CC BY
387
УДК 656.13:338.47; 656.13:658
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Б.Д.ПРУДОВСКИЙ, канд. техн. наук, доцент
А.В.ТЕРЕНТЬЕВ, канд. техн. наук, доцент, [email protected]
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург, Россия
В статье описывается графоаналитический метод определения множества Парето в задачах линейного программирования с одним ограничительным условием и двумя критериями эффективности. В практических автотранспортных задачах нередко приходится принимать решение не по одному, а сразу по нескольким показателям эффективности. Такие задачи получили название многокритериальных. Изложен аналитический метод решения многокритериальной задачи линейного программирования. Метод иллюстрируется числовыми примерами.
Ключевые слова: графоаналитический метод, множество Парето, многокритериаль-ность, линейное программирование.
uj=v ai jxj ^ max
ki =Г
k2—i; i;=i Xj — N, Xj > 0, j — i, и
.¡j=i, a2jXj ^ max
ki
12
(i)
Рассмотрим метод решения задачи (1) на числовом примере:
к1 = 2х1 + 3x2 + x3 ^ max к2 = x1 + 2x2 + 3x3 ^ max
Xi + X2 + X3 — 4 x, > 0, j — i3
(2)
i2 k2
Рис.2. Множество Парето для задачи (2)
Задавая последовательно каждой переменной значение 4, получаем три точки треугольника ABC на плоскости с осями координат к1 и к2 (рис.2). Очевидно, что все допустимые решения этого примера находятся внутри треугольника ABC и на его границах. Множество эффективных планов (наилучших решений) находится на отрезке BC. Воспользуемся выражением уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2),
x - xi _ У " У1
х2 ~ Х1 У 2 ~ у1
и составим аналитическое выражение, описывающее множество Парето в рассматриваемом примере (иначе говоря, составим уравнение отрезка ВС),
к1 + 2к2 = 28;4 < к1 < 12;8 < к2 < 12 .
Как видно, критерий к1 может принимать любое значение из замкнутого интервала |4, 12|. Выбор значения к1 однозначно определяет значение второго критерия к2. Например, если задаться для к1 значением 10, то к2 будет равным 9, если к1 = 8, то к2 = 10 и т.д.
В приведенном примере область Парето представляет собой отрезок прямой линии. В общем случае таких отрезков может быть несколько (множество эффективных планов выражается кусочно-линейной функцией) [1]. Рассмотрим следующий пример:
ki — 7x1 + 3x2 + x3 + 5x4 ^ max k2 — Xi + 2x2 + 5x3 + 3x4 ^ max
Xi + X2 + X3 + X4 — i0
x, > 0, j — i4
(3)
Присваиваем последовательно каждой переменной значение 10 и вычисляем критерии к и к2. При х1 = 10 имеем к1 = 70 и к2 = 10, при х2 = 10 имеем к1 = 30 и к2 = 20 и т.д. Полученные точки откладываем на плоскости в осях координат к1 и к2 (рис.3). Очевидно, что
все допустимые решения примера (3) находят-ГСТ КШ1ТПН иРТТаПр-уЛ7ГГ*ТТТ,НЪГ1<-Я АВСП 1Я НЯ РГГ*
ki 70 -■
60 -
50 -40 -
30 -
20 -
i0
B
D
X
8
4
Составим аналитические выражения, описывающие множества Парето в рассматриваемом примере. Для отрезка AB
к1 + к2 = 80; 50 < к1 < 70; 10 < к2 < 30,
а для отрезка BC
к1 + 2к2 = 110; 10 < к1 < 50; 30 < к2 < 50.
Как видно, на отрезке AB полученного множества Парето критерий к2 не может быть больше 30. Если этого недостаточно, то можно перейти на отрезок BC. Однако на этом отрезке критерий к1 не может быть больше 50. В зависимости от степени важности критериев следует предпочтение отдавать тому или иному отрезку множества Парето.
Опишем аналитический метод решения задачи (1). Полагая последовательно Xj = N,
получаем п точек Aj, j = 1, п с координатами Aj (Na1 j; Na2j). Множество Парето представляет собой выпуклую ломаную линию с вершинами в некоторых из точек Aj. Обозначим множество этих точек Q и найдем его. Прежде всего в Q входит точка, имеющая максимальную первую координату, т.е. точка Aj*, для которой alj* = тахj alj . Если таких точек
несколько, то выбирается та из них, для которой вторая координата самая большая. Обозначим координаты точки Aj* следующим образом: (й1; Ь1 ). Аналогично выбирается вторая точка с координатами (с1; d1), имеющая максимальную вторую координату. Если й1 = с1 и Ь1 = d1, то построение множества Q закончено (оно представляет собой единственную точку).
В противном случае выбросим из рассмотрения все точки Aj, для которых
^ (( - d1) + Na2^ (с1 - a1) < b1c1 - a1d1,
а из оставшихся выберем описанным способом две точки (й2, Ь2 ) и (е2, d2), для которых максимальны соответственно первая и вторая координаты. Эти две точки также входят в множество Q . Если й2 = е2 и Ь2 = d2, то множество Парето построено и состоит из двух отрезков, соединяющих точки с координатами (й1;Ь1 ) и (й1 = е1, Ь1 = d1); (й2 = е2, Ь2 = d2) и (1;^).
