Методы оценки европейского опциона колл в условиях развивающихся рынков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА КОДА В УСЛОВИЯХ РАЗВИВАЮЩИХСЯ РЫНКОВ

А.С. НАЗАРЕНКО

Стэнфордский университет, США

Финансовые рынки играют существенную роль в развитии современной экономики. Они способствуют функционированию товародвижения в экономической системе, облегчают взаимоотношения действующих субъектов в экономике посредством финансовых активов — денег и ценных бумаг, а также обеспечивают средства для воспроизводства самой фирмы.

Фондовый рынок выступает связующим звеном между спецификой макроэкономической ситуации в стране и взаимодействием микроэкономических агентов, вплоть до ежедневной жизни людей. Изменение ставок процента влияет на возможность финансировать покупку дома или машины, изменение курсов ценных бумаг может оказать влияние на пенсии людей. Одной из наиболее важных черт фондового рынка является его способность средствами финансовых инструментов влиять на конъюнктуру товарных рынков, определяя тем самым уровень инвестиций и потребления.

Задача финансовых рынков состоит в том, чтобы эффективно передавать сбережения из рук тех экономических единиц, которые зарабатывают больше, чем тратят (в основном домашних хозяйств), в руки единиц, которые тратят больше, чем зарабатывают (в основном фирм). Вследствие этого финансовые рынки имеют ряд особенностей, которые отличают их от других рынков, существующих в экономической системе.

Предметом торгов на финансовом (фондовом) рынке выступают ценные бумаги. Ценную бумагу можно определить следующим образом: законодательно признанное свидетельство права на получение ожидаемых доходов при конкретных условиях.

Финансовые рынки охватывают несколько периодов времени — время текущее и время будущее, что делает необходимым учет межвременного выбора инвестора, его оценки развития стоимости денег с течением времени, то есть включает в себя одновременно и изменение параметров поведения агента во времени.

Для финансовых рынков характерно наличие неопределенного результата, многовариантность развития событий в будущем, что ведет к возникновению риска при осуществлении деловых операций. Следовательно, отношение инвестора (или принимающих решение экономических агентов) к риску играет здесь первостепенную роль при выборе альтернативного варианта его функционирования.

Современный этап развития экономики России демонстрирует особую значимость финансового сектора. Важность этого определяется тем, что финансовый рынок действует как посредник звеном между спецификой макроэкономической ситуации в стране и взаимодействием агентов на микроуровне.

Как показывают исследования (см., например, [6, с. 323-325]), экономический рост в России во многом тормозится плохим инвестиционным климатом нашей страны, одним из существенных компонентов которого является качество финнасового сектора и финансовых услуг.

При этом предприятия лишь в незначительной степени прибегают к источникам финансирования инвестиций через финансовый рынок.

В настоящее время к торговле на российском фондовом рынке допущено свыше 300 ценных бумаг, в том числе более 50 облигаций. В информационных системах пред© Назаренко А.С., 2007.

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

ставлена информация об индикативных котировках порядка 600 акций и 500 векселей российских компаний. Хотя российская биржа — по словам представителей РТС (см. сайт РТС [11]) — стремится представить всем участ-никам финансового рынка, включая частных российских инвесторов, широкий спектр возможностей для реализации самых разных инвестиционных стратегий и получения оперативной информации о состоянии рынка, диапазон инструментов, представленных на бирже, еще пока отстает от мировой практики. И одна из причин этого — отсутствие механизмов оценки сложных производных финансовых бумаг, таких, как фьючерсы и опционы.

Торговля опционами и другими производными финансовыми инструментами предоставляет инвестору возможность быстро и без особых трансакционных потерь изменить стоимость своего портфеля, что повышает эффективность управления капиталом не только в долгосрочном, но и в краткосрочном периоде. Однако здесь присутствует высокий риск неблагоприятных колебаний фондовых ценностей.

Техника управления портфельными рисками стала настолько важной в современном финансовом мире, что ей уделяют свое время не только активные участники торгов, но и академические ученые, аналитики крупнейших компаний и инвестиционных банков. Достаточно сказать, что за последние 20 лет ряд Нобелевских премий по экономике был присужден людям, занимающимся разработкой оптимальных финансовых стратегий — финансовым инжинирингом.

