CC BY
1888
ФИНАНСЫ
УДК 336.763
Оценка стоимости опционов. Сравнительный анализ модели Блэка-Шоулза и метода Монте-Карло
Аннотация. Оценка стоимости опционов является актуальной и наиболее сложной задачей финансовой математики. Автор статьи провел сравнительный анализ двух способов оценки: методом Монте-Карло и с помощью модели Блэка-Шоулза; выделил слабые и сильные стороны методов; сформулировал рекомендации по их применению. Кроме того, автор статьи технически реализовал сделанные им модели и подробно показал, как они работают. Ключевые слова: европейский опцион; американский опцион; модель Блэка-Шоулза; метод Монте-Карло. Abstract. Nowadays valuation of options is relevant and one of difficult tasks of financial mathematics. In this article the author conducted a comparative analysis of two valuation methods: Monte Carlo method and Black-Scholes model. Also, he highlighted weak and strong sides of these methods and gave recommendations for its usage. Besides, the author of the article technically realized presented models and showed how it works.
Keywords: European option; American option; Black-Scholes model; Monte Carlo method.
Покутний В.И.,
студент магистратуры Финансового университета Н [email protected]
Рынок опционов является одним из самых быстро растущих и развивающихся финансовых рынков. Так, по оценкам организации FIA (Futures Industry Association), годовой объем опционных контрактов растет с каждым годом и в 2013 г. составил порядка 12 млрд контрактов [1]. Ввиду этого задача справедливой оценки стоимости опциона является одной из наиболее актуальных, хотя и весьма сложной задачей финансовой математики.
В работе разобраны два подхода к оценке опционов: модель Блэка-Шоулза и метод Монте-Карло. Модель Блэка-Шоулза дает аналитическую формулу для европейских опционов «пут» и «колл» (от англ.: put, call). Для определения более сложных видов применяются численные процедуры. К ним относится метод Монте-Карло, базирующейся на истории вероятности процесса стоимости базового актива.
Модель Блэка-Шоулза
Согласно модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от ко-
лебания актива цена на него возрастает или понижается, что прямо пропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности, ожидаемой рынком.
Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения [2].
• По базисному активу опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
• Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции либо опциона.
• Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
• Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
• Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
• Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами.
Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по
Научный руководитель: Шандра И.Г., кандидат физико-математических наук, доцент.
акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.
Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли, и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.
В формуле Блэка-Шоулза используются следующие обозначения: S — цена актива, K — страйк-цена (цена, по которой покупатель может купить или продать базовый актив), T — срок действия контракта, t — срок до окончания действия контракта, а — волатильность актива, r — безрисковая ставка, q — дивидендная ставка, Ф (d+) — дельта опциона call, Ф (d) — вероятность исполнения опциона [3].
C(S, t) = Se -q(T-t ) - Ke -r (T-t Ф(d_), log(S / K) + (r - q + a2 / 2)(T -1)
где
d =■
a
d_- d+-оУ[т~-1 .
Для понимания сути оценивания опционов с помощью модели Блэка-Шоулза рассмотрим пример1. Для оценки возьмем следующие входные параметры.
Входные параметры
Цена актива 5 Р $100
Страйк-цена K x $95
Волатильность, (стандартное отклонение в %) а v 0,25
Срок до истечения t t 0,33
Безрисковая ставка r r 0,05
В результате получим:
Результат функции:
Call Value 9,428968 Put Value 2,896442
к более точной оценке ожидаемого значения этого параметра. Чтобы показать, что цена базового актива задается случайным образом, будем использовать геометрическое броуновское движение. Алгоритм для вычисления цены европейского опциона методом Монте-Карло выглядит следующим образом [4].
Генерируем случайную траекторию величины S в риск-нейтральных условиях.
Вычисляем размер выплат по опциону.
Повторяем шаги 1 и 2 многократно и получаем большое количество значений выплат по опциону в риск-нейтральных условиях.
Вычисляем среднее значение всех выборочных размеров выплат и таким образом получаем оценку стоимости опциона.
Применяем к вычисленной оценке ставку дисконта на уровне безрисковой процентной ставки и получаем оценку стоимости дериватива (в нашем случае опциона).
Вычислим цену европейского опциона с помощью модели Монте-Карло на примере, используя входные параметры из вышеуказанной модели Блэка-Шоулза. Реализация модели выполнена в MS Excel2.
Входные параметры
Цена актива 5 Р $100
Страйк-цена K x $95
Волатильность, (стандартное отклонение в %) а v 0,25
Срок до истечения t t 0,33
Безрисковая ставка r r 0,05
Надо отметить, что модель Монте-Карло предполагает многократное вычисление случайных величин 5. Это означает, что каждый раз формула для вычисления стоимости опциона будет давать разные приближенные значения. В результате получим следующие значения.
