластовое давление рнач и коэффициент а вычисляются по данным временного ряда «дебит — время», например, методом наименьших квадратов (МНК).
Вторая модель предназначена для продуктивных пластов, залегающих на глуби-
р
объёма точнее описывается квадратичной моделью
р(г) = (Уе) = Рвач - а ■ УЕ(*) - 7 ■ У2(*). (2)
Коэффициенты рнач, а и 7 в уравнении (2) следует вычислять на основании накопленных исходных геолого-промысловых данных «дебит — время», например, снова по МНК,
Третья модель. Для повышения надёжности расчётов прогнозного пластового р
стового давления от накопленного объёма извлеченного газа:
р _ 1 - а ■ ехр [в ■ Уе(£)] (3)
рш& Ч 1
Параметры а и в в уравнении (3) вычисляются методом итераций. Для этого уравнение (3) представляется в виде
р 1 - ап ■ ехр [вп ■ Уя(*)] (4)
рнач 1 ап— 1
где ап и ßn - числовые параметры модели (4) на итерации помер п. На 1-м шаге п = 1 полагаем а0 = О, Для расчёта значений а1 и ß1 достаточно построить линейный
тренд y = Апа1 + ß1 • VZ функции y = Ап ( 1--На 2-м шаге п =2 для
Р
расчёта значен ий а2 а ß2, строим линейный тренд y = А па2 + ß2 • Vs функци и y =
, И так до тех пор, пока в пределах заданной точности не
р
= А п 1--- (1 - а1)
р
выполнятся равенства ап = ап-1 и вп = вп-1-
2. Переход к безразмерным переменным. Для проведения дальнейших расчётов вместо физических размерных величин - дебита скважины с размерно-тыс, м°
стью - и УЕи) - накопленного объема извлеченного из пласта газа с размерит
ноЯЬЮ ™с. м3 будем применять безразмерные переменные 4 = £ и V = 1да
Q0 ^ЕО
£0 и УЕ0 - выбранные базисные единицы измерения дебита и накопленного отобран-
ного объёма газа соответственно. Размерность ^гт совпадает с размерностью
времени. Поэтому перейдём также к безразмерному времени т = —, где Т = -
Т ^о
масштабная единица времени. Для введения в расчётах безразмерных давлений выберем также базисную единицу давления р0.
Формулы (1), (2) с учётом связей р(£) = р • р0, р3(¿) = р3 • р0, рат(¿) = рат • р0, Ртач = Рнач • р0, где р3(¿) - забойное и рат - атмосферное давления, а, = V • У^0,
Я = q • О, и т = I = • в безразмерной форме примут следующий вид:
р(£) = (V)= рнач - а • V, (1*)
р(г) = (V) = рнач - а • V - 7 • V2,
(2*)
^0 -где а •-, 7 = 7
V 2
р0 р0 Формула (3) в безразмерной форме будет:
р(г) = (V) = _рнач
1 — а • ехр
в • V(¿)
1а
, где в = в • ^£0.
(3*)
Во всех приведённых формулах знаком «тильда» отмечены безразмерные коэффициенты.
Хорошо известное уравнение связи ^(¿) = £ накопленного объёма газа
^(¿), извлечённого с тачального момента ¿0 до текущего момента времени ¿, и дебита скважины Я(£) в безразмерных переменных q, V и т примет вид
V (т)
q(т)^т.
'то
Из формулы (5) вытекает, что
и, следовательно,
Тг = q(т),
¿V
q(v)'
(5)
(6)
(7)
Конкретным примером исходных промысловых данных в безразмерных величинах выступают отчётные данные о добыче газа с 01,01,2006 г, по 01,12,2008 г, по скважине 10401 Ямбургекого НГКМ (неоком), представленные в табл. 1, В этой таблице для перехода к безразмерным переменным выбирались следую-
щие базисные единицы: Я0 = 148.47
тыс, М' сут
3
4454
тыс, м сут
3
= 4454 тыс, м3
Т=
£0
Я0
= 1 мес, р0 = 180.14 атм.
V
Результаты расчётов прогнозных зависимостей (1*), (2*) и (3*) пластового давления от накапливаемых объёмов извлекаемого газа по данным 1, 2, 3 и 4-го столбиков табл. 1 представлены в виде графиков па рис. 1, а параметры аппроксимадиоппых математических моделей перечислены в табл. 2.
Как известно |2; 3|, одним из показателей, описывающим качество аппроксимации экспериментальных данных построенной математической моделью, является коэффициент детерминации Я2. В зависимости от значения Я2, принято разделять модели на три группы. Модель хорошего качества, когда Я2 = 0,8^ 1; приемлемого качества, когда Я2 = 0, 5 ^ 0, 8; и плохого качества, когда Я2 = 0 ^ 0, 5. По таблице 2 видно, что все предложенные аппрокеимациоппые модели дня расчета прогнозного пластового давления относятся к моделям хорошего качества. Это подтверждают также и графики па рис. 1, из которых видно, что па этапе истории все модели дают практически совпадающие значения расчётов пластового давления, которые в пределах приемлемой точности совпадают с исходными данными.