Особое место в финансовом инжиниринге занимает методология ценообразования опционов, фундаментальные положения которого были разработаны Фишером Блэком и Мироном Шоулзом в начале 1970-х гг. [7].

Модель Блэка-Шоулза получила широкое распространение в среде профессионалов финансового рынка в первую очередь потому, что могла давать «хорошие» оценки цен опционов. Она показывала и продолжает показывать «неплохие» результаты в условиях развитого рынка1, когда тренд рынка в целом выражен достаточно четко — восходящий («бычий» рынок) либо нисходящий («медвежий» рынок).

Ограничения на использование модели Блэка-Шоулза проявляются тогда, когда фондовый рынок находится в состоянии неопределенности и движения цен показывают боковой тренд — резкие колебания уровней то вверх, то вниз в рамках довольно узкого коридора.

Слабую применимость традиционной формулы Блека-Шоулза для прогнозирования цен на рынках с боковыми трендами подчеркивают многие участники рыночных торгов. В частности, об этом говорят наиболее успешные управляющие капиталом американских инвестиционных компаний в интервью, опубликованном в книге Джека Швагера «Маги фондового рынка» [5].

С точки зрения технического анализа, развитые рынки не так часто и не так долго показывают боковые тренды. Им присущи скорее повышательные или понижательные тенденции движения как отдельных цен акций, так и фондовых индексов. Боковые тренды в этих условиях оказываются лишь небольшим эпизодом в истории рынка (длящимся обычно не более 4-5 недель за 2-3 года)2. Многие участники торгов эффективно переживают данные краткосрочные периоды, просто обратив свои активы в деньги.

Другое дело — развивающиеся рынки, особенно вновь созданные финансовые рынки стран с переходной экономикой. Опыт функционирования подобного типа финансовых рынков выявляет неудобную для финансового инжиниринга закономерность: боковой тренд становится преобладающей формой их динамики. Например, на российском рынке боковой тренд, измеряемый индексами ММВБ и РТС, с небольшими исключениями длился с 2002 г. по 2006 г.

1 Подробно о первых тестах модели опционов Блэка и Шоулза можно найти в следующих исследованиях: Rubinstein (1985), Macbeth and Merville (1979).

2 Анализ различных видов трендов на примере финансовых рынков США можно найти в книгах [4, 1, 2].

В этих условиях многие модели традиционного финансового анализа и, в частности формула Блэка-Шоулза, оказываются неэффективными и неработающими. В то же время здесь открывается поле для исследовательской работы: велика потребность всех участников финансового рынка в разработке адекватного аналитического инструментария.

Рассмотрим качественные характеристики процессов, наблюдаемых на российском фондовом рынке. Именно это позволит в дальнейшем провести экстраполяцию на случай теоретического моделирования цены европейского опциона колл при различных предпосылках о процессе диффузии Ито, которая определяет динамику цены акции, или базового актива, на который заключается контракт. При формулировке основных теоретических положений использовалась теорема Донскера (Donsker theorem (см., например, [9]), которая говорит о том, что броуновское движение (Wiener process) можно рассматривать как предельный случай случайного блуждания (random walk) при соответствующем изменении шкал пространства и времени (для получения сходимости в смысле распределений).

Статистический анализ динамики цены акций на российском фондовом рынке был проведен на примере обыкновенных акций компании МТС. Взятия именно этого показателя определяются теми качественными выводами, которые можно сделать о характере данного процесса. Интересным также является рассмотрение подобного фактора как показателя, характерного для фирмы, испытывающей значительные трудности на товарном рынке в силу тех причин, которые можно отнести к стратегическому взаимодействию между конкурентами и к институциональной характеристике развивающихся рынков3.

Рассмотрим временные ряды выбранного показателя начиная с 08.09.2005 г. по 07.03.2006 г. Всего мы имеем 121 наблюдение.