Далее сравним эти результаты с теми, которые мы получим в ходе реализации метода Монте-Карло.
Метод Монте-Карло
Метод используется для оценки ожидаемого значения опциона. Необходимо сделать случайную выборку цены базового актива, а затем применить функцию стоимости опциона для каждого элемента выборки, что приведет
European (европейский)
Put (пут) P
Spot Price (спот-цена) 100
Strike Price (цена исполнения) 95
Time to Maturity (время до истечения) 0,3
Volatility (волатильность) 0,25
Risk-Free Rate (безрисковая ставка) 0,05
Dividend Yield (дивидендная доходность) 0
Number of Steps (количество шагов) 10
Number of Simulation (количество испытаний) 10000
Option Put Price (цена опциона пут) 2,57
1 Прилагается программа, написанная на VBA в среде MS Excel (BS_
MK_model.xlsm).
2 Прилагается программа, написанная на VBA в среде MS Excel (BS_MK_model.xlsm.
European
Call (колл) C
Spot Price (спот-цена) 1OO
Strike Price (цена исполнения) 95
Time to Maturity (время до истечения) 0,3
Volatility (волатильность) 0,25
Risk-Free Rate (безрисковая ставка) 0,05
Dividend Yield (дивидендная доходность) O
Number of Steps (количество шагов) 1O
Number of Simulation (количество испытаний) 1OOOO
Option Price (цена опциона колл) 9,3
Теперь сравним полученные результаты модели Блэ-ка-Шоулза и метода Монте-Карло.
Показатель Модель Блэка-Шоулза Метод Монте-Карло
Цена опциона 2,69 2,57
пут
Цена опциона 9,07 9,3
колл
Увеличивая количество испытаний методом Монте-Карло, мы будем получать каждый раз разную приближенную оценку опциона, в то время как модель Блэка-Шоулза статична и не зависит от количества испытаний.
Метод Монте-Карло в случае американских опционов
Надо отметить, что оценка опционов по модели Блэ-ка-Шоулза наиболее эффективна в случае с европейскими опционами. Метод Монте-Карло дает больше возможностей. Если ранее основными способами расчета американских опционов являлись биномиальные деревья и другие сеточные методы, то сейчас в связи со сложностью самих опционов и вычислением их стоимости, акцент делается на скорости и эффективности их вычислений. Поэтому многие исследователи предложили использовать для вычисления стоимости американских опционов метод Монте-Карло [5].
При оценке американских опционов появляются значительные сложности. Так как определение оптимального времени исполнения опциона зависит от усреднения по будущим событиям, метод Монте-Карло для американских опционов предполагает «Монте-Карло над Монте-Карло», что делает процедуру вычислительно сложной.
Выводы
В работе проведен сравнительный анализ двух подходов к оценке стоимости опционов: методом Блэка-Шоулза и методом Монте-Карло.
Применение метода Монте-Карло необходимо для вычисления справедливой стоимости европейских и американских опционов на акцию без дивиденда в случае, если ее динамика задана геометрическим броуновским движением. Надо отметить, что главное преимущество метода Монте-Карло перед моделью Блэка-Шоулза заключается в возможности рассчитать стоимость опциона, выплаты по которому зависят не просто от конечного значения S, но и от траектории, которую прошла цена S. К тому же добавим, что выигрыши могут неоднократно возникать на протяжении всего срока действия опционного контракта, а не только в момент его завершения.
Как видно из реализации метода Монте-Карло, любой стохастический процесс для S может быть подстроен под данный метод. Эту процедуру можно также распространить на ситуации,в которых размер выигрыша зависит от нескольких рыночных показателей. Однако у данного метода есть недостатки. К ним относятся его скорость и сложность оценки ситуаций, в которых целесообразно досрочно исполнить контракт. В то же время это, безусловно, оправдывается универсальностью применения метода.
Напротив, модель Блэка-Шоулза предлагает аналитическую формулу для нахождения справедливой стоимости опциона. Такой подход упрощает решение задачи в случае с обычными европейскими опционами, однако становится неприемлемым для расчета стоимости других видов «экзотических» опционных контрактов.
Таким образом, для получения более точной оценки стоимости опционов целесообразно применять оба метода.
Литература
1. FIA annual volume survey, 1S p.http://www.futuresindustry.org/ downloads/FIA_Annual_Volume_Survey_2013.pdf (дата обращения: 03.06.2014).
2. Black F., Scholes M.// The Journal of Political Economy. Issue 3 (May-June,1973). R. 637-6S4 (https://www.cs.princeton.edu/ courses/archive/fall02/cs323/links/blackscholes.pdf).
3. Options, Futures and Other Derivatives. 5th edn. NJ: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 2003. 756 p.
4. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. М.: 2005. С. 306.
5. Boyle Phelim P. Options: A Monte Carlo Approach//Journal of Financial Economics. 1977. № 4 (may). R.323-338.
