CC BY
40
УДК 621.396 А.С. Толстиков
ФГУП «СНИИМ», Новосибирск
ИССЛЕДОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ КООРДИНАТНО-ВРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
В работе обсуждается возможность решения ряда задач координатновременных определений путём сведения их к задаче оценивания расширенного вектора состояния динамического объекта. К указанным задачам относятся:
- Оценивание текущих навигационных параметров КА по данным траекторных измерений[1,2];
- Восстановление траекторий высокодинамичных объектов по сигналам навигационных спутников (НС) КНС ГЛОНАСС/GPS;
- Формирование шкал времени групповых хранителей;
- Синхронизация пространственно-разнесённых хранителей времени по сигналам НС КНС ГЛОНАСС.
Постановка задачи оценивания. Задача координатно-временных определений трактуется как задача оценивания расширенного вектора состояния динамического объекта, описывающегося, в общем случае, нелинейным дифференциальным уравнением
X =f(x,w,t), x(to)=Xo , (1)
т
где х =[х^), 1=1,...,п] - п-мерный вектор фазовых координат объекта;
т
f ( ) = №( ), 1=1,.,п] - п-мерная известная вектор-функция, допускающая
дифференцирование по х^,1
т
w =Кф, 1=1,...,т] - m-мерный вектор контролируемых и неконтролируемых возмущений, действующих на объект.
т
Наблюдению доступен вектор z =[гк^), к=1,...,к], связанный с вектором фазовых координат объекта х, в общем случае, нелинейным уравнением измерений
z=H(x,v,t), (2)
в котором Н ( )=[^( ), к=1,...,к] - k-мерная известная вектор-функция, допускающая дифференцирование по x,v,t;
V =№), 1=1,...,Ц - вектор, объединяющий все факторы, влияющие на точность измерений zk(t).
Относительно w и V принято предположение, что это случайные вектор-процессы гауссовского типа
W=цw+ ^ и У=Цу+ V
с математическими ожиданиями ^ и и центрированными
составляющими
е N (0, Я) и ~ е N (0, Я)
с известными в ряде случаев корреляционными матрицами Rw и Rv. Для регулярных составляющих возмущений могут быть подобраны согласующие математические модели параметрического типа
1^=Ф^,а) а) и цу=у(^5) б), (3)
в которых ф(^а) и у(^5) - известные вектор-функции, допускающие диффе-ренцирование по 1,а,р. В частности, в качестве согласующих моделей (3) могут быть использованы линейные комбинации постоянных коэффициентов а и р и выбранных базисных функций.
При наличии в структурах объекта (1) и измерителя (2) согласующих моделей (3) с неизвестными параметрами а и р, формируется подлежащий
X XXX
оцениванию расширенный вектор состояния у =^ ,а ,Р ]. В этом случае уравнение объекта (1) дополняется уравнениями а =0, р =0, (4)
представляющими собой условия постоянства параметров согласующих моделей (3) на интервале оценивания.
В качестве наблюдаемых сигналов применяется разность Л71=7-701 между вектором Ъ и некоторым опорным вектором 201, полученного расчетным путём посредством интегрирования уравнения
х01= х01(^)=Цх0Ь
с учётом ^01=ф(аь1) и последующего вычисления Ъ01 в соответствии с
(2) с учётом цу01=^(р1,1), где а1 и р1 - параметры и начальные условия цх01 первого приближения. Для вектора Л21 справедливо линеаризованное представление
Л71=С[Р Лхы +Б Ла1]+и Лр^ V, (5)
а движение объекта относительно опорной траектории х01 описывается линеаризованным уравнением
Лх1=А Лх1+ Б Ла1+В , Лх^^Цхо-Цхоь (6)
В (5) и (6) приняты обозначения
А = — ; В = —— ; С = — ; Б = — ; (7)
йх Х01 йх йw йх Х0 йу Х1
йх . _ йН йу | , _ йГ
= йх йа а1 ; =йу йр !р1 ; =йх7 ц01
для матриц чувствительности объекта и измерителя к вариациям параметров Ла1=а - а1; Лр1=р - р1, начальных условий Лх^о), возмущений v1 и w1.С учётом линеаризированных представлений могут быть получены уравнения
Л у =Ф ЛУ +Bw, ,ЛY(to)=ЛYo , (8)
Л7= О ЛY+Dv , (9)
описывающие движение объекта с расширенным вектором состояния Л
XX XX
Y относительно опорной траектории Y0 =[х0 , а1 , р1 ] и уравнение
измерений. Ф и О - блочные матрицы, объединяющие матрицы С, Р, S, и, А; ЛУ0 - расширенный вектор начальных условий. В (8), (9) - оптимальная
Л
оценка Л у расширенного вектора состояния линеаризированного объекта (8) по наблюдениям ЛЪ формируется на условиях минимума функционалов
л
л = 11 ЛZ - ^Лу ||к^ ; а)
* о
*К л л
л 2 =||| Л у -ФЛу|| б) (10)
*0
л
л3 = |ЛУ(*о)-^ЛУ(*о)\\ в)
взятых с различными весами.