График движения цен обыкновенных акций МПС во времени выглядит следующим образом:

8.5 --------------------------------------------

и.и , і , I , . І | , , і І | , , і | , | , , | , і м | І І І І | І І І І | І І І І | І І І І | І І І І | І І І I

20 40 60 80 100 120

МТБ

Такое поведение характерно для процессов типа случайного блуждания.

Проведем исследование данного временного ряда на стационарность. Необходимым условием в рамках нашего исследования является анализ ряда данных программой L0GRTS1 на наличие единичного корня. Для этого рассмотрим его корре-лограм:

3 С причинами проблем МТС можно ознакомиться более подробно, прочитав историю новостей на [10].

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Sample: 1 121 Included observations: 113

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

.|*******| l 0.848 O.848 83.3б2 O.OOO

.|****** | •1* I 2 0.7Б8 0.139 1Б0.ББ O.OOO

.|****** | •I* I 3 0.71б 0.1бБ 211.14 O.OOO

.|***** | •|* | 4 0.б90 0.110 2б7.84 O.OOO

.|***** | •I- I Б 0.б3Б -O.O4O 31б.40 O.OOO

.|**** | **| I б 0.Б13 -O.28O 348.39 O.OOO

.|**** | •I* I 7 O.477 O.123 37б.23 O.OOO

.|*** | •I- I в 0.43б -O.O37 399.7Б O.OOO

.|*** | •I- I д O.377 -0.0Б3 417.49 O.OOO

.|** | *I- I 10 0.298 -O.O72 428.б9 O.OOO

.|** | *L I ll 0.214 -0.09б 434.Б0 O.OOO

.|* | *!• I l2 0.137 -0.18б 43б.93 O.OOO

.|* | •h I l3 O.O7O -O.O12 437.Б7 O.OOO

.|. | •h I l4 O.O23 O.O47 437.б4 O.OOO

.|. | •I* I 1Б -0.011 O.O7O 437.бб O.OOO

.|. | •I* I 1б -0.03Б 0.08Б 437.82 O.OOO

*|. | •h I l7 -0.0б1 O.O29 438.32 O.OOO

*|. | •h I 18 -0.0б4 0.04б 438.88 O.OOO

*|. | •!• I 19 -0.0б4 O.O32 439.44 O.OOO

*|. | •h I 2O -0.07Б -O.OO9 440.22 O.OOO

Мы видим, что автокорреляционная функция постепенно убывает, а частная автокорреляционная функция имеет лишь один всплеск, близкий к 1, что обычно свидетельствует о наличии единичного корня. Также обратим внимание на то, что p-value для Q-статистики «0, что позволяет нам отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве нулю автокорреляционной функции (при заданном значении s).

Применим теперь ADF (Augmented Dickey-Fuller) тест к этому ряду4. Получаем следующий результат:

4 В данном случае рассматривается следующая регрессионная конструкция:

Augmented Dickey-FuLLer Test Equation Dependent Variable: D(MTS)

Method: Least Squares SampLe(adjusted): 9 121 Included observations: 82 Excluded observations: 31 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

MTS(-l) -0.00040б 0.002477 -0.1б381Б 0.8703

D(MTS(-l)) -0.01978Б 0.11347Б -0.1743Б9 0.8б20

D(MTS(-2)) -0.20774Б 0.11138Б -1.8бБ111 0.0бб0

D(MTS(-3)) -0.194048 0.11734Б -1.бБ3бБ2 0.1023

D(MTS(-4)) 0.133Б39 0.124ББ0 1.072159 0.2870

Проведенный статистический анализ свидетельствует о наличии единичного корня (оцененный коэффициент при МТБ(-1) оказался незначимым). Невозможность игнорирования нулевой гипотезы в данном случае говорит о наличии единичного корня. При взятии первых разностей процесс становится стационарным5.

Определим абсолютную доходность акций как:

и проведем тест Жак-Бера (Jarque-Bera), с помощью которого попытаемся выяснить, соответствуют ли данные ряда нормальному распределению.

