Методы и алгоритмы координатно-временных определений, основанные на применении спутниковых навигационных технологий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

А.С. Толстиков

ФГУП СНИИМ, Новосибирск

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ КООРДИНАТНО-ВРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ СПУТНИКОВЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Задачи координатно-временных определений, решаемые на основе применения спутниковых навигационных систем (СНС), можно разделить на задачи прямого назначения СНС и задачи, обеспечивающие функционирование самих СНС. Последние в основном направлены на формирование эфемеридно-временного обеспечения (ЭВО) СНС. В частности, это:

- Восстановление орбит навигационных спутников (НС) по результатам траекторных измерений для последующего прогнозирования движения орбитальной группировки НС;

- Оценивание параметров вращения Земли (ПВЗ) по данным измерений

и последующее прогнозирование ПВЗ;

- Оценивание уходов шкал времени бортовых часов НС для расчета соответствующих частотно-временных поправок;

- Синхронизация пространственно разнесенных часов беззапросных измерительных станций, осуществляющих траекторные измерения по орбитальной группировке НС для целей ЭВО.

Как правило, к обеспечивающим задачам предъявляются более высокие требования точности в части траекторных измерений и требуется привлечение адекватных математических моделей процессов и объектов для высокоточного прогнозирования состояний отдельных сегментов СНС. Все это обеспечивает точное решение задач прямого назначения СНС и увеличивает автономность функционирования спутникового сегмента СНС.

Решение перечисленных обеспечивающих задач сводится к статистическому оцениванию постоянных параметров или состояний процессов и объектов, функционально связанных с измеренными навигационными параметрами. С позиций анализа причинно-следственных связей, перечисленные задачи относятся к классу обратных задач некорректно поставленных по Адамару. Это обстоятельство заставляет:

- Использовать принципы регуляризации в применяемых методах и алгоритмах,

- Привлекать описание процессов и объектов в качестве дополнительных условий на выбор статистических решений.

Перечисленные выше задачи координатно-временных определений в отмеченных специфичных условиях предлагается решать на основе общей методологии, основная идея которой заключается в оценивании

расширенного вектора состояния некоторого, подлежащего исследованию динамического объекта по результатам траекторных измерений.

Предполагается, что на объект действует группа возмущений, которые можно представить согласующими математическими моделями с неопределенными в общем случае параметрами. На результаты измерений, помимо информационных сигналов, действует группа факторов, порождающих дополнительные погрешности измерений. Действие указанных факторов также представляется согласующими математическими моделями с неопределенными параметрами.

В соответствии с предлагаемой методологией описание исследуемого динамического объекта дополняется уравнениями согласующих математических моделей, описывающих действующие на объект возмущения и уравнениями факторов, влияющих на результаты измерений. При этом неопределенные параметры влияющих факторов вводятся в состав расширенного вектора состояния исследуемого объекта. Этот расширенный вектор состояния оценивается по результатам измерений с помощью тех или иных алгоритмов оценивания.

В общем случае исследуемый динамический объект описывает обыкновенным дифференциальным уравнением

х = Г(х,8^,0, х(О = х0, (1)

где х - п х 1 - вектор состояния объекта;

Г() —пх 1 - известная гладкая вектор-функция, причем Г (0,0,0,£)=0;

8 - т х 1 - вектор действующих на объект моделируемых возмущений, которые могут быть идентифицированы с помощью тех или иных согласующих математических моделей;

-1 х 1 - вектор возмущений случайной природы.

Считаем, что измерению доступен к х1 - мерный вектор z, связанный с вектором состояния х объекта исследований (1) уравнением измерений

z=Ь(х,р, V,*), (2)

где Ь() - известная вектор-функция размерности к х1, причем И(0Д 0,0;

р -дх 1 - мерный вектор моделируемых факторов, влияющих на точность измерений z;

V — § х 1 - вектор немоделируемых погрешностей измерений

случайной природы.

Моделируемые возмущения S, действующие на объект и факторы р, влияющие на точность измерений, могут быть идентифицированы с помощь тех или иных согласующих математических моделей.

Анализ действующих на объект возмущений S и факторов р , влияющих на точность траекторных измерений, проведенный в рамках задач координатно-временных определений, позволил выделить два типа согласующих математических моделей:

- Статические модели в виде известных функциональных зависимостей и

§(0 = Гя(а,0

Р(0 = РДР,0 в);

- Динамические модели, дифференциальными уравнениями

§(0 = <л («) • §(0 + Вя (а) • ^ (0, §(

т=орф)-т+врф)-^т

где ^ (а,^), ^ (Р, I) - известные функции,

Gs(ц),£>Ха), G (р),Вр(Р) - известные матрицы, зависящие от векторов параметров а и в,

С (0 и £ ^) - случайные процессы гауссовского типа с

математическими ожиданиями ^()], (^)] и ограниченными

ковариациями.

Для статических (3) и динамических (4) моделей при известных функциях ^(а,^),^(Р,£) и известных структурах матриц ^(а)^(а), Ор (Р), Бр (Р) в рассматриваемой задаче остаются неизвестными параметры а

и в. Это обстоятельство приводит к необходимости идентификации

указанных параметров по измерениям одновременно с оцениванием состояний самого объекта.