р
1,05 ' -1,00 • -4 0,95 ■ -0,90 - -0,85 ■ -0,80 ■ -0,75 ' -0,70 0,65 ■ -0,60 ■ -0,55 •0,50 -0
♦ Исходные промысловые дачные
— 3-я эсспоненциальная аппроксимацтонная модель зависимости р от v
— 2-ая квадратическая апгроксимационная модель завистости р от v
— 1-ая линейная апгрокимационная модель зависимости р от v
Рис. 1. Промысловые данные и графики аннроксимационных зависимостей пластового давления от накопленного объема извлеченного газа для скважины № 10401
Fig. 1. Production data and graphs of approximation dependences of reservoir pressure on the accumulated volume of recovered gas for well No. 10401
Аппроксимационные модели зависимости пластового давления р от объема V извлеченного газа для скважины №10401
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Таблица 1
Безразмерные исходные геолого-промысловые данные для скважины №10401 Ямбургского НГКМ (неоком)
с 01.01.2006 г. по 31.12.2008 г.
Номер месяц а? Дебит <7 Накопленны й объём V Пластовое давление Р Забойное давление Р3 Квадратична я пластовая депрессия X Номер месяц а? Дебит Ц Накопленны й объём V Пластовое давление Р Забойное давление Р, Квадратична я пластовая депрессия X
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 1,066707 1,066731 1 0,820215 0,327247 19 1,041887 20,75779 0,947287 0,747369 0,338792
2 1,071442 2,138197 0,997183 0,824858 0,313984 20 0,694046 21,45185 0,94389 0,743635 0,337936
3 1,19212 3,330344 0,994367 0,829501 0,300693 21 0,920193 22,37207 0,926186 0,759305 0,281277
4 1,110022 4,440391 0,99155 0,834144 0,287375 22 0,813215 23,1853 0,908481 0,774975 0,224753
5 1,064067 5,504481 0,988734 0,838787 0,27403 23 0,983283 24,1686 0,890777 0,790644 0,168365
6 1,028646 6,53315 0,985822 0,835999 0,27295 24 1,047484 25,21611 0,887334 0,770113 0,194288
7 1,102532 7,635707 0,98291 0,833212 0,271871 25 0,970526 26,18666 0,883891 0,749581 0,219391
8 1,036001 8,671731 0,979999 0,830424 0,270794 26 0,966074 27,15275 0,880448 0,729049 0,243675
9 1,142325 9,814082 0,977087 0,829451 0,26671 27 0,925776 28,07855 0,877079 0,723253 0,246173
10 1,082704 10,89681 0,974176 0,828478 0,262642 28 0,888826 28,9674 0,873711 0,717457 0,248627
11 1,05133 11,94816 0,971264 0,827506 0,258588 29 0,902762 29,87018 0,870343 0,71166 0,251036
12 1,110292 13,05848 0,968353 0,822753 0,260784 30 0,906028 30,77623 0,866883 0,712155 0,244323
13 1,050724 14,10923 0,965441 0,818001 0,262951 31 1,060524 31,83678 0,863424 0,712649 0,237633
14 1,110305 15,21956 0,962529 0,813248 0,26509 32 0,847006 32,6838 0,859965 0,713143 0,230966
15 1,099562 16,31914 0,959713 0,793778 0,290965 33 0,836438 33,52026 0,85652 0,713079 0,225145
16 1,016192 17,33536 0,956896 0,774308 0,316098 34 0,797919 34,31819 0,853075 0,713014 0,219348
17 1,220974 18,55636 0,95408 0,754837 0,340488 35 0,832889 35,1511 0,849631 0,71295 0,213575
18 1,159494 19,71588 0,950683 0,751103 0,339642 36 0,851903 36,00302 0,846186 0,712885 0,207825
Таблица 2
Параметры аппроксимационных математических моделей для расчёта прогнозного пластового давления в зоне дренирования скважины №10401
Модель Параметры моделей Коэффициент детерминации Я2
Р на ч а Р У
1-я, линейная модель ("уравнение (1*)") 1,0033 0,0049 - - 0,9457
2-я,квадратическая модель (уравнение (2*)) 1,0036 0,0018 - 810 5 0,9678
3-я, экспоненциальная модель (уравнение (3*)) 1,0050 0,0544922 0,038631 - 0,9678
На этапе прогноза расчёты по аппроксимациоппым моделям пластового давления начинают «разбегаться». Вторая и третья математические модели зависимости пластового давления от накопленного объёма извлечённого газа приводят к близким друг к другу расчётным значениям. Первая математическая модель, судя по графикам, приводит к завышенным значениям пластового давления. Исходя из приведённого примера, можно предположить, что наиболее реалистичные расчёты прогнозного пластового давления будет давать 2-я аппроксимадиоппая модель, 1-я и 3-я модели будут приводить соответственно к завышенным и заниженным значениям оценок пластового давления. Расчёты последующих прогнозных дебитов скважины, с применением представленных аппроксимациоппых моделей пластового давления, естественно, приведут к интервальным оценкам, что и должно быть в действительности.
На практике аппроксимациоппые модели зависимости пластового давления от накопленного объёма Уе^) отобранного газа можно применить к расчёту объёма дренирования конкретной скважины, радиусу объёма дренирования и прогнозной оценки удельных извлекаемых объёмов газа |1|,
3. Аппроксимационные математические модели притока газа к скважине. Для решения задач расчёта прогнозных дебитов необходимо иметь уравнение притока газа к скважинам, которое устанавливает связь дебита скважины с депрессией па пласт. Для газовых скважин, как хорошо известно, дебит прямо пропорционален разности квадратов пластового и забойного давлений |4; 5|, В самом общем случае дня уравнения притока газа к скважине авторы предлагают две формы уравнения в безразмерном виде.