Как это видно из таблицы, проведенный тест дает следующие результаты: р-уаіие для тестовой статистики Жак-Бера получилось равной « 0,0475. Данный результат

5 При взятии первых разностей тестовая статистика ADF получилась равной -3.267; это позволяет отвергнуть гипотезу о наличии единичного корня на уровне значимости 1% (критическое значение для однопроцентного уровня значимости - 2,593).

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

позволяет нам не отвергнуть нулевую гипотезу на однопроцентном уровне значимости, то есть можно делать вывод о том, что абсолютная доходность по обыкновенным акциям МТС распределена нормально.

Сформулируем теперь утверждение относительно непрерывного аналога рассмотренного процесса динамики цены акций МТС.

В рамках проведенного выше анализа можно сделать вывод о том, что непрерывным аналогом динамического процесса цены обыкновенной акции МТС является арифметическое броуновское движение (Arithmetic Brownian Motion, ABM), которое определятся как:

i/M/'S ц <// с,- <//>' ;

где ц — параметр сноса, о — параметр волатильности, Bt — (стандартное) броуновское движение6.

В рамках концепции современного финансового инжиниринга возникает естественная потребность в оценке подобной непрерывной модели. Как известно, если стохастический процесс носит диффузионную природу (при условии, что Vt: = const и

о t = const), как это и предполагается выше, то любая из процедур оценки, а именно: Ordinary Least Squares, Maximum Likelihood Estimation, Generalized Method of Moments — могут быть использованы для получения желаемых результатов.

Как было показано выше, гипотеза о нормальности распределения абсолютной доходности ценной бумаги не отвергается. Тогда воспользуемся методом максимального правдоподобия. Оценки, полученные этим методом, будут состоятельными, инвариантными к преобразованиям и асимптотически нормальны.

Для рассматриваемого процесса были получены следующие оценки:

В рамках поставленной проблемы возникает целесообразный вопрос о необходимости рассмотрения модели арифметического броуновского движения (ABM) для логарифмов цен, поскольку геометрическое броуновское движение (GBM) легко линеаризовать. Стоит заметить, что это не совсем правильное предположение.

Рассмотрим модель типа GBM:

dX

II ■<// п <//;;

уу

Естественным кажется записать вместо 1, однако такое преобразование нельзя считать корректным. ■

6 Процесс называется броуновским движением, если выполняются следующие свойства:

1. В(0) = 1 с вероятностью 1;

2.Процессимеетнезависимыеинкременты:для г <$<1 <и ^В(и)-В(1) и В(з)-В(г) независимые стохастические переменные;

3.Для 5<г В(1)-В(5)~ N(0,1-5);

4. Траектории непрерывны.

Решение стохастического дифференциального уравнения, указанного выше, задается формулой:

Отсюда видно, что при логарифмировании и взятии дифференциала получаем соотношение вида:

=01-0.5 а2)<*+<* с/8,;

где 2, = \о^(Х,).

Откуда, как можно заметить, следует, что «Лс^Л',) . Этот результат

имеет очень важную практическую (как и теоретическую ценность) в рамках эконометрического анализа характеристик случайных процессов, встречающихся на фондовых рынках.

На основе этого можно сделать вывод, что простая 1од-линеаризация уравнения для X и последующая его подстановка в классическое выражение цены европейского опциона колл не решат поставленную задачу о получении «правильной» формулы цены европейского опциона колл.

Таким образом, необходимо провести соответствующее выведение цены европейского опциона колл при изменении предпосылок относительно динамики цены базового актива во времени, что в нашем случае рассматривается как переход от предпосылки геометрического броуновского движения к предпосылке арифметического броуновского движения.

Проводя соответствующий эконометрический анализ динамики показателей, мы наглядно убеждаемся в том, что реальность фондового рынка способна давать нам качественно разные процессы. Следовательно, данный вывод нельзя не учитывать в рамках анализа ценообразования опционов, особенно когда речь заходит о деривативах на развивающихся рынках. И это, очевидно, влечет дальнейшее развитие методов финансового инжиниринга с целью не только решения проблем в практической плоскости, но и в области предложения релевантной экономической интуиции, которая необходимо следует за выведением, определяя характер преобразований в рамках математического моделирования.