Выбросим из рассмотрения все точки Aj, для которых выполняется неравенство
N01; (( - d2) + №2} (с2 - и2) < Ь2с2 - a2d2,
а из оставшихся вновь выберем две точки (03, Ьз) и (С3, d3) с максимальными первой и второй координатой. Продолжая далее описанную процедуру, на шаге q получим две последние точки Q с координатами (aq, Ь11) и (cq, dq) или одну точку с координатами
(aq = сч) и (Ь = dq). Это означает, что множество Парето найдено, а искомая ломаная линия проходит последовательно через точки
(а^ Ь1 X (а2 , Ь2 ), •• (aq , bq ), (cq, dq ), •• (c2, d2 ) , (c1, d1 ) .
где
ki
х.
aj = Tj ^ 0, X aj = 1,
N
j=1
k2
Рис.4. Множество Парето для рассматриваемого алгоритма
а это означает, что множество возможных пар ((, k2) - выпуклое множество, натянутое на
точки Aj с координатами (Naj j; Na2 j). Никакая внутренняя точка полученного выпуклого многоугольника не принадлежит множеству Парето (рис.4).
Точки (j, bj )и (cj, dj) делят границу многоугольника на две части. Очевидно, что множество Парето совпадает с частью границы, лежащей ближе к точке (ab d1) а изложенный алгоритм позволяет определять все точки этого множества.
В практических автотранспортных задачах нередко приходится принимать решение не по одному, а сразу по нескольким показателям эффективности [3, 4]. Такие задачи получили название многокритериальных. Выработка количественных рекомендаций в многокритериальных ситуациях связана со значительными трудностями, которые носят объективный характер. Однако приходится принимать решения в условиях многокритериальности.
Авторами разработан алгоритм решения задачи линейного программирования с двумя критериями эффективности и большим числом ограничительных условий [5]:
kj = ^n=1 a1 j-xj ^ max
k2 = E"j=ja2jXj ^ max
ЕП=jbyxj ^ С, 1 =1, m
Xj ^ 0, j = j, n
(4)
Алгоритм построения множества Парето задачи (4) построен подобно алгоритму решения задачи (1).
n
ЛИТЕРАТУРА
1. КузнецовЕ.С. Управление технической эксплуатацией автомобилей М.: Транспорт, 1990. 272 с.
2. ПрудовскийБ.Д. Количественные методы управления автомобильным транспортом. М.: Транспорт, 1976. 87 с.
3. ТерентьевА.В. Определение производственной программы по техническому обслуживанию и текущему ремонту для подвижного состава иностранного производства // Бюллетень транспортной информации. 2008. № 6 (156). С.34-36.
4. Якунин Н.Н. Методологические основы контроля и управления техническим состоянием автомобилей в эксплуатации: Автореферат дис. ... д-ра техн. наук. Оренбург, 2004. 37 с.
5. PrudovskiyB.D., TerentievA.V. Investigation methods for «current repairs labour-intensiveness» factor for a vehicle // Life Science Journal. 2014. N 11 (10s). P.304-306. http: // www. lifesciencesite. com / lsj/life1110s/ 055_25535 life1110s 14_307_310.pdf.
REFERENCES
3. TerentievA.V. Opredelenie proizvodstvennoi programmy po tekhnicheskomu obsluzhivaniyu i tekushchemu re-montu dlya podvizhnogo sostava inostrannogo proizvodstva (Determination of the production program of maintenance and current repairs for the rolling stock offoreign production). Bulletin of transport information, Moskow. N 6 (156), p.34-36.
4. Yakunin N.N. Metodologicheskie osnovy kontrolya i upravleniya tekhnicheskim sostoyaniem avtomobilei v eks-pluatatsii (Methodological bases of monitoring and control technical condition of vehicles in operation): The author ... Dr. of Engineering Sciences. Orenburg, 2004, p.37.
5. Prudovskiy B.D., Terentiev A.V. Investigation methods for «current repairs labour-intensiveness» factor for a vehicle. Life Science Journal, 2014. N 11 (10s), p.304-306. http: // www. lifesciencesite. com / lsj/lifel 110s/ 055_25535life1110s 14_307_310.pdf.
METHODS FOR DETERMINATION PARETO SET IN SOME LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS
B.D.PRUDOVSKIY, PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, A.V.TERENTIEV, PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, [email protected] National Mineral Resources University (Mining University), St Petersburg, Russia
The paper describes the graphic-analytical method for the determination of Pareto set in linear programming with a restrictive condition and two performance criteria. In practical vehicles tasks it is common phenomenon to take decision for several performance indicators. Such problems are called multicriteria. The presented method is illustrated by numerical examples. In the final part of the article analytical method for solving multiobjective linear programming problems .
Keywords: graphic-analytical method, the Pareto set, multicriteriality, linear programming.