В частности, зависимостями вида (3) описываются ионосферная и тропосферные задержки, радиационное давление на НС от солнечного излучения; возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли, гравитационные воздействия Луны и Солнца, долговременные нестабильности бортовых часов и часов приемной аппаратуры.

Дифференциальными уравнениями вида (4) описывается возмущенное движение НС по орбите, кратковременные нестабильности бортовых часов и часов приемной аппаратуры, уходы бортовых шкал, движение

(3)

описывающиеся линейными Л) = ®о5 а)

&)=Ро>в); (4)

высокодинамичных объектов, траектория которых восстанавливается по данным траекторных измерений.

Важной особенностью рассматриваемой задачи оценивания состояния является возможность введения в рассмотрение опорной траектории

х

движении исследуемого объекта 8, полученной расчетным путем в соответствии с уравнением

=^(х<у,8<у,0,0,х<у(^0) = х<у0. (5)

В (5) 88 - некоторое опорное расчетное представление действующих на

объект возмущений, рассчитываемое в соответствии с принятой математической моделью, в которой применены параметры первого

С1

приближения а8 .

х

Для опорной траектории 8 рассчитывается в соответствии с уравнением

^ = Ь(х8> Рй':' 0 1) (6)

опорная компенсирующая поправка 2:8 к наблюдаемому сигналу z. В (6) для влияющих факторов используется опорное расчетное представление

Р8 , вычисляемое в соответствии с принятой согласующей математической моделью, в которой применены параметры первого приближения .

Наличие опорной траектории х<8 и опорного сигнала ^ позволяет

г Ах = х - х о

рассматривать относительное движение объекта 8 вдоль

опорной траектории х, удовлетворяющие линеаризованному уравнению движения,

А х = Ах ■ Ах + А8 ■ Аъ + Вх ■ Ах(70 ) = Ах0

(V) ’

Аz = Сх • Ах + С$ • Аб + Ср • Ар + Dz • V,

(8)

ОГ ОГ Ох

А = А = 8 .б = _Б_

где Ах = ~ = -^ д *Бх = -^ ;

Ох^ Ох^ ОБ

^ _ ОЬ ^ _ ОЬ Ох^ т ^ _ ОЬ ^ _ ОЬ

Сх = ^ Б С = ^ Б Ср =^Г~Б Dz =^~;

ОБ ^ ОР ^

матрицы частных производных. Разности Лэ = §— 8^,Ар = р —

представляют собой смещения выходных координат принятых математических моделей, порожденные отличаем опорных параметров от оптимальных

Аа = а - а5, Ар = р - Р5

Полученное линеаризованное уравнение измерений (8), связывающее наблюдаемый вектор Аг =г: - Тд и подлежащие оцениванию векторы Ах, А8, Ар , может быть представлено в компактной форме

Аz = С • У + £> • V , (9)

Ут = ГАхт Абт Арт ] где 1 5 5 р -1 расширенный вектор состояния, подлежащий

оцениванию,

С = (Сх, С, С ) - блочная матрица.

Для решения задачи оптимального оценивания компонент , Ар

расширенного вектора состояния У линеаризованное уравнение движения объекта (7) должно быть дополнено уравнениями принятых согласующих математических моделей (4).

В результате описание объекта исследований с расширенным вектором состояния примет вид

¥ = ^-¥+5-^¥(/0) = [А4,А^,АЙ]

(10)

где А; Б; W - блочные матрицы.

Таким образом, рассматриваемые обеспечивающие задачи координатновременных определений по результатам траекторных измерений сведены к

оцениванию расширенного (п+т+<$) х1 - мерного вектора У линейного динамического объекта (10) по измерениям, представленным к х1 - мерным вектором измерений Аг = z - г5

Сама задача текущего оценивания вектора У в отдельных редких случаях

при к—п+т+$ может быть решена одномоментно на основе метода наименьших квадратов при условии, что ранг матрицы С не меньше, чем п+т+$ ^

В специфичных условиях существования решения уравнения (10) при условии наблюдаемости объекта [2] задача оценивания вектора У может быть

сведена к оцениванию начальных условий и последующему

интегрированию уравнения (10) для получения оценки У .

Трудоемкий в вычислительном отношении, но эффективный по точности метод «квазилинеаризации» [2] позволяет после 1-й - 2-х итераций использовать в качестве оценки вектора У рассчитанную опорную У*

траекторию 8.

При наличии достаточного объема априорной информации о вероятностных характеристиках действующих помех и возмущений достаточно эффективным для оценивания расширенного вектора состояния

У линейного динамического объекта (10) по измерениям z Тд будет применение рекуррентных процедур оптимальной калмановской фильтрации [2].

В заключении отметим, методология решения задач координатновременных определений путем введения неизвестных моделируемых параметров в разряд оцениваемых достаточно часто применяется в задачах восстановления текущих навигационных параметров КА в условиях действия возмущений и влияющих факторов [1]. Для этой методологии своего решения требуют вопросы принципиальной разрешимости самой задачи и исследования точности получаемых оценок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уравнение и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах / Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А. и др. - М.: Машиностроение, 1988. - 336 с.

2. Идентификация систем уравнения / Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. - М.: Наука, 1974. -

248 с.

© А.С. Толстиков, 2007