Задача теперь ставится следующим образом: используя методику получения цены опциона, описанную в работе Блэка и Шоулза получить замкнутую формулу цены европейского опциона колл изменяя предпосылку о динамике цены базового

актива, 5, на который заключается контракт.

Согласно классической работе Блэка и Шоулза, вводим следующие ограничения, необходимые для проведения расчетов:

• Рассматривается европейский опцион колл;

• Краткосрочная ставка процента не меняется во времени;

• Допускаются позиции любого типа: короткие, длинные; фракционные;

• Дивиденды по базовому активу не выплачиваются;

• Отсутствует разница между ценами продавца и покупателя;

• Не существует транзакционных издержек;

• Рынок полностью ликвиден.

Добавим еще одну существенную предпосылку о том, что динамика цены акции описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

</Л' и • (// - а ■ <//) .

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Таким образом, мы будем рассматривать случай арифметического броунов-ского движения.

Заметим, что стоимость опциона есть функция от цены базового актива и времени. Тогда, пользуясь формулой Ито, мы можем записать:

где

с®1'

Безрисковый портфель, формируемый методом дельта-хеджирования, состоит из «длинной» позиции по акции (в количестве C) и «короткой» по опциону:

г г- .4 Г.

Тогда получаем следующий ряд зависимостей:

■ \ ' ' ; >

Л' С -111-.Л -п-Л; ) |;с -11-е - п>.с .о -Гп-л;|; *

.

Равновесное состояние на фондовом рынке определится тогда, когда не будет существовать возможность для арбитражных операций. При выполнении этого условия стоимость безрискового портфеля будет плавно расти по мере роста стоимости безрискового актива.

Поэтому получаем, что:

с!Р = г Р Л.

Используя вышеприведенное выражение для dP, выводим окончательный результат:

*

.

По аналогии с работой Блэка и Шоулза последнее уравнение можно назвать фундаментальным дифференциальным уравнением в частных производных.

Стоит обратить особое внимание на то, что полученное уравнение не сводится к фундаментальному дифференциальному уравнению в частных производных Блэка и Шоулза путем 1од-линеаризации, представленной в их работе. Причина этого состоит в разной природе процессов арифметического и геометрического броуновского движения.

Граничное условие для европейского опциона колл записывается следующим образом:

где K — цена исполнения опциона.

Существует только одна формула, удовлетворяющая двум выведенным условиям, эта формула и есть формула цены опциона.

Решим полученное дифференциальное уравнение, предполагая, что ставка процента пренебрежительно мала7 (г « 0).

Проинтерпретируем это условие исходя из экономической действительности развивающихся рынков. Разработка этой гипотезы представлена в работе Glen&Singh [8]. Анализ авторами финансовых документов (балансовых отчетов и отчетов о прибылях и убытках) почти 8 тысяч фирм из 44 стран мира (как с развивающимися, так и с развитыми рынками) за 1994-2000 гг. показал, что компании стран с развивающимися рынками в меньшей степени прибегают к долговому финансированию — в силу невысокой развитости кредитного рынка.

Действительно, если взять Россию как релевантный пример похожей ситуации, то мы увидим, что это условие приближенно можно считать выполненным, поскольку при довольно высоких темпах инфляции и отрицательной реальной ставке процента из уравнения Фишера мы однозначно получаем соответствующее значение номинальной ставки процента, которой в данном контексте можно пренебречь.

При выполнении условия нулевой ставки процента имеем:

С,=-0.5.Ся-ог.

где T — дата истечения опциона.

Тогда получаем следующее уравнение:

Ст=а2Сда.

Выведенное таким образом дифференциальное уравнение в частных производных есть уравнение теплопроводности.

Его решение (см. [3]) получается в виде:

I '

где

• 0(У£,т) = , , • ехр(--—7---)'

2>/л*гт 4а т

В силу того, что функция тах(57 -К,0) имеет излом, если $'т - К, при интегрировании получаем:

1 ($4)

| . к 2у1па'х т

Введем новую переменную: у = .