Первая форма аппроксимациоппого уравнения притока задаётся в виде, разре-
« л/" р р3
шенном относительно квадратичной депрессии X =-^— = р2 - р3, на пласт:
Р2
X = Л [д ),..., АпV)} =
= ) ■ д + ) ■ д2 + ... + ) ■ дп (8)
В уравнении (8), связывающем дебит д = д^) и объём V = V(^ извлечённого газа с квадратичной депрессией на пласт, вводятся параметры А1 (V),...Ап^)
уравнения притока газа к скважине, характеризующие фактические закономерности фильтрации газа в ПЗП и выражающиеся в виде функций от накопленного объёма извлечённого газа. Первая форма обобщает известное двучленное уравнение притока газа к скважине по закону Форхгеймера [4; 5]. Поэтому авторы предлагают называть (8) обобщённым уравнением Форхгеймера,
Вторая форма аппрокеимационного уравнения притока газа к скважине задаётся в виде, разрешённом относительно дебита:
q = F2 {X |ai(v), a2(v),..., )} =
= ai(v) ■ X + a2(v) ■ X2 + ... + a„(v) ■ Xn (9)
В уравнение (9) также вводятся параметры a1(v),a2(v),...,an(v), характеризующие фактические закономерности фильтрации газа в ПЗП, выражающиеся в виде функций от накопленного объёма извлечённого газа.
Для построения первоначальных грубых приближенных, но зато аналитических решений, наряду с уравнением (9) предлагается применять его частный случай -классическое уравнение Дюпюи [4; 5] плоскорадиального притока газа к скважине по линейному закону фильтрации Дарси, Этот частный случай имеет вид
q = F2(X) = ад ■ X, (9*)
где ад = const. Вторую форму (9), обобщающую известную формулу Дюпюи (9*), авторы предлагают называть обобщённым уравнением Дюпюи,
Параметры A1(v ),A2 (v ),...An(v) в уравнении (8) и a1(v ),а2 (v),..., an (v), в уравнении (9) и ад = const в уравнении (9*) описывают с определённой степенью точности фактические фильтрационные свойства ПЗП конкретной скважины, которые в скрытом виде содержатся в накопленных исходных геолого-промысловых данных, представляемых в виде таблиц типа табл. 1, Качество расчёта прогнозных дебитов газовых скважин во многом будет определяться, во-первых, достоверностью представленных исходных данных и корректностью определения по исходным данным
параметров A1(v ),A2(v),..., An(v) и a1(v ),a2(v),..., an(v) и ад в уравнениях (8), (9) 9*
Методика определения параметров A1(v),A2(v),...An(v) заключается в том, что
n
0 < v < vmax накопленных на этапе истории объёмов извлечённого газа разбиваем на несколько, допустим k, частичных отрезков 0 < v < v1; v1 < v < v2, ,,,, vk-1 < v < vk = vmax. Это соответствует тому, что 3-й столбик в табл. 1 разбивается на k частичных участков. Для каждого частичного отрезка vi-1 < v < v^ по исходным данным 2-го и 6-го столбцов табл. 1 находим уравнение монотонно возрастающей линии тренда X = A1q + A2 ■ q2 + ... + An ■ qn при постоянных параметрах A1, A2,..., An,
v
го частичного отрезка. Получив, таким образом, для i = 1, 2,...,k и j = 1, 2,K, n таблицы значений (v1 ,Fj), дальше средствами MS Excel [2; 3] находим уравнения подходящих линий трендов аппрокеимационных зависимостей A1(v), A2(v),..., An(v),
которые и будут отражать скрытые в исходных данных закономерности фильтрации газа в ПЗП,
Аналогичная методика применяется к определению параметров а1^),а2(v),..., аn (v) уравнения (9),
В тестовом примере построения аппрокеимационных уравнений притока газа к скважине рассматривались исходные данные для скважины № 10401 в табл. 1, Обобщённое уравнение Форхгеймера выбиралось в виде квадратичной зависимости
X = F1{q} = A1 ■ q + A2. (10)
Отрезок 0 < v < vmax = 36, 00302 накопленных па этапе истории объёмов извлеченного газа разбивали дважды. Первый раз на 4 части, по 9 месяцев каждая. Второй раз на 6 частей, по 6 месяцев каждая. Выяснилось, во-первых, неудовлетворительное качество предоставленных исходных данных, В случае удовлетворительных исходных данных зависимость X + F1{q} представляет собой монотонно возрастающую функцию, в которой с увеличением дебита возрастает значение квадратичной депрессии X
видно, что зачастую нет физически правильного согласования между динамикой депрессии и дебита скважины. Поэтому хорошего качества расчёта прогнозных дебитов скважины по таким исходным данным ожидать не приходится. Во-вторых, на этапе истории протяжённостью 36 месяцев коэффициенты уравнения притока (10) практически были постоянными и не зависели от накопленного объёма извлечённого газа. Поэтому в качестве коэффициентов уравнения (10) притока газа выбирались средние арифметические соответствующих найденных значений на частичных отрезках.