л
Минимум функционала Л соответствует условиям близости оценки Л у измерениям Л7 в смысле наименьших квадратов; функционал J2 накладывает
л
ограничения на гладкость оценки Л у, а минимизация функционала J3, при выполнении условий наблюдаемости объекта [3], обеспечивает приближение
лл
оценки Л у к измерениям Л7 за счёт подбора начальных условий Л у (1о).
При фиксированном интервале оценивания [^Дк] и невысоком уровне помех 'V и возмущений минимизация функционалов сводится к решению
л
двухточечной краевой задачи. Оптимальная оценка Л у в этом случае удовлетворяет уравнению Эйлера в канонической форме [4]. Рассматриваемая задача требует предварительного исследования, поскольку экстремумы функционалов ЛД2 и J3 могут не совпадать и уравнения Эйлера могут быть неустойчивыми.
Если интервал оценивания неограничен, т.е. ^=:, и относительный уровень помех 'V высокий, для оценивания расширенного вектора состояния ЛY(t) применяют алгоритмы динамической фильтрации калмановского типа
[3] или комбинированные алгоритмы [5].
Для дискретных представлений уравнений (8) и (9)
ЛУ(К +1) = Е(К)ЛУ(К) + С(К)\¥(К), ЛУ(0), (11)
ЛZ(K) = 0(К)ЛУ(К) + Б(К)У(К) , (12)
где ЛУ(К)=ЛУ(1К); ЛZ(K) = ЛZ(tK), F(K) =[E+hФ(К)], G(K)=hD(K), h=tк+1-1к шаг дискретизации, ЛУ(0)=[ ЛХ1т(0), а, ^ ] - расширенный вектор начальных условий, уравнение оптимального фильтра будет иметь вид:
л л
ЛУ(К +1) = F(K)Л У(К) + К(к)^(к) - 0(к)Л У(к)], (13)
где К(к) - оптимальная матрица фильтра, рассчитывается при известных корреляционных матрицах Rv и Rw. Точность оценивания характеризуется величиной ошибки
л
е(К) = Л У(К) -ЛУ(К) (14)
и определяется вынужденной составляющей уравнения динамики, полученного непосредственно из (11), (12), (13) с учётом представления (14). Непосредственно из уравнения динамики может быть получено уравнение Рикатти для расчета ковариационной матрицы cov{e(K)}.
Полученные тем или иным способом оценки расширенного вектора состояния ЛУ являются оценками первого приближения относительно
опорной траектории ЛУ01 и могут быть уточнены путём формирования новой опорной траектории ЛУ02 с начальными условиями
л
уТп
[(х^ + Л ^),(а+а),(^+р)т] и повторения процесса оценивания Л У до выполнения принятых правил останова итерационной процедуры.
Применительно к решению обозначенных выше задач координатно-временных определений настоящая методика непосредственно используется для оценивания текущих навигационных параметров КА по данным беззапросных траекторных измерений [1,2]. Оцениваются начальные условия уравнения движения КА и параметры согласующих моделей для оценки возмущений от радиационного давления на КА, и расчёта согласующих поправок к уходам бортовых часов и части тропосферной задержки. Сходимость и точность оценивания исследовались методом имитационного моделирования с помощью разработанного в СНИИМ программного имитатора измерительной информации [6].
При решении задач оценивания состояния высокодинамичного объекта, (летательного аппарата (ЛА)), использовались уравнения движения вида (1), связывающие силы, действующие на ЛА, со скоростями движения и моментами сил в связанной с ЛА системе координат. Уравнение измерений применялось линейное с матрицей (9) с матрицей О переводящей движение ЛА в геоцентрическую систему координат. Уточнению с помощью согласующих моделей подлежат ряду аэродинамических параметров ЛА и параметры возмущений.
При формировании шкал времени групповых хранителей и синхронизации удалённых хранителей линейные уравнения вида (8) описывают нестабильности частот каждого из входящих в группу стандартов. В линейном уравнении (9) матрица О является коммутационной, обеспечивающей сравнения по частоте каждого из входящих в группу стандартов с опорным стандартом. Особенностью этих систем является то обстоятельство, что они являются ненаблюдаемыми в смысле [3]. Сложности, связанные с ненаблюдаемостью удаётся преодолеть привлечением дополнительных регуляризующих условий в виде функционала J2. При этом формирование матрицы К(к) в уравнении фильтра (13) проводится с учётом требований устойчивости фильтра.
л
л
л
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Решетнёв М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А. и др. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. - М.: Машиностроение, 1988. - 336с.
2. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. - М.: Сов. радио, 1978. - 384 с.
3. Сейдж Э.П., Мелса Д.Л. Идентификация систем управления. - М.: Наука, 1974, -
248с.
4. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982. - 392с.
5. Бартеньев В.А., Гречкосеев А.К. Комбинированный алгоритм определения и прогнозирования параметров движения ИСЗ с использованием адаптации. -«Космичесские исследования», 1986, №4, с. - 564 - 574.
6. Владимиров В.Н., Гречкосеев А.К., Толстиков А.С. Имитатор измерительной информации для отработки эфемеридно-временного обеспечения космической навигационной системы ГЛОНАСС. - «Измерительная техника», 2004, №8, с. - 12 - 14.
© А.С. Толстиков, 2005