2ау/х

Тогда ^ - -(2оу1х )с1х •

7 Вводя подобную предпосылку (в случае, например, предельного перехода), мы неизбежно можем столкнуться с целым рядом математических трудностей, выходящих очень далеко за пределы работы,

и, как следствие, не обсуждаемых в данном контексте.

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1

И интеграл примет следующий вид:

■ Г...-, Ут-К)

-> (Лг2 л:) {1+Ф(у)};

где ф(д-) —функция ошибок.

Используя обратные подстановки, получаем итоговый результат:

2 \ЩГГП<>

Эта формула и есть искомая модель.

Формально можно сделать вывод о том, что найденное решение получено в замкнутой форме с точностью до присутствия табулируемой специальной функции — функции ошибок.

Подчеркнем, что практическая ценность формулы определяется потребностью правильной оценки стоимости опциона при определении соответствующих задач в рамках современного развития и применения методов финансового инжиниринга.

* * *

В современных условиях наряду с проблемами, мешающими развитию отечественного фондового рынка, которые связаны в основном с тем, что фондовый рынок в принципе не рассматривается как механизм обеспечения устойчивого экономического роста, а также в связи с достаточно сильной зависимостью страны от экспорта энергоносителей, есть и тенденции, знаменующие положительный тренд в развитии рынка капитала в стране, такие, как:

— российские предприятия постепенно начинает пользоваться возможностями, которые предоставляет рынок,

— российский фондовый рынок становится все менее зависимым от мировых финансовых и сырьевых рынков,

— население (мелкие частные инвесторы) начинает принимать активное участие в покупке ценных бумаг,

— происходит снижение волатильности отечественного рынка ценных бумаг.

Тенденция к развитию, характерная для современного состояния российских

компаний, порождает новый спрос на инвестиционные ресурсы. Одним из основных источников финансирования в этих проектах может стать фондовый рынок, который через свое эффективное функционирование предложит кардинально новое решение имеющейся проблемы, суть которой состоит в том, что фирмы не в состоянии привлекать достаточные средства на внутреннем рынке для финансирования своей деятельности.

Эффективное функционирование финансового рынка связано не в последнюю очередь и с отсутствием или недостаточной развитостью методик управления финансовыми рисками, важнейшим из которых является ценообразование производных финансовых инструментов.

Как показывает анализ российского финансового рынка, предпосылки модели могут отражать долгосрочную тенденцию рынка — модель рынка, постепенно стремящегося к эффективному состоянию. Именно это и должно стать одним из приоритетов развития современной российской финансовой теории, поскольку данный фактор на-

целен на то, чтобы переориентировать отечественный фондовый рынок на обслуживание инвестиционных нужд реальной экономики.

Многочисленные исследования российских и зарубежных ученых и практиков фондового рынка подчеркивают принципиальную нецелесообразность и невозможность прямого применения разработанных для других условий методов финансового анализа для оценки ценообразования финансовых инструментов на развивающихся рынках. Взяв за основу арифметическое распределение динамики цен и доходности ценных бумаг развивающихся рынков (на базе информации о качественных процессах российского фондового рынка), можно вывести формулу для оценки ценообразования европейского опциона колл в новых реалиях развивающегося рынка. Эта новая формула базируется на предпосылках, характерных преимущественно для подобного типа финансовых институтов. И тем самым лучше подходит для применения как финансовыми теоретиками, так и практиками фондового рынка России.

ЛИТЕРАТУРА

1. Линч П. Переиграть Уолл-Стрит. — М., 2005.

2. Росс Н. Уроки Уолл-Стрит. — М., 2005.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: МГУ, 2004.

4. Швагер Дж. Маги фондового рынка. — М., 2004.

5. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс. — М., 2005.

6. Экономика переходного периода. (ИЭПП). — М., 2003.

7. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // The Journal of Political Economy. 1973. V. 81. — № 3.

8. Glen J., Singh A. Comparing Capital Structures and Rates of Return in Developed and Emerging Markets // Emerging Market Review. 2004. V.5.

9. Oskendal B. Stochastic Differential Equations. Springer. 2005.

10. www.rbc.ru.

11. www.rts.ru.

Экономичeский вестник Ростовского государственного университета ❖ 2007 Том 5 № 1