Обобщённое уравнение Дюпюи в тестовом примере выбиралось тоже в виде квадратичной зависимости
q = F2{X} = а ■ X + а ■ X2. (11)
Отрезок 0 < v < vmax = 36, 00302 разбивали трижды. Первый раз на три части, по 12 месяцев каждая. Второй раз на четыре части, по 9 месяцев и третий раз на шесть частей, по 6 месяцев каждая. Естественно, вновь подтвердилось неудовлетворительное качество предоставленных исходных данных. Коэффициенты уравнения (11) на этапе истории оказались практически постоянными, не зависящими от накопленного объёма извлеченного газа. Поэтому снова в качестве коэффициентов уравнения притока газа выбирались средние арифметические соответствующих значений на частичных отрезках.
Для построения аналитических решений для расчёта в первом приближении прогнозных дебитов скважины № 10401, по исходным данным табл. 1 вычислялся также коэффициент ад = const в формуле Дюпюи (9*),
9*
табл. 3, Индикаторные кривые X = F1{q} и q = F2{X}, построенные по аппрок-
9*
рис, 2 и 3,
Рис. 2. Промысловые данные и графики теоретических индикаторных кривых притока газа к скважине № 10401 по обобщенному уравнению Форхгеймера (8)
Fig. 2. Production data and graphs of theoretical indicator curves of gas inflow to well No. 10401 according to the generalized Forchheimer equation
1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70
Исходные данные и индикаторная кривая обратной зависимости q от X
0,65 0,160
/
/ (
f\f— -
— «►
УУ1 1
*
0,185
0,335
0,210 0,235 0,260 0,285 0,310 —•—Исходные промысловые данные
Индикаторная кривая по уравнению (11-2) Индикаторная кривая по уравнению (11-3) — -Индикаторная кривая по уравнению (11-1) Индикаторная кривая по уравнению (11-4)
Рис. 3. Промысловые данные и графики теоретических индикаторных кривых притока газа к скважине № 10401 но обобщенному и классическому уравнениям Дюиюи
Fig. 3. Production data and graphs of theoretical indicator curves of gas inflow to well No. 10401 according to the generalized and classical Dupuis equations
Таблица 3
Параметры безразмерных эмпирических уравнений индикаторных кривых
скважины № 10401
Обобщённое уравнение Форхгеймера
Применявшееся разбиение А А Границы области прогнозирования Аппроксимационное уравнение притока газа
п = 4 0,3632 -0,0978 ()<д< 1,857 Уравнение (10-1]
п = 6 0,3826 -0,1243 0 < ц < 1,539 Уравнение (10-2]
Обобщённое и классическое уравнения Дюпюи
Применявшееся разбиение а1 а2 Границы области прогнозирования Аппроксимационное уравнение притока газа
п = 3 6,3677 -9,5347 0<Х< 0,3340 Уравнение (11-1]
п = 4 6,0879 -8,3308 0 < X < 0,3654 Уравнение (11-2]
п = 6 6,59751 -10,1198 0 < X < 0,3260 Уравнение (11-3]
п = 1 а, = а Д = 3,7188 Коэффициент уравнения [9*] а2= 0 0 < А' < ос Уравнение (11-4]
В расчётах прогнозных дебитов, дспрсссий и забойных давлений дня скважины .ТУ2 10401 с применением уравнений (10) и (11) нужно знать границы области прогнозирования, Эти границы определяются физической сущностью процесса фильтрации газа в ПЗП, которая заключается в том, что положительные функции X = {д} и q = Я+2{Х} должны быть монотонно возрастающими. Поэтому границы области прогнозирования по аппроксимациоппым уравнениям (10) и (11) определяем из
¿X ^ ^ " „
неравенств —— = —— > 0и—— = —— > 0, Наиденные из данных неравенств обла-
ад ад аХ аХ
сти прогнозирования по дебиту и по квадратичной депрессии также представлены в
табл. 3,
4- Математические модели прогнозирования накопленного объёма извлечённого из пласта газа. При эксплуатации газовых залежей встают задачи расчёта прогнозных дебитов скважин дня будущего времени при условии, что скважины будут работать в заданном эксплуатационном технологическом режиме. Например, в режиме постоянного забойного давления, в режиме постоянной депрессии па пласт, в режиме постоянного устьевого давления и т, п. Начало отсчёта безразмерного времени т совместим с моментом начала этапа истории наблюдений за скважиной, поэтому тнач ист = 0, Окончание этапа истории продолжительностью т временных масштабных единиц будет соответствовать времени ткон ист = тнач ист + т. Если продолжительность времени упреждения обозначить значением Тпргн, то отрезком проведения прогнозных расчётов будет Ткон и ст ^ Т ^ —
Расчёты прогнозного пластового давления по одной из математических моделей (1*), (2*), либо (3*), прогнозной квадратичной депрессии по формуле (8), прогнозного дебита скважины по формуле (9) дня момента г требуют предварительного расчёта прогнозной оценки накопленного объёма V(т), извлечённого скважиной из пласта газа, Прогнозную оценку накопленного объёма V(т) извлечённого газа в безразмерных
переменных можно получить по формуле (5) по дебиту скважины д(т), Но трудность здесь в том, что в формулу (5) войдёт неизвестное в конце отрезка интегрирования [тНач ист, т] значение дебита ^(т), Поэтому отрезок интегрирован ия [тнач ист,т] разобьём на две части. На первую часть [тнач ист,т — 1], па которой дебит д(т) будем считать известным, и на вторую [т — 1,т], на которой дебит д(т) неизвестен. Тогда, в соответствии с формулой (5), оценка накопленного объёма V(т) извлечённого скважиной из пласта газа, в безразмерных переменных будет делаться формуле
V(т)= Г 9(т)^т = Г 1 д(тЭ + Г д(т)^ = V(т — 1) + ^(т — ^ + ^). (12)
>т-1
2
Численное вычисление интегралов 1 д(тв формуле (12) рекомендуется осуществлять по квадратурной формуле трапеций. Математическая трудность применения формулы (12) состоит в том, что для расчёта прогнозной оценки накопленного объёма V(т) извлечённого газа нужно знать дебит скважины в момент времени т, который пока не известен. Поэтому предлагается неизвестное значение дебита д(т) оценивать скользящим экетаполированием по двум, либо трём предшествующим точкам, Например, если применить линейное экстраполирование вперёд на один шаг по двум, точкам д(т — 2) и ), то для дебита д(т) получим оценку
д(т) = 2 ■ ?(т — 1) — д(т — 1). (13) Тогда формула (12) примет вид
3- о(т — 1) — о(т — 2) .
V (т) = V (т — 1) + —^--1. (14)
Если применить квадратичное экстраполирование вперёд на один шаг по трём точкам д(т — 3), ^(т — 2) и д(т — 1), то для дебита д(т) получим оценку
д(т) = д(т — 3) — 3 ■ д(т — 2) + 3 ■ д(т — 1). (15)
Тогда формула (12) примет вид
V (т) = V (т—1)+4 ■ —''—3 ■ —2) +—3). (16)
т
газодобывающего предприятия управляющей функции f (т), соответствующей планируемому на этапе прогноза технологическому режиму эксплуатации скважины. Поэтому забойное давление считаем известным р3т = f (т),
По прогнозным давлениям далее вычисляется квадратичеекая депрессия X(т) = = ^(т) — Рз(т) па пласт для момента времени т. Наконец, по значению X(т) по формуле (9) вычисляется прогнозный дебит д(т) скважины.
5. Тестовые примеры расчёта во времени прогнозных дебитов газовой скважины. Приведём конкретные примеры расчёта на будущие годы прогнозных дебитов газовой скважины № 10401 для трёх применяемых на практике режимов эксплуатации,
В первом примере (1-й эксплуатационный режим) рассмотрим случай, когда требуется обеспечить работу скважины с заранее заданным постоянным, по требованию потребителя газа, дебитом q = const. Потребуется рассчитать время работы скважины с сохранением заданного дебита, динамику падения пластового давления и управления депрессией на пласт.
Во втором примере (2-й эксплуатационный режим) рассмотрим случай, когда требуется обеспечить заданный объём отбора газа за заданное время. Требуется предложить соответствующую динамику q = q(t) прогнозных дебитов скважины, определить накапливаемые объёмы v = v(t) извлечённого газа и иод них рассчитать динамику пластового давления и управления депрессией на пласт,
В третьем примере (3-й эксплуатационный режим) рассмотрим случай, когда требуется обеспечить работу скважины с заданным постоянным забойным давлением, Здесь также нужно рассчитать динамику q = q(t) прогнозных дебитов скважины, накапливаемых объёмов v = v (t) извлечённого газа, динамику пластового давления и управления депрессией на пласт.
Для того чтобы, обеспечить па практике требуемую потребителем, газа, динамику q = q(t) прогнозных дебитов скважины и соответствующих накапливаемых объёмов v = v(t) извлечённого газа, нужно будет под заданные дебиты q = q(t) рассчитать динамику пластового давления и управления депрессией на пласт. Такие расчёты будем проводить следующим образом. Вначале по заданному дебиту вычислим функцию v(t) = vo + ft q(t)dt поступления накапливаемых объёмов извлечённого газа. Затем по уравнениям (1*), (2*) либо (3*) рассчитаем прогнозные значения пластового давления p(t) = <^(v), Оговоримся, что в 1-м и 2-м тестовых примерах в
3*
нужно знать динамику забойного давления, которая может быть определена по формуле p = \Jp2(t) — X(t), если, конечно, известна величина квадратичной депрессии X(t)
Для того чтобы, обеспечить па, практике требуемую работу скважипы, с заданным, постоянным забойным давлением, вновь потребуется построить скрытые в исходных геолого-промысловых данных аппрокеимационные уравнения притока газа к скважине. Однако теперь эти уравнения нужно будет применять в виде (9),
Поскольку дебит q(t) = —:— и квадратичная депрессия X = p^v) — p2, то вторая
dt
форма аппрокеимационного уравнения притока газа к скважине приводит к достаточно сложному дифференциальному уравнению
dv (t)
dt
F2{PV) — P2 М^аИ,...^)} . (17)
Интегрируя дифференциальное уравнение (17) численными методами, например, Рунге-Кутта, либо Адамеа с начальным условием V |^=0 = найдём прогнозную динамику V = V(:) накапливаемых объёмов извлечённого газа, затем прогнозные де-
биты ^(¿) = скважины и прогнозные значения пластового давления р(£) = ^^),
Тем самым задача расчёта прогнозных дебитов скважины при заданном забойном давлении будет решена.
Приведём решения для сформулированных тестовых задач,
В первом примере ставилась задача обеспечить работу скважины с постоянным дебитом, допустим, с дебитом д = д0 = 0, 559, Накапливаемый извлечённый объём газа определяется в этом случае линейной функцией V(¿) = ^ + д0 ■ ¿, где 0 = 36, 86443 условных единиц. После подстановки функции V(¿) в уравнение (3*) рассчитали прогнозные значения пластового давления р(£) = ^^), Затем по уравнению (10-1) вычислили квадратичную депрессию X(¿) па пласт при работе скважины с заданным постоянным дебитом. Потом вычислили забойное давление р3(¿) = л/р2^) — X(¿) и, наконец, депрессию па пласт: А(:) = р(£) — р,. Результаты расчётов представлены в виде графиков на рис, 4 и 5,
В первом примере режима работы с постоянным дебитом, как показали расчёты, для поддержания постоянного дебита необходимо всё время увеличивать депрессию А(:) па пласт. Однако в связи с падением пластового давления неограниченно долго увеличивать депрессию на пласт невозможно. Поэтому обеспечить работу скважины с заданным постоянным дебитом удастся на протяжении будущих 44 месяцев работы (до 80 месяца с момента начала эксплуатации), За всё время данного режима работы к концу 80 месяца скважина извлечёт из пласта газ объёмом v1 = 62, 01943 условных единиц.
Во втором примере ставится задача па протяжении будущих Т = 48 месяцев работы скважины (с 36 до 83 месяцев) дополнительно добыть из зоны дренирования данной скважины газ суммарным объёмом = 26,833977 условных единиц. Так что за всё время эксплуатации скважина к концу 83-й месяца извлечёт из пласта газ объёмом ^(83) = ^ ман = 63, 7042 условных единиц. Для решения поставленной задачи выберём функцию поступления накапливаемых объёмов извлекаемого газа, которая обеспечивает добычу газа в заданном объёме к заданному сроку:
V(¿) = ^ + — ■ (1 — е-ш•), В предложенной функции V) = 36, 86443, параметр ш = 0, 03 ш
и параметр д0 =--—=--—- = 1, 0552, Прогнозный дебит скважины в этом слу-
1 —
чае будет согласно очевидной формуле д(:) = ^ = ф ■ е- монотонно убывающей
ш:
функцией.
q(0
Прогнозные дебиты и извлекаемые объёмы газа скважиной №10401 при трёх разных режимах эксплуатации
v(t)
1,05 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15
г*-""*
г-""*
s m „
У s
s*
s' у—-
/у *
г >/" t
ji' * у
/ t' + > * в
&
>У
69 65 61 57 53 49 45
--41
37
36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 t, МвС
1-й режим. Прогнозные дебиты
2-й режим. Прогнозные дебиты
3-й режим. Прогнозные дебиты
- - 1-й режим. Прогнозные объёмы извлекаемого газа
- - 2-й режим. Прогнозные объёмы извлекаемого газа
- - 3-й режим. Прогнозные объёмы извлекаемого газа
Рис. 4■ Прогнозные дебиты и извлекаемые объемы газа в следующие нять .лет работы скважины № 10401 для трех разных режимов эксплуатации
Fig. 4■ Forecasted flow rates and recoverable gas volumes in the next five years of well № 10401 operation for three different modes of operation
На рисунке 4 представлены графики прогнозных дебитов скважины и соответствующих извлекаемых из пласта объёмов газа при втором предполагаемом режиме её эксплуатации. Пластовое давление p(t) = <^(v) вновь вычисляли по уравнению (3*), в которое подставляем ранее предложенную функцию v(t) поступления накапливаемых объёмов извлекаемого газа. Затем по уравнению (10-1) вычисляли квадратичную депрессию X(t) на пласт, потом забойное давление и, наконец, депрессию на пласт A (t) = p(t) — p3 (^.Результаты рас чётов p(t) и A (t) при втором режиме эксплуатации представлены в виде графиков па рис. 5. Обращает па себя внимание, что при работе скважины по второму технологическому режиму депрессию па пласт придётся равномерно снижать, поскольку пластовое давление будет монотонно падающей функцией.
0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25
Прогнозная динамика пластового давления и депрессии для трех разных режимов эксплуатации скважины №10401
Депр
р_пл
Г i
/
■
# *
* ж Г
— г
'ч Д^1 ••
■ч r^-J
0,28
0,23
■■ 0,18
-• 0,13
;- 0,08
0,03
36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
t, мес
-1-й режим. Пластовое давление -3-й режим. Пластовое давление 2-й режим. Депрессия
2-й режим. Пластовое давление
- - 1-1Й режим. Депрессия
- - 3-й режим. Депрессия
Рис. 5. Прогнозная динамика пластовых давлений и депрессий для трех разных технологических режимов эксплуатации скважины № 10401
Fig. 5. Predicted dynamics of reservoir pressures drawdowns for three different technological
modes of well № 10401 operation
В третьем примере ставится задача обеспечить работу скважины с заданным постоянным забойным давлением рзг& = 0, 65. Для решения данной задачи, как уже говорилось, потребуется выполнить интегрирование сложного нелинейного дифференциального уравнения (17). Чтобы найти качественное приближенное решение
поставленной задачи, заменим уравнение (17) па уравнение, описывающее фильтра-
9*
пого уравнения (17) приходим к уравнению, которое в безразмерной форме имеет
— = ад ■ [(Рнач — а ■ V)2 — Р2] . (18)
Коэффициент ад приведён в табл. 3, а параметры рнач и а выбираются из табл. 1*
ными условиями V |4=0 = ^ и рпл |4=0 = 0ПЛ 0 = Реач — а ■ ^ для расчёта прогнозного пластового давления получим следующее уравнение:
Рпл(:) = Рз ■ /+ 1, где /(:) = 0 + ^ ■ ехр(2 ■ а ■ р3 ■ ад ■ :), (19)
/ (:) — 1 рпл О — рз
где рнач = 1, 0033, а = 0, 0049 и рпл_о = 0, 822664, Прогнозные объёмы извлекаемого из пласта газа вычислим на основании (1*) по прогнозному пластовому давлению по
формуле V(¿) = — • [рнач — рпл(¿)]. Прогнозный дебит скважины вычисляем с помощью а
функции прогнозных объёмов извлекаемого из пласта газа по формуле
dv Л ~2 /(t)
— = 4 ■ рч ■ ад ■- ,
dt p Д [/(t) - 1]2
q(t)^ = 4-Й-ад- r,/4W1l2. (20)
Графики прогнозных дебитов и соответствующих извлекаемых из пласта объёмов газа при третьем предполагаемом режиме эксплуатации скважины приведены на рис, 4, За все время эксплуатации по третьему режиму скважина к концу 100-м месяца извлечёт из пласта газ объёмом щ = 65, 25991 условных единиц. По найденному пластовому давлению (19) и заданному забойному давлению рзаб = 0, 65 вычисляем депрессию на пласт Д(£) = р(£) — р3(¿). Результаты расчётов р(£) и Д(£) при третьем режиме эксплуатации представлены в виде графиков на рис, 5,
Обращает на себя внимание, что с точки зрения максимизации коэффициента извлечения углеводородов, второй режим эксплуатации более выгоден, так как в этом режиме из пласта к концу 100-го месяца добывается максимальный объём V2 = = 67,03347 условных единиц природного газа.
Заключение. В статье разработаны математические модели прогнозирования дебитов газовой скважины под планируемые технологические режимы их эксплуатации, Разработан пошаговый алгоритм расчёта прогнозных дебитов скважин. Приведены тестовые примеры расчёта во времени прогнозных дебитов газовой скважины. Разработанные модели нужны не только для расчётов прогнозных дебитов скважин, но и для расчётов объёмов дренирования пласта конкретными скважинами, радиусов контуров питания и прогнозных оценок удельных извлекаемых объёмов газа. Разработанные модели также нужны для оценок компенсаций за счёт добычи оставшихся запасов газа затрат по ликвидации выработавших свои ресурсы газовых месторождений. Дальнейшее развитие предложенных в статье теоретических основ планирования доразработки газовых месторождений связывается с улучшением сервиса проведения автоматизированных прогнозных расчётов и выполнения услуг для конкретных ГДП по планированию геолого-технических мероприятий.
Список литературы
1. Толпаев В. А., Ахмедов К. С. Аппроксимационные математические модели зависимости пластового давления от накопленного объема добытого газа // Современные проблемы физико-математических наук: материалы VI Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием (4-5 декабря 2020 г., г. Орёл). Орёл: ОГУ им. И. С. Тургенева, 2020. С. 404-410.
2. Леонтьев В. Microsoft Excel 2016. Новейший самоучитель. М.: Эксмо, 2016. 28 с.
3. Гарнаев А. Ю. MS Excel 2002: разработка приложений. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 768 с.
4. Басниев К. С., Дмитриев Н. \!.. Розенберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика. М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 544 с.
5. Лапук Б. Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 296 с.
6. Kathrada M., Azri, К. A Pragmatic Approach to Reservoir Simulation Optimisation Under Uncertainty. Society of Petroleum Engineers. (2019, September 17). DOI: 10.2118/196659-MS.
7. Ismail A., Hazem Y., Al Obaidi M. N., Bogachev, K., Gusarov, E., Shelepov, K. k, Kuzevanov, M. Assisted History Matching and Uncertainty Analysis Workflow for a Large Oilfield in Middle East. Society of Petroleum Engineers. (2019, September 17). DOI: 10.2118/196729-MS.
8. Steffens В., Demvanov V., Couples G., Arnold D., Lewis H. Flow through fractured reservoirs under geological and geomechancial uncertainty. In 81st EAGE Conference and Exhibition 2019 EAGE Publishing BV.
9. Маргулов P. Д., Хачатуров В. P., Федосеев А. В. Системный анализ в перспективном планировании добычи газа. М.: Недра, 1992. 287 с.
10. Чикало В. Н., Григорьев Л. И., Попадько В. Е. Модель распределения производительности между УКПГ в АСДУ технологическим процессом добычи газа // Наука и технология углеводородов. 2003. № 2. С. 77-80.
11. Ермолаев А. И., Ахметзяпов А. В. Модели и алгоритмы формирования предпро-ектных вариантов разработки газовых залежей, связанных ресурсными ограничениями // Труды Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. 2005. Т. 25. С. 87-95.
Статья поступила в редакцию 15.03.2021; принята к публикации 15.04-2021
Библиографическое описание статьи
Толпаев В. А., Ахмедов К. С. Методы планирования по накопленным геолого-промысловым данным режимов работы газовых скважин // Учёные записки Забайкальского государственного университета. 2021. Т. 16, № 3. С. 89-108. DOI: 10.21209/2658-71142020-16-3-89-108.
Vladimir A. Tolpaev1,
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, North-Caucasus Research and Design Institute of Natural Gases (4-19 Lenina str., Stavropol, 355000, Russia), e-mail: [email protected], https://orcid. org/0000- 0001-5937- 0151 Kurban S. Ahrnedov2, Candidate of Technical Sciences, North-Caucasus Research and Design Institute of Natural Gases (419 Lenina str., Stavropol, 355000, Russia), e-mail: [email protected], https://orcid.Org/0000-0002-2909-8203
Planning Methods on Accumulated Geological-Field Data of Gas well
Operation Modes
The development of new gas and gas condensate fields in a complex external geopolitical environment for the Russian Federation requires the development of methods for selecting the optimal modes for the operation of gas wells. The mathematical apparatus and computational algorithms, which allow, based on accumulated geological and field information, to calculate the long-term dynamics of the flow rates of gas producing wells under the conditions of using potentially possible operating modes are considered. Prediction of long-term dynamics of gas production well rates in practice is necessary for long-term planning of gas production, optimal distribution of productivity between the gas processing unit in the gas gathering network of the enterprise, and the formation of pre-design options for the development of gas deposits. In other words, planning methods based on the accumulated geological and production data of gas well operation modes are needed in order to select from a variety of possible technological modes of operation those that will ensure the optimization of the gas production plan in an unstable economic environment.
Keywords: well, gas field, production rate, reservoir pressure, bottomhole pressure, time, accumulated volume of produced gas
References
1. Tolpaev, V. A., Ahmedov, K. S. Approximation mathematical models of the dependence or reservoir pressure on the accumulated volume of produced gas, Proceedings of the VI Russian Scientific and Practical Conference. Orel: 5 December, 2020 (In Rus.)
2. Leontiev, V. Microsoft Excel 2016. Newest self-instruction book. M: Eksmo, 2016 (In Rus.)
3. Garnaev, A. Y. MS Excel 2002: application development. SPb: BHV-Peterburg, 2004. (In Rus.)
1V. A. Tolpaev performed the theoretical part of the study - approximating mathematical models and an algorithm for calculating the predicted volume of gas extracted by the well from the reservoir were proposed.
"K. S. Akhmedov developed programs and performed calculations of the parameters of approximating mathematical models for predicted reservoir pressure, indicator curves of gas inflow to the well and made calculations in time of predicted flow rates of a gas well in test examples.
yleHMe 3MIHCKH 3ii6iy. 2021. T. 16, № 3
4. Basniev, K.S., Dmitriev N. M., Rosenberg G.D. Subsurface hydromechanics. M.-Izhevsk: Institut kompiuternvh issledovaniv, 2005. (In Rus.)
5. Lapuk, B. B. Theoretical foundations for the development of natural gas fields. M.-Izhevsk: Institut kompiuternvh issledovaniv, 2002. (In Rus.)
6. Kathrada, M.. Azri, K. A Pragmatic Approach to Reservoir Simulation Optimisation Under Uncertainty. Society of Petroleum Engineers, 2019 (In Eng.)
7. Ismail, A., Hazem, Y., A1 Obaidi, M. N., Bogachev, K., Gusarov, E., Shelepov, K., k, Kuzevanov, M. Assisted History Matching and Uncertainty Analysis Workflow for a Large Oilfield in Middle East. Society of Petroleum Engineers, 2019. (In Eng.). DOI: 10.2118/196729-MS.
8. Steffens, B., Demvanov, V., Couples, G., Arnold, D., Lewis, H. Flow through fractured reservoirs under geological and geomechancial uncertainty. 81st EAGE Conference and Exhibition 2019 EAGE Publishing BV. London, UK: June 2019 (In Eng.)
9. Margulov, R. D., Khachaturov, V. R., Fedoseev, A. V. System analysis in long-term planning of gas production. M: Nedra, 1992 (In Rus.)
10. Chikalo, V. N., Grigoriev, L. I., Popadko, V. E. Model of the distribution of productivity between the gas treatment plant in the automated control system of the gas production process. Science and technology of hydrocarbons, no. 2, 2003. (In Rus.)
11. Ermolaev, A. I., Akhmetzvanov, A. V. Models and algorithms for the formation of pre-design options for the development of gas deposits associated with resource constraints. Proceedings of Institute of Control Sciences RAS T. XXV, 2005 87-95. (In Rus.)
Received: March 15, 2021; accepted for publication April 15, 2021
Reference to article
Tolpaev V. A., Ahmedov K. S. Planning Methods on Accumulated Geological-Field Data of Gas well Operation Modes // Scholarly Notes of Transbaikal State University. 2021. Vol. 16, No. 3. PP. 89-108. DOI: 10.21209/2658-7114-2021-16-3-89-108